Tento web obsahuje aplikace Google Adsense a Google analytics, které využívají data ze souborů cookie, více informací. Používání této stránky vyjadřujete souhlas s využitím těchto dat. Využívání dat ze souborů cokie lze zakázat v nastavení Vašeho prohlížeče.

38. Vznik tlakové ztráty při proudění tekutiny

Autor: Jiří Škorpík, skorpik@fme.vutbr.cz

Při proudění skutečných tekutin vzniká tření o povrch průtočného kanálu a obtékaných těles i tření uvnitř tekutiny (tzv. vnitřní tření). Třením tekutina ztrácí kinetickou energii a aby protekla kanálem požadovanou rychlostí (průtokem) musí získat kinetickou energii poklesem celkového tlaku na druhé straně kanálu, vzniká tlaková ztráta Δpz. V ideálním případě se třecí teplo vrací zpět do tekutiny a celková entalpie tekutiny se nemění (v případě plynu dochází k izoentalpické expanzi), jedná se tedy o proces, který lze přirovnat z pohledu vlivu na tlak ke škrcení proudu. V tomto článku se zabývám popisem vzniku tlakové ztráty kanálech, o vzniku a vlivu tlakové ztráty vznikající při obtékaní osamocených těles píšu v článku 16. Základy aerodynamiky profilů lopatek a lopatkových mříží.

V technické praxi má smysl se zabývat tlakovou ztrátou při dopravě tekutin například potrubím konstantního průřezu. V případech proudění v kanálech určené pro transformaci tlakové a kinetické energie tekutiny (trysky a difuzory) se používá veličina účinnost transformace energie, která tlakoviou ztrátu již zahrnuje.

Při dopravě tekutin se nemění příliš hustota tekutiny proto se vychází z teoriií pro nestlačitelnou tekutinu především z Bernoulliho rovnice. Při dopravě plynů se může hustota měnit na velmi dlouhých trasách plynovodů nebo prudce například v redukčních ventilech či mezerách ucpávek hřídelů či vřeten ventilů, v takových případech se obvykle řeší výpočet tlakové ztráty po úsecích, na kterých se vychází ze střední hustoty plynu nebo přesněji z rovnic pro tlakovou ztrátu při proudění plynů za přítomnosti tření, které popisuji v kapitolách na konci tohoto článku.

Δpz způsobuje pokles celkové měrné energie tekutiny, což je patrné z rozboru Bernoulliho rovnice. Tato vnitřní ztráta systému energie musí být opět přiváděna do tekutiny pomocí čerpadla, ventilátoru či dmychadla jinak by docházelo ke zpomalování proudění:


1.872 Pokles měrné celkové energie tekutiny způsobený tlakovou ztrátou.
z [J·kg-1] měrné vnitřní ztráty potrubního systému (pokles měrné celkové energie kapaliny/plynu způsobené tlakovou ztrátou); Δpz [Pa] tlaková ztráta na vyšetřované délce kanálu; ρ [kg·m-3] hustota proudící tekutiny. Vztah je platný pro případ nestlačitelného proudění, pro stlačitelné proudění se obvykle vychází z rychlostního součinitele pro rovnotlakový kanál a ztráta se následně odečte nebo vypočítá z i-s diagramu.

Vznik tlakové ztráty je způsoben brzděním částic tekutiny při proudění přičemž lze rozlišit dva základní druhy proudění podle pohybu částic a to laminární a turbulentní. Pro výpočet tlakové ztráty je velmi důležité umět tyto dva druhy proudění rozlišit, protože podle toho se vybírá nejvhodnější vztah pro výpočet.

— 1 —
— 38. Vznik tlakové ztráty při proudění tekutiny —

Laminární proudění – viskozita

Při laminárním proudění vytváří tekutina rovnoběžná proudová vlákna, přičemž tyto vlákna po sobě klouzají. Tekutina ze sousedních proudových vláken se nepromíchává a tlak v řezu kolmý na směr proudění je ve všech vláknech stejný (tekutina směrem k okraji kanálu ztrácí kinetickou energii, tlaková energie zůstává stejná). V důsledku tření tekutiny o stěny kanálu je rychlost tekutiny v proudových vláknech přiléhající ke stěně nulová a v následujících proudových vláknech se zvyšuje tím rychleji čím menší je dynamická viskozita pracovní tekutiny. Oblast "deformovaného" rychlostního profilu proudění u obtékané stěny se nazývá mezní vrstva:


2.655 Rozdíl mezi potenciálním prouděním ideální tekutiny1 a laminárním prouděním reálné tekutiny.
(a) pro ustálené proudění reálné tekutiny je nutný tlakový spád Δpz·l-1; (b) rychlostní profil v případě potenciálního proudění ideální tekutiny; (c) rychlostní profil proudění reálné tekutiny – proudění laminární; (d) k definici dynamické viskozity. p [Pa] tlak; l [m] vyšetřovaná délka kanálu; η [Pa·s] dynamická viskozita2 pracovní tekutiny; c [m·s-1] rychlost proudění tekutiny; c‾ [m·s-1] střední rychlost tekutiny v kanále, c [m·s-1] rychlost tekutiny; y [m] souřadnice kolmá na směr proudění, τ [Pa] tečné napětí mezi proudovými vlákny, které způsobuje třecí síla (tření mezi proudnicemi) Ftr [N] působící na 1 m2 styčné plochy S1; ν [m2·s-1] kinematická viskozita3.
1Ideální tekutina
Ideální tekutina je tekutina, ve které při proudění nevzniká vnitřní tření respektive se jedná o neviskózní tekutinu. Skutečně dokonale ideální tekutina je pouze kapalné Helium při teplotách pod 2 K jedná se o tzv. supratekutost [6, s. 8]. Supratekutost se mimo jiné projevuje tak, že v blízkosti obtékaného povrchu nevytváří mezní vrstvu nebo to umožňuje existenci navzájem protiproudých proudění v jednom kanále [6, s. 50]. V technické praxi se proudění reálné (viskózní) tekutiny nahrazuje prouděním ideální tekutiny v případech, kdy lze vliv vnitřního tření zanedbat tj. především při proudění plynů.
— 2 —
— 38. Vznik tlakové ztráty při proudění tekutiny —
2Dynamická viskozita
Jedná se o poměr mezi tečným napětím a gradientem rychlosti v kolmém směru na proudění (respektive lze konstatovat, že poměry tečné síly působící na jednotku plochy a gradientu rychlosti) je Newton. U většiny tekutin je tato úměra platná (výjimku činí pouze anomální kapaliny). Tekutiny, u kterých lze uplatnit výše uvedenou definici viskozity nazýváme newtonovské tekutiny a naopak u kapalin, u kterých se viskozita mění s rychlostí používáme označení nenewtonovské tekutiny (tekutiny obsahující větší shluky molekul jako koloidní roztoky, suspense, emulze apod. [1, s. 395]). Tekutiny, které mají nenulovou viskozity se nazývají viskozní tekutiny. Znalost viskozity je tedy klíčem k určení tlakové ztráty.
3Kinematická viskozita
Má podobný podobnostní význam jako dynamická viskozita s tím, že představuje poměr mezi energii potřebné k vyvolání vnitřního napětí v 1kg tekutiny a gradientem rychlosti. Pro výpočet tlakové ztráty se s kinematickou viskozitou pracuje více než s dynamickou viskozitou.

Dynamická viskozita tekutin se měří pomocí viskozimetrů, kterých je několik typů [1, s. 406]. Výsledky měření se uvádí do tabulek, které se využívají při výpočtech. Problém získání komplexních dat hodnot viskozity je v tom, že viskozita tekutin závisí na teplotě a tlaku. S rostoucí teplotou dynamická viskozita kapalin klesá a s rostoucím tlakem vzrůstá. Vliv tlaku je u většiny kapalin ale zanedbatelný vyjma velmi vysokých tlaků v řádech megapascalů. Dynamická viskozita plynů s rostoucí teplotou vzrůstá a je nezávislá na tlaku vyjma extrémně nízkých nebo naopak vysokých tlaků [1, s. 446]. Z těchto důvodů se uvádí dynamické viskozity tekutiny pro technické účely pouze v závislosti na teplotě (pro některé případy lze použít pro výpočet změny dynamické vizkozity plynů s teplotou rovnici odvozenou australským fyzikem Williamem Sutherlandem (1859–1911), která je uvedena například v [1, s. 447]).

Hodnoty dynamické a kinematické viskozity různých tekutin jsou uvedeny například v [12], [13], [21], [2], [22].

V technické praxi se velmi často pracuje se směsmi jak plynnými tak kapalnými, které se skládají ze dvou nebo více čistých látek. Viskozita směsi přibližně závysí na molárních koncentracích jednotlivých složek směsi:


3.1025 Přibližná viskozita směsi.
k  počet složek směsi; ηi [Pa·s] dynamická viskozita jednotlivé složky směsi; xi [-] molární koncentrace jednotlivé složky ve směsi; ni [mol·g-1] molární množství jednotlivé složky v 1 g směsi; N [mol·g-1] molární množství 1 g směsi; mi [g·g-1] hmotnost jednotlivé složky v 1 g směsi; Mi [g·mol-1] molární hmotnost jednotlivé složky směsi (jsou uvedeny například v [12] aj).

Nomogram pro určení výsledné viskozity směsi kapalin respektive olejů je uveden v [18, s. 47].

— 3 —
— 38. Vznik tlakové ztráty při proudění tekutiny —

Proudění turbulentní – Reynoldsovo číslo

Při laminárním proudění reálné tekutiny jednotlivé částice nekonají pouze posuvný pohyb v proudových vláknech, ale vlivem tření o pomalejší sousední proudnici dochází k víření. Tyto víry při malých rychlostech nejsou významné a proudění se považuje i tehdy za laminární do jisté kritické střední rychlosti proudění. Při této rychlosti setrvačné síly částic převažují nad třecí silou a proudová vlákna se začnou proplétat, vzniká turbulentní proudění. Při turbulentním proudění nemají částice ve všech místech stálou rychlost, ale průměrně lze definovat jak střední rychlost proudění tekutiny tak střední rychlost v jednotlivých řezech kanálu (rychlostní profil). Turbulentní proudění má vyšší tlakovou ztrátu při stejné střední rychlosti než proudění laminární. Charakter proudění se mění tak významně, že ovlivňuje vzorec pro výpočet tlakové ztráty. Přechod z laminárního proudění do turbulentního je pozvolný a rozhodující pro určení o jaké proudění se jedná je velikost Reynoldsova čísla4 vyšetřovaného proudění.

4Reynoldsovo číslo
Je bezrozměrná intuitivně definovaná veličina. Pomocí Reynoldsova čísla lze porovnávat proudění v kanálech podobných tvarů nebo kolem těles podobných tvarů v závislosti na reprezentativním rozměru kanálu respektive obtékaného tělesa (tzv charakteristický rozměr). Z charakteru proudění reálné tekutiny je zřejmé, že vznikající víry budou narušovat proudová vlákna tím více, čím vyšší bude poměr dynamického tlaku proudící tekutiny (setrvačná síla) ku tečnému napětí (třecí síla) v tekutině:
Reynoldsovo číslo. 4.656 Reynoldsovo číslo.
(a) definice a odvození Reynoldsova čísla [1, s. 404]; (b) porovnání rychlostního profilu laminárního a turbulentního proudění mezi dvěma deskami. 1 rychlostní profil laminárního proudění; 2 rychlostní profil turbulentního proudění. Re [-] Reynoldsovo číslo; pd [Pa] střední dynamický tlak proudu; L charakteristický rozměr5; c‾lam [m·s-1] střední rychlost při laminárním proudění pro daný tlakový spád. c‾turb [m·s-1] střední rychlost při turbulentním proudění pro daný tlakový spád. Jak vidno ze znázornění rychlostního profilu, pro stejný tlakový spád je střední rychlost turbulentního proudění menší než střední rychlost laminárního proudění.
5Charakteristický rozměr
Druhý tvar Reynoldsova čísla vznikne dosazením příslušných vztahů do tvaru prvního a vynecháním číselných bezrozměrných konstant [1, s. 404] (to znamená, že první tvar Re má násobně jinou hodnotu než druhý tvar – veškeré hodnoty Reynoldsova čísla jsou zde dále platná pro druhý tvar). Při úpravě tvaru rovnice pro výpočet Reynoldsova čísla pro konkrétní případ (tvar průtočného kanálu) není problém dosadit za dynamický tlak. V případě dosazení rovnice pro tečné napětí je pro konkrétní proudění potřeba znát střední hodnotu derivace dc/dy, která se udává ve tvaru c‾/L. V tomto případě charakteristický rozměr zohledňuje geometrii průtočného kanálu.
— 4 —
— 38. Vznik tlakové ztráty při proudění tekutiny —

Při opakovaných experimentech proudění v potrubí, kde charakteristickým rozměrem byl průměr potrubí bylo zjištěno, že do Re = 2320 se jedná vždy o laminární proudění (kritické Reynoldsovo číslo ReK, kritická střední rychlost proudění). V rozmezí Re=2320 do Re=50006000 je tzv. přechodová oblast (rychlostní profil je nestabilní). Od Re=6000 (tzv. horní kritické Reynoldsovo číslo) se jedná o proudění turbulentní.

Stanovení střední rychlosti tekutiny v kanále

V ideálním případě se střední rychlost v kanále vypočítá z rychlostního profilu v kanále. Měřit rychlostní profil lze prakticky pouze v laboratoři, a v praxi střední rychlost v kanálech počítá nepřímo a to nejčastěji z průtoku a nebo z kinetické energie proudění (z energetické bilance proudění):


5.228 Výpočet střední rychlosti tekutiny v kanále.
(a) výpočet z rovnice kontinuity; (b) výpočet z kinetické energie proudu. cm [m·s-1] střední rychlost proudění v kanále vypočítaná z rovnice kontinuity; ce [m·s-1] střední rychlost proudění v kanále vypočítaná z kinetické energie proudu; A [m2] průtočný průřez; m [kg·s-1] hmotnostní průtok; ek [J·kg-1] měrná kinetická energie proudu. Odvození pro výpočet střední rychlosti tekutiny v kanále je uvedeno v Příloze 228.

Vypočítané rychlosti podle těchto rovnic se budou navzájem lišit (kromě případu c=konst. viz. případ na Obrázku 2b) [3, s. 77]. Důvod je zřejmý z následujícího příkladu výpočtu střední rychlosti tekutiny protékající mezi dvěma deskami:


6.266 Výpočet střední rychlosti tekutiny protékající mezi dvěma deskami.
(a) rovnice pro výpočet střední rychlosti v kanále z rychlostního profilu; (b) rovnice pro výpočet hmotnostního průtoku mezi dvěma deskami; (c) rovnice pro výpočet měrné kinetické energie tekutiny mezi dvěma deskami. Rovnice byly odvozeny pro konstatní hustotu tekutiny ρ=konst., ale ta se také může měnit především v mezní vrstvě může být jiná než v jádru proudu. Na obrázku je vyznačen případ parabolického rychlostního profilu a průběh měrné kinetické energie tekutiny pro případ cmax=4 m·s-1. Odvození rovnic pro výpočet střední rychlosti tekutiny protékající mezi dvěma deskami je uvedeno v Příloze 266.
— 5 —
— 38. Vznik tlakové ztráty při proudění tekutiny —

Z posledních rovnic je patrné, že výpočet střední rychlosti tekutiny z hmotnostního průtoku je přesné zanedbáme-li vliv změny hustoty v kanále, ale na druhou stranu střední rychlost tekutiny vypočítaná z měrné kinetické energie tekutiny se od skutečné střední rychlosti bude lišit6. To platí i naopak tj. nelze přesně stanovit měrnou kinetickou energii proudu z  střední rychlosti tekutiny v kanále například vztahem c2/2. Tento poznatek je důležitý například při stanovení střední rychlosti v lopatkovém kanále lopatkových strojů, či trysek, kde se střední rychlost obvykle počítá z energetické bilance respektive z měrné kinetické energie proudu vypočtené v i-s diagramu pomocí něhož se určují ztráty při proudění. Nicméně v případě turbuletního proudění jsou tyto rozdíly velmi malé, největší jsou v případě laminárního proudění jak lze vyvodit z Obrázku 4. Proto empirické vztahy pro výpočet různých parametrů proudu, ve kterých se vyskytuje i střední rychlost proudění je uvedeno jaká je myšlena.

6Poznámka k Obrázku 6
Vyšší hodnota střední rychlosti v kanále vypočítaná z kinetické energie proudu je dána tím, že kinetická energie se zvyšuje s druhou mocninou rychlosti a proto je většina kinetické energie soustředěna v jádru proudu, kde je rychlost nejvyšší.

Vznik a vývoj mezní vrstvy

Mezní vrstva vzniká při povrchu obtékaných těles či ploch kanálů. Z toho důvodů na začátku obtékaných těles či počátečních úseků kanálů vzniká nejdříve laminární mezní vrstva, která se šíří směrem od obtékané plochy a tím se postupně mění rychlostní profil. Aby byla zachována kontinuita proudu (střední rychlost proudění) musí se na hranici mezní vrstvy rychlost zvyšovat, protože u profilu je nulová. Zvýšení rychlosti na hranici mezní vrstvy je doprovázeno poklesem statického a nárůstem dynamického tlaku a tím, že tloušťka laminární vrstvy se postupně zvětšuje dosáhnou setrvačné síly takových hodnot, že na okraji mezní vrstvy se začne vyvíjet turbulentní proudění. To se postupně šíří dovnitř i vně původní mezní vrstvy:

Vznik a vývoj mezní vrstvy. 7.792 Vznik a vývoj mezní vrstvy.
MV mezní vrstva; L laminární proudění; LP laminární podvrstva; T turbulentní proudění. c [m·s-1] rychlost proudění v neovlivněné oblasti před deskou nebo kanálem; δ [m] tloušťka mezní vrstvy; x [m] vzdálenost od okraje. Zdroj: [16, s. 8-4].

V případě obtékání osamocených profilů poroste mezní vrstva postupně až vznikne turbulentní proudění, proto u krátkých těles (malý charakteristický rozměr) s plynule se měnícím tvarem (např. lopatkové profily) a malé rychlosti nemusí turbulentní proudění vůbec vzniknout a pokud vznikne může být pod turbulentní mezní vrstvou být tzv. laminární podvrstva. V případě uzavřených kanálů se mezní vrstvy protilehlých stran po určité délce spojí, tak jak roste tloušťka mezní vrstvy, a vývoj se zastaví (ustálená mezní vrstva). V takovém případě hovoříme o plně vyvinuté mezní vrstvě, rychlostním profilu či obecně o plně vyvinutém proudění:

— 6 —
— 38. Vznik tlakové ztráty při proudění tekutiny —
Vznik a vývoj mezní vrstvy v kanále. 8.324 Vznik a vývoj mezní vrstvy v kanále.
(a) proudění v kanále; (b) rovnice pro výpočet délky vstupního úseku pro případ laminárního proudění v potrubí7 (za Re se dosazuje takové, které nastane při plně vyvinuté mezní vrstvě), pro případ turbulentního proudění v potrubí vstupní úsek nezáleží na Re a je dlouhý přibližně 1060 průměrů potrubí [17, s. 66]. xe [m] vstupní úsek (není dokončen vývin mezní vrstvy); E [m] oblast plně vyvinutá mezní vrstvy; d [m] vnitřní průměr potrubí (charakteristický rozměr pro případ kruhového průřezu). Zdroj: [16, s. 8-4], [17, s. 66].
7Poznámka
Hodnotu 0,065 odvodil francouzký fyzik a matematik Joseph Boussinesq (1842-1929), hodnotu 0,025 německý fyzik Ludwig Schiller (1882-1961). Přičemž lze říci ,že vyšší hodnoty jsou vhodné pro kratší úseky a nižší pro delší vstupní úseky [3, s. 194].

Délka úseku, na které začne proudění turbulizovat také záleží na geometrii vstupu, kde se mohou narušovat proudnice o vstupní hrany a také drsnosti povrchu.

Výpočet tloušťky mezní vrstvy

Tloušťku mezní vrstvy je obtížné spočítat, ale lze využít toho, že mezní vrstva snižuje průtok, tekutina v ní ztrácí hybnost a kinetickou energii oproti nevazkému proudění [20, s. 71]. Odtud lze stanovit tři charakteristické tloušťky mezní vrstvy8, 9, 10:

8Pošinovací tloušťka mezní vrstvy
je vrstva, o kterou by se mohl snížit průtočný průřez kanálu při nevazkém proudění, přičemž hmotnostní průtok by byl stejný jako při vazkém proudění původním (větším) průtočným průřezem. Lze ji vypočítat z rozdílu skutečného a teoretického průtoku.
9Impulsní tloušťka mezní vrstvy
je vrstva, o kterou by se mohl snížit průtočný průřez kanálu při nevazkém proudění, přičemž průtok i hybnost by byly stejné jako při vazkém proudění původním (větším) průtočným průřezem. Hybnost – síla, kterou vyvolá proud tekutiny při nárazu do nehybné stěny (m·c). Znamená to, že mezní vrstva přenáší od tření sílu na kanál. Lze ji vypočítat z rozdílu síl, kterou působí tekutina na kanál oproti nevazkému proudění při stejném hmotnostním průtoku.
10Energetická tloušťka mezní vrstvy
je vrstva, o kterou by mohl být zvětšen obtékaný profil lopatky při proudění bez mezní vrstvy, přičemž kinetická energie pracovní tekutiny takto zmenšeným lopatkovým kanálem by byla stejná. Lze ji vypočítat z rozdílu kinetické energie nevazkého proudění a vazkého proudění při stejném průtoku.
— 7 —
— 38. Vznik tlakové ztráty při proudění tekutiny —
Charakteristické tloušťky mezní vrstvy pro případ proudění mezi dvěma deskami.
9.409 Charakteristické tloušťky mezní vrstvy pro případ proudění mezi dvěma deskami.
(a) pošinovací tloušťka mezní vrstvy; (b) impulsní tloušťka mezní vrstvy; c energetická tloušťka mezní vrstvy. h [m] šířka kanálu; Δm [kg·s-1] rozdíl mezi hmotnostním průtokem při nevazkém proudění a vazkém proudění; ΔH [N] rozdíl mezi hybností tekutiny při nevazkém proudění a vazkém proudění při stejném hmotnostním průtoku; ΔEk [J·kg-1] rozdíl kinetické energie nevazkého proudění a vazkého proudění při stejném průtoku. Rovnice jsou odvozeny pro symetrický rychlostní profil. Stejným postupem jako je uvedeno v Příloze 409 lze odvodit charakteristické tloušťky i pro jiné typy kanálů nebo osamocených profilů [20, s. 71].

Tyto charakteristické tloušťky mezní vrstvy se uplatňují v aerodynamice kanálů a to především v aerodynamice lopatkových kanálů. Podle jednotlivých tlouštěk lze porovnávat typy kanálu mezi sebou z pohledu rychlostí, hybnosti a energetických ztrát, protože jsou aplikace, kde je důležitá například co nejmenší ztráta hybnosti a u jiné energetická ztráta a podobně. Například hybnost je důležitá při vyhodnocování citlivosti mezní vrstvy na odtržení profilu v difuzoru.

Výpočítejte charakteristické tloušťky mezní vrstvy, jestliže víte, že rychlostní profil je parabolický. Potřebné rychlosti, šířku, výšku kanálu a hustotu tekutiny si zvolete. Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 413.
Úloha 1.413

Tlaková ztráta v potrubí nejen kruhového průřezu

Zřejmě nejčastějším případem výpočtu tlakového ztráty je jeho výpočet v potrubí kruhového průřezu, ale je nutné také řešit potrubí jiných tvarů a tlakové ztráty v místních odporech (armatury a potrubní tvarovky). Z výše uvedených vztahů pro viskozitu lze snadno odvodit vztah pro výpočet tlakové ztráty pro případ laminárního ustáleného proudění. Tato rovnice se nazývá Darcy-Weisbachova rovnice, kterou sestavil francouzský inženýr Henrym Darcym (1803-1858) pro potrubí. Později na základě dlohodobých experimentů a dedukce tento vztah zobecnil německý inženýr Julius Weisbach (1806-1871) i pro proudění přechodové a turbulentní a dokonce i pro ztrátu v potrubních tvarovkách a ventilech:


10.657 Darcy-Weisbachova rovnice pro výpočet tlakové ztráty.
c [m·s-1] střední rychlost proudění (od nadtržítka nad c se upouští i v následujícím textu); ζ [-] ztrátový součinitel prvku (definovaný Weisbachem [3, s. 82]).
— 8 —
— 38. Vznik tlakové ztráty při proudění tekutiny —

Z Darcy-Weisbachovy rovnice tedy plyne, že tlaková ztráta je vztažena jako určitý podíl z dynamického tlaku, který určuje ztrátový součinitel. Pokud se hustota například na uvažované délce potrubí mění, tak se vychází se střední hodnoty hustot mezi vstupem a výstupem. U velkých změn hustoty lze rozdělit potrubí na úseku, ve kterých se hustota významně nemění [14, s. 71]. Jako porovnávací dynamický tlak se bere dynamický tlak (rychlost) na vstupu do počítaného prvku, ke kterému bývá vztažen i ztrátový součinitel. Ztrátový součinitel se stanovuje nejlépe měřením, ale existují i přibližné analytické vztahy pro jeho výpočet. Protože ztrátový součinitel je funkcí tvaru a velikosti kanálu a Reynoldsova čísla uvádí výrobce daného potrubního prvku někdy několik hodnot ztrátového součinitele (podle druhu pracovní látky, teploty, tlaku a objemového průtoku).

Určení ztrátového součinitele potrubí

Pro kanály stálého průřezu respektive potrubí lze ztrátový součinitel docela dobře vypočítat. K výpočtu se používají poloempirické vztahy získané na základě dlouhodobého měření a pozorování proudění v potrubích. Rovnic pro výpočet ztrátového součinitele v potrubí je několik a zvlášť jsou vztahy pro laminární proudění a zvlášť pro turbulentní, také záleží na drsnosti a tvaru potrubí. Pro potrubí kruhového průřezu lze použít tyto rovnice:


11.855 Rovnice pro výpočet ztrátového součinitele potrubí.
(a) vztah používaný pro případ laminárního proudění (tuto rovnici odvodil německým inženýr Gotthilf Hagen (1797-1884) a francouským fyzik Jean Poiseuille (1797–1869)11; (b) Colebrookova rovnice používána pro případ proudění přechodového a turbulentního (polemepirický vztah sestavený britským fyzikem Cyrilem Colebrookem (1910-1997) [15, s. 150]). λ [-] součinitel tření v potrubí (tento součinitel lze považovat za konstantní pouze na úsecích s plně vyvinutou mezní vrstvou); k [m] absolutní drsnost vnitřních stěn potrubí (hodnoty například v viz. [14]); ε [-] relativní drsnost potrubí viz. také Nomogram pro výpočet relativní drsnosti trubky v [23, 38.1032]. Odvození rovnice (a) tedy rovnice ztrátového součinitele pro laminární proudění potrubím je uvedeno v Příloze 855.
11Poznámka
Uvedené rovnice lze použít v praxi i obráceně. Z naměřené tlakové ztráty potrubí, ve kterém je laminární proudění, lze určit střední rychlost proudění a tedy průtok v tomto potrubí. Vzorec pro střední rychlost lze separovat z  Darcy-Weisbachovy rovnice poté, co se do ní dosadí ztrátový součinitel pro laminární proudění Rovnice 11. Výsledný vzorec se nazývá Poiseuilleův zákon [25, s. 36].

Německý inženýr původem z Gruzie Johanna Nikuradseho (1894-1979) potrvdil experimentálně platnost Hagen-Poiseuilleho rovnice (mimo velmi krátkých úseků) a velké odlišnosti při proudění turbulentním. Rovnice Colebrookova vychází z experimentálních dat shromážděných z velkého množství měření.

— 9 —
— 38. Vznik tlakové ztráty při proudění tekutiny —

Kombinací Hagen-Poiseuilleho rovnice a rovnice Colebrookovy lze vytvořit tzv. Moodyho diagram pro určení součinitele tření v potrubí, ve kterém je patrno několik oblastí. Tento diagram přináší projektantům potrubí rychlý přehled o charakteru proudění v navrhovaném potrubí a navíc i rychlý odečet součinitele tření v potrubí. Diagram se jmenuje po americkém inženýrovi Lewisu Moodym (1880-1954):

Moodyho diagram pro odhad součinitele tření v potrubí. 12.658 Moodyho diagram pro odhad součinitele tření v potrubí.
(a) součinitel tření při laminárním proudění; (b) součinitel tření pro konkrétní hodnotu relativní drsnosti; (c) součinitel tření pro dokonale hladké potrubí (ε→0). (1) oblast Reynoldsových čísel pro laminární proudění; 2 oblast Reynoldsových čísel pro přechodové proudění. ReM křivka mezních Reynoldsových čísel12. Graf v měřítku je uveden např. v [2, s. 684], [4, s. 230] nebo on-line v [5]. Nomogram pro výpočet Reynoldsova čísla v potrubí a součinitele tření v potrubí je uveden v [23, 38.1038].
12Mezní Reynoldsovo číslo ReM
Je to taková hodnota Reynoldsova čísla při dané relativní drsnosti potrubí, od které zůstává při zvyšování Reynoldsova čísla hodnota součinitele tření přibližně konstantní. To je způsobeno potlačením turbulencí u stěny potrubí, kde vzniká laminární vrstva [2, s. 108]. Pokud je tloušťka této laminární vrstvy větší než drsnost chová se potrubí jako hydraulicky hladké a součinitel tření lze odečíst z křivky c pro dokonale hladké potrubí. Pokud je tloušťka této laminární vrstvy menší než drsnost nejprve s rostoucím Re se součinitel tření snižuje až po mezní Reynoldsovo číslo, kde už je turbulence způsobená drsnosti povrchu tak velká, že už na Re nezávisí.

Dalším parametrem ovlivňující tlakovou ztrátu je rychlost proudění, respektive dynamický tlak pracovní tekutiny. Ten by měl být takový, aby tlaková ztráta byla přijatelná v rámci technologie, ve které je potrubí instalováno (svou roli hraje energetická hustota a dispoziční možnosti a pod.) a také náklady na pořízení potrubí včetně montáže a údržby a náklady na čerpací nebo kompresní práci, odtud vyplývají hodnoty obvyklých a hospodárných rychlostí v potrubím pro různé pracovní látky:

olej                                     1 až 2      m·s-1
voda                                     1 až 4      m·s-1
pára topná o nízkém tlaku                10 až 15    m·s-1
pára sytá do 1 MPa                       15 až 20    m·s-1
pára přehřátá do 4 MPa                   20 až 40    m·s-1
pára přehřátá o vysokém tlaku            30 až 60-80 m·s-1
výfuková pára (po expanzi ve stroji)     15 až 30    m·s-1
vzduch (stlačený)                        2 až 15     m·s-1
13.659 Hodnoty obvyklých a hospodárných rychlostí v potrubím pro různé pracovní látky
Podrobněji v [14, s. 141].
— 10 —
— 38. Vznik tlakové ztráty při proudění tekutiny —

Z navržené rychlosti proudění hustoty a požadovaného měrného průtoku se vypočítá průměr potrubí viz. také nomogram v [23, 38.1039]. Vypočítaný průměr potrubí je nutné zaokrouhlit podle vyráběných průměrů trubek odpovídající tlaku a teplotě, při které bude potrubí provozováno.

Při prvtoních návrzích potrubní trasy využívají projektanti veličina měrná tlaková ztráta v potrubí označována πz. Měrná tlaková ztráta odpovídá tlakové ztrátě v potrubí o délce 1 m, při plně vyvinuté mezní vrstvě pro předpokládaný součinitel tření, viz. také Nomogram pro stanovení měrné tlakové ztráty v potrubí [23, 38.1041].

Není třeba hluboký rozbor Darcy-Weisbachovy rovnice, aby bylo zřejmé, že pro co nejnižšší tlakovou ztrátu je výhodné stejné množství plynu dopravovat při vyšších tlacích respektive hustotách než při nízkých tlacích, ale vysokých rychlostech. Proto tlaky zemního plynu v tranzitních plynovodech jsou kolem 7 MPa a jeho tlak se redukuje až těsně před spotřebiči.

Ztrátový součinitel potrubí nekruhového průřezu

Při výpočtu tlakové ztráty v potrubí nekruhového průřezu se postupuje stejným způsobem jako při výpočtu tlakové ztráty v kanále kruhového průřezu. Pouze při výpočtech je nutné dosadit místo vnitřního průměru potrubí charakteristický rozměr zvaný ekvivalentní průměr odvození např. [1, s. 400], [2, s. 102]:


14.660 Ekvivalentní průměr – charakteristický rozměr kanálu nekruhového průřezu.
dekv [m] ekvivalentní průměr; A [m2] průtočná plocha; u [m] omočený obvod (obvod průtočného průřezu, který je ve styku s proudící tekutinou).

Tlaková ztráta v místních odporech

Potrubní trasa (potrubní síť) nebývá přímočará a může být tvořena dalšími potrubními prvky (odbočky různých tvarů, oblouky, zúžení), armaturami, filtry, měřidly a dalšími průtočnými částmi. V těchto částech potrubních tras vzniká tlaková ztráta podobně jako v přímém potrubí. Tyto tlakové ztráty bývají mnohem intenzivnější než na rovném úseku potrubí vzhledem k tomu, že při průtoku těmito částmi dochází i ke změně tvaru průtočného kanálu, směru proudění a často i ke škrcení [6]. Z pohledu tlakové ztráty se tyto prvky nazývají místní odpory:

— 11 —
— 38. Vznik tlakové ztráty při proudění tekutiny —
Příklad potrubní trasy s vyznačením místních odporů. 15.93 Příklad potrubní trasy s vyznačením místních odporů.
a šoupátko; b uzavírací ventil13 (obecně má vyšší tlakovou ztrátu než šoupátko); c odbočka (T-kus); d plynulé zúžení; e oblouk (koleno). Tlaková ztráta místního odporu se vypočítá stejně jako tlaková ztráta rovného úseku potrubí Rovnice 10 Při výpočtu tlakové ztráty vznikající v daném prvku se vychází ze střední rychlosti proudu před prvkem (armaturou) a ze ztrátového součinitele příslušného prvku.
13Poznámka
Uzavírací ventily jsou na rozdíl od redukčních nebo regulačních ventilů [6] určeny pouze k úplnému otevření nebo uzavření kanálu. Pokud zůstanou pootevřeny hrozí poškození jejich dosedacích ploch.

U jednoduchých potrubních prvků lze jejich ztrátový součinitel ζ i vypočítat [3, s. 85], častěji se ale vychází z měření daného prvku při obvyklém provozním proudění, protože ztrátový součinitel se mění s Reynoldsovým číslem. Pro některé tvary není vliv Reynoldsova čísla významný a lze použít tabelizované hodnoty, především pro armatury a potrubní tvarovky např. v  [2, s. 672], [7, s. 252], [8, s. 737]. Příslušný ztrátový součinitel poskytuje výrobce daného potrubního prvku. Za speciální případ místního odporu, lze považovat i vstupy a výstupy z trubky. Na okrajích je totiž proudění většinou neustálené a ovlivněné tvarem začátku či konce potrubí. Ztrátové součinitele pro různé typy okrajů potrubí jsou uvedeny v [10, s. 268].

V případě armatur obvykle výrobce dodává grafy závislosti její tlakové ztráty na průtoku (podle druhu protékajícího média). Pokud je znám jmenovitý průtokový součinitel armatury KVS lze ztrátu v závislosti na průtoku vypočítat z uvedené definice. Popřípadě je možné odvodit ze zmíněné definice přímo ztrátový součinitel:


16.661 Výpočet ztrátového součinitele armatury.
d [mm] vnitřní průměr vstupu a výstupu armatury; KVS [m3·h-1] jmenovitý průtokový součinitel armatury.
Vztah je odvozen pro průtok vody v [4, s. 236]. Jmenovitý průtokový součinitel se měří na úseku 2·D před armaturou a 8·D za armaturou, proto takto vypočítaný ztrátový součinitel zahrnuje i tuto délku potrubí. Takže skutečný ztrátový součinitel armatury je nižší o ztrátový součinitel odpovídající 10·D hladkého potrubí.

Orientační hodnoty ztrátových součinitelů některých armatur jsou uvedeny v [4, s. 231, 232].

— 12 —
— 38. Vznik tlakové ztráty při proudění tekutiny —

Při výběru nejvhodnější uzavírací armatury se nejdříve stanoví povolená tlaková ztráta Δpz při objemovém průtoku Q a hustotě proudícího média ρ1. Vypočítá se jmenovitý průtokový součinitel KVS. Dále se z katalogu armatur příslušného výrobce vybere armatura s nejbližším vyšším KVS.

Existují i jiné typy součinitelů, zpravidla odvozené od tlakové ztráty armatury. Záleží na výrobci jakou metodiku porovnávání armatur používá. Příslušné vztahy potom uvádí ve svém katalogu armatur popřípadě uvede přímo diagram závislosti tlakové ztrátě na průtoku armaturou. Pro rychlý přibližný výpočet tlakové ztráty lze použít veličinu zvanou ekvivalentní délka potrubí. Tato veličiny udává délku hladkého potrubí o stejném průměru jako je příruba ventilu či potrubní tvarovky se stejnou tlakovou ztrátou jako místní odpor. Ekvivalentní délky potrubí některých armatur a potrubních tvarovek jsou uvedeny v [24], [13]. Výhodou je, že potom stačí jednotlivé délky sečíst a pro výpočet celkové ztráty potrubního systému použít vztah pro výpočet tlakové ztráty v hladkém potrubí.

Charakteristika potrubního systému

Charakteristika potrubního systému je závislost tlakové ztráty v potrubní trase a ve všech místních odporech, které jsou v této trase vloženy. Z rovnice pro výpočet tlakové ztráty je zřejmé, že při ρ=konst. se bude tlaková ztráta měnit pouze se střední rychlostí proudění respektive s  průtokem:


17.662 Charakteristika potrubního systému.
n počet jednotlivých úseků kanálu (každý úsek má po celé délce konstantní průřez); k počet místních odporů; Δpkanal tlaková ztráta při proudění kanálem; Δpm.od tlaková ztráta místních odporů; K [kg·m-7] konstanta potrubního systému14; V [m3·s-1] objemový průtok. Δpz,j tlaková ztráta při jmenovitém průtoku systémem Vj. Uvedená rovnice platí i pro potrubí nekruhového průřezu.
14Konstanta potrubního systému
Používá se i název měrný hydraulický odpor potrubí či systému. Protože součinitel tření λ je funkcí Reynoldsova čísla, které je funkcí rychlosti proudění respektive průtoku musí se s průtokem měnit i K. Tato změna není ovšem příliš velká pokud nás zajímá tlaková ztráta v oblasti jmenovitého průtoku, lze pracovat s veličinou K jako s konstantou vypočítanou právě pro jmenovitý průtok. Pro výpočty ve větším rozsahu průtoků lze použít korekci a to tím, že objemový průtok není umocněn 2, ale jiným exponentem, více v [11, s. 25].
— 13 —
— 38. Vznik tlakové ztráty při proudění tekutiny —
Určete charakteristiku potrubního systému na výtlaku kondenzátního čerpadla zobrazené na obrázku (kondenzát je čerpán z pomocné nádrže kondenzátu PNK1 do napájecí nádrže přes ohřívák kondenzátu OH1). Na trasu je napojena paralelní potrubní systém se záložním hydrodynamickým čerpadlem (šedá barva). Teplota čerpané vody je 60 °C a za ohřívákem OH1 105 °C. Průtok čerpadlem je 2,4 m3·h-1. průtokový součinitel kulového kohoutu 001 je 48,5 m3·h-1. Zpětný ventil má tlakovou ztrátu 5 kPa. Minimální tlaková ztráta vyvažovací armatury je 750 Pa. Tlaková ztráta vodoměru je 18 kPa. Tlaková ztráta ohříváku OH1je 12 kPa. Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 663.
Úloha 2.663

Potrubní systém z Úlohy 2 znázorněný schématicky a prostorově.
PNK1 pomocná nádrž kondenzátu č. 1; OH1 ohřívák č. 1; VD1 vodoměr č. 1. Značení odpovídá [9, s. 178].

Vznik tlakové ztráty při adiabatickém proudění plynů

Při adiabatickém proudění celková entalpie plynu zůstává konstantní a rovna celkové entalpii na vstupu do kanálu, ale bude se zvyšovat entropie v důsledku vnitřního tření. Z rovnice kontinuity, energetické bilance a zachování hybnosti lze pro předpoklad konstantní měrné tepelné kapacity plynu odvodit pro takové proudění tyto obecné rovnice:


18.1060 Obecné rovnice adiabatického proudění plynu za přítomnosti tření.
c*i [m·s-1] kritická rychlost pro případ izoentropického proudění15; κ [-] Poissonova konstanta; A [m2] průtočný průřez kanálu; c [m·s-1] rychlost plynu ve vyšetřovaném místě kanálu (tato rychlost odpovídá rychlosti při izoentropické expanzi z celkového tlaku pc do tlaku statického p a vypočítá se z Saint Vénantova-Wantzelova rovnice). Jestliže otvor není kruhový použije se místo D ekvivalentní průměr Dekv jako při nestlačitelném proudění. Odvození v [19, s. 209].
— 14 —
— 38. Vznik tlakové ztráty při proudění tekutiny —
15Poznámka
Součinitel tření λ je zde předpokládán jako konstanta po celé délce kanálu, ale ve skutečnosti je více či méně závislý na Re a Machovu číslu Ma ve vyšetřovaném místě kanálu. Záleží tedy jak moc se mění průtočný průřez kanálu a Machovo číslo. Experimentální ověření změn součinitele tření při stlačitelné proudění a platnosti Rovnic 18 je provedeno v [17, s. 217].

Rovnice 18 popisují proudění plynů za přítomnosti tření ve všech druzích kanálů to znamená v tryskáchdifuzorech. Současně ke stanovení tlakové ztráty v tryskách a difuzorech lze použít jejich predikované účinnosti stanovené na základě podobnosti s podobnými tryskami a difuzory, u kterých byla účinnost měřena.

Proudění plynu v kanálu konstantního průřezu za přítomnosti tření

Jedná se o proudění plynu obvykle ve velmi malých mezerách (například mezi hřídelí a skříní stroje apod.). V těchto případech je požadavkem, aby tlaková ztráta odpovídala rozdílu tlaku před a za ucpávkou při co nejmenším úniku plynu ze stroje. Prakticky veškeré tvary bezdotykových ucpávek se dají přirovnat k hladké ucpávce s konstantním průtočným průřezem a konkrétním součinitele tření:


19.1061 Rovnice pro výpočet tlakové ztráty při proudění plynu kanálem s konstantním průřezem.
(a) rychlostní rovnice; (b) rovnice pro tlakovou ztrátu; (c) rovnice kontinuity. Rovnice (a) a (b) jsou odvozeny z Rovnice 18 pro dA=0, ostatní předpoklady odvození jsou totožné. Rovnice (b) vychází z rovnice kontinuity, kde G=konst. Je nutné zdůraznit, že velikost kanálu musí být v řádech mnohem větších než jsou velikosti molekul plynu, jinak nelze vycházet z termodynamiky plynů, které jsou odvozeny pro velké objemy a nikoliv pro jednotlivé molekuly.

rovnice (a) a (b) jednoznačně vyplývá, že při podzvukovém rychlosti na vstupu ci tlak v mezeře klesá a rychlost se zvyšuje, při nadzvukové rychlosti na vstupu ci bude tlak růst a rychlost klesat16. Nastavení stavu na konci kanálu ce=c*i (M=1) je fyzikálně nereálné. Pro technickou praxi (respektive pro případy ucpávek) je reálný pouze podzvukový vstup do kanálu. V takovém případě je očividné, že při poměru blízkém (M=1) na konci kanálu bude rychlost nestabilní, ale nikdy nepřekročí rychlost kritickou (plyn může expandovat až za kanálem).

16Poznámka
Ve skutečnosti se bude pro případ vstupní nadzvukové rychlosti měnit rychlost a tlak skokově za tvorby rázových vln.
— 15 —
— 38. Vznik tlakové ztráty při proudění tekutiny —

Za pomocí Rovnice 18 a 19 lze zkonstruovat křivku změny stavových veličin při průtoku plynu kanálem konstantního průřezu v i-s diagramu. Na následujícím obrázku je takový i-s diagram uveden pro kanál délky L a tři případy velikosti součinitele tření λ (λ123 )17:


20.1059 Proudění plynu v kanálu konstantního průřezu za přítomnosti tření.
i [J·kg-1] měrná entalpie; s [J·kg-1·K-1] měrná entropie; ic [J·kg-1] měrná celková entalpie plynu; i* [J·kg-1] měrná kritická entalpie; pok [Pa] tlak okolí na výstupu z kanálu. Index i označuje počáteční stav plynu, index e konečný stav plynu (na konci úseku/sledovaného děje). Dolní index c označuje celkový stav plynu. Při maximálním součiniteli tření λ1 nedosáhne proudění na výstupu z kanálu kritické rychlosti, λ2 je takový, aby proudění na výstupu dosáhlo právě kritické rychlosti. Součinitel λ3 je menší jak λ2 a přesto proudění dosáhne na výstupu také jen kritické rychlosti18. Z Rovnice 19c je očividné, že bude také platit pro průtok kanálem v jednotlivých případech: m1<m2<m3 respektive nejvyššího průtoku by bylo dosaženo při proudění bez tření.
17Poznámka
Stejný vliv jako zvyšování součinitele tření má i prodlužování kanálu.
18Fannova křivka
Křivky 1, 2, 3Obrázku 20 se nazývají Fannovy křivky (Fanno lines).

Výpočet Fannovy křivky se provádí iteračně s tím, že hmotnostní průtok se v prvním kroku musí odhadnout (celkový stav na vstupu a výstupu společně se součinitelem třením musí být zadán zadán). Hodnota průtoku se v dalších krocích podle potřeby mění dokud stav pracovního plynu na konci Fannovy křivky neodpovídá požadovanému.

Zde bych rád zdůraznil skutečnost, že dosáhne-li rychlost na konci ucpávky kritické rychlosti neznamená to, že průtok ucpávkou už dále nelze snižovat. Je tomu právě naopak, je třeba prodloužit ucpávku nebo v případě labyrintové ucpávky přidat další komůrky labyrintu pro ještě větší snížení průtoku tím, že se zvýší součinitel tření λ. Maximálního průtoku by totiž bylo dosaženo při izoentropickém proudění, při kterém samozřejmě také dojde ke kritickému proudění viz. kritický průtok v trysce.

— 16 —
— 38. Vznik tlakové ztráty při proudění tekutiny —

O nadzvukových rychlostech a tlakových ztrátách, ke kterým dochází v důsledků vzniku rázových vln pojednává článek 39. Efekty při proudění vysokými rychlostmi.

Odkazy

  1. HORÁK, Zdeněk. KRUPKA, František, ŠINDELÁŘ, Václav. Technická fysika, 1961. 3. vydání. Praha: SNTL.
  2. CIHELKA, Jaromír, BRANDA, Jaroslav, CIKHART, Jiří, ČERMÁK, Jan, CHYSKÝ, Jaroslav, PITTER, Jaroslav, VALÁŠEK, Jiří. Vytápění a větrání, 1975. 2. vydání, upravené. Praha: SNTL.
  3. MAŠTOVSKÝ, Otakar. Hydromechanika, 1964. 2. vydání. Praha: Statní nakladatelství technické literatury.
  4. ROČEK, Jaroslav. Průmyslové armatury, 2002. 1. vydání. Praha: INFORMATORIUM, ISBN 80-7333-000-8.
  5. Autor neuveden, Moody chart, Wikipedia, the free encyclopedia, 2010. [on-line]. Dostupný z http://en.wikipedia.org/wiki/Moody_diagram.
  6. KAPICA, Pjotr. Experiment, teorie, praxe, 1982. 1. vydání. Praha: Mladá fronta. Překlad z ruského originálu Эксперимент. Теория. Практика, 1977.
  7. MILLER, Rudolf, HOCHRAINER, A., LÖHNER, K., PETERMANN, H. Energietechnik und Kraftmaschinen, 1972. Hamburg: Rowohlt taschenbuch verlag GmbH, ISBN 3-499-19042-7.
  8. ŘASA, Jaroslav, ŠVERCL, Josef. Strojnické tabulky, 2004. 1 díl, jednotky, matematika, mechanika, technické kreslení, strojní součásti. 1. vydání. Praha: Scientia, spol. s.r.o. ISBN 80-7183-312-6.
  9. KRBEK, Jaroslav, POLESNÝ, Bohumil, FIEDLER, Jan. Strojní zařízení tepelných centrál-Návrh a výpočet, 1999. 1. vydání. Brno: PC-DIR Real, s.r.o., ISBN 80-214-1334-4.
  10. IBLER, Zbyněk, KARTÁK, Jan, MERTLOVÁ, Jiřina, IBLER, Zbyněk ml. Technický průvodce energetika-1. díl, 2002. 1. vydání. Praha: BEN-technická literatura, ISBN 80-7300-026-1.
  11. BAŠTA, Jiří. Hydraulika otopných soustav, 2003. Vydání první. Praha: Vydavatelství ČVUT. ISBN 80-01-02808-9.
  12. VOHLÍDAL, Jiří. JULÁK, Alois. ŠTULÍK, Karel. Chemické analytické tabulky, 1999. První vydání, dotisk 2010. Praha: Grada, ISBN 978-80-7169-855-5.
  13. FRAAS, Arthur. Heat exchanger design, 1989. Second edition. John Wiley&Sons, Inc. ISBN 0-471-62868-9.
— 17 —
— 38. Vznik tlakové ztráty při proudění tekutiny —
  1. MIKULA, Julius, KOČKA, Jaroslav. ŠKRAMLÍK, Emanuel. ŠTAUBER, Zdeněk. VESELÝ Adolf. OBR, Jan. Potrubí a armatury, 1974. 2., přeprac. vyd. Praha: Státní nakladatelství technické literatury, 1974, 585 s.
  2. MÍKA, Vladimír. Základy chemického inženýrství, 1977. Vydání první. Praha: Statní nakladatelství technické literatury.
  3. JAPIKSE, David, BAINES, Nicholas, Introduction to turbomachinery, Oxford University Press, Original edition 1994, Reprint with problems 1997, ISBN 0-933283-10-5.
  4. JÍCHA, Miroslav. Přenos tepla a látky, 2001. Brno: Vysoké učení technické v Brně, ISBN 80-214-2029-4.
  5. ŠAFR, Emil. Technika mazání, 1970. 2. vydání. Praha: SNTL. 384 stran.
  6. DEJČ, Michail. Technická dynamika plynů, 1967. Vydání první. Praha: SNTL.
  7. KADRNOŽKA, Jaroslav. Lopatkové stroje, 2003. 1. vydání, upravené. Brno: Akademické nakladatelství CERM, s.r.o., ISBN 80-7204-297-1.
  8. RAŽNJEVIĆ, Kuzman. Termodynamické tabuľky, 1984. 1. vyd. Bratislava: Alfa, 2 sv. Edícia energetickej literatúry (Alfa).
  9. POLESNÝ, Bohumil a kol. Termodynamická data pro výpočet tepelných a jaderných energetických zařízení, 1990. Brno: Vysoké učení technické v Československé redakci VN MON, ISBN 80-214-0160-5.
  10. ŠKORPÍK, Jiří. Nomogramy, 2017. 1. vydání. Brno: vlastním nákladem Jiří Škorpík. Dostupné z http://www.transformacni-technologie.cz/nomogramy.pdf.
  11. IZARD, Julien. Příručka technické fyziky, 1961. Praha: Státní nakladatelství technické literatury.
  12. ĎAĎO, Stanislav, Ludvík BEJČEK a Antonín PLATIL. Měření průtoku a výšky hladiny. Praha: BEN - technická literatura, 2005. Senzory neelektrických veličin. ISBN 9788073001568.

Bibliografická citace článku

ŠKORPÍK, Jiří. Vznik tlakové ztráty při proudění tekutiny, Transformační technologie, 2010-12, [last updated 2016-01-31]. Brno: Jiří Škorpík, [on-line] pokračující zdroj, ISSN 1804-8293. Dostupné z http://www.transformacni-technologie.cz/38.html.

©Jiří Škorpík, LICENCE
— 18 —

Přílohy

Přílohy jsou uvedeny v e-knize:

38. Vznik tlakové ztráty při proudění tekutiny. 38. Vznik tlakové ztráty při proudění tekutiny
18 stran textu + 7 stran příloh.

Náhledy: Titulní strana, Příloha 266.
Formát: PDF, velikost A4.

Poslední aktualizace souboru: 2017-10-31


Cena: 35 Kč

Koupit

Soubor všech e-knih tématu Proudění lze koupit s množstevní slevou zde.