Tento web obsahuje aplikace Google Adsense a Google analytics, které využívají data ze souborů cookie, více informací. Používání této stránky vyjadřujete souhlas s využitím těchto dat. Využívání dat ze souborů cokie lze zakázat v nastavení Vašeho prohlížeče.

35. Energetická bilance oběhu Stirlingova motoru

Autor: Jiří Škorpík twitter, skorpik@fme.vutbr.cz : aktualizováno 2012-04

Energetická bilance oběhu Stirlingova motoru umožňuje přibližně stanovit, pomocí indikátorového diagramu nebo vypočítaného průběhu tlaku ve Stirlingově motoru, teplo přivedené, odvedené, regenerované, vnitřní práci motoru a vnitřní tepelnou účinnost oběhu.

Postup, který je zde uveden je analytický prostřednictvím rovnic odvozených přímo z rovnic prvního zákona termodynamiky. Pomocí odvozených rovnic lze vypočítat základní energetické toky a jejich závislosti na dalších veličinách.

Zjednodušující předpoklady

Tato energetická bilance platí za určitých ''zjednodušujících předpokladů'', které zjednodušují řešení. Vypočítané výsledky se tedy od skutečnosti liší v závislosti na tom, jak jsou skutečné děje vzdálenější od zjednodušujících předpokladů. Těmito zjednodušujícími předpoklady jsou:

(1)  Pracovní plyn je ideální plyn.                                     
(2)  Množství pracovního plynu v pracovním objemu motoru je konstantní. 
(3)  Nedochází k tlakovým ztrátám, tlak pracovního plynu je stejný      
     v celém pracovním objemu.                                          
(4)  Regenerátor je dokonale tepelně izolován.                          
(5)  Je známa závislost změny objemů na pootočení hřídele (respektive   
     času) a změna tlaku na pootočení hřídele p(φ), VT(φ) a VS(φ).      
(6)  Oběh je ustálený.                                                  
1.459 Zjednodušující předpoklady.
p [Pa] tlak pracovního plynu; VT [m3] objem teplé strany motoru; VS [m3] objem studené strany motoru; φ [°] pootočení hřídele motoru.
reklama

Vnitřní práce Stirlingova motoru

Vnitřní práce motoru je dána tlakem a pracovním objemem motoru:

Vnitřní práce Stirlingova motoru.
2.463 Vnitřní práce Stirlingova motoru.
A [J] vnitřní práce motoru; VTV [m3] objem válce na teplé straně; VSV [m3] objem válce na studené straně; AT [J] práce pístu na teplé straně motoru; AS [J] práce pístu na studené straně motoru. Odvození rovnice je uvedeno v Příloze 463.
Vypočítejte vnitřní práci Stirlingova motoru o parametrech uvedených v Úloze 1 [34.].
Úloha 1.467
AT [J] 1382,2113     AS [J] -506,0131     A [J] 876,1982
Úloha 1: souhrn zadání a výsledků.

Energetická bilance

Ve Stirlingově motoru se transformuje teplo na práci. Pro tuto transformaci platí zákonitosti pro tepelný oběh, to znamená, že pouze část tepla přivedená do motoru se transformuje na práci a zbylou část je nutné z motoru odvést. K přívodu a odvodu tepla z motoru je potřeba teplotní gradient mezi pracovním plynem a teplosměnnými plochami motoru. Tento teplotní gradient se během jednoho oběhu mění, protože se mění teplota pravního plynu (viz kapitola 34. Změna teploty pracovního plynu ve Stirlingově motoru). Z toho důvodu probíhá v každé části motoru jak ohřev pracovního plynu tak jeho ochlazování. Přesto, jak lze usuzovat z principu motoru, tepelná bilance teplé strany motoru za jeden oběh bude kladná (teplo je zde pracovnímu plynu přivedeno), studené záporná (teplo je zde pracovnímu plynu odvedeno), tepelná bilance regenerátoru musí být nulová:

Tepelná bilance teplé strany, studené strany a regenerátoru.
3.460 Tepelná bilance teplé strany, studené strany a regenerátoru.
QT [J] tepelná bilance teplé strany motoru za oběh; ΔI [J] teplo spotřebované na změnu entalpie pracovního plynu v motoru za oběh; QS [J] tepelná bilance studené strany motoru za oběh; QR [J] tepelná bilance regenerátoru za oběh. Odvození rovnic je uvedeno v Příloze 460.

Teplo ΔI je do oběhu přivedené na teplé straně pro zvýšení vnitřní tepelné energie pracovního plynu a odvedené na straně studené (výsledná bilance za celý oběh). Toto teplo zatěžuje teplosměnné plochy a snižuje tepelnou účinnost oběhu. Na druhou stranu se jedná o teplo, které vytváří teplotní gradient mezi teplou a studenou stranou motoru i v případě, že mezi teplou a studenou stranou motoru je regenerátor s nízkou kapacitou nebo dokonce chybí. V případě izotermických termodynamických změn na teplé a studené straně motoru (například jak je předpokládá Schmidtova idealizace) je změna entalpie nulová.

Vnitřní práci motoru lze nepřímo měřit například indikací tlaku pracovního plynu v motoru nebo měřením práce na hřídeli (v tomto případě je nutné znát mechanické ztráty). Vnitřní práci lze přibližně vypočítat bez uvažování ztrát postupem uvedeným v článku 34. Oběh Stirlingova motoru nebo s uvažovaním ztrát podle postupu uvedeného v článku 36. Ztráty ve Stirlingových motorech.

Teplo QT a QS je možné určit z měření tepelného toku do/z motoru nebo přibližně vypočítat pomocí odhadu vnitřní tepelné účinnosti:

Vnitřní tepelná účinnost Stirlingova motoru

Vnitřní tepelná účinnost motoru je poměr práce A a tepla do motoru dodaného z vnějšku za jeden oběh QD* respektive je definována jako účinnost tepelného oběhu, protože v motoru se realizuje celý oběh. Za podmínek uvedených v Seznamu 1 lze stanovit vztahy mezi tepelnými toky:

Teplo dodané a odvedené z pracovního plynu za jeden oběh.
4.465 Teplo dodané a odvedené z pracovního plynu za jeden oběh.
QD [J] teplo dodané pracovnímu plynu za jeden oběh z vnějšku motoru (teplo dodanédo motoru); QOD [J] teplo odvedené z pracovního plynu za jeden oběh do okolí motoru (teplo odvedené z motoru ).
*Poznámka
Pracovnímu plynu je dodáváno teplo i z regeneračních ploch motoru především regenerátoru, ale toto teplo se v jiné části vrací zpět do regeneračních ploch motoru a proto se nezapočítává do tepla dodané pracovnímu plynu z vnějšku.

Vnitřní tepelnou účinnost motoru lze odhadnout na základě podobnosti Stirlingových motorů podobné konstrukce:

Přibližný výpočet vnitřní tepelné účinnosti motoru a tepla ΔI.
5.464 Přibližný výpočet vnitřní tepelné účinnosti motoru a tepla ΔI.
ηt [-] vnitřní tepelná účinnost motoru; C [-] Carnotův součinitel pro Stirlingův motor* (C<1); τ [-] teplotní poměr na hranicích regenerátoru; ηcar [-] účinnost Carnotova oběhu pro daný teplotní poměr. Odvození rovnic je uvedeno v Příloze 464.
*Poznámka
Carnotův součinitel se pohybuje v rozmezí 0,65..0,75 výjimečně pro konstrukčně zdařilé motory 0,8 [1, s. 99]. Hodnoty součinitel pochází z měření na několika Stirlingových motorech. Odhad součinitele C záleží i na teplotě pracovního plynu na teplé hranici regenerátoru, čím bude vyšší tím lze očekávat i vyšší součinitel C [1, s. 45].
Odhadněte (stanovte pravděpodobný interval) vnitřní tepelnou účinnost a tepla QT, QS a ΔI Stirlingova motoru o parametrech uvedených v Úloze 1.
Úloha 2.466
C  [-] 0,65...0,75   ΔI [J] 746,03...462,42    QS [J] -1252,05...-968,43
ηt [-] 0,41...0,48   QT [J] 2128,24...1844,63                           
Úloha 2: souhrn zadání a výsledků.
reklama

Regenerované teplo v regenerátoru

Regenerované teplo v regenerátoru je možné vypočítat z průběhu funkce, která popisuje sdělené množství tepla pracovnímu plynu v regenerátoru mezi počátkem oběhu a libovolným bodem oběhu. Regenerované teplo odpovídá rozdílu maximální a minimální hodnoty této funkce:

Regenerované teplo v regenerátoru.
6.469 Regenerované teplo v regenerátoru.
QR,x [J] sdělené množství tepla pracovnímu plynu v regenerátoru mezi počátkem oběhu (index 0) a libovolným bodem oběhu (index x); QReg [J] regenerované teplo v regenerátoru za jeden oběh; κ [-] Poissonova konstanta. Odvození rovnic je uvedeno v Příloze 469. Tyto rovnice byly poprvé zveřejněny v [3], [4], [5].

V případě izotermických dějů na teplé i studené straně motoru nedochází ke změně entalpie pracovního plynu na teplé a studené straně motoru respektive v Rovnice 6 se dosadí IT,x=0; IT,x=0.

Teplo QReg lze analyticky přibližně vypočítat jestliže množství regenerovaného tepla QReg je mnohem více než tepla ΔI:

Vypočítejte přibližné množství regenerovaného tepla v regenerátoru pro případ Stirlingova motoru z Úlohy 2. Stanovte poměr QReg/ΔI (za ΔI použijte vyšší hodnotu uvedenou v Úloze 2).
Úloha 3.470
QReg    [J] 6421,6506    QReg/ΔI [-] 8,6077                       

φ [°] V [cm3]  QR,x [J]                 φ [°] V [cm3]  QR,x [J]   
--------------------------              --------------------------
0       377,1489 0                      190     508,8472 2477,7114
10      365,4078 359,5118               200     519,8974 2005,3991
20      355,8134 818,4803               210     528,337  1577,1375
30      348,5937 1377,206               220     533,859  1193,4843
40      343,9179 2026,5137              232,5   536,3626 773,8312 
52,5    341,8098 2931,351               240     535,4585 551,9241 
60      342,5702 3495,834               250     531,4778 288,1827 
70      345,9296 4228,6122              259,647 524,7618 66,2469  
80      351,8947 4883,2127              270     514,6757 -138,2063
87,0244 357,5704 5264,0468              280     502,4646 -303,3848
100     371,0266 5733,5592              285     495,5851 -373,7416
105     377,1489 5822,4453              300     472,5932 -532,2328
120     398,1411 5777,4868              310     455,9721 -588,8656
130     413,8632 5516,86                320     438,9569 -599,2053
140     430,4707 5117,7967              340     405,8632 -447,5454
150     447,4797 4626,2816              350     390,7495 -265,9646
160     464,3663 4085,5746              360     377,1489 0        
180     495,5851 2989,632                                         
Úloha 3: souhrn zadání a výsledků.
Úloha 3: souhrn zadání a výsledků.
Úloha 3: souhrn zadání a výsledků.
φ [°] pootočení hřídele.

Při řešení poslední úlohy byl zanedbán vliv změny entalpie pracovního plynu na teplé a studené straně motoru respektive tepla ΔI. Ve skutečnosti s klesajícím teplotním poměrem τ se vliv změny entalpie zvyšuje respektive poměr mezi teplem QReg a teplem QD významně klesá a řešení použité v Úloze 3 zvyšuje svou nepřesnost. Tuto skutečnost je nutné brát v úvahu při dimenzování velikosti regenerátoru:

Poměr tepla Q<sub>Reg</sub> ku teplu ΔI v závislosti na teplotním poměru τ. 7.197 Poměr tepla QReg ku teplu ΔI v závislosti na teplotním poměru τ.
Křivka zkonstruovaná z výledků Úlohy 2Úlohy 3.

Entropie pracovního plynu v motoru

Rovnici pro změnu měrné entropie pracovního plynu v motoru vzhledem k počátku jednoho oběhu lze odvodit z rovnice pro První zákon termodynamiky pro uzavřený systém:

Změna měrné entropie pracovního plynu vzhledem k počátku oběhu.
8.474 Změna měrné entropie pracovního plynu vzhledem k počátku oběhu.
Index 0 označuje počátek oběhu a index x libovolným bod oběhu. cv [J·kg-1·K-1] měrná tepelná kapacita pracovního plynu při stálém objemu; r [J·kg-1·K-1] individuální plynová konstanta pracovního plynu; s [J·kg-1·K-1] měrná entropie. Odvození rovnice je uvedeno v Příloze 474. Tato rovnice byla poprvé publikována v [3].

Pomocí poslední rovnice lze sestrojit T-s diagram oběhu, ze kterého lze vyhodnotit případné ztráty viz následující odstavec. U reálných motorů lze ovšem měřit velmi dobře pouze tlak, například jako funkci pootočení hřídele a objem motoru dopočítat pro konkrétní pootočení hřídele. Zjistit střední teplotu pracovního plynu v motoru a nebo hmotnost pracovního plynu v motoru, ze kterého je možné tuto teplotu dopočítat je prakticky neproveditelné. Proto se konstruuje Θ-s diagram*, kde Θ je poměr střední teploty pracovního plynu v motoru k maximu této teploty. Θ-s diagram lze sestrojit pouze z naměřeného průběhu tlaku viz níže.

Θ-s diagram z naměřených dat může ukázat na některé ztráty a nedostatky motoru:

Θ-s diagramy oběhů Stirlingových motorů.
9.471 Θ-s diagramy oběhů Stirlingových motorů.
a ideální Θ-s diagram; b Θ-s diagram motoru s nízkou kapacitou regenerátoru; c Θ-s diagram motoru s velkou netěsností pístních kroužků. Tato rovnice byla poprvé publikována v [6].
Navrhněte Θ-s diagram Stirlingova motoru o parametrech uvedených v Úloze 1 [34.].
Úloha 4.472
cv [J·kg-1·K-1] 3116,168   r  [J·kg-1·K-1] 2077,22 

sx-s0                  sx-s0                  sx-s0              
[J·kg-1·K-1] Θ [-]     [J·kg-1·K-1] Θ [-]     [J·kg-1·K-1] Θ [-] 
0            0,6853    1269,3741    0,9934    712,0368     0,6852
29,309       0,7066    1296,7358    0,9767    634,0198     0,674 
88,6894      0,733     1300,7945    0,9526    546,6878     0,6639
177,8893     0,7647    1285,939     0,9239    459,8105     0,6561
294,1768     0,801     1256,5622    0,8929    415,9258     0,6529
469,1112     0,8507    1168,7142    0,8313    285,7881     0,6463
583,793      0,8813    1115,3026    0,8029    203,8984     0,6447
739,4541     0,9204    1057,5191    0,7769    130,0204     0,6458
888,758      0,9546    995,9703     0,7536    23,1234      0,6575
984,6345     0,974     930,7996     0,7329    -0,9958      0,6691
1132,4227    0,9965    844,0397     0,7105    0            0,6853
1177,3692    1         789,0023     0,6989                       
Úloha 4: souhrn zadání a výsledků.
Úloha 3: souhrn zadání a výsledků. Úloha 3: souhrn zadání a výsledků.
To, že stavu p0, V0 odpovídá minimální entropie pracovního plynu za oběh je zde čistě náhodné.

Množství pracovního plynu v motoru

Množství pracovního plynu lze vypočítat ze stavové rovnice ideálního plynu [2, s. 67] jako součet hmotnosti pracovního plynu v jednotlivých pracovních objemech motoru. Přičemž se vychází ze stavu, ve kterém jsou známé všechny potřebné stavové veličiny pracovního plynu. Jak je uvedeno výše měřit přesně střední teploty pracovního plynu je nesnadný úkol a pro spotřebu plynu postačí přibližný výpočet množství na základě vypočítané změny teploty pracovního plynu v motoru:

Jaká je přibližná hmotnost pracovního plynu ve Stirlingově motoru odpovídající zadání v Úloze 1 [34.]. Vycházejte z výpočtu průběhu teplot uvedené v Úloze 2 [34.].
Úloha 5.885
m  [kg] 5,92337E-3
Úloha 5: souhrn zadání a výsledků.

Odkazy

  1. MARTINI, William. Stirling engine design manual, 2004. Přetisk vydání z roku 1983. Honolulu: University press of the Pacific, ISBN: 1-4102-1604-7.
  2. KALČÍK, Josef, SÝKORA, Karel. Technická termomechanika, 1973. 1. vydání, Praha: Academia.
  3. ŠKORPÍK, Jiří. Příspěvek k návrhu Stirlingova motoru, VUT v Brně, Edice PhD Thesis, 2008, ISBN 978-80-214-3763-0.
  4. ŠKORPÍK, Jiří. An energy balance of the Stirling engine cycle, článek vyšel ve sborníku vědeckých prací Taвpiйcькoгo дepжaвнoгo aгpoтexнoлoгiчнoгo yнiвepcитeтy, 2008, YДК 621.311:631, UDC 621.412:621.5.01.
  5. ŠKORPÍK, Jiří. The Amount of Regenerated Heat Inside the Regenerator of a Stirling Engine, Acta Polytechnica, 2009, roč. 2008, č. 6, s. 10-14. ISSN 1210 – 2709.
  6. ŠKORPÍK, Jiří. Stirling engine cycle-supplement, The 15th International Stirling Engine Conference, in Dubrovnik–Croatia, 2012, ISBN: 978-88-8326-019-3.

Bibliografická citace článku

ŠKORPÍK, Jiří. Energetická bilance oběhu Stirlingova motoru, Transformační technologie, 2009-07, [last updated 2012-04]. Brno: Jiří Škorpík, [on-line] pokračující zdroj, ISSN 1804-8293. Dostupné z http://www.transformacni-technologie.cz/35.html. English version: Energy balance of Stirling engine cycle. Web: http://www.transformacni-technologie.cz/en_35.html.

©Jiří Škorpík, LICENCE
reklama
www.transformacni-technologie.cz