Tento web obsahuje aplikace Google Adsense a Google analytics, které využívají data ze souborů cookie, více informací. Používání této stránky vyjadřujete souhlas s využitím těchto dat. Využívání dat ze souborů cokie lze zakázat v nastavení Vašeho prohlížeče.

34. Oběh Stirlingova motoru

Autor: Jiří Škorpík, skorpik@fme.vutbr.cz : aktualizováno 2012-01

Ve Stirlingově motoru probíhá uzavřený tepelný oběh, pomocí něhož se transformuje teplo na práci. Z návrhu tepelného oběhu motoru v p-V diagramu lze přibližně vypočítat vnitřní práci motoru, kroutící moment a další parametry. Přesnost těchto výpočtů je přímo úměrná tomu jak blízké jsou skutečné termodynamické děje probíhající v motoru dějům, které jsou použity pro konstrukci tepelného oběhu motoru. Oběh Stirlingova motoru, který je zde popsán vychází z několika typů oběhů používaných pro výpočet oběhu Stirlingova motoru, protože tyto oběhy mají společné znaky (tzv. zjednodušující předpoklady).

Tlak ve Stirlingově motoru

Tlak pracovního plynu v pracovním objemu Stirlingova motoru se během oběhu mění se změnou teploty a objemu pracovního objemu. Podle schématu Stirlingova motoru lze pracovní objem motoru rozdělit do tří objemů, mrtvý objem, objem válce na teplé a studené straně motoru. Střední teplota pracovního plynu v jednotlivých objemech se během jednoho cyklu může měnit mezi maximální a minimální hodnotou:

Teploty pracovního plynu.
1.436 Teploty pracovního plynu.
T [K] teplota; V [m3] objem. Index T označuje teplou stranu motoru; index S označuje studenou stranu motoru; index V označuje objem válce; index M označuje mrtvý objem; index R označuje objem regenerátoru; index TR označuje rozhraní mezi teplou stranou motoru a regenerátoru; index SR označuje rozhraní mezi studenou stranou motoru a regenerátoru. Odvození rovnice střední teploty pracovního plynu v regenerátoru je v Příloze 436 nebo [2, s. 69].

Výpočet oběhu Stirlingova motoru, který je zde popsán lze použít za určitých zjednodušujících předpokladů:

(1)  Střední hodnota exponentu polytropy termodynamických změn uvnitř   
     pracovního objemu motoru je konstantní po celý oběh.                
(2)  Teplotní poměr na hranici regenerátoru je konstantní               
     τ=TTR/TSR=konst.                                                                  
(3)  V celém pracovním objemu motoru je stejný tlak (neprobíhá          
     žádná tlaková ztráta při proudění plynu).                          
(4)  Pracovní plyn je ideální plyn.                                     
(5)  Pracovní objem je dokonale těsný.                                  
(6)  Oběh je ustálený.                                                  
2.435 Zjednodušující předpoklady pro konstrukci oběhu Stirlingova motoru.

Z uvedených předpokladů řešení lze odvodit rovnici pro tlak pracovního plynu v motoru jako funkci jeho objemu:

Tlak pracovního plynu ve Stirlingově motoru v závislosti na objemu motoru.
3.437 Tlak pracovního plynu ve Stirlingově motoru v závislosti na objemu motoru.
p [Pa] tlak pracovního plynu v motoru; Cint [Pa·m3] integrační konstanta; n [-] střední hodnota exponentu polytropy (exponent polytropy se během oběhu ve skutečnosti mění); τ [-] teplotní poměr na hranici regenerátoru; τR [-] teplotní poměr mezi teplotou na teplé straně regenerátoru a střední teplotou v regenerátoru; Vred [m3] redukovaný objem. Odvození rovnice je v Příloze 437, odvození je provedeno pro jednorozměrné proudění ideálního plynu. Tato rovnice byla poprvé zveřejněna v [4], [5].

Z rovnice je zřejmé, že průběh tlaku je především závislý na teplotách na hranicích regenerátoru, nikoliv na teplotách ve válcích. K chodu motoru je nutný teplotní rozdíl mezi teplou a studenou stranou.

Fyzikální interpretace integrační konstanty je patrná po formální úpravě rovnice tlaku:

Fyzikální interpretace integrační konstanty. 4.438 Fyzikální interpretace integrační konstanty.
Integrační konstantu lze vypočítat z jakéhokoliv bodu oběhu, ve kterém je znám tlak a velikost redukovaného objemu.
reklama

Exponent polytropy a stupeň izotermizace

V ustáleném stavu může být exponent polytropy ve Stirlingově motoru v intervalu <1; κ> (κ [-] exponent adiabaty). Exponent polytropy nemůže být menší jak 1. Je-li n rovno κ, potom je motor dokonale tepelně izolovaný a mezi teplou a studenou stranou motoru nemůže vzniknout teplotní gradient (τ je rovno 1 a vnitřní práce motoru je nulová). V případě n=1 probíhají v motoru pouze izotermické děje, a izotermický děj lze považovat i za porovnávací vůči skutečným dějům:

Střední hodnota exponentu polytropy motoru. 5.446 Střední hodnota exponentu polytropy motoru.
ν [-] stupeň izotermizace*.
*Stupeň izotermizace
Stupeň izotermizace určuje jak moc je polytropický děj v daném objemu blízko izotermickým změnám. Jeho hodnota může být v intervalu <0; 1>. Čím blíže je hodnota poměru ν hodnotě 1, tím blíže je děj probíhající v daném objemu izotermickému ději, a naopak čím blíže je hodnota poměru ν hodnotě 0, tím blíže je děj probíhající v daném objemu adiabatickému ději. Rozdíl κ-1 je maximální možná odchylka polytropického děje v motoru od izotermického děje.
       ν [-]
------------
(a)    ≐0,5 
(b)    <0,5 
(c)    >0,5 
6.445 Hodnoty stupně izotermizace.
(a) motor s ideálním sdílením tepla mezi pracovním plynem a stěnami motoru (např. motory Strojíren Bohdalice, United Stirling V160); (b) motory s malou teplosměnnou plochou, vyšší otáčky, malý mrtvý objem; (c) motory s velkou teplosměnnou plochou, malé otáčky, velký mrtvý objem nebo motory s řízeným tepelným tokem (obtížně realizovatelné) Exponent polytropy je tedy funkcí otáček motoru, geometrie motoru a druhu pracovního plyn.

Naměřený stupeň izotermizace může ukázat na konstrukční nedostatky motoru.

Teplota, množství pracovního plynu, vnitřní práce motoru, přivedené teplo, odvedené teplo a regenerované teplo oběhu se vypočítá pomocí rovnic z článku 35. Energetická bilance oběhu Stirlingova motoru.

Změna tlaku ve Stirlingově motoru s klikovým mechanismem

Nejčastěji je pohyb pístů realizován pomocí zalomené hřídele, potom jsou objemy motoru funkcí pootočení hřídele φ (p – φ diagram) (VTV(φ); VSV(φ)):

Kinematika pístů pro případ α-modifikace Stirlingova motoru.
7.439 Kinematika pístů pro případ α-modifikace Stirlingova motoru.
φ [rad] pootočení hřídele; α [rad] úhlové zpoždění pohybu pístu na studené straně za pohybem pístem na teplé straně; R [m] rameno kliky; l [m] délka ojnice; L [m; %] poloha pístu na teplé straně T a na studené straně S; S [m2] průřez válce na teplé straně T a na studené straně S.

V tomto případě lze, pro výpočet polohy pístu, použít rovnice polohy pístu spojeného s klikovým mechanismem:

Objemy válců v závislosti na pootočení hřídele.
8.440 Objemy válců v závislosti na pootočení hřídele.

Kombinací Rovnice 3 a rovnic Rovnice 8 vznikne rovnice tlaku jako funkce φ. Z extrému funkce p=f(φ) lze určit minimální, maximální tlak a tlakový poměr během jedné otáčky φ<0; 2π):

Maximální a minimální tlak a tlakový poměr.
9.442 Maximální a minimální tlak a tlakový poměr.
ε [-] tlakový poměr; φmin [rad] pootočení hřídele, při kterém bude redukovaný objem minimální Vred,min; φmax [rad] pootočení hřídele, při kterém bude redukovaný objem maximální Vred,max. Pokud je zadáno pmax lze vypočítat integrační konstantu Cint z rovnice pro pmax. Úhly φmin; φmax lze určit iteračním výpočtem z Rovnice (a) a v prvním kroku iterace použít hodnoty z Rovnice (b) a (c) (φmin; φmax pro případ sinusového pohybu pístů). Odvození těchto rovnic je v Příloze 442.

Střední tlak oběhu se vypočítá podle věty o střední hodnotě funkce z funkce p(φ):

Střední tlak oběhu. 10.443 Střední tlak oběhu.

Jestliže je zadán pouze střední tlak oběhu určí se Cint iteračním způsobem z výsledku Rovnice 10.

Stejným postupem lze odvodit rovnice pohybu pístů i pro ostatní modifikace Stirlingova motoru.

Stirlingův motor α-modifikace plněný héliem s klikovým mechanismem a těmito rozměry: průměr válce 68 mm (na teplé i studené straně je stejný průměr), poloměr kliky 22 mm, délka ojnice 105 mm, mrtvý objem na teplé straně 110 cm3, mrtvý objem na studené straně 90 cm3, objem regenerátoru 68,682 cm3, střední teplota plynu na teplé straně regenerátoru 900 K, střední teplota plynu na studené straně regenerátoru 330 K, střední tlak 15 MPa, úhlové zpoždění pohybu pístu na studené straně za pohybem pístem na teplé straně je 105°. Stanovte průběh tlaku v závislosti na pootočení hřídele a další důležité úhly oběhu.
Úloha 1.444
ST   [cm2]   36,3168
τ    [-]     2,7273 
TR   [K]     568,124
τR   [-]     1,5842 
ν    [-]     0,5    
κ    [-]     1,67   
n    [-]     1,335  
Cint [Pa·m3] 997,548

        φ [°]         VTV [cm3]   VSV [cm3]   p [MPa]
-------------------------------------------------------
φTVmin  0               0           108,4669    14,554 
        10              1,4663      95,2595     15,4867
        20              5,7988      81,3326     16,5003
        30              12,8025     67,1092     17,5696
        40              22,1665     53,0694     18,6527
φVmax   36,5639         36,5639     23,955869   19,933 
        60              46,2786     27,6096     20,6038
        70              60,0347     17,2129     21,3098
        80              74,2291     8,9836      21,7276
φmin    87,0244         84,1905     4,6979      21,8169
        100             101,977     0,3676      21,5106
φSVmin  105             108,4669    0           21,2359
        120             126,1756    3,2835      19,9843
        130             136,1976    8,9836      18,9003
        140             144,5758    17,2129     17,7239
        150             151,1881    27,6096     16,5364
        160             155,9559    39,7284     15,4005
φTVmax  180             159,7939    67,1092     13,4338
        190             158,8326    81,3326     12,6369
        200             155,9559    95,2595     11,9684
        210             151,1881    108,4669    11,4236
        220             144,5758    120,6012    10,995 
φVmin   232,5           133,8403    133,8403    10,61  
        240             126,1756    140,6009    10,4536
        250             114,6874    148,1084    10,3262
φmax    259,647         102,4432    153,6366    10,2866
        270             88,3611     157,6326    10,3312
        280             74,2291     159,5535    10,4573
φSVmax  285             67,1092     159,7939    10,5507
        300             46,2786     157,6326    10,9529
        310             33,484      153,8061    11,3248
        320             22,1665     148,1084    11,7831
        340             5,7988      131,3824    12,9747
        350             1,4663      120,6012    13,7152
        360             0           108,4669    14,554 
Úloha 1: souhrn zadání a výsledků.
φVmin; max [°] pootočení hřídele pro minimální respektive maximální součet objemů válců; TTR,st [K] střední teplota plynu na teplé straně regenerátoru; TTR,st [K] střední teplota plynu na studené straně regenerátoru.
Úloha 1: souhrn zadání a výsledků.
Úloha 1: průběh tlaku v motoru.

Změna teploty pracovního plynu ve Stirlingově motoru

Pokud n≠1 znamená to mimo jiné, že se musí měnit i teplota pracovního plynu v jednotlivých objemech motoru podle rovnic:

Teplota pracovního plynu v jednotlivých objemech motoru.
11.251 Teplota pracovního plynu v jednotlivých objemech motoru.
TT [K] teplota pracovního plynu na teplé straně motoru; TS [K] teplota pracovního plynu na studené straně motoru; TR [K] teplota pracovního plynu v regenerátoru. Odvození bylo provedeno pro zjednodušující předpoklad TTR=TT; TSR=TS; index st označuje střední hodnotu teploty pracovního plynu za celý oběh. Odvození rovnic je v Příloze 251. Tato rovnice byla poprvé zveřejněna v [6].

Jak je patrné z rovnic změna teploty kopíruje změny tlaku a je tím větší čím větší je střední teplota pracovního plynu ve vyšetřovaném objemu. Jestliže jsou zadány pro výpočet pouze střední hodnoty teplot (TT,st; TS,st; TR,st), potom při výpočtu průběhu teplot se postupuje iteračním způsobem pro zjištění teploty TT,max. To znamená, že v prvním kroku se teplota TT,max odhadne, vypočítá podle Rovnice 11 teplota TT,st a pokud se výrazně liší od zadané hodnoty výpočet opakovat s novým odhadem teploty TT,max.

Vypočítejte průběh teploty pracovního plynu během jednoho pootočení hřídele (jeden oběh) na teplé a studené straně a v regenerátoru Stirlingova motoru o parametrech uvedených v Úloze 1.
Úloha 2.819
φ [°] TT [K]  TS [K]  TR [K]          φ [°] TT [K]   TS [K]   TR [K]
--------------------------------        --------------------------------
0       899,07  329,66  567,52          190     867,76  318,18  547,76  
10      913,19  334,83  576,44          200     856,01  313,87  540,34  
20      927,84  340,20  585,68          210     846,06  310,22  534,06  
30      942,57  345,61  594,98          220     837,98  307,26  528,96  
40      956,83  350,83  603,98          232,5   830,52  304,52  524,25  
52,5    972,90  356,73  614,13          240     827,43  303,39  522,30  
60      981,02  359,70  619,25          250     824,88  302,45  520,69  
70      989,34  362,76  624,51          259,65  824,09  302,16  520,19  
80      994,18  364,53  627,56          270     824,98  302,49  520,76  
87,02   995,2   364,90  628,20          280     827,50  303,41  522,35  
100     991,68  363,61  625,98          285     829,35  304,09  523,51  
105     988,48  362,44  623,96          300     837,17  306,96  528,45  
120     973,53  356,96  614,52          310     844,22  309,54  532,90  
130     960,00  352,00  605,98          320     852,66  312,64  538,23  
140     944,64  346,37  596,29          340     873,52  320,29  551,40  
150     928,35  340,39  586,00          350     885,78  324,78  559,13  
160     911,91  334,37  575,63          360     899,07  329,66  567,52  
180     881,18  323,10  556,23                                          
Úloha 2: souhrn zadání a výsledků.
Úloha 2: souhrn zadání a výsledků. Úloha 2: souhrn zadání a výsledků.

Stirlingův oběh a Schmidtův oběh

Stirlingův oběh a Schmidtův oběh* jsou zjednodušené avšak velmi populární teoretické oběhy Stirlingových motorů, při kterých se zavádí předpoklad n=1. Stirlingův oběh předpokládá lineární pohyb pístů, Schmidtův oběh sinusový pohyb pístů. Podrobnosti o obou obězích například [4], [3].

Gustav Schmidt; 1826-1881
Profesor na Německém polytechnickém ústavu království Českého. Svůj oběh Stirlingova motoru publikoval v roce 1871.
Stirlingův oběh.
12.447 Stirlingův oběh.
(a) p-V diagram; (b) trajektorie pístů. r [J·kg-1·K-1] individuální plynová konstanta; m [kg] hmotnost pracovního plynu v pracovním objemu; t [s] čas. A trajektorie pístu na teplé straně; B trajektorie pístu na studené straně. Odvození rovnice je uvedeno v Příloze 447.

Další porovnávací oběhy Stirlingova motoru

Theodor Finkelstein definoval oběh pro n=κ, který modeloval metodou konečných prvků [3], [2, s. 87]. V současnosti nejpoužívanějším je oběh s adiabatickými změnami ve válcích a izotermickými změnami v mrtvých objemech motoru. Autory tohoto oběhu jsou Israel Urieli a David Berchowitz [1] (k řešení autoři sestavili soustavu diferenciálních rovnic, které řešili metodou Runge – Kutta). Soustava rovnic je popsána např. [4, s. 23 (strana ve vázané verzi práce)].

Pár slov na závěr

Zde popsaný termodynamický oběh vychází ze středních hodnot mnoha veličin, které jsou ve skutečnosti proměnné (teplotní poměry, index polytropy, který je pro každý objem jiný a pod). Hmotnost pracovního plynu v pracovním objemu motoru není také ve skutečnosti konstantní (střídavý vnik/únik pracovního plynu přes pístní kroužky viz článek 36. Ztráty ve Stirlingovýh motorech). Tyto okolnosti (především poslední zmíněná) podstatným způsobem ovlivňují tvary diagramů s čímž je potřeba počítat.

Odkazy

  1. URIELI, Israel, BERCHOWITZ, David. Stirling Cycle Engine Analysis, 1984. 1. vydání. Bristol: Adam Hilger Ltd., ISBN 978-0996002196.
  2. MARTINI, William. Stirling engine design manual, 2004. Přetisk vydání z roku 1983. Honolulu: University press of the Pacific, ISBN: 1-4102-1604-7.
  3. WALKER, Graham. Dvigateli Stirlinga/Двигатели Стирлинга, 1985. Doplněný Ruský překlad knihy: WALKER, Graham Stirling engine, 1980. Oxford: Oxford University Press.
  4. ŠKORPÍK, Jiří. Příspěvek k návrhu Stirlingova motoru, VUT v Brně, Edice PhD Thesis, 2008, ISBN 978-80-214-3763-0.
  5. ŠKORPÍK, Jiří. A new comparative cycle of a Stirling engine, The 14th International Stirling Engine Conference, in Groningen – Netherlands, 2009, ISBN: 978-88-8326-022-3.
  6. ŠKORPÍK, Jiří. Stirling engine cycle-supplement, The 15th International Stirling Engine Conference, in Dubrovnik–Croatia, 2012, ISBN: 978-88-8326-019-3.

Bibliografická citace článku

ŠKORPÍK, Jiří. Oběh Stirlingova motoru, Transformační technologie, 2009-07, [last updated 2012-01]. Brno: Jiří Škorpík, [on-line] pokračující zdroj, ISSN 1804-8293. Dostupné z http://www.transformacni-technologie.cz/34.html. English version: Stirling engine cycle. Web: http://www.transformacni-technologie.cz/en_34.html.

©Jiří Škorpík, LICENCE
reklama
www.transformacni-technologie.cz