Tento web obsahuje aplikace Google Adsense a Google analytics, které využívají data ze souborů cookie, více informací. Používání této stránky vyjadřujete souhlas s využitím těchto dat. Využívání dat ze souborů cokie lze zakázat v nastavení Vašeho prohlížeče.

42. Technická matematika

Autor: Jiří Škorpík, skorpik@fme.vutbr.cz

Použitím názvu Technická matematika nechci matematiku rozdělovat na technickou a netechnickou, ale pouze chci vyjádřit způsob a hloubku výkladu matematiky jaký je pro techniky běžný. V užším smyslu lze za technickou matematiku považovat frekventované matematické postupy v daném technickém oboru. Jejím hlavním znakem bývá, že úlohy v prostoru mají tři rozměry a při nestacionárních úlohách je čtvrtým rozměrem čas.

Pro techniky je také typické, že hledají pomocí matematiky prakticky použitelný výsledek. A co je ten prakticky použitelný výsledek? Samotná matematika dokáže pouze převádět zadání do jiné podoby. Například výsledek řešení rovnice 3x+1=7, což je x=2, vlastně neobsahuje žádnou informaci navíc. Na počátku byla rovnice o jedné neznámé a na konci opět rovnice o jedné neznámé akorát je v použitelnější podobě [17, s. 21], [24, s. 42]. V širších souvislostech na technikovi není pouze nalézt použitelný výsledek, ale často i samotné zadání, protože to prakticky nikdy nedostane úplné. Úplné zadání si musí vytvořit sám, pomocí svých zkušeností založené na využití podobnosti, znalostí a přemýšlení bez kterého to opravdu nejde.

V technické matematice často také nejde o dokonale přesné výsledky, ale postačují alespoň výsledky přibližné, které umožňují realizaci konkrétního díla a přibližnou predikci jeho vlastností.

V tomto článku chci také ukázat možnosti přímé aplikace matematiky aplikací při řešení konkrétních technických problémů, naopak mnohé matemmatické formulace odvozuji na základě potřeby vyřešit nějaký konkerétní technický či jiný fyzikální problém. Možná po přečtení budete překvapení jaké problémy lze vyřešit jen tím, že si uvědomíte některé souvislosti mezi technickými problémy a matematikou. Snad se dokonce probudí ve vás nadšení z toho, že pomocí vědomostí, tužky a papíru lze mnohdy postupovat i efiktivněji než s počítačem.

Jako učebnice matematiky, které obsahují i úlohy z technické praxe, doporučuji knihy Matematika pro dělníky a mistry [13] a Přehled technické matematiky [8] a pro ucelený přehled matematiky knihu Přehled užité matematiky [1].

Tento článek není o matematice od A po Z předpokládá, že čtenář má za sebou základní matematický dril z aritmetiky a algebry tj. v rozsahu základní školy přibližně jaký nabízí kniha Matematika: přehled učiva pro základní školy [34].

— 1 —
— 42. Technická matematika —

Jak lze počítáním objevit nová čísla

Pouze pomocí znalostí toho co jednotlivá čísla vyjadřují lze správně interpretovat výsledky. Základním stavebním kamenem čísel jsou přirozená čísla jako 1, 2, 3, 4..., které mají přímou souvislost s fyzickým světem při označovaní množství (tři jablka, sedm dnů...). Až používáním matematických operacích (sčítání, odčítání, násobení, dělení) s přirozenými čísly byla objevena čísla další, nejprve jako mezivýsledky a později našla uplatnění i jako konečné výsledky.

Přímou souvislost s fyzickým světem mají i čísla racionální. Jedná se o čísla vzniklá podílem dvou přirozených čísel (například polovina jablka 1/2=0,5). Výsledkem operace dělení nemusí a často ani nebývá celé číslo jakými jsou čísla přirozená, ale číslo desetinné, přičemž před i za desetinou čárkou může být libovolný počet čísel.

Na první pohled se zdá, že jakékoliv přirozené číslo lze dělit nekonečným počtem jiných přirozených čísel, a tak by bylo možné vyjádřit jakékoliv desetinné číslo, leč není tomu tak. Lze celkem jednoduše dokázat, že například číslo √2= 2,4142... nelze vyjádřit podílem dvou přirozených čísel (krásné důkazy, že toto číslo nelze vyjádřit jako zlomek přirozených čísel jsou uvedeny v [21, s. 31] a [20, s. 113]). Čísla, která nelze takovým podílem vyjádřit se nazývají iracionální čísla.

Při odčítání předešlých typů čísel byla objevena čísla záporná (nejprve používaná pouze jako mezivýsledky) například 2-4=-21.

1Poznámka
Víte proč platí (-3)·(-3)=9 a ne (-3)·(-3)=-9? Násobením dvou záporných čísel vyjde číslo kladné, to je jedno z pravidel aritmetiky. Kdyby tomu tak nebylo a pravidlo by znělo například tak, že násobením dvou záporných čísel vyjde číslo záporné musela by být aritmetická pravidla zvlášť pro kladná a záporná čísla [23, s. 45].

Představené typy čísel jsou souhrnně nazývána jako čísla reálná a hranice mezi kladnými a zápornými čísly je nula – při počítání má význam jako nic, prázdno apod. a není to reálné číslo (proto násobení nulou je nula dělení nulou je nesmysl [35, s. 39]). Reálná čísla a nulu lze znázornit i graficky pomocí osy, kde jsou seřazena čísla podle velikosti, přičemž vzdálenost mezi nimi je dána vzdáleností mezi jednotlivými přirozenými čísly, které jsou stejné:

Osa reálných čísel.1.1065 Osa reálných čísel.
Množství vyznačených stupnic mezi dvěma přirozenými čísly označující dekadická racionální čísla 1/10, 1/100... (zde vyznačena pouze 1/10) je dána pouze rozlišením tj. vzdáleností přirozených čísel. Iracionální a některá racionální čísla nelze na ose reálných čísel nikdy přesně zakreslit (mohou mít nekonečně mnoho desetinných míst), pouze lze jejich polohu zpřesňovat vyčíslením jejich velikosti na co nejvíce desetinných míst. Šipka na pravé straně označuje směr růstu kladných čísel.
— 2 —
— 42. Technická matematika —

Imaginární a komplexní čísla

Některé matematické operace v technické praxi mohou končit výsledkem ve tvaru a±√c (kde a je jakékoliv reálné číslo nebo nula a c je záporné reálné číslo c<0 např. -2). Protože druhá odmocnina ze záporného čísla je neurčitý výraz, tak tento výsledek už nelze dále zjednodušit a jedná se tedy o tzv. složené číslo navíc lze dokázat, že číslo √c nemůže být na reálné ose čísel, protože není reálné. Druhá odmocnina je považována v aritmetice za obrácenou operaci k operaci druhé mocniny, jenže druhá mocnina z jakéhokoliv reálného čísla (kladného či záporného) je vždy číslo kladné, takže výraz √c nelze považovat za reálné číslo [23, s. 192], jedná se o nový druh čísel, které nemají spojitost s fyzickým světem a nazývají se imaginární čísla.

Matematický dvojčlen a±√c se označuje jako komplexní číslo (kombinace reálného a imaginárního čísla) a zapisuje se obvykle ve tvaru a±i·b, kde ±√(c)=±i·b, b je reálné kladné číslo a √(-1)=i je tzv. imaginární jednotka2. S komplexním číslem se pracuje jako s matematickým dvojčlenem akorát dělení je trochu složitější [1, s. 9] a je potřeba si dát pozor na i součin i·i, který nemůže být roven 1, protože to už je reálné číslo.

Výsledky ve tvaru komplexních čísel se poprvé začaly objevovat při řešení kvadratických rovnic a později i jako řešení diferenciálních rovnic. Takový výsledek se dá interpretovat více způsoby (pokud se nejedná o mezivýsledek, se kterým se dále pracuje). Vždy záleží na spojitosti s výpočtem respektive co je vlastně počítáno.

Mimo zmíněná čísla existují ještě čísla nazývaná kvaterniony a oktoniony [9], ale ty se v běžné technické praxi už nevyskytují.

2Poznámka
Pojem imaginární jednotka respektive znak i pro √(-1) zavedl Leonhard Euler (1707-1783) [21, s. 138]. Mimo imaginárního číslo je neurčitý výraz i výsledek dělení nulou respektive je to matematický nesmysl. Proto v aritmetice je dělení nulou zakázáno. Někdy se uvádí při dělení nulou jako výsledek nekonečno (znak ), ale to jen ve speciálních případech, protože obrácená operace dělení je násobení a při násobení nekonečna nulou je výsledek opět nula a ne původní dělenec, více v [23, s. 93].

Zaokrouhlování čísel

V současné době díky počítačům není problém pracovat s čísly, které mají velký počet desetinných míst. Taková čísla jsou matematicky sice velmi přesná, ale v běžných technickych případech těžko využitelná zvláště pro přibližné a rychlé výpočty je lepší taková čísla zaokrouhlovat (zkracovaní čísla). Základní matematická pravidla zaokrouhlování jsou tři , která se dají shrnout do těchto tří příkladů: 4,335≐4,34≐4,3, ale pokud se jedná o desetinné číslo končící číslicí 5 s následujícími nulami zaokrouhluje se obvykle na nejbližší sudé číslo: 4,38500≐4,38, 4,37500≐4,38 [8, s. 32].

Pro rychlé přibližné výpočty se čísla zaokrouhlují obvykle pouze na dvouciferné desetinné místo například: 4335≐4,3·103, 0,004335≐4,3·10-3.

— 3 —
— 42. Technická matematika —

Zaokrouhlováním se dopouštíme jisté chyby. O teorii chyb bylo napsáno spousta knih, ale pro přibližné výpočty v technické praxi lze doporučit jedno "lidové" pravidlo a to zaokrouhlovat na stranu bezpečnou. To znamená, že počítáme-li přibližně nosnost nějaké konstrukce tak zaokrouhlujeme čísla dolů. Konečný výsledek sice bude nepřesný, ale s vědomím, že skutečná nosnost bude vyšší a ne nižší. Naopak budeme-li počítat velikost zatěžující síly, tak zaokrouhlováním vždy nahoru bude výsledek nepřesný, ale s vědomím, že skutečná zatěžující síla bude menší apod.

Rychlé a přibližné výpočty

Rychlé přibližné výpočty se dělají obvykle bez elektroniky. Například pomocí počítání z paměti, pomocí tužky a papíru nebo pomocí předem připravených jiných výpočetních pomůcek. Především kontrolní výpočty je dobré provádět jiným nástrojem než byl proveden kontrolovaný výpočet, kvůli tzv. "autorské slepotě" a opakovaným překlepům s tím, že postačuje zkontrolovat jestli se přibližný výsledek blíží přesnému výpočtu. Rychlé výpočty technici ocení také při práci v terénu pro získání rychlé orientace v problému.

Jak rychle sčítat a odčítat bez kalkulačky

Tzv. sčítání, odčítání pod sebou souvisí se zavedením pozičního systému zápisu arabských čísel [9], [10], který se do západní Evropy dostal pomocí spisů perského učence Muhamad ibn Músa al-Chwárizmí (780-850) [9], [10]. V takovém případě stačí napsat čísla pod sebe a jednotlivé řády k sobě přičítat respektive odčítat:

Princip sčítaní a odčítání dvou čísel pod sebou. 2.921 Princip sčítaní a odčítání dvou čísel pod sebou.
Při odčítání většího čísla od menšího je praktičtější jejich pozice přehodit a rozdíl doplnit znaménkem -.

Uvedené matematické operace jsou přesné, nicméně v kanceláři jsou rychlejší pomůcky pro výpočet a mimo kancelář obvykle nebo pro kontrolu stačí přibližné výpočty pomocí zaokrouhlování čísel na dva první řády, aby počítání bylo snažší. Například součet 4346+6328 lze zaokrouhlit na 4300+6300=10600.

Rychlé zaokrouhlené sčítání a odčítání lze provádět pomocí analogových pomůcek jako je posuvné pravítko pro sčítání a odčítání. Posuvné pravítko je složeno ze dvou identických posuvných lišt s číselnou osou, kde jednotlivé stupnice musí být od sebe stejně vzdálené (vlastně se jedná o dvě osy reálných čísel). Takové pravítko lze vytvořit například ze dvou stejných pravítek pro rýsování. Vzhledem k omezení viditelnosti stupnice by pravítko o délce 20 centimetrů se stupnicí po 0,5 mm bylo schopno přičítat nebo odečítat čísla od 1 do 10 s přesností na 0,05 a pod.

— 4 —
— 42. Technická matematika —

Takové pravítko, zvyšuje přesnost oproti přibližnému výpočtu "z hlavy" málo a nemá praktický smysl ho používat. Ale existuje případ, kdy ho lze vytisknout na papír a nosit třeba jako součást osobních tabulek. Pomocí vytisknutého posuvného pravítka v jedné poloze lze velmi rychle přičítat nebo odečítat často používané konstanty. Například k naměřené teplotě ve stupních Celsia se musí přičíst teplota absolutní nuly (273,15 °C), pro získání teploty absolutní:

Příklad pravítka pro součet/rozdíl stále stejného čísla.3.1066 Příklad pravítka pro součet/rozdíl stále stejného čísla.
Na tomto obrázku je příklad pravítka pro převod jednotek teploty ve °C na absolutní teplotu v Kelvinech. Na obrázku je vyznačen případ, kdy teploměr ukazuje 156 °C, pomocí narýsovaného pravítka velmi rychle vypočítáme, že tato teplota odpovídá 429,15 K.

Další podobný případ je práce s absolutním tlakem, kdy k odečtenému tlaku z manometru se musí přičíst tlak atmosférický (101,325 kPa), pro získání tlaku absolutního apod. Pravítka pro převod jednotek teploty a tlaku jsou uvedeny v [32, 42.1047, 42.1046].

Jak rychle násobit a dělit bez kalkulačky

Operace násobení a dělení jsou obtížnější, co se týká výpočtů z hlavy. Podobně jako pro sčítání a odčítání tak i pro násobení a dělení lze provádět metodou "počítáním pod sebe". Při násobení se násobená čísla napíši pod sebe podle řádů jako u sčítání a postupně se vzájemně násobí jednotlivé řády činitelů, tyto násobky se na konci sečtou. Při dělení se hledají násobky dělitele, který se postupně odečítá od dělence:

Princip násobení a dělení dvou čísel metodou - zapisování pod sebe.
4.1064 Princip násobení a dělení dvou čísel metodou "zapisování pod sebe".

Násobení i dělení jsou stále složité i po uplatnění zaokrouhlování na dvouciferné členy např. 4400·6300 a špatné zaokrouhlování může mít na výsledek velký vliv např. 1400:20 – provnejte s výše uvedenými příklady. Naštěstí novověcí matematici nám dali do ruky ještě mocnější nástroj pro rychlé násobení a dělení, tyto nástroje vycházejí z vlastností logaritmů.

— 5 —
— 42. Technická matematika —

O logaritmech

Logaritmy jsou založeny na faktu, že každé kladné reálné číslo y lze vyjádřit umocňováním ve tvaru y=nx (záporná reálná čísla lze vyjádřit umocňováním pomocí algebry komplexních čísel). Logaritmus čísla je tak definován jako logn nx=x·1, kde n je základ umocňování respektive logaritmu a logn n=1. Alegebra logaritmů je shrnuta v [1, s. 14]

Nejčastěji se používají tzv. dekadické logaritmy3, což je logaritmus o základu 10, a proto se zkráceně označují pouze log. Přirozený logaritmus se označuje ln (dříve lg), ten je o základu e=2,71828... (tzv. Eulerovo číslo, které souvisí s nekonečnými řadami). V počtu pravděpodobnosti a informatice se také používá logaritmus o základu 2 tj. log2, který už speciální označení nemá. Logaritmy o různých základech lze převádět mezi sebou pomocí vztahu logn x=(ln x)/(ln n). Log 0 je v matematice neurčitý výraz a pokud to lze definuje se jako 0·log 0=0 [17, s. 16].

3Z historie logaritmů
Na přelomu 16. a 17. století bylo matematické zkoumání algebry a matematické aritmetiky velmi oblíbené [10, s 87] a tak využití logaritmů pro snadnější násobení a dělení si postupně všimlo více matematiků současně [11]. Jako první o objevených vlastnostech logaritmů při sčítání a odčítání publikoval skotský zeman John Neper někdy psán jako Napier (1550-1610). Při odkrývání těchto vlastností logaritmů postupoval systematicky a tak zemřel dříve než mohl publikovat konečnou myšlenku pomocí dekadických logaritmů (stačil publikovat pouze logaritmy přirozené – proto se někdy označují jako Neperovy), to za něj učinil až jeho společník Henry Briggs (1561-1630).
Porovnání lineární a logaritmické stupnice kladných reálných čísel.
5.1071 Porovnání lineární a logaritmické stupnice kladných reálných čísel.
Horní osa je osa přirozených čísel od 1 do 10 o délce η=17 cm, takže jeden stupeň na stupnici je 1=1,7 mm, dolní osa je logaritmická stupnice od od 1 do 10 o délce ξ=17 cm. V logaritmické stupnici se interval mezi krokem 0,1 zkracuje, přičemž lze jednoduše dokázat, že vzdálenost mezi jednotlivými řády je stejná4 např. úsek 1-10 je stejně dlouhý jako 10-100 atd. Jednotlivé vzdálenosti mezi stupni logaritmické stupnice v mm se vypočítají jako poměr konkrétní logaritmické hodnoty ku logaritmické hodnotě celé stupnice. Takže log y musí být ekvivalentní vzdálenosti ξ(log y - log min)/(log max - log min), v tomto případě log min =log 1=0, log max=log 10=1.
4Poznámka
To je dáno tím, že podíl mezi řády jsou stejné 10/1=100/10=1000/100... Mimo jiné tato vlastnost byla impulsem k vytvoření logaritmického počtu [24, s. 245], [36, s. 194].

Z vlastností logaritmů [1, s. 14] lze součin čísel a a b převést na součet dvou logaritmů A a B: a·b=c→log 10A+log 10B=log 10C→A+B=C a obdobně pro podíl dvou čísel a·b-1=c→log 10A+log 10-B=log 10C→A-B=C.

— 6 —
— 42. Technická matematika —

Pro řešení logaritmů respektive pro násobení a dělení je nutné znát hodnoty logaritmů. Ty se dříve tabelizovaly5 a první tabulky dekadických logaritmů publikoval Briggs. Nicméně logaritmické tabulky jsou další z archaických vybavení technika, ale lze je nalézt v knihovnách např. [12].

5Tabulky logaritmů
V té době vyčíslení logaritmů představoval pracný ruční výpočet přirozeného logaritmu a převodu na dekadický logaritmus. Současné matematické softwary a kalkulačky tyto tabulky obsahují nebo si je počítají v reálné čase numerickým způsobem na požadovanou přesnost pomocí Taylorových řad [17, s. 182] viz. dále.

Tabulky logaritmů se udávaly na pět i více desetinných míst, používaly se až pro přesnější výpočty, protože hledání v tabulkách bylo zdlouhavé. Pro rychlé přibližné výpočty se používalo logaritmické pravítko vynalezené anglikánským duchovním a matematikem Williamem Oughtredem (1575-1660).

Násobení a dělení pomocí logaritmické stupnice

Mezi nástroje s logaritmickou stupnicí patří i logaritmické pravítko. Logaritmické pravítko funguje stejně jako posuvné pravítko pro sčítání a odčítaní s tím rozdílem, že obě stupnice odpovídají logaritmům čísel. Takže při násobení čísla 4,4 a 6,3 stačí sečíst logaritmy těchto čísel na dvou zrcadlově otočených pravítkách s logaritmickou stupnicí. Při dělení se logaritmy odčítají:

Příklad násobení pomocí logaritmického pravítka.
6.1073 Příklad násobení pomocí logaritmického pravítka.
Zde je zobrazen případ přibližného součinu čísel 4346 a 6328, pomocí dvou pravítek se stupnicemi od 0 do 20 rozdělených po log 0,1. Přibližný součin je proveden tak, že činitelé se zaokrouhlí na 4400 a 6300, potom 4400·6300=4,4·6,3·106 respektive log 4,4+log 6,3=log 27,8+log 106. Podle pravítka je výsledek 27,8·106, oproti přesnému výsledku je rozdíl 498 512, což odpovídá chybě 1,8%.

Nicméně logaritmické pravítko je také už archaická pomůcka, ale opět je užitečné si vytisknout logaritmické pravítko, které bude násobit stále stejnou hodnotu (vzájemný posun stupnic bude stálý). Například se hodí při převodu jednotek nebo pro násobky či podíly Ludolfova čísla π=3,14159... apod.

— 7 —
— 42. Technická matematika —
Příklad logaritmického pravítka pro násobení nebo dělení konstantou.
7.1074 Příklad logaritmického pravítka pro násobení nebo dělení konstantou.
Příklad logaritmického pravítka pro součiny čísla π. Na pravítku je vyznačen příklad součinu čísla π a čísla 324 představující průměr kruhu, takže výsledkem bude obvod tohoto kruhu. Ten podle pravítka činí asi 1010 (x=2), což představuje chybu od přesnějšího výsledku (1017,88) asi 0,77%.

Pro konstrukci logaritmických stupnic o velikosti 10x10x+1 s přesností 0,1·10x můžete použít tabulku logaritmů čísel 1 až 100 uvedenou v [33].

Vyšší přesností výpočtu, pomocí zobrazeného logaritmického pravítka, lze provést rozkladem činitele 324 na 324=3·102+2·102+4, takže předchozí příklad by se počítal: π·324=π(3·102+2·102+4) odtud řešení 1015,4 s chybou už jen 0,24%. Tento postup (více o něm v [13]) je sice přesnější, ale už postrádá rychlost a jednoduchost.

Příklady logaritmických pravítek násobící stále stejnou hodnotu jako logaritmické pravítko pro výpočet plochy kruhu, převody jednotek délky, hmotnosti, energie a výkonu jsou uvedeny v nomogramech [32, 42.1021, 42.1023, 42.1026, 42.103442.1045].

Přibližné výpočty mocnin

V tomto případě lze také využít vlastností logaritmů a mocninu ab=c zapsat i ve tvaru b·log a=log c [1, s. 14]. K přibližnému řešení mocnin lze opět použít malou tabulku logaritmů čísel 1 až 100 uvedené v [33].

Pří přibližném výpočtu mocniny 14468,563 se nejprve zaokrouhlí jednotlivé členy, tak aby šla použít tabulka logaritmů čísel 1 až 100, 14468,563≐14,53·109. Nyní postačuje vyřešit mocninu 14,53. Pomocí logaritmů, je hledané řešení ve tvaru 3·log 14,5=log c. log 14,5 je podle tabulky přibližně 1,16, takže lze psát 3,48≐log c. Z velikosti levé strany rovnice je evidentní, že c je větší jak tisíc a musí být menší než deset tisíc, protože log 100=0, log 101=1, log 102=2, log 103=3.... Odtud lze c vyjádřit i jako c=x·102, takže 3,48≐log c=log x+2, kde 1,48=log x odtud z tabulek log x≐30,5, c≐30,5·102 a 14468,563≐30,5·1011, přičemž podle kalkulačky 14468,563≐30,29·1011.

Vzorce

Za vzorec6 považujeme algebraický zápis výpočtu různých veličin. Vzorce naleznete v příručkách, učebnicích a dalších dokumentech zabývající se výpočtem konkrétních veličin. Výhodou vzorce je, že stačí do něj dosadit hodnoty jednotlivých veličin a výsledkem je hodnota hledané veličiny. Vzorec pro výpočet obvodové rychlosti kola u=π·d·n kde u [m·s-1] je symbol a značka jednotky obvodové rychlosti, d [m] je průměr kola a n [s-1] jsou otáčky je typickým příkladem vzorcem.

— 8 —
— 42. Technická matematika —
6Vzorce, rovnice a nerovnice
Pro vzorec lze současně použít i název rovnice respektive veličinová rovnice. Existují ale i vzorce, kde místo rovnosti obou stran musí platit nerovnost, takové vzorce jsou nerovnicemi, například pokud vzorec doporučuje aby tloušťka stolu byla větší než bude výsledek výpočtu t>2·m, kde t [mm] je tloušťka stolu a m [kg] je hmotnost závaží.

Při dosazování do vzorce je nutné mít na paměti, že matematickou operaci lze provádět pouze mezi dvěma čísly. To znamená, že výpočet vzorce se skládá z několika elementárních kroků (matematická operace mezi dvěmi čísly) jejichž výsledkem je jedno nové číslo a tak se postupně lze dopracovat k výsledku. Dosazování do vzorců má svá algebraická pravidla [25], [34], která čtenáři už jistě znají.

Důležité je do vzorců dosazovat jednotlivé veličiny v požadovaných jednotkách, nejčastěji se dosazuje v tzv. základních respektive odvozených jednotách SI [26].

Existují ale vzorce, ve kterých počítaná veličina není vyjádřená přímo například:

Jaké je řešení tohoto vzorce? 8.824 Jaké je řešení tohoto vzorce?
Symboly r, ε zastupují dosazovaná čísla, jejich hodnoty známe. λ veličina, kterou máme vypočítat.

Problém poslední rovnice je v tom, že λ se vyskytuje jak na levé tak na pravé straně vzorce. V takových případech se aplikuje iterační neboli numerický postup výpočtu:

Iterační výpočet vzorce

Iterační metody výpočtu se používá pro řešení vzorců v nepřímém tvaru. Výpočet probíhá v několika krocích, které se opakují (počítání ve smyčce) a obsahují podmínku (přesnost výsledku, počet cyklů aj.), která definuje kolikrát se tyto kroky budou opakovat.

Iterační výpočet vzorce spočívá v tom, že se postupně zadávají vhodně vybrané hodnoty (odhady) počítané veličiny (v případě Vzorce 8 je to λ) a sleduje výsledky na levé a pravé straně vzorce – čím bližší si budou tím více se výpočet přiblížil ke skutečné hodnotě λ. Metoda výběru dosazovaných hodnot záleží na metodě iteračního výpočtu. V technické praxi je nejrozšířenější iterační metoda Monte carlo7 nebo Newtonova iterační metoda [1, s. 612], která už předpokládá znalost diferenciálního počtu.

7Monte Carlo
Jedná se o "náhodné" testování různých řešení (v případě Vzorce 8 hodnot λ). Pokud vzorec má nějaké řešení, tak touto metodou máte možnost jej nalézt, ale s omezenou přesností. Úspěch tohoto výpočtu podstatně závisí na prvním odhadu (číslo, o kterém se předpokládá, že leží blízko řešení). Následně se porovná výsledek pravé a levé strany vzorce a podle jejich rozdílu odhaduje nová hodnota veličiny λ. Obvykle platí, že jestliže se rozdíl výsledku levé a pravé strany vzorce vzdalují při zvyšování odhadu λ, tak by správná hodnota λ měla být menší než odhad a obráceně (i když to nemusí platit vždy záleží na tvaru vzorce). Hledat tímto způsobem řešení ručeně je časově náročené, ale při použití matematického stroje neboli výpočetní techniky velmi oblíbené viz níže kapitola Výpočtové metody matematického softwaru .
— 9 —
— 42. Technická matematika —

Od vzorců k funkcím

Vzorce máme proto, že pro každý jednotlivý případ může být hodnota počítané veličiny jiná se změnou zadávaných hodnot. To znamená, že počítaná veličina je závislá neboli je funkcí jiných veličin, které se mohou měnit. Takže když se řekne, že nějaká veličina je funkcí jiné, tak tím zdůrazňujeme její závislost na jedné nebo více jiných veličin [24, s. 133].

Například v případě vzorce pro obvodovu rychlost lze konstatovat, že obvodová rychlost u je funkcí průměru kola d a otáček n. V řeči matetematiky se to vyjádří zápisem u=f(d, n) nebo také f(d, n)=π·d·n, v technické praxi je obvyklejší kratší označení u(d, n). Písmeno f označuje, že se jedná o funkci.

Grafické vyjádření funkcí aneb analytická geometrie v rovině

Výpočty vzorců lze provádět i pomocí analytické geometrie.

Spojitost mezi geometrií a algebrou objevil francouzský matematik René Descartes (1596-1650) [21, s. 161], [10, s. 97]. Jeho objev znamená, že geometrické útvary, jejichž souřadnice jsou zapsány v pravoúhlé soustavě souřadnic, lze zapsat algebraickou rovnicí a naopak. Pro dvourozměrné geometrické útvary postačí systém souřadnic x-y a pro trojrozměrné objekty x-y-z viz. dále kapitola Analytická geometrie v prostoru. Písmena x, y jsou označení os (stupnic) reálných čísel, které jsou na sebe kolmé:

Znázornění přímky v soustavě souřadnic zavedené Descartem. 9.999 Znázornění přímky v soustavě souřadnic zavedené Descartem.
Každý bod přímky odpovídá vzorci y=a1·x+a2, kde a1, a2 jsou konstanty, lze v soustavě souřadnic x-y vyjádřit jednoznačně souřadnicí [x, y]. Na obrázku je přímka o parametrech: a1=1,2; a2=-0,7. Bodu P lze jednoznačně přiřadit souřadnici [x1; y1]. Čtyři základní oblasti pravoúhlé soustavy souřadnic se nazývají kvadranty (1)(4), což umožňuje snadnější orientaci v takové rovině při ústním podání apod. Další frekventované funkce znázorňované v rovině naleznete například v [1, s. 163].

Grafické znázornění rovnic se nazývá grafem. Graf zkonstruovaný za účelem nalezení řešení vzorce pro vybrané proměnné se nazývá nomogram:

Výpočty vzorců pomocí nomogramů

Nomogram je grafická analogová výpočetní pomůcka [14], [15]. Jedná se o převod funkcí do grafické podoby ve vhodně vybraném soustavě souřadnic (nejčastěji pravoúhlé8). Nomogramy, na rozdíl od pravítek, umožňují rychlý výpočet rovnic více proměnných. Používají se pro rychlý přibližný výpočet často používaných vzorců.

— 10 —
— 42. Technická matematika —

Například nomogram pro výpočet obvodové rychlosti kola tvořen přímkami, protože pro konstantní průměr kola je tato rovnice rovnicí přímky. Takový nomogram lze zkonstruovat pouze pravítkem. Nutné je stanovit rozsah jednotlivých proměnných (podle toho, které kombinace d a n nás zajímají):

Nomogram pro výpočet obvodové rychlosti kola. 10.1077 Nomogram pro výpočet obvodové rychlosti kola.
u [m·s-1]; d [m]; n [s-1]. Osa otáček je v intervalu 110 s-1, osa obvodové rychlosti kola 0300 m·s-1. Do oblasti řešení, která je vymezená vodorovnou osu hodnot pro otáčky a svislou pro obvodovou rychlost kola se zakreslují průběhy změn obvodové rychlosti v závislosti na otáčkách pro jednotlivé průměry kola (čára, na které je jedna z proměnných konstantní – v tomto případě průměr kola se nazývá izopléta). První izopléta byla nakreslena ze souřadnic u=3,1415 při n=1 do bodu u=31,415 při n=10. Následující izopléty byly nakresleny stejným postupem. Obvodová rychlost kola se odečte z průsečíku zadaných hodnot otáček a průměru kola.
8Poznámka
Osy soustavy souřadnic nemusí být navzájem kolmé, ale mohou svírat i jiný úhel než 90°. V systému skloněných os se poměrově zvětší či změnší úhly mezi isoplétami a osami nomogramu. Například pokud by osa x svírala s osou y úhel 70°, pak by se úhel mezi isoplétami a osami zmešil poměrem 70/90 apod.

Je očividné, že takový nomogram pro funkci tří proměnných nemůže pokrýt všechny možnosti řešení v navrženém intervalu vstupních proměnných, to by musel obsahovat nekonečný počet izoplét, a nikoliv jen deset. Jestliže nomogram neobsahuje izoplétu splňující zadání, je nutné její průběh určit alespoň přibližně tak jak naznačuje přerušovaná čára příkladu výpočtu obvodové rychlosti pro n=6,3 s-1 a d=5,6 m.

Přesnost nomogramů je dána převážně jeho fyzickou velikostí. Rozsah chyby (chyba, která vznikne na délce 1 mm osy nomogramu) lze jednoduše stanovit z měřítka nomogramu. Tato chyba nemusí být na celé ploše nomogramu stejná. Například v případě posledního nomogramu v oblasti kolem n=2, d=2 bude vzdálenost 1 mm na ose obvodových otáček kola představovat chybu o velikosti ~24% a v oblasti n=9, d=10 ta chybě jen ~1 %. Rozdíly v přesnosti lze vyřešit nelineárními stupnicemi os, tak aby chyba v odečtu byla přibližně stejná na celé ploše nomogramu.

Typ nelineární stupnice osy závisí na druhu rovnice, kterou nomogram zobrazuje, přičemž každá osa může mít jinou stupnici. Pro exponenciální rovnice (včetně exponentu 1) se nejčastěji používá logaritmická stupnice, ale ve speciálních případech lze použít stupnici kvadratické (pro kvadratické rovnice) atd.

— 11 —
— 42. Technická matematika —

V případě logaritmické stupnice je její výhoda i v tom, že jakékoliv exponenciální rovnice se dají znázornit jako přímky, například rovnice a·b3,4=c bude přímkou ve tvaru log a + 3,4·log b = log c apod.

Nomogram pro výpočet obvodové rychlosti kola v logaritmické soustavě souřadnic. 11.1078 Nomogram pro výpočet obvodové rychlosti kola v logaritmické soustavě souřadnic.
Velikost tohoto nomogramu je 8,35x8,35 cm, takže chyba 1 mm v oblasti n=2, d=2 je asi 6,6% a v oblasti n=9, d=10 je také 6,6%, přičemž přesnost lze zvýšit zvětšením velikosti plochy nomogramu a zvýšením hustoty stupnic. V logaritmické soustavě souřadnic tedy lze dosáhnout stejné přesnosti respektive nepřesnosti na celé ploše nomogramu. Více o rozboru chyb v logaritmické soustavě souřadnic v [14, s. 12].

Do jednoho nomogramu lze zakreslit i více rovnic, které mají stejné proměnné. Například do nomogramu pro obvodovou rychlost kola lze zakreslit i průběh pro kritické otáčky hřídele s tímto kolem, které se s průměrem kola budou měnit (kritické otáčky jsou funkcí průměru kola a tuhosti hřídele, která je v tomto případě stejná).

Lze vytvořit nomogramy i pro jednoduché rovnice jako je nomogram pro sčítání dvou čísel nebo nomogram pro násobení či dělení viz [32, 42.1067, 42.1068].

Nomogram zvládne i více proměnných než jen tři, takové nomogramy se nazývají sdružené. Jedná se vlastně o dva nomogramy, které mají jednu společnou stupnici, která slouží jako výstup prvního a vstup do druhého viz například Nomogram pro výpočet Reynoldsova čísla v [32, 38.1038].

Nomogramy se také dodávají k různým výrobkům jako pomůcka pro koncového uživatele o změnách parametrů stroje při různých nastavení. Například nomogramy u soustruhů, pro odečet otáček nebo posuvu při změně převodového poměru, nomogramy regulačních ventilů, ze kterých lze vyčíst změnu průtoku a tlakové ztráty při změně zdvihu vřetena ventilu apod.

Doposud posané typy nomogramů se nazývají průsečíkové. Nevýhodou těchto nomogramů je obtížný odečet (hledání průsečíku tří různoběžných čar) i velká hustota čar, proto se konečným uživatelům, pokud to jde, dodávají spojnicové nomogramy.

Spojnicové nomogramy

Spojnicový nomogram pro tři proměnné je složen ze tří stupnic, na kterých jsou v příslušných měřítkách vyneseny hodnoty jednotlivých proměnných. Konstruktér nomogramu musí navrhnout typ stupnic a jejich měřítka, jejich tvar a jejich vzájemné vzdálenosti tak, aby průsečíky na jednotlivých osách, které vzniknout nakreslením libovolné přímky, byly řešením příslušné rovnice.

— 12 —
— 42. Technická matematika —

Nejednodušším spojnicovým nomogramem je případ, kdy tvarem stupnic jsou přímé navzájem rovnoběžné čáry, tzv. součtový spojnicový nomogram. V takovém případě se upravuje pouze měřítko a typ stupnic a může i vzájemná vzdálenost.

Základní součtový spojnicový nomogram. 12.1079 Základní součtový spojnicový nomogram.
V tomto případě je jedna z os přesně uprostřed dvou dalších, ale lze ji podle potřeby posouvat, pokud to sníží komplikace s měřítkem jednotlivých stupnic. Tento tvar spojnicového nomogram je vhodný pro rovnice ve tvaru α+β=2 γ (odvození je v Příloze 1079), například a·x+b·y=c·z, kde a, b, c jsou konstanty; například x2+y2=z2, což je Pythagorova věta apod. Jestliže osy jsou logaritmické stupnice lze tento součtový spojnicový diagram také použít pro součin např. rovnici x·y=z, která bude mít v logaritmických souřadnicích tvar log x+log y=log z, což už je rovnice přímky. Všechny stupnice nemusí být stejně dlouhé, lze je měnit podle požadovaného rozsahu jednotlivých veličin.

Spojnicové nomogramy lze také konstruovat pro více jak tři proměnné spojením několika nomogramů tzv. sdružený spojnicový nomogram. Dokonce lze kombinovat průsečíkové nomogramy s nomogramy spojnicovými [14, s. 136], [15, s. 215].

Existují i jiné tvary průsečíkových a spojnicových nomogramů jejiž konstrukce, obvykle vyžadují většího duševního úsilí a více zkušeností. U nomogramů mohou být osy různě skloněny, zakřiveny, mohou být různého typu i  měřítek délek.

Spojnicový nomogram pro výpočet obvodové rychlosti kola. 13.1080 Spojnicový nomogram pro výpočet obvodové rychlosti kola.
Konstrukce tohoto nomogramu je popsána v Příloze 1080.
— 13 —
— 42. Technická matematika —

Tvar nomogramu9 také ovlivňuje, jaké veličiny budou na jednotlivých osách, což je důležité především u spojnicových nomogramů. Ten kdo nemá dostatek zkušeností může vycházet při konstrukci nomogramu z podobnosti s jiným nomogramem, přičemž lze čerpat z katalogů nomogramů uvedených v [14], [15], [30].

9Z historie nomogramů
Nomogramy na první pohled vypadají jako jednoduché efektivní výpočetní pomůcky, alespoň pro rychlé a přibližné výpočty výpočtářem často používaných vzorců, přesto první použitelné nomogramy zkonstruoval až průmyslník Louis Pouchet (1748-1809), které převáděly staré Francouzské jednotky vah na kilogramy [14], [16].

Vytvoření rovnice ze vzorců a jejich řešení

Rovnicí je i vzorec, protože jeho levá strana se rovná pravé, přesto při vyslovení slova rovnice je obvykle myšlen její širší význam tedy něco do čeho nestačí jen dosadit a získáme použitelný výsledek. Rovnici máme obvykle upravit či vyřešit. Rovnici nejčastěji získáme při řešení složitějších úloh kombinací dvou a více vzorců. Sestavování rovnic je ryze lidská schopnost. Při řešení úloh postupujeme systematicky po krocích, které jsou přehledné a srozumitelné, což se nejlépe ukáže na úloze:

Vypočítejte jakou vzdálenost ujela tramvaj, když víte, že ze zastávky nejdříve zrychlovala stálým zrychlením 2 m·s-2 po dobu 70 s, pak 240 s jela ustálenou rychlostí a nakonec zpomalovala ustáleným zpomalením 2 m·s-2.
Úloha 1.931

Ze zadání úlohy je zřejmé, že výsledná rovnice bude obsahovat minimálně tři vzorce, a to pro výpočet vzdálenosti při rovnoměrně zrychleném pohybu, při konstantní rychlosti a při rovnoměrném zpomaleném pohybu. Celkovou ujetou vzdálenost si označme jako x1 (písmeno x se používá k označení veličin, které nejsou známy respektive nejdou jednoduše ze zadání vyčíst), vzdálenost při rovnoměrném zrychlení x2, vzdálenost ujetou konstantní rychlosti x3 a vzdálenost ujetou při zpomalování x4. Je evidentní, že celková vzdálenost x1 bude součtem vzdáleností x2, x3 a x4:

Vzorce pro řešení Úlohy 1. Vzorce pro řešení Úlohy 1.
S fyziky si připomeňme vzorec pro výpočet ujeté vzdálenosti při rovnoměrně zrychleném či zpomaleném pohybu l=1/2(a·t2) [3, s. 39], kde l [m] je ujetá dráha, a [m·s-2] je zrychlení (pokud to bude záporné číslo tak zpomalení) a t [s] je doba trvání. x5 [m·s-1] rychlost tramvaje na konci zrychlování – je označena písmenem x, protože je také neznámá. Vzorec pro rychlost na konci rovnoměrného zrychlení z nuly má tvar c=a·t, kde c [m·s-1] je rychlost na konci zrychlení [3, s. 39]. Výsledné skupině rovnic se říká soustava pěti rovnic o pěti neznámých. Konstantám v rovnicicíh se říká parametry rovnice [37, s. 8].
— 14 —
— 42. Technická matematika —

Nyní jsou v podstatě dvě možnosti jak dosáhnout užitečného výsledku neboli řešení těchto pěti rovnic. Myšlenkově nejméně náročné je postupně vypočítat jednotlivé neznáme dosazením hodnot za zrychlení a čas. Druhou možností je z těchto pěti rovnic udělat jen jednu respektive vytvořit relativně složitý vzorec pro přímý výpočet ujeté vzdálenosti tramvaje. Takový vzorec vznikne tzv. dosazováním do první rovnice, kdy za jednotlivé neznámé x2...x5 se dosazují vzorce pro jejich výpočet:

Úlohy 1: výsledný vzorec. Úlohy 1: výsledný vzorec.

Nevýhodou výsledného vzorce je, že nejsou okamžitě patrny mezivýsledky, které bývají u složitějších úloh důležité, protože z nich plyne celková představa o situaci a lépe se hledají ve výpočtu případné chyby.

Pro sestavení rovnice pomáhá i grafická představa průběhu jednotlivých rovnic (jejich částí, například průběh levé a pravé části rovnice apod).

Úpravy rovnic

Při sestavování rovnic se často stává, že neznámá není samostaně na jedné straně rovnice například 2,54 + a = b·x2+(2x2+c)d, takže je potřeba ji tzv. separovat neboli osamostatnit. To se dělá vhodnými promyšlenými matematickými operacemi, při kterých musí být zachována rovnost pravé a levé strany rovnice. Například, přičítáním stejného čísla k pravé i levé straně rovnice, tak aby byla zachována její rovnost. To samé pravidlo platí i pro jiné matematické operace včetně umocňování, logaritmování atd. Například u poslední zmíněné rovnice lze při separaci neznámé x postupovat takto:

Příklad separace neznáme v rovnici.
14.901 Příklad separace neznáme v rovnici.
V tomto případě stačilo 6 kroků a výpočet veličiny x už nebude problém. Do uvedených šesti kroků jsem zahrnul i zjednodušování rovnice, například kroky 2 a 3 zkušení výpočtáři slučují apod.

Nutno podotknout, že ne vždy lze neznámou separovat na jednu stranu rovnice a ostatní členy na druhou jako v případě Vzorce 8 v kapitole Vzorce. To zjistíte tak, že to zkusíte a ono to nejde. Věřte, že s přibývajícími zkušenostmi takovou záludnou rovnici rozeznáte. Takové rovnice se řeší iteračním výpočtem, a protože iterační výpočty jsou díky výpočetní technice oblíbenější než duševní námaha používají se i pro řešení rovnic, u nichž by úprava byla prostě pracná (myšleno separace neznámé na jednu stranu rovnice).

— 15 —
— 42. Technická matematika —

Substituce v rovnicích

Především při úpravách je dobré rovnici co nejvíce zjednodušit, taky abychom se v ní neztráceli a nemuseli neustále opisovat spoustu symbolů. Například během úprav Rovnice 14 lze x2 označit zkráceně například symbolem y a v kroku 5 opět dosadit x2. Také se může vyskytnout logaritmická rovnice a místo x2 v předchozí rovnici může být například log 2x opět by šlo za tento výraz při úpravách dosadit symbol y a v pátém kroku dosadit zpět log 2x apod.

A jak je to s úpravou nerovnic?

Nerovnice znamená, že levá strana se nerovná pravé například 2,54 + a > b·x2+(2x2+c)d. Úprava respektive separace neznáme na jednu stranu nerovnice probíhá stejně jako v předchozím případě rovnic. Jedna záludnost tu ale je: Jedna strana nerovnice je větší než ta druhá a když k pravé i levé straně přičteme stejné číslo (nebo odečteme) vždy vztah (nerovnost) mezi oběma stranami zůstane stejný. Když je vynásobíme kladným číslem stále zůstane stejný. Ale při násobení záporným číslem (nejčastěji -1) se kladná čísla stanou zápornými a naopak, takže byl-li člen na pravé straně nerovnice větší než pravý, tak po vynásobení tomu musí být naopak, takže i nerovnost musíme obrátit například:

Příklad změny nerovnosti při vynásobení nerovnice záporným číslem, v tomto případ -1. 15.874 Příklad změny nerovnosti při vynásobení nerovnice záporným číslem, v tomto případ -1.

Soustavy rovnic

Asi si dokážeme představit, že existují složitější rovnice s více neznámými než bylo řešeno v Úloze 1, obecně se zapisují takto:

Obecný tvar soustavy rovnic o více neznámých. 16.915 Obecný tvar soustavy rovnic o více neznámých.
a, b jsou konstanty, mohou být i rovny nule, a21 znamená, že se jedná o konstantu z druhého řádku před první neznámou. Tento typ soustavy rovnic se nazývá soustava lineárních rovnic.

Všimněte si, že každá neznámá se zapisuje v jednotlivých rovnicích ve stejném pořadí. Například soustava rovnice z Úlohy 1 by byla stejným způsobem zapsána takto:

— 16 —
— 42. Technická matematika —
Soustava rovnic z Úlohy 1 zapsaná v obecném tvaru. 17.902 Soustava rovnic z Úlohy 1 zapsaná v obecném tvaru.
Upozornění: indexování u písmen a a t je stejné jako při řešení Úlohy 1 a nemá nic společného s indexovacím systémem obecného tvaru rovnic.

Do obecného tvaru se soustavy rovnic zapisují kvůli přehlednosti, porovnání s jinými již vyřešenými úlohami a především kvůli mechanickým postupům vyvinutých pro jejich řešení. Jedeno z možných řešení lineární soustavy rovnic je způsob dosazovací, který byl použit při řešení Úlohy 1. Tj. nejdříve se upravuje pořadí rovnic v soustavě, je totiž pro co nejrychlejší řešení vhodné, aby poslední rovnice obsahovala co nejmenší počet neznámých, předposlední tyto neznámé a alespoň jednu další neznámou navíc atd. Při řešení soustavy se pak postupuje od poslední rovnice k první. Nejdříve se u poslední rovnice separuje jedna neznámá a výsledek se dosadí za tuto neznámou do předposlední rovnice atd. Je to pracné, ale vede to přehledně k výsledku.

Existují i jiné více či méně zmechanizované postupy řešení lineární soustavy rovnic [8, s. 61] nebo [1, s. 32]. Obvykle sestavených nejdříve do matice. V praxi asi nejpoužívanější způsob řešení je systematická metoda nazývaná zkratkou GEM neboli Gaussova eliminační metoda [27, s. 196], kterou dnes zvládají i programovatelné kalkulačky.

Řešení rovnic n-stupně

Jedná se o rovnice, které obsahují neznámé umocněné celým číslem. Takové rovnice se obvykle upravují za účelem rychlého vyhledání řešení do obecného tvaru, tak aby mocninami byla pouze přirozená čísla10:

Obecný tvar rovnice n-tého stupně. 18.963 Obecný tvar rovnice n-tého stupně.
n≥1; první rovnice je rovnice prvního stupně neboli lineární, druhá rovnice je rovnice druhého stupně neboli kvadratická, rovnice třetího stupně neboli kubická atd. a0, a1, a2, a3...jsou konstanty a kromě a0 mohou být i rovny nule, takže x3+a1=0 je stále kubická rovnice.
10Poznámka
V případě že výchozí tvar rovnice obsahuje záporný exponent např. 2,35x-2+1,03x=7, pak stačí levou i pravou stranu rovnice vynásobit členem x2 a tím všechny exponenty převedeme na kladné 2,35+1,03x3=7x2. Úprava této rovnice na obecný tvar je už pak triviální.
— 17 —
— 42. Technická matematika —

Jakoukoliv rovnice n-tého stupně zapsanou v obecném tvaru Rovnic 18 lze také převést na mnohem jednodušší následující tvar a0(x-b1)k1(x-b2)k2...(x-br)kr=0, k1+k2+..+kr=n, r≤n kde b je konstanta, k, r jsou přirozená čísla, [1, s. 21]. Z takové tvaru rovnice je zřejmé, že řešení rovnice n-tého stupně může existovat několik a maximálně rovné nejvyšší mocnině x1=b1, x2=b2 atd., protože rovná-li se jakákoliv závorka 0 je celá rovnice rovna 0. Jednotlivá řešení rovnic n-tého stupně se také označují jako kořeny rovnice a zmíněný jednoduchý tvar rovnice n-tého stupně se nazývá součin kořenových činitelů.

Problém je, že převést rovnici libovolného n-tého stupně pomocí algebraických úprav na součin kořenových činitelů je velmi obtížné a pracné (neexistuje žádný obecný postup pro takovou úpravu, který by vždy vedl k řešení). V praxi obvykle každý takový pokus o vyhledání součinu kořenových činitelů končí ztrátou času. Naštěstí existuje obecné řešení pro rovnice alespoň do n=411. Řešení pro rovnice 24 stupně jsou uvedena [1, s. 38], [8]. Zde uvádím řešení pro rovnici kvadratickou, která se v technické praxi vyskytuje nejčastěji:

Řešení kvadratické rovnice.
19.812 Řešení kvadratické rovnice.
D tzv. diskriminant. Pokud bude diskriminant menší než nula D<0, pak má kvadratická rovnice komplexní kořeny. Další záludností řešení kvadratických rovnic je že mohou mít dva kořeny (nejčastěji jeden záporný a jeden kladný) respektive dvě řešení, ale technik hledá pouze jedno, a tak v takových případech vybírá to, které lépe vyhovuje očekávání (obvykle je to ten kladný kořen) a takový výsledek dává smysl.
11Poznámka
Geniální mladý norský matematik Niels Abel (1802-1829) [24, s. 85], dokázal že pro stupně rovnice n>4 obecné řešení nelze nalézt.

Rovnice 5-tého a 6-stupně mají obecná řešení, jestliže je dopředu znám alespoň jeden respektive dva kořeny nebo jsou-li tyto rovnice současně i reciproké. Reciproké rovnice jsou takové rovnice n-tého stupně, které mají jeden z kořenů roven 1 nebo -1. To jestli je rovnice reciproká či nikoliv lze zjistit podle jednoduchého pravidla uvedeného například v  [1, s. 43], [8, s. 111]. Tam naleznete i jak postupovat dále při řešení, ale vzhledem k možnostem dnešních počítačů a numerických metod a velmi nízkého výskytu těchto případů v praxi se s tato metoda stala zajímavou pouze pro matematiky. V současnosti je rychlejší řešit rovnice vyššího stupně numericky například iteračními metodami uvedenými v [1, s. 603].

Řešení jiných typů rovnic

Jinými typy rovnic jsou zde myšleny algebraické rovnice jiných typů než zde byly do tohoto místa popisovány. Například rovnice s neceločíselnými mocninami (např. 2,5 x2,3+x+3,6=0) nebo rovnice kde mocninou je neznáma (např. 2,5x+3x=0), jejich kombinace apod. Takové rovnice, kromě triviálních případů12, se řeší numericky.

— 18 —
— 42. Technická matematika —
12Poznámka
Triviálními případy jsou myšleny takové, kdy jde neznáma algebraickými úpravami separovat na jednu stranu rovnice. Například 2,5x=3 lze vyřešit logaritmováním levé i pravé strany rovnice x·log 2,5=log 3 apod.

Popis dalších typů rovnic bude příležitostně probíhat i v další části článku.

Drobná rada na závěr k rovnicím

Než začnete řešit nějakou úlohu či přímo rovnice snažte se zamyslet zda by na ně nemohlo být aplikováno jedno dobré matematické přísloví: Převeď úlohu na podobný již vyřešený případ.

Matematické stroje neboli počítače

Matematické postupy se vyznačují svou univerzálností, proto není divu, že se postupně objevovaly úvahy do jaké míry lze sestavit stroje, které by počítaly – vynechme různé pomůcky a strojky pro základní aritmetické operace. Touto otázkou se zabýval i anglický matematik Alan Turing (1912-1954), který dokázal že řešení matematické úlohy lze provést strojem lze-li ji zapsat do tzv programu [24, s. 305], [28, s. 171], [29, s. 371]. Program je postup výpočtu pro stroj, jeho elementární jednotkou je instrukce nebo-li pokyny pro stroj jakou operaci má provést zapsané v pořadí v jakém se budou provádět. Každá instrukce musí obsahovat jeden operační znak13 a adresu jednotky počítače, která má operaci provést (kam ho uložit – do jaké části počítače) nebo naopak odkud vzít údaj pro zpracování.

13Operační znak
Každá samostatná operace, které je stroj schopen má svoje číslo, tomuto číslu se říká operační znak.

Univerzální samočinný počítač schopný pracovat podle programu je strojový celek obsahující minimálně pět samostatných mezi sebou komunikujících jednotek:

Blokové schéma počítače. 20.815 Blokové schéma počítače.
Ř řadič14; OP operační paměť15;I vstup16; E výstup17; OJ operační jednotka18; CPU centrální procesorová jednotka (Central Processing Unit). Jedná se o schéma počítače, které navrhl americký matematik John von Neumann (1903-1957). Tento typ počítače obsahuje pět jednotek, takže instrukce programu může mít pět různých adres. Existují i jiná bloková schémata počítače, ale velmi podobná.
— 19 —
— 42. Technická matematika —
14Řadič
Řadič je jednotka, která je schopna přečíst program, tomu odpovídá jeho konstrukce. Na základě instrukcí v programu rozesílá požadavky do dalších čtyř jednotek. Existují počítače, které nemají cestu z operační paměti do řadiče. U těchto počítačů je program uložen v řadiči a nelze ho měnit nebo má svůj vlastní vstup pro změnu programu zvnějšku. Tak tomu bylo i v raných dobách stavby počítačů. Současné počítače obsahují i několik časově synchronizovaných řadičů. Konstrukce řadiče [17, s. 154].
15Operační paměť
Dříve jen paměť – je schopna uchovávat čísla tj. mezivýsledky, výsledky a i program, který je také napsán ve formě čísel. Do ni může zapisovat řadič, operační jednotka i vstupní zařízení. Od řadiče může dostat příkaz k odeslání čísla do výstupní jednotky.
16Vstup
Ze vstupních zařízení se dostávají čísla nebo i program do paměti (například klávesnice, měřící čidla apod).
17Výstup
Ve výstupních zařízení se ukládají/zobrazují/zapisují konečné výsledky (například tiskárna, monitor, paměť apod). Vstupy a výstupy určené pro lidské smysly jsou tomu uzpůsobeny.
18Operační jednotka
Operační jednotka je zařízení, jehož konstrukce zvládá početní operace jak základní aritmetické tak logické, proto se ji také říká aritmeticko-logická jednotka. Počet operací, které tato jednotka zvládne přímo je dána její konstrukcí. Obvykle umí přímo základní aritmetické operace. Například pokud má obvody pro násobení, tak násobí přímo (v programu je napsáno násob dvě čísla a operační jednotka ví jak to má udělat – má pro to číslo operace). Jestliže obvod pro násobení nemá musí program obsahovat i postup násobení obvody, které k dispozici má. Dnešní počítače mohou obsahovat i několik operačních jednotek. Konstrukce operační jednotky např. v [17, s. 148].

Množství operací, kterých je matematický stroj schopen záleží na jeho konstrukci. Seznam těchto možných operací se nazývá operační kód. Čím větší je operační kód stroje tím je rychlejší a jeho programování snažší na druhou stranu je složitější a dražší. Turing dokázal, že nejjednodušší počítač19, který by dokázal splnit jakkoliv složitý výpočet – cokoliv lze spočítat to spočítat dokáže – by měl operační kód o velikosti 6.

19Turingův stroj
Takový stroj by obsahoval řadič s programem, nekonečnou pásku pro zápis/čtení výsledků, čtecí, záznamové, posouvací a mazací zařízení. Na pásce by byl záznam ve dvojkové soustavě, která je minimalistická co se týká množství potřebných znaků [28, s. 169]. Operační kód by vypadal takto (1) posun pásky o jedno políčko doleva; (2) posun pásky o jedno políčko doprava; (3) zaznamenat symbol 0; (4) zaznamenat symbol 1; (5) smazat zaznamenaný symbol; (6) zastavit se [17, s. 87]. Jedná se o jednoduchý stroj, ale jeho programování by bylo obtížné a úlohy by plnil velmi pomalu.
— 20 —
— 42. Technická matematika —

Z pohledu konstrukce respektive fungování počítačů je lze rozdělit ještě na analogové a číslicové neboli digitální. Analogové počítače pracují na principu velikosti signálů, kterým může být síla, napětí, tlak, posun apod. Například pro násobení by mohlo být používáno logaritmické pravítko, u kterého by se snímal posuv. Je očividné, že složitější analogový počítače by byl náchylný na chyby a poruchy [17], které by souvisely s přesností výroby a dnes se prakticky používají jen jako neprogramovatelné jednoduché stroje například pro regulaci.

Číslicové počítače pracují na principu nějaký signál/žádný signál (posun, napětí, tlak, síla) respektive rozlišují pouze dva stavy a nikoliv sílu signálu. Počítání pouze se dvěma možnými stavy lze díky Booleovy algebře [17, s. 105]. Tuto algebru vytvořil anglický matematiky George Boole (1815-1864) při popisu se obvykle tyto stavy označují symboly či výrazy 0/1, ano/ne apod.

Velikost a text programu počítače závisí na jeho operačním kódu případně i na výrobci. Během desítek let vývoje počítačů ale došlo k vývoji normovaných programovacích příkazů neboli vzniku programovacích jazyků, těch je více. Takový programovací jazyk je lépe srozumitelný lidem použitím mnohem širší sady symbolů než 0/1. Program napsaný v tomto jazyce potom jiný tzv. kompilační program přepisuje do konečného programu pro počítač. Dnešní matematické stroje obsahují speciální programy pro komunikaci s člověkem (nebo i jinými zařízeními), toto programové vybavení se nazývá software. Dříve se vkládal program přímo do řadiče. Software také programově obsluhuje vstupy a výstupy, tak aby byly čitelné pro člověka případně jiný počítač nebo zařízení, které je na ně napojeno.

Výpočtové metody matematického softwaru

Hlavní přesnou výpočetní pomůckou technika je počítač případně kalkulačka. Z pohledu uživatele není podstatná samotná konstrukce a princip matematických strojů, ale jejich způsob komunikace s uživatelem tj. forma zadání a forma výsledků, což zajišťuje v tomto případě matematický software. Matematický software lze rozdělit podle výpočetní metody, pro kterou je primárně určen. Výpočetní metody jsou analytické a numerické.

Software pracující s analytickými metodami pracuje přímo s funkčními závislostmi mezi jednotlivými proměnnými a vztahy mezi nimi. Požadovaným výsledkem je nový tvar funkční závislosti. Například analytické řešení rovnice a1·x+a2=a3 je x=(a3-a2)/a1.

Celý proces probíhá v několika krocích, kdy výpočtář zadá tvar rovnice, definuje co je konstanta, co proměnná a jaký tvar výsledku je požadován (v tomto případě vyjádření proměnné x) a následuje krok softwaru, který vygeneruje řešení. Počet nutných kroků se podle softwaru může lišit, velmi záleží na tom jakou vlastnost software přiřazuje jednotlivým znakům, které lze při zápisu rovnice použít.

Představitelem tohoto typu softwaru je například Maple [18]. Tento typ softwaru obvykle dokáže zpracovat většinu algebraických úloh a například umí nalézt řešení i neurčitých integrálů apod. Jestliže je požadován číselný výsledek stačí zadat hodnoty konstant.

— 21 —
— 42. Technická matematika —
Základní kroky při řešení rovnice analytickým softwarem. 21.1082 Základní kroky při řešení rovnice analytickým softwarem.
Zkratka var označuje proměnnou; zkratka con konstantu.

Software pro numerické výpočetní metody se obvykle omezuje pouze na číselné řešení zadané úlohy (bez algebraických úprav). K tomu využívá buď přímé metody výpočtu, iterační metody výpočtu a nebo metodu výpočtu Monte Carlo uvedené výše. V případě přímé metody výpočtu musí být zadán výpočetní vzorec v použitelné podobě například x=(a3-a2)/a1. Vyčíslení může proběhnout zadáním konstant a1..3. Mezi typické softwary primárně určené pro přímý numerický výpočet patří tabulkové procesory, ve kterých se jednotlivé konstanty a vzorce zadávají do buněk s unikátní adresou. Mezi tabulkové procesory patří například Calc, který je součásti kancelářského balíku OpenOffice.org [7] nebo Exel, který je součástí kancelářského balíku Microsoft Office [6].

Základní kroky při výpočtu vzorce numerickým softwarem užitím přímé metody. 22.1083 Základní kroky při výpočtu vzorce numerickým softwarem užitím přímé metody.
vlevo obecný zápis; vpravo způsob zápisu v tabulkovém procesoru.

Mezi software určený pro iterační metody patří i softwary metody konečných prvků (MKP) používané v mechanice kontinua pro zjištění napětí v součásti či tvaru proudového pole tekutiny a pod. (v těchto případech se výpočet ukončuje po splnění okrajových podmínek). Většina softwarů nedokáže jen podle tvaru rovnice určit iterační metodu (například porovnáním podobnosti s jinými úlohami uložených v knihovně softwaru). Tuto metodu musí vybrat výpočtář včetně logické podmínky ukončení výpočtu. Zadání iteračního výpočtu je náročnější než u předchozích metod nicméně lze jej zadat (naprogramovat) i v tabulkovém procesoru či programovatelné kalkulačce.

Sestavte numerický postup výpočtu dekadického logaritmu čísla 324 s přesností na čtyři desetinná místa. Využijte k tomu mocninou řadu pro pro stanovení přirozeného logaritmu. Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 1084.
Úloha 2.1084
Mocninná řada pro přirozený logaritmus k Úloze 2. Mocninná řada pro přirozený logaritmus k Úloze 2.
Zdroj [1, s. 625].
— 22 —
— 42. Technická matematika —
Řešení Úlohy 2.Řešení Úlohy 2.
Obecný zápis jednotlivých kroků výpočtu logaritmu čísla 324. Bližší popis je uveden v Příloze 1084.
Řešení Úlohy 2.Řešení Úlohy 2.
Algoritmus pro kalkulačku HP 35s. Písmeno L zde označuje (log 324)n-1, písmeno G~(log 324)n a písmeno M~log 3,24. Výsledek činí log 324≐2,5105 (po 5 cyklech).

Software pracující na principu metody Monte Carlo obsahuje algoritmus, který náhodně testuje různá řešení. Obecně se za řešení považuje  množinu čísel, interval na reálné ose čísel nebo konkrétní číslo, o kterém se předpokládá, že leží blízko řešení. Následně matematický software různými postupy dosazuje různá čísla do rovnice jehož řešení hledá a vyhodnocuje zda se od řešení vzdaluje nebo přibližuje a tak neustále zužuje oblast, ve kterém je hledán výsledek. Na typu metody zužování oblasti, kde by mohl ležet výsledek podstatně závisí konvergence výpočtu, protože čím je větší oblast, ve které se hledá výsledek, tím je menší pravděpodobnost, že bude nalezen. V knize Matematické stroje [17] přirovnávají autoři metodu Monte Carlo k myšlenkovým pochodů člověka s tím že lidská mysl má zatím neznáme metody pro zužování oblastí, ve které se nachází množina možných řešení.

Je zřejmé, že metoda Monte Carlo je nejvíce náročná na rychlost hardwaru počítače. Pomocí této metody se řeší diferenciální rovnice, ale využívá se dost často pro hledání řešení i mnohem méně náročných rovnic např. 3·x+1=7, protože rychlost stolních počítačů je vysoká a šetří tak duševní úsilí výpočtáře a tuto metodu výpočtu obsahují i kancelářské tabulkové procesory. Výpočet probíhá tak, že software náhodně dosazuje proměnnou x a testuje jestli se hodnota pravé strany rovnice vzdaluje od levé a podle toho vybírá další tip pro řešení.

— 23 —
— 42. Technická matematika —

Goniometrie

Výpočet úhlů pravoúhlého trojúhelníka a nebo délky jeho stran jsou-li známy jeho úhly je relativně frekventovanou úlohou v technické praxi. Za tímto účelem se používají tzv. goniometrické funkce. Tyto funkce označují poměry dvou stran, přičemž mohou existovat tři základní kombinace.

Pomocí goniometrických funkcí lze zjistit nejen úhly trojúhelníka, ale i jeho orientaci v rovině:

Základní goniometrické funkce.
23.401 Základní goniometrické funkce.
x [°] úhel ve stupních dekadických nebo radiánech viz. další kapitola; sin funkce sinus; cos funkce kosinus; tg funkce tangens (označuje se i jako tan)20. Na obrázku jsou dva trojúhelníky (a) a (b), přičemž oba úhly x jsou kótovány od stejného počátku, aby šlo vidět, že lze pracovat v trigonometrii i s úhly většími jak 90°21. a, b nejkratší strany pravoúhlého trojúhelníku se nazývají odvěsny; c nejdelší strana se nazývá přepona.
20Sekans, kosekans a kotangens
Jsou převrácené hodnoty goniometrických funkcí sinus, kosinus a tengents.
21Poznámka
Délka přepony c je vždy kladné číslo, ale délky odvěsen mohou být i záporné podle toho na jaké straně osy je odvěsna. Tímto způsobem lze jednoznačně určit orientaci trojúhelníku v soustavě souřadnic respektive v jakém jeho kvadrantu se vyskytuje. Délka odvěsen trojúhelníku (a) je kladná a u trojúhelníku (b) je vodorovná odvěsna záporná a proto cos x vyznačeného úhlu bude záporný, ale sin x už kladný a pod. Takové případy se vyskytují například při konstrukci rychlostních trojúhelníků lopatkových strojů), kde hledáme orientaci rychlosti pomocí úhlu a délky jedné strany. Dalším příkladem skládání sil, kdy jednotlivé složky síly mohou být i v různých kvadrantech apod.

Z definice je zřejmé, že funkce sinus a kosinus mohou mít velikost od -1 do 1, kdežto maximální a minimální hodnoty funkce tangents jsou neomezené. Maximální vnitřní úhel pravoúhlého trojúhelníku je 90°, ale pří kótování úhlu podle Obrázku 23 může úhel x teoreticky dosáhnout velikosti 360° (plný úhel), pro případ, kdy se přepona otočí kolem počátku o celou otáčku. Jestliže se přepona otočí o čtvrt otáčky bude úhel 90°, o půl otáčky 180° a o tři čtvrtě otáčky 270°:

— 24 —
— 42. Technická matematika —
Grafy goniometrických funkcí.
24.402 Grafy goniometrických funkcí..

Typická úloha v trigonometrii obvykle vychází ze znalosti úhlu x a jedné strany, přičemž úkolem je vypočítat velikost další strany. K tomu je ale nutné znát hodnotu příslušné goniometrické funkce při zadaném úhlu, ta se hledá v tabulkách goniometrických funkcí nebo se jednoduše vypočítá pomocí kalkulačky nebo jiného matematického stroje.

Výpočet a přepočet goniometrických funkcí

Dříve se goniometrické tabulky počítaly pracným půlením úhlů, kterým se dá hodnota poměru stran přiřadit přesně, což jsou obvykle úhly odpovídající pravidelným mnohoúhelníkům [23, s. 153] vepsaných do jednotkové kružnice. Po objevu Taylorového rozvoje se počítají goniometrické funkce pomocí Taylorovy řady pro funkci sinus [1, s. 389], které lze pomocí jednoduchých vztahů [1, s. 74] přepočítat na funkci cosinus cos x=sin (x+90°) a nebo tangents tg x=sin x/cos x22. Matematické stroje jako kalkulačky a počítače využívají buď hodně přesnou tabulku goniometrických funkcí a nebo algoritmus pro výpočet Taylorovy řady příslušné goniometrické funkce v reálném čase podobně jako se počítají hodnoty logaritmů uvedené v Úloze 2.

22Operace s goniometrickými funkcemi a rovnicemi
Souhrn základních vztahů mezi goniometrickými funkcemi například jak je sčítat, odčítat, násobit a dělit mezi sebou jsou uvedeny v [1, s. 72-78]. Obecné řešení rovnic obsahující goniometrické funkce existuje pouze pro funkce jednoho proměnného úhlu. V případě více proměnných úhlů se postupuje numericky vhodnou iterační metodou, to platí i pro případy funkce jedné proměnné, u kterých nelze separovat neznámý úhel.

Přibližné goniometrické výpočty

Bez kalkulačky lze provést přibližný výpočet goniometrických funkcí pomocí základní tabulky hodnot sinu a tangentu v intervalu 90°. Tento krátký interval postačuje, protože hodnoty pro další úhly lze odvodit z podobnosti křivek na Obrázku 24. Například hodnota sin 200° bude stejná jako -sin 20° apod. Tabulky goniometrických funkcí sinus a tangents jsou uvedeny například v [33].

— 25 —
— 42. Technická matematika —

Cyklometrické funkce

Přirozeně existují i obrácené úlohy a to výpočet úhlu x, jestliže je znám poměr dvou stran. K tomu se využívá vlastností cyklometrických funkcí. Existují tři základní cyklometrické funkce, které jsou inverzní ke goniometrickým funkcím, takže platí x=arcsin b/c (arkussinus), x=arccos a/c (arkuskosinus), x=arctg b/a (arkustangents).

Problém je v tom, že jednoznačnou hodnotu cyklometrické funkce lze přiřadit maximálně na intervalu dlouhým maximálně 180°. Například arcsin na intervalu 90°270°, arccos na intervalu 180° a arctg na intervalu 90°180°. Ale na intervalu 180°arcsin dvě řešení (arcsin 0,5 může znamenat buď 30° nebo 150°) atd. Z toho důvodu je při výpočtu už nutné znát orientaci trojúhelníku v navrženém soustavě souřadnic respektive v jakém je kvadrantu.

Například bude-li poměr protilehlé strany ku přeponě pravoúhlého trojúhelníku, který leží v druhém kvadrantu roven 0,5, potom úhel x například z tabulky v [33] musí být 150° a ne 30°.

Stupně nebo radiány?

V technické praxi se velmi často místo jednotky pro velikost úhlu stupeň [°] používá jednotky radián [rad] tzv. oblouková míra. Použití obou jednotek má své opodstatnění.

Zatímco v případě stupňů používáme 360 dílnou stupnici tak v u radiánů se stupnici o velikosti . To má výhodu především pro případy, kdy se s úhly dále pracuje navazujících výpočtech (i v jiných než v trigonometrických), protože součin úhlu v radiánech a délky přepony je délkou oblouku vytvořené přeponou (v tomto případě se nazývá průvodič). Takže při pootočení průvodiče o celou otáčku bude délka oblouku rovna obvodu kruhu 2π·c, proto plný úhel v radiánech je roven právě 2π=360°. Podobně oblouk vytvořený pootočením průvodičem o čtvrt otáčky musí být velký jako čtvrt kruhu 2π·c/4, takže π/2=90° apod. Převod stupňů na radiány je potom jednoduchý X/(2π)=x/360, kde velké X je úhel v rad (viz. také tabulka v [33]).

Vlastnosti úhlu vyjádřeného v radiánech. 25.403 Vlastnosti úhlu vyjádřeného v radiánech.
Úhel v radiánech násobený délkou průvodiče c je roven velikosti oblouku kružnice o poloměru c.
— 26 —
— 42. Technická matematika —

A proč tedy používáme i stupně? Pro výpočet oblouku pomocí zadaného úhlu ve stupních je sice nutné tyto úhly převést na radiány, ale jednotky stupně mají výhodu ve velmi jemné stupnici a důležité úhly jako pravý úhel 90°, ostrý úhel 45°, přímý úhel 180° a další frekventované úhly 30° a 60° jsou celá čísla. Proto se s dekadickou stupnicí úhlů pracuje mnohem snáz při konkrétních geometrických představách a používají se pro kótování úhlů ve výrobní dokumentaci nějaké součástky, v plánech domů a jiných technických dokumentacích. Radiány ale mají výhodu při širších výpočtech, kdy trigonometrický výpočet je součástí rozsáhlejšího výpočtu a úhly jsou vstupem i do jiných výpočtů (velikosti oblouku, úhlové rychlosti apod.).

Analytická geometrie v prostoru

V kapitole Grafické vyjádření funkcí aneb analytická geometrie v rovině je popsáno zobrazení funkcí dvou proměnných v pravoúhlé soustavě souřadnic x-y. Podobným způsobem lze zobrazovat funkce tří proměnných rozšířením soustavy souřadnic o třetí osu kolmou na dvě předchozí obvykle označovanou z:

Znázornění přímky v prostorové soustavě souřadnic.
26.389 Znázornění přímky v prostorové soustavě souřadnic.
(a) rovnice popisující přímku τ v prostoru23; (b), (c), (d) jsou rovnice průmětů přímky do souřadnicových soustav x-y, x-z a z-y; a1..a14 jsou konstanty; P libovolný bod v prostoru má tři souřadnice (v tomto případě leží na přímce τ).
23Poznámka
Každá z uvedených rovnic je rovnicí prostorově orientované roviny, průsečík těchto rovin je přímka. Existuje, ale více možností jak definovat přímku v prostoru [1, s. 200].

V prostorové (nebo také tříosé či 3D) soustavě souřadnic lze zobrazovat jakékoliv prostorové objekty jako koule, krychle, roviny a pod. Další často se vyskytující funkce zobrazené v prostorové soustavě souřadnic jsou uvedeny v [1, s. 191].

Znázorňovat funkce lze i v jiných soustavách souřadnic než je pravoúhlá [3, s. 14] pokud je to výhodnější. Nejčastěji se lze setkat v technice s válcovou soustavou souřadnic a méně se sférickou (kulovou, polární) soustavou souřadnic [1, s. 192].

— 27 —
— 42. Technická matematika —

Transformace pravoúhlých souřadnic do válcových souřadnic

Pro pohyb kolem osy, se používá válcová soustava souřadnic. Poloze bodu P1 o souřadnicích [x1, y1, z1] v pravoúhlé soustavě souřadnic x, y, z odpovídá poloha ve válcovém soustavě souřadnic r1, u1, a1. Obvodová vzdálenost leží smluvně v rovině xy a axiální směr je totožný se směrem osy z. Protože, obvodová vzdálenost je funkcí průvodiče a úhlu ν lze tuto polohu vyjádřit také souřadnicemi r1, ν1, a1:

Válcová soustava souřadnic-transformace z pravoúhlé soustavy souřadnic. 27.419 Válcová soustava souřadnic-transformace z pravoúhlé soustavy souřadnic.
Ve válcové soustavě souřadnic je poloha bodu vyjádřitelná vzdáleností respektive délkou oblouku u [m] (obvodovou) od počátku úhlového souřadného systému ν [rad] (0), a vzdálenosti ve směru osy kolem niž se bod pohybuje od počátku souřadného systému označována a [m] (axiální) a vzdáleností kolmé k ose r [m] (radiální). Počátek pootočení ν [rad] je vhodné ztotožnit od nějaké osy (zde s osou z), obvodová vzdálenost se vypočítá z nejkratší vzdálenost bodu od osy tedy r (také se označuje jako průvodič) u=r·ν.

Válcová soustava souřadnic se používá v lopatkových strojích, při sestavování rovnic pro osově symetrické proudění [16.]. Každý bod v objemu pracovní tekutiny v lopatkové části lopatkového stroje má polohu popsanou třemi souřadnicemi, takže vektor rychlosti (šipka ukazující směr a velikost proudění ve vyšetřovaném bodě) pracovní tekutiny proudící kolem lopatek může mít tři průměty a to do axiálního, obvodového a radiálního směru:

Válcové souřadnice aplikované na lopatkový stroj. 28.861 Válcové souřadnice aplikované na lopatkový stroj.
ω [rad·s-1] úhlová rychlost rotoru; c [m·s-1] výsledná rychlost tekutiny ve vyšetřovaném bodě.
— 28 —
— 42. Technická matematika —

Parciální derivace

V technice a fyzice se často vyskytují veličiny, které jsou funkcí více nezávislých proměnných a právě takových funkcí se týká parciální neboli částečná derivace. Například pro u=f(x, y) je veličina u funkcí dvou veličin tj. polohy v rovině xy. Takový typ rovnice je možné derivovat podle proměnné x i y přičemž, když se derivuje podle jedné proměnné tak druhá je považována za konstantu. Výsledkem parciální derivace takové funkce je soustava dvou rovnic24:

Parciální derivace funkce u=f(x, y). 29.269 Parciální derivace funkce u=f(x, y).
(a) označení parciální derivace písmenem d (dolní index označuje, která proměnná je při derivaci konstantní) [8, s. 189]; (b) pro přehlednost se upouští od indexů a pro označení parciální derivace se používá místo písmene d znak .
24Poznámka
Taková soustava rovnic se využívá například při hledání gradientu nebo přírůstku funkce známé jako totální diferenciál. Oba tyto matematické pojmy mají své vlastní kapitoly uvedené v další části článku.

Obecně platí, jestliže funkce obsahuje n nezávisle proměnných, potom výsledkem parciální derivace takové funkce bude soustava s n rovnicemi. Při derivování podle jedné proměnné jsou zbylé proměnné považovány za konstantu jako v případě funkce o dvou proměnných [1, s. 395].

Při parciální derivaci platí úplně stejná pravidla derivovaní jako pro funkce jedná proměnné, a parciální derivace má i stejnou interpretaci (jedná se o směrnici tečny k průběhu funkce ve směru osy proměnné podle, které se derivace provádí). To znamená, že uvedené dvě parciální derivace v určitém bodě soustavě souřadnic u-x-y představují dvě tečny k této ploše vytvořenou fukcí f. Tyto tečny jsou na sebe kolmé. Tečna, která je výsledkem parciální derivace podle proměnné x leží v rovině kolmé na osu y, a tečna která je výsledkem parciální derivace podle proměnné y leží v rovině kolmé na osu x.

Vlastnosti a postup při parciální derivaci lze dobře předvést na příkladu jednoho z nejznámějších vztahů v termodynamice, což je rovnice pro hmotnostního průtoku ideálního plynu tryskou při podzvukových rychlostech:

Proveďte parciální derivaci rovnice pro hmotnostní průtok ideálního plynu tryskou podzvukovou rychlostí. Předpokládejte konstantní celkovou teplotu plynu před tryskou.
Úloha 3.214

Rovnice pro hmotnostní průtok tryskou k Úloze 3.
Rovnice pro hmotnostní průtok tryskou k Úloze 3.
m [kg·s-1] hmotnostní průtok plynu tryskou; pe [Pa] tlak na výtoku z trysky; κ [-] konstanta adiabaty; pic [Pa] celkový tlak na vstupu do trysky; Ae [m2] průtočný průřez na vstupu do trysky; r [J·kg-1·K-1] individuální plynová konstanta plynu; Tic [K] celková teplota plynu; a, b, c, d, e konstanty.
— 29 —
— 42. Technická matematika —

Uvedená rovnice má dvě nezávisle proměnné a to celkový tlak před tryskou pic a tlak za tryskou pe, podle toho jak se tyto tlaky mění se mění i hmotnostní průtok plynu m. Rovnice má reálné řešení pouze pro pe>p*, kde p* je kritický tlak, při kterém plyn na výtoku z trysky dosáhne rychlosti zvuku.

Řešení této rovnice představuje plochu v třírozměrné soustavě souřadnic m-pic-pe. Protože funkce je podobná rovnici elipsy je výsledná plocha tvořena z nekonečného množství křivek podobných elipsám a celkově připomíná plochu kužele, proto se tento útvar nazývá průtokový kužel trysky:

Obrázek k Úloze 3.
Obrázek k Úloze 3.
Grafická interpretace parciálních derivací. Na obrázku je znázorněna pro hmotnostní průtok tryskou. Funkce g(pic) představuje hmotnostní průtok, jestliže se mění pouze tlak před tryskou, naopak funkce h(pe) představuje hmotnostní průtok, jestliže se mění pouze tlak za tryskou.
Algebraický zápis soustavy parciálních derivací k Úloze 3. Algebraický zápis soustavy parciálních derivací k Úloze 3.

Parciální derivace ve válcové soustavě souřadnic

Parciální derivace se v tomto případě provádí podle proměnných r, u a a. Protože diference v obvodovém směru lze vyjádřit jako součin délky průvodiče a diference úhlu ν tj. du=r·dν má soustava parciálních diferenciálních rovnic například funkce k=f(r, ν, a) tvar:

Parciální derivace pro jednotlivé proměnné funkce k=f(r, ν, a) ve válcové soustavě souřadnic. 30.679 Parciální derivace pro jednotlivé proměnné funkce k=f(r, u, a) ve válcové soustavě souřadnic.
— 30 —
— 42. Technická matematika —

Totální diferenciál

Totálním diferenciálem se nazývá přírůstek funkce, která má dvě či více proměnných. Označuje se stejně jako přírůstek funkce jedné proměnné, takže totální diferenciál funkce u=f(x, y) dvou proměnných x, y bude du. Totální diferenciál du představuje přírůstek funkce ve vyšetřovaném bodě (ve kterém jsou známy parciální derivace) třírozměrné soustavě souřadic u-x-y, jestliže se změní velikost proměnných o diferenciály dx, dy:

Totální diferenciál funkce u=f(x, y). 31.263 Totální diferenciál funkce u=f(x, y).
V tomto případě se jedná o funkci, jejiž přírůstek ve směru x je klesající duy<0 a ve směru y rostoucí dux>0. Totální diferenciál neboli přírůstek funkce v okolí vyšetřovaného bodu je tedy součtem přírůstků v jednotlivých směrech (parciálních přírůstků) du=duy+dux.

Rovnici pro totální diferenciál lze dále upravit na tvar du=duy/dx·dx+dux/dy·dy=∂u/∂x·dx+∂u/∂y·dy. Takový součet platí i pro funkce z více jak dvěma proměnnými [1, s. 396]:

Totální diferenciál funkce j-proměnných. 32.377 Totální diferenciál funkce j-proměnných.
j počet proměnných; n proměnná.
Určete totální diferenciál průtoku plynu tryskou. Využijte poznatků z Úlohy 3.Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 205.
Úloha 4.205
Úloha 4: Výsledek. Úloha 4: Výsledek.
Určete totální diferenciál rovnice kontinuity proudění tekutiny v kanále. Rovnice má tvar A·ρ·c=K, kde A [m2] je průtočný průřez kanálu, ρ [kg·m-3] je hustota, c [m·s-1] rychlost tekutiny, K [kg·s-1] je hmotnostní průtok, který je konstantní.Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 387.
Úloha 5.387
Úloha 5: Výsledek. Úloha 5: Výsledek.
— 31 —
— 42. Technická matematika —

Aplikace vektorového počtu v mechanice kontinua

Mechanika kontinua se zaměřuje na popis spojitých vlastností a stavu látky či energie ve vyšetřovaném prostoru a čase25. Jakákoliv sledovaná veličina (tlak, teplota, rychlost, hustota, vnitřní energie apod.) se může spojitě měnit ve vyšetřovaném objemu podle souřadnice i v čase. Například rychlost proudění ve vyšetřovaném objemu se může měnit podle toho jaké působí na proudící tekutinu síly a pokud se bude tato síla v čase měnit lze očekávat, že měnit se bude i rychlost tekutiny:

Rychlost tekutiny ve vyšetřovaném objemu.
33.916 Rychlost tekutiny ve vyšetřovaném objemu.
Ω vymezení vyšetřovaného objemu; Ψ proudnice (trajektorie částic tekutiny); i vstup tekutiny do vyšetřovaného objemu; e výstup tekutiny z vyšetřovaného objemu; B poloha vyšetřovaného bodu. cx, y, z [m·s-1] složky rychlosti tekutiny do jednotlivých směrů ve vyšetřovaném bodě.
25Poznámka
Nespojité vlastnosti a stav látky či energie v prostoru a čase popisuje kvantová mechanika.

Rovnice k popisu rychlosti ve vyšetřovaném objemu musí tedy obsahovat tři rovnice (pro každý směr jednu) a v případě, že se bude jednat o nestacionární proudění budou rovnice funkcí i času [5, s. 294]. Navíc tvary rovnic budou ovlivněny i polohou a orientací soustavy souřadnic. Naštěstí zápis těchto rovnic a operace s nimi usnadňují pravidla vektorové alegebry (například zápis vektoru, vektorový součet, součin apod), jejich soupis lze nalézt v [4], [1, s. 219], [8, s. 342]. Vektorovou algebru zavedl Němec Hermann Grassmann (1809-1877) povoláním učitel [10, s. 180], [21, s. 66]. Hlavní výhody vektorového zápisu/počtu názorně vyjadřuje následující citace:

Jeho největší výhody záleží v tom, že jednak pomocí zvláštní symboliky umožňuje velmi jednoduchý zápis vztahů, které by se jinak vyjadřovaly těžkopádnými a nepřehlednými vzorci, jednak dává možnost vyjádřit různé zákony ve tvaru nezávislém na zvolené soustavě souřadnic. František Kejla [1, s. 219]

Následuje několik příkladů aplikace vektorového počtu v mechanice kontinua.

— 32 —
— 42. Technická matematika —

Gradient skalárního pole

V mechanice kontinua gradient určuje "směr" a velikost změny sledované veličiny ve vyšetřovaném objemu, je to tedy vektor. Touto veličinou může být nejen rychlost ale i teplota, hustota, pevnost, tlak, energie či další stavové veličiny. Takže podle této definice bude směr gradientu potenciální energie vody v nádobě na Obrázku 38, proti směru gravitačního zrychlení. Jelikož souřadnicový systém je vytvořen tak, že osa y směřuje proti směru gravitačního zrychlení bude i gradient potenciální energie vody v nádobě ve směru y. Potenciální energie v homogenním gravitačním poli se vypočítá jako součin gravitačního zrychlení a vzdálenosti od počátku navrženého souřadného systému (dno nádoby) e=g·y. Velikost změny potenciální energie ve směru osy y je rovno derivaci rovnice potenciální energie podle osy y, což je de/dy=g:

Gradient potenciální energie v nádobě s vodou. 34.918 Gradient potenciální energie v nádobě s vodou.
grad e [J·kg-1·m-1] gradient potenciální energie (směr růstu potenciální energie ve vyšetřovaném bodě a jeho velikost v závislosti na souřadnici); g [m·s-2] gravitační zrychlení. V tomto případě se potenciální energie vody zvyšuje proti směru gravitačního zrychlení tedy. Vyšetřovaná oblast Ω je celý objem vody v nádobě.

Nechť veličina u je dána funkcí u=f(x, y, z) v oblasti Ω tzv. skalární pole [37, s. 12] (tzn. v každém bodě oblasti Ω má veličina u danou hodnotu – skalár, číslo). Plochy, na kterých je u=konst. jsou tzv. hladiny skalárního pole [1, s. 226].

Gradient funkce u = f(x, y, z).
35.417 Gradient funkce u = f(x, y, z).
(nabla) diferenciální operátor (možno použít místo zkratky grad). V případě gradientu ve válcové soustavě souřadnic se vychází z Rovnice 30 pro parciální derivace ve válcové soustavě souřadnic.

Vektor grad u se nazývá gradient daného skalárního pole. Gradient funkce je tedy vektor. Gradient skalárního pole v bodě x0, y0, z0 a je kolmý k hladině procházející tímto bodem.

Totální diferenciál podruhé aneb přírůstek funkce

Porovnáním rovnice pro gradient a Rovnice 32 pro totální diferenciál lze tvrdit, že přírůstek du veličiny u je skalárním součinem gradientu funkce u=f(x,y,z) a diferenciálu vektoru směru ds. Této vlastnosti se využívá při odvozování rovnic v mechanice kontinua – pro stanovení hodnoty veličiny u v blízkém bodě stačí přičíst přírůstek u+du26:

Totální diferenciál jako skalární součin. 36.677 Totální diferenciál jako skalární součin.
— 33 —
— 42. Technická matematika —
26Poznámka
Příkladem využití gradientu funkce při odvozování rovnice pro její přírůstek je například odvození Eulerovy n-rovnice popisující proudění tekutiny po zakřivené dráze.
Určete gradient tlaku kapaliny v nádobě na obrázku v bodě xi, yi, zi. Zakreslete hladinu procházející bodem xi, yi, zi, a sestavte rovnici totálního diferenciálu tlaku. Uvažujte, že na kapalinu působí pouze tíhové zrychlení (homogenní tíhové pole).
Úloha 6.1085
Obrázek k Úloze 6. Obrázek k Úloze 6.
V tomto případě je tlak skalární veličina, která je funkci hloubky respektive souřadnice y ve vyšetřovaném objemu p=f(y), přičemž v celém tomto objemu je možné tlak vypočítat z výšky sloupce kapaliny nad vyšetřovaným bodem [2, s. 17]. Vyšetřovaný objem je tedy "vyplněn" skalárním polem.
Úloha 6: řešení. Úloha 6: řešení.
ρ [kg·m-1] hustota; grad p [Pa·m-1] gradient statického tlaku, který ukazuje směr růstu tlaku ve vyšetřovaném bodě a jeho velikost v závislosti na souřadnici.

Pomocí gradientu funkce lze určit nejen směr růstu tlaku, potenciální energie, ale i tepla, entropie, entalpie či rychlosti definovaných na oblasti Ω. Například je-li na oblasti Ω definována funkce rychlosti c, pak zrychlení lze stanovit podle vzorce:

Výpočet zrychlení pomocí funkce rychlosti. 37.961 Výpočet zrychlení pomocí funkce rychlosti.
a [m·s-2] zrychlení; c [m·s-1] rychlost tekutiny. Zrychlení je tedy gradientem měrné kinetické energie. Rovnice je odvozena v Příloze 961.
Určete zrychlení proudu ideálního plynu v potrubí tepelného výměníku. Uvažujte stacionární proudění a vysokou tepelnou vodivost pracovní tekutiny.Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 1087.
Úloha 7.1087

Potenciální (konzervativní) vektorové pole

Vektorové pole vytvořené z gradientu nějaké funkce má tu vlastnost, že cirkulace vektoru27 po uzavřené cestě (v prostoru orientovaná křivka) je rovna nule.

27Cirkulace vektoru
Integrace skalárního součinu dvou vektorů na uzavřené křivce v jednom směru [31]:
— 34 —
— 42. Technická matematika —
Cirkulace vektoru na křivce K. 38.390 Cirkulace vektoru na křivce K.
(a) obecná definice (jestliže a=grad u pak výsledkem je rozdíl veličiny u mezi koncem a začátkem křivky K); (b) cirkulace vektoru a po uzavřené křivce K v potenciálním poli; (c) cirkulace vektoru a po uzavřené křivce K v poli, které není potenciální.

Jestli že a by byla síla, tak v potenciálním poli by práce, kterou vykoná po křivce spojující dva body A, B nezávisela na tvaru této křivky.

Předpoklad, že nějaké vektorové pole je potenciální se využívá ve fyzice i technice relativně často. V takových případech lze použít obráceně definici gradientu funkce tj. je dáno potenciální vektorové pole, o kterém víme, a tak můžeme nalézt funkci (nalezením gradientu této funkce) pomocí které lze tento vektor vypočítat v kterémkoliv bodu pole. Jak je ukázáno v dalších kapitolách.

Může se stát, že cirkulace vektoru po uzavřené křivce ve vektorovém poli, o kterém víme, že je i potenciální nevyjde nula. Toto je relativně častý případ, ke kterému dochází jestliže uvnitř křivky se nachází oblast nebo jen bod, ve kterém není definovaná funkce respektive nelze zde stanovit gradient. Například k nenulovému výsledku cirkulace vektoru dochází při výpočtu cirkulace rychlosti kolem profilu (viz kapitola 12. Síla na lopatku a cirkulace rychlosti) nebo kolem středu víru, ve kterém je singulární bod apod. Pokud ale tvar křivky, po které integrujeme upravíme tak, aby tuto nedefinovanou oblast obcházela, tak cirkulace opět vyjde nula (viz například Obrázek 51 níže).

Vektory v nekonzervativním vektorovém poly lze řešit pomocí statistiky, podobnosti atd.

Aplikace potenciálního vektorového pole.
39.678 Aplikace potenciálního vektorového pole.
Aplikace na případ gradientu tlaku pÚlohy 6. Rozdíl tlaků mezi body A a C nezáleží na tom po jaké dráze je provedena integrace přírůstku tlaku p. Rozdíl tlaků mezi body A a B je tedy správně roven rozdílů tlaků mezi hladinami tlaku, ve kterém tyto body leží. Gradient tlaku vytvořil potenciální vektorové pole.

Potenciální vektorové pole nemusí být je statické pole částic, ale může ho vytvářet i proud částic, jestliže parametry proudu lze vypočítat podle nějaké funkce polohy. Například Vzorec 37 pro zrychlení platí pro potenciální vektorové pole.

— 35 —
— 42. Technická matematika —

Energetické rovnice potenciálního proudění

Při konstrukci výchozí rovnice vycházejme z prvního zákona termodynamiky pro otevřený systém. Podle tohoto zákona se při proudění tekutiny strojem/kanálem mohou mechanické energie jako vnitřní tepelná, tlaková, kinetická a potenciální transformovat mezi sebou nebo se mohou snižovat či zvyšovat v důsledku sdílení tepla nebo práce s okolím. Jestliže proudění bude ve vyšetřovaném objemu potenciální musí zákon zachování platit i pro gradienty těchto energií v jednotlivých bodech takového objemu to znamená, že klesá-li v nějakém směru v konkrétním bodě gradient jednoho druhu energie, tak v tom samém bodě a směru musí gradient jiné energie růst apod. Pokud tomu tak není znamená to, že růst/pokles gradientu má na svědomí sdílení práce nebo tepla s okolím. Odtud lze pro potenciální proudění psát rovnici:

Energetická rovnice potenciálního proudění pro prostorové souřadnice.
40.746 Energetická rovnice potenciálního proudění pro prostorové souřadnice.
Ω vyšetřovaný objem. ci [m·s-1] rychlosti proudění na vstupech do vyšetřovaného objemu; ce [m·s-1] rychlosti proudění na výstupech z vyšetřovaného objemu; ai [J·kg-1] měrná vnitřní práce tekutiny; q [J·kg-1] měrné teplo sdílené s okolím28; u [J·kg-1] měrná vnitřní tepelná energie; p [Pa] tlak; ρ [kg·m-1] hustota tekutiny; R [m·s-2] výslednice vnějšího zrychlení (jestliže je v celém objemu konstantní lze psát ∇e=-R). Předpoklady sestavení rovnice: ustálené potenciální proudění tekutiny; na vstupní ploše do vyšetřované oblasti je celková mechanická energie stejná. Rovnici lze také odvodit z rovnice prvního zákona termodynamiky použitím vlastností přírůstku funkce pomocí gradientu viz Rovnice 36.
28Poznámka
Může se jednat o teplo přiváděné/odváděné do/z pracovní tekutiny přes hranici vyšetřovaného objemu nebo i o teplo vzniklé/spotřebované chemickou reakcí uvnitř vyšetřovaného objemu.

Jestliže gradient tepla ∇q v daném bodě vyšetřovaného objemu roste/klesá znamená to, že mechanické energie se v daném směru zvyšuje/snižuje díky tomuto teplu. Jestliže gradient práce ∇ai v daném bodě vyšetřovaného objemu roste/klesá znamená to, že mechanické energie směru klesají/rostou v důsledku konání/spotřeby práce.

Uvedená rovnice popisuje potenciální proudění, takže jednotlivé druhy energií také vytváří hladiny, na kterých jsou jejich hodnoty konstantní.

Energetická rovnice proudění pro prostorové souřadnice má velmi široké použití. Používá se například pro stanovení gradientu rychlosti na vstupech a výstupech z lopatek lopatkových strojů, gradienty rychlosti a rozložení tlaku ve spirálních kanálech a pod. viz kapitoly 12. Rozložení tlaku a energie v lopatkovém stroji, 19. Obecné rovnice a předpoklady řešení prostorového proudění ve stupni lopatkového stroje.

— 36 —
— 42. Technická matematika —

Rovnice sama o sobě obsahuje velké množství proměnných, proto pro řešení proudění v prostoru jsou nutné i další rovnice. Rovnice 40 je energetickou bilancí proudění mimo ni lze ještě použít rovnice vycházející ze silové rovnováhy částeček tekutiny:

Rovnice silové rovnováhy potenciálního proudění

Jestliže na tekutinu působí nějaké síla s nenulovou výslednicí bude podle Newtonova pohybového zákona v daném směru zrychlovat. V tomto případě rychlost tzv ideální tekutiny mohou měnit síly tíhové od vnějšího zrychlení a síly od rozdílu tlaku29 působící na elementární objem tekutiny ve vyšetřovaném bodě podle d'Alembertova principu [5, s. 45]. Směr zrychlení tekutiny pak bude totožný s výslednicí těchto sil.

Například na elementární objem tekutiny ve tvaru kvádru o stranách dx, dy, dz při potenciálním proudění bude působit v jednotlivých směrech síla od tlaku odpovídající přírůstku tlaku a plochy elementu a současně síla od vnějšího zrychlení vnější zrychlení odpovídající hmotnosti tekutiny v tomto elementárním objemu:

Eulerova rovnice hydrodynamiky ustáleného potenciálního proudění.
41.1044 Eulerova rovnice hydrodynamiky ustáleného potenciálního proudění29.
(a), (b), (c) síla působící od rozdílu tlaku ve směru osy x, y, z; (d), (e), (f) síla působící od vnějšího zrychlení ve směru osy x, y, z; (g), (h), (i) výslednou sílu od tlaku i vnějšího zrychlení lze určit i ze součinu zrychlení a hmotnosti vyšetřovaného objemu, tuto rovnost sil ve směru osy x vyjadřuje rovnice (j); (k) rovnosti pocházející z Rovnice 29 a Rovnice 37; (l) pro směry y a z lze postupovat stejně jako v případě (j) a (k), přičemž všechny tři rovnice lze podle pravidel vektorové analýzy zapsat ve tvaru l. a [m·s-2] zrychlení; c [m·s-1] rychlost tekutiny; ρ [kg·m-3] hustota.
29Poznámka
Eulerovou rovnici hydrodynamiky se nazývá Rovnice 41(l).

Eulerově rovnici hydrodynamiky nelze hustotu zařadit do gradientu tlaku, i když je hustota tekutiny ρ proměnná (nejedná se o gradient tlakové energie), ale za ρ se dosadí hustota ve vyšetřovaném bodě. Pokud se jedná o proudění nestlačitelné ideální tekutiny bez sdílení tepla má Rovnice 41 stejný tvar jako energetická Rovnice 40, kdy lze hustotu vytknout před gradient tlakové energie.

— 37 —
— 42. Technická matematika —

Z Eulerovy rovnice hydrodynamiky je očividné, že při zanedbání vlivu vnějšího zrychlení může tekutina zrychlovat jen tehdy pokud se mění tlak:

Určete gradient tlaku proudu ideálního plynu v potrubí tepelného výměníku, jestliže znáte funkci pro zrychlení. Použijte výsledky z Úlohy 7. Zanedbejte vliv vnějšího zrychlení. Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 1040.
Úloha 8.1040

Divergence vektoru

Jednotlivé složky gradient jsou výsledné funkce parciální derivace, další derivování těchto funkcí (složek gradientu) se nazývá divergence. Divergenci vektoru a(ax, ay, az) se nazývá skalár (výsledkem je číslo) [1, s. 228]:

Divergence vektoru.
42.420 Divergence vektoru30.
(a) v pravoúhlé soustavě souřadnic; (b) ve válcové soustavě souřadnic.
30Příklad použití divergence vektoru
Je-li a vektor průtoku tekutiny stacionárního proudění je součet derivací průtoku v jednotlivých směrech roven nule div a=0. To znamená, že sníží-li se průtok v jednom nebo dvou směrech musí se v dalším směru/směrech zvýšit, aby byl celkový průtok kolem vyšetřovaného bodu zachován [1, s. 228]. Z uvedených důvodů se používá divergence vektoru pro zápis rovnice kontinuity:
Zápis rovnice kontinuity stacionárního průtoku tekutiny. 43.680 Zápis rovnice kontinuity stacionárního průtoku tekutiny.
m [kg·s-1] hmotnostní průtok tekutiny; ρ [kg·m-3] hustota tekutiny, c [m·s-1] rychlost tekutiny.

Předchozí případ zápisu rovnice kontinuity předpokládá, že průtok je stacionární ve vyšetřovaném bodě. V případě nestacionárního průtoku může dojít u stlačitelného proudění k tomu, že v čase se bude ve vyšetřovaném bodě měnit hustota pracovní látky (například při šíření zvukové vlny), takže v jistém krátkém časovém úseku může k danému bodu více tekutiny přitékat než odtékat (hustota se zvyšuje) a obráceně [37, s. 32] a divergence průtoku by nebyla rovna nule. V takovém případě je nutné rovnici kontinuity upravit na tvar:

Zápis rovnice kontinuity nestacionárního průtoku tekutiny. 44.982 Zápis rovnice kontinuity nestacionárního průtoku tekutiny.
t [s] čas.

Stejným způsobem lze sestavit rovnici zachování například pro tok nabitých částic apod.

— 38 —
— 42. Technická matematika —

Aplikace tenzorového počtu v mechanice kontinua

Při řešení některých úloh v mechanice kontinua již nevystačíme pouze s vektorem a jeho třemi složkami. Vektor má tři složky ve směru jednotlivých os, tenzor umožňuje zpracovat ještě dalších šest složek obvykle v paralelních směrech (lze stanovit i jiné směry viz tenzorový počet [1], [5], [38]). Tenzor vznikne posunutím os souřadnic definovaným způsobem a zápisem složek vektoru v původním systému a novém:

Příklad znázornění složek tenzoru. 45.909 Příklad znázornění složek tenzoru.
Je znám vektor rychlosti v okolí bodu P, který má tři složky cx, cy a cz a zajímá nás změna těchto složek v malé vzdálenosti od bodu P. V takovém případě se složka cx změní při posunutí ve směru osy x od dcxx, ve směru osy y od dcxy a ve směru osy z od dcxz atd pro ostatní složky. Pro zachování přehlednosti nejsou na obrázku zakresleny přírůstky složky rychlosti cz.

Celkem se tedy pracuje s devíti přírůstky pro všechny možné směry ty lze zapsat třeba takto:

Zápis tenzoru přírůstků rychlosti z předchozího obrázku. 46.888 Zápis tenzoru přírůstků rychlosti z předchozího obrázku.

Vyšetřování kontinua je celkem snadné, pokud jsou přírůstky veličin v paralelních směrech nulové (tzn nenulové by mohly být pouze přírůstky xx, yy, zz ostatní tj xy, xz, yx, yz, zx, zy nulové), ale zajímavější věci se dějí pokud jsou nenulové i další přírůstky. V takovém případě to znamená, že se kolem vyšetřovaného bodu kontinuum deformuje, vzniká v něm napětí nebo v případě tekutin může dokonce rotovat:

Rotace vektoru, vírový a nevírový pohyb

Rotace tekutiny může nastat, jestliže přírůstek složek rychlosti je rozdílný. Z těchto rozdílů lze vypočítat i úhlovou rychlost otáčení. Úhlová rychlost otáčení se stanoví jako podíl obvodové rychlosti ku ramenu (vzdálenost od osy rotace zapsáno ve tvaru ω=u·r-1, kde ω [rad·s-1] je úhlová rychlost; u [m·s-1] je obvodová rychlost (viz také Vzorec 10); r [m] je rameno). V případě vyšetřování rotace v nejbližším okolí bodu P, kde je rychlost tekutiny c(cx, cy, cz) musí obvodová rychlost odpovídat přírůstku složky rychlosti31 na velmi malém ramenu rovnu diferenciálu vzdálenosti od bodu P:

— 39 —
— 42. Technická matematika —
Rotace kolem osy rovnoběžné s osou z. 47.1031 Rotace kolem osy rovnoběžné s osou z.
(a) úhlová rychlost rotace elementárního objemu podle přírůstku složky rychlosti cx ve směru osy y; (b) úhlová rychlost rotace elementárního objemu podle přírůstku složky rychlosti cy ve směru osy x; (c) přírůstky od jednotlivých složek rychlosti i velikost ramen se mohou měnit a tedy i úhlové rychlosti (v tomto případě působí dokonce proti sobě), proto výsledná úhlová rychlost se bere jako jejich průměr. Viz také postup v [2. s. 245]
31Poznámka
Přírůstky dcxx respektive dcyy a dczz nemohou být obvodovými rychlostmi, protože jejich směr prochází bodem P, nemají k tomuto bodu rameno.

Takto lze stanovit úhlovou rychlost pro další dva směry takže obecně lze pomocí pravidel vektorové analýzy zapsat vzorec pro rotaci vektoru a (v předchozím případě by to byla rychlosti c) takto:

Rotace vektoru-definice.
48.421 Rotace vektoru-definice.
(a) v pravoúhlé soustavě souřadnic; (b) ve válcové soustavě souřadnic. Odvození rotoru rychlosti je v Příloze 421.

V uvedených vzorcích pro rotaci vektoru chybí (se vynechává) před každou složkou konstanta 1/2 takže, jestliže rotace vektoru na vyšetřované oblasti Ω nenulová rot a≠0 znamená to, že látka ve vyšetřovaném bodě respektive v jeho okolí32 se otáčí kolem tohoto bodu jako celek přičemž délka vektoru rot a je dvojnásobek úhlové rychlosti této rotace (2·ω). V takovém případě se toto pole nazývá vírové vektorové pole [4, s. 202].

32Poznámka
V případě vyšetřování rychlosti proudění tekutiny toto okolí nesmí být moc malé. Při velmi malém okolí už by mohl převažovat termokinetický pohyb molekul nad pohybem proudění látky jako celku.

Dosazením definice gradientu funkce do rovnice rotace vektoru lze velmi snadno odvodit, že rotace potenciálního vektorového pole je nulová:

Rotace potenciálního vektorového pole. 49.681 Rotace potenciálního vektorového pole.
Odvození této rovnosti je uvedeno v Příloze 681.

Interpretovat rotaci vektoru pohybu látky c lze následujícím způsobem:

— 40 —
— 42. Technická matematika —
Typy pohybu látky podle rotoru rychlosti. 50.920 Typy pohybu látky podle rotoru rychlosti.
(a) charakter nevírového proudění respektive potenciálního proudění33 (částečky proudící látky konají pouze posuvný pohyb v celém vyšetřovaném objemu); (c) charakter vírového pohybu (částečky pohybující se látky se otáčí kolem vyšetřovaného bodu B a zároveň mohou konat i posuvný pohyb).
33Poznámka
Definice potenciálního proudění usnadňuje řešení především energetických a silových bilancí proudění. Rotace látky ve vyšetřovaném bodě totiž může spotřebovávat či produkovat energii, která ovlivňuje i posuvný pohyb, proto jsou-li tyto vlivy malé lze s dostatečnou přesností aplikovat rovnice potenciálního proudění i na proudění, které očividně potenciální není například případy rot a=konst., rot a≈0.

V technické praxi se lze velice často setkat s pohybem látky po kružnici nebo trajektoriím blízkým kružnicím. Typickým příkladem je osově symetrické proudění či rotace disku setrvačníku. Zatím co lze dokázat, že rychlostní pole hmoty setrvačníku vytváří vírové pole, proudění po kruhové dráze nevírové být může:

Vektorové pole rychlosti pohybu po kružnici.
51.1086 Vektorové pole rychlosti pohybu po kružnici.
(a) charakteristika posuvného pohybu tekutiny po kružnici kolem středu S, rot c=0 tzv. potenciální vír [2, s. 219]; (b) rotace hmoty setrvačníku (hmota v bezprostředním okolí jakéhokoliv bodu setrvačníku rotuje kolem osy rotace s úhlovou rychlostí ω), rot c≠0. (c) rovnici pro rychlost proudění lze odvodit z Rovnice 49 pro ca=0, cr=0 (podmínka pro posuvný pohyb na kružnici) – hledá se řešení soustavy parciálních diferenciálních rovnic gradientu (rovnici lze odvodit i z integrálu cirkulace rychlosti po uzavřené křivce K, který musí být roven nule); (d) rovnice pro kruhový pohyb pevného disku setrvačníku je převzata z [3, s. 42]-tato rovnice je odlišná od rovnice pro potenciální vektorové pole rychlosti, takže vektorové pole rychlosti nemůže být nevírové, lze také dokázat, že uvedená rovnice pro rychlost není gradientem žádné funkce, proto i cirkulace rychlosti po uzavřené křivce K je různá od nuly34. a1 [m2·s-1] konstanta; ω [rad·s-1] úhlová rychlost. Odvození je uvedeno v Příloze 1086.
— 41 —
— 42. Technická matematika —
34Poznámka
Křivkový integrál lze rozdělit na čtyři úseky-dva úseky po radiálách jsou přímkami, dva úseky jsou kruhovými oblouky. Integrály po radiálách budou rovny nule, protože rychlost nemá radiální složku cr=0. V případě integrálu po vnějším oblouku lze před integrál vytknout obvodovou rychlost cu, která je konstantní a integrál po kruhovém oblouku bude roven délce oblouku. Stejnou operaci lze provést na vnitřním oblouku s tím, že obvodová rychlost i délka oblouku budou menší a záporného znaménka. Protože integrace cirkulace rychlosti na vnějším oblouku je větší bude i výsledek různý od nuly35.
35Poznámka
I cirkulace rychlosti po kružnici L na Obrázku 51c bude různá od nuly – to je proto, že uvnitř této křivky se nachází střed, kde nelze vektor rychlosti definovat a tudíž nesplňuje požadavek, že pro stanovení gradientu musí být funkce rychlosti definována v každém bodě oblasti Ω viz definice u Rovnice 35 [2, s. 220].

Dvojice sil, které mohou tekutinu uvést v malém okolí bodu do rotace mohou vznikat u reálných tekutin například v důsledku vnitřního tření způsobeného viskozitou. Odtud je rozlišováno laminární a turbulentní proudění. Přičemž při laminárním proudění nejsou ještě síly od vnitřního tření schopny uvést tekutinu do rotace u turbulentního proudění už ano. Laminární proudění tedy patří do skupiny potenciálního proudění, které lze ještě dobře matematicky popsat například pomocí Navier-Stokesovy rovnice.

Aproximace v logaritmické soustavě souřadnic

Pro aproximaci naměřených dat vhodnou funkcí lze využít logaritmický papír respektive logaritmického soustavy souřadnic, zvláště pokud očekávaný tvar vzorce je exponenciální. Na logaritmickém papíře jsou i exponenciální křivky přímkami, a proto aproximace bodů z naměřených dat není tak obtížné. Za tímto účelem je v [32, 42.1070] zobrazen logaritmický papír o velikosti 17x17cm.

Nalezněte přibližnou hodnotu konstanty potrubního systému určeného pro vytápění. Potrubním systémem proudí horká voda. K dispozici jsou naměřené průtoky (V [m3·s-1]) systémem a příslušná tlaková ztráta (Δp [Pa]). Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 1081.
Úloha 9.1081 Převzato a upraveno z [14, s. 17]
V·10^5 [m3·s-1] 19,64   29,64   50,07   74,61   113,9   161   233,7
-------------------------------------------------------------------
Δp     [Pa]     10      25,1    62      140     320     700   1400 
Naměřené hodnoty k Úloze 9.
— 42 —
Obrázek k Úloze 9.Obrázek k Úloze 9.

V logaritmických souřadnicích se hledají i zcela nové empirické vztahy především kritérií podobnosti.

Odkazy

  1. REKTORYS, Karel, CIPRA, Tomáš, DRÁBEK, Karel, FIEDLER, Miroslav, FUKA, Jaroslav, KEJLA, František, KEPR, Bořivoj, NEČAS, Jindřich, NOŽIČKA, František, PRÁGER, Milan, SEGETH, Karel, SEGETHOVÁ, Jitka, VILHELM, Václav, VITÁSEK, Emil, ZELENKA, Miroslav. Přehled užité matematiky I, II, 2003. 7. vydání. Praha: Prometheus, spol. s.r.o., ISBN 80-7196-179-5.
  2. MAŠTOVSKÝ, Otakar. Hydromechanika, 1964. 2. vydání. Praha: Statní nakladatelství technické literatury.
  3. MACHÁČEK, Martin. Encyklopedie fyziky, 1995. 1. vydání. Praha: Mladá fronta, ISBN 80-204-0237-3.
  4. GARAJ, Jozef. Základy vektorového počtu, 1957. Vydanie prvé, Bratislava: Slovenské vydavateľstvo technickej literatúry, n.p.
  5. MACUR, Milan. Úvod do analytické mechaniky a mechaniky kontinua, 2010. Brno: Vutium, ISBN 978-80-214-3944-3.
  6. Microsoft Office, kancelářský balík. Výrobce: Redmond, Washington, USA. Web: https://products.office.com.
— 43 —
— 42. Technická matematika —
  1. OpenOffice, kancelářský balík. Výrobce: The Apache Software Foundation, adresa: Forest Hill, Maryland, USA. Web: https://www.openoffice.org.
  2. DOBROVOLNÝ, Bohumil, ŽĎÁREK, Josef. Přehled technické matematiky, 1954. Vydání 3. rozšířené. Praha: ROH - PRÁCE. 432 stran.
  3. MAREŠ, Milan. Příběhy matematiky, 2008. Příbram: Pistorius&Olšanská, s.r.o. ISBN 978-80-87053-16-4.
  4. STRUIK, Dirk. Dějiny matematiky, 1963. Praha: Orbis.
  5. TESAŘÍK, Bohumil. Objev logaritmů měl na vědu dopad srovnatelný s vynálezem počítače, Technický týdeník, č. 09, 2015. Praha: Business Media CZ, ISSN 0040-1064.
  6. VACEK, Adolf. Technické početní tabulky, 1953. Praha: ROH-PRÁCE-vydavatelství knih.
  7. KUNC, Antonín, JOZÍFEK, Vítěslav. Matematika pro dělníky a mistry, 1963. Praha: Statní nakladatelství technické literatury, stran 380.
  8. PLESKOT, Václav. Nomografie v technické praxi, 1947. Vydání první. Praha: SPASEI. Stran 207+11.
  9. ŠTĚPANSKÝ, Václav. Nomogramy, 1970. Vydání druhé. Praha: SNTL. 252 stran.
  10. EVESHAM, Harold. The History and Development of Nomography, 1982. Boston: Docent press, LLC. ISBN 
  11. GECSEI, Ján, KLÍR, Jiří, PELIKÁN, Pavel. Matematické stroje, 1964. 1. vydání. Praha: Orbis. 270 stran.
  12. Maple, Computer Algebra Systems. Výrobce: Maplesoft™, adresa: 615 Kumpf Drive Waterloo, ON Canada N2V 1K8, web: http://www.maplesoft.com/.
  13. MAROŠ, Bohumil, MAROŠOVÁ, Marie. Základy numerické matematiky, 1997. Brno: VUT v Brně. ISBN 80-214-0826-X.
  14. THIELE, Rüdiger. Matematické důkazy, 1985. Vydání první. Praha: Statní nakladatelství technické literatury, 164 stran, 60 obrázků.
  15. DEVLIN, Keith. Jazyk matematiky, 2003. První vydání v českém jazyce. Praha: Dokořán, s.r.o. ISBN 80-86569-09-08.
  16. LIVIO, Mario. Zlatý řez, 2008. První vydání v českém jazyce. Praha: Dokořán, s.r.o. ISBN 80-7363-064-8.
  17. STEWART, Ian. Kabinet matematických kuriozit profesora Stewarta, 2013. První vydání v českém jazyce. Praha: Dokořán, s.r.o. ISBN 978-80-7363-292-2.
  18. MAREŠ, Milan. Slova, která se hodí, aneb, Jak si povídat o matematice, kybernetice a informatice. Praha: Academia, 2006. ISBN 80-200-1445-4.
  19. KONÍČEK, Oldřich. TICHÝ, Zdeněk. VESELKA, Josef. Strojnická příručka, díl první Matematika, 1956. Praha: SNTL. 232 stran.
— 44 —
— 42. Technická matematika —
  1. ŠINDELÁŘ, Václav, Ladislav SMRŽ a Zdeněk BEŤÁK. Nová soustava jednotek SI. 3. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1989.
  2. SCHMIDTMAYER, Josef. Maticový počet a jeho použití v technice, 1967. Vydání druhé. Praha: SNTL. 384 stran.
  3. GLEICK, James. Informace: Historie, Teorie, Záplava, 2013. 1. vydání. Praha: Argo, ISBN 978-80-7363-415-5.
  4. NAUMANN, Friedrich. Dějiny informatiky, 2009. 1. vydání. Praha: Academia, ISBN 978-80-200-1730-7.
  5. OPAVA, Zdeněk. Jak sestrojovat spojnicové nomogramy, 1972. Praha: Práce, nakladatelství technické literatury. Polytechnická knižnice (SNTL).
  6. KONÍČEK, Oldřich. Tichý, Zdeněk. VESELKA, Josef. Strojnická příručka, Matematika, dva díly. 1956. Vydání první. Praha: SNTL.
  7. ŠKORPÍK, Jiří. Nomogramy, 2017. 1. vydání. Brno: vlastním nákladem Jiří Škorpík. Dostupné z http://www.transformacni-technologie.cz/nomogramy.pdf.
  8. JAKOVLEV, K. P. BRONŠTEJN, I. N. BALJEZIN, S. A. SVĚŠNIKOV, G. N. ZINOVĚV, V. A. Fyzikálně technická příručka, 1963. Vydání první. Praha: SNTL. Překlad z ruského originálu.
  9. KINDL, Karel. Matematika: přehled učiva pro základní školy. Vydání 2. 1975. Praha: SNP.
  10. ROBINSON, Andrew. Jak se měří svět: příběhy z dějin měření. Praha: Euromedia Group - Knižní klub, 2008. Universum (Knižní klub). ISBN 9788024221878.
  11. STEWART, Ian. Truhlice matematických pokladů profesora Stewarta. Praha: Dokořán, 2013. Aliter (Argo: Dokořán). ISBN 9788073635275.
  12. BAIS, Sander. Rovnice: symboly poznání. Praha: Dokořán, 2009. ISBN 978-80-7363-228-1.
  13. BRDIČKA, Miroslav, Ladislav SAMEK a Bruno. SOPKO. Mechanika kontinua. Vyd. 2., opravené. Praha: Academia, 2000. ISBN 9788020007728.

Bibliografická citace článku

ŠKORPÍK, Jiří. Technická matematika, Transformační technologie, 2009-03, [last updated 2017-10-01]. Brno: Jiří Škorpík, [on-line] pokračující zdroj, ISSN 1804-8293. Dostupné z http://www.transformacni-technologie.cz/42.html.

©Jiří Škorpík, LICENCE
— 45 —

Přílohy

Přílohy jsou uvedeny v e-knize:

Technická matematika. 42. Technická matematika
45 stran textu + 10 stran příloh.

Náhledy: Titulní strana, Příloha 1079, Příloha 1084.
Formát: PDF, velikost A4.




Cena: 35 Kč

Koupit

Soubor všech dostupných e-knih lze koupit s množstevní slevou zde.