18. PODOBNOSTI LOPATKOVÝCH STROJŮ

Úvod

Návrh lopatkového stroje se provádí na základě zadání, které obsahuje základní parametry (například druh pracovní tekutiny, tlaky, teploty, otáčky apod.), ale k návrhu to obvykle nestačí. Další parametry musí konstruktér odhadnout, ale ještě lépe využít zkušeností s návrhem a provozem již vyrobených strojů nebo jejich modelů – využití teorie podobnosti. Teorii podobnosti lze použít také při predikci výkonových a spotřebních charakteristik strojů mimo návrhový bod apod.

Pozorovatel může vidět mezi dvěma lopatkovými stroji jistou podobnost. Například o dvou axiálních turbínách z nichž jedna bude menší, lze přesto říci, že si jsou podobné. Podobně může hodnotit pozorovatel další parametry stroje jako výkon, průtok, tlakový spád atd. Pokud mezi těmito veličinami dvou strojů pozorovatel shledá souvislosti může konstatovat, že tyto stroje jsou si podobné. Dalším krokem je tyto podobnosti popsat a vyčíslit takovým způsobem, aby z těchto údajů bylo možné vycházet při návrhu nového stroje.

Teorie podobnosti, teorie modelů

Teorie podobnosti je nástrojem rozumem obdařeného pozorovatele k predikci vývoje sledovaných či budoucích procesů na základě již známého podobného procesu. Pozorovatel musí být ovšem schopný nejprve určit, že se jedná o podobný proces, k tomu mu slouží zkušenost a studium dané oblasti přírodních či humanitních věd, do kterého proces podle svých příznaků spadá a schopnost nalézat souvislosti.

Teorie podobnosti se využívá tam, kde není možné využít jiné nástroje, které by proces popisovaly přesněji např. pro obrovskou složitost problému (velmi složitý systém třeba i organický; vysoké finanční a časové náklady na přesný výpočet apod.). Teorie podobnosti se používá v psychologii při odhadu chování člověka, ve zdravotnictví při stanovení diagnózy a odhadu průběhu nemoci, v technice při navrhování nových strojů apod. V některých technických případech lze za tímto účelem vytvářet i modely-předlohy:

Díky tomu vzniká možnost studovat objekty nepřímo, totiž prostřednictvím studia jiných objektů, které jsou s nimi analogické v nějakém přesně definovaném ohledu. Citace z [3, s. 11]

Modely v technice lze rozdělit podle [3, s. 17] do dvou skupin: Do první skupiny patří modely, které jsou objekty, kde právě fyzické vlastnosti těchto objektů umožňují jejich použití jakožto modelů. Do druhé skupiny patří modely, které jsou budovány ze znaků. Modely tohoto druhu se nazývají formálními nebo matematickými. Je zřejmé, že modely lopatkových strojů patří do první skupiny, která je zde dále rozváděna.

reklama

Při konstrukci nového stroje mohou konstruktéři vycházet z teorie podobnosti již vyrobených podobných strojů či modelů pouze za určitých předpokladů. Především je nutná zkušenost týmu, jenž má za úkol stroj navrhnout, aby správně mohli posuzovat, co je na jednotlivých strojích podobné a uvádět tuto podobnost do souvislostí. K tomu je potřeba jistá schopnost intuice, která umožňuje konstruktérům sestavit kritéria podobnosti⁽¹⁾ (například Reynoldsovo číslo používané při vyhodnocování vlastnosti proudění). Aby bylo vůbec možné hledat podobnost, která by byla ku pomoci při návrhu nového stroje, je nutné, aby porovnávané stroje pracovali se stejnou pracovní látkou, byly si geometricky podobné (např. tvarem lopatkové mříže, tvarem oběžného kola apod.) a byly si také kinematicky podobné (to znamená tvarem rychlostního trojúhelníku). Více o těchto podmínkách např. v [1, s. 153]. Jsou-li splněny tyto podmínky je možné začít sestavovat kritéria podobnosti, ze kterých se určí přepočtem rozměry nového stroje. Tato kritéria si konstruktéři mohou sestavit za určitých okolností sami (pokud mají k dispozici velké množství naměřených dat z modelů či předchozích strojů), ale obvyklejší je vycházet z již zavedených kritérií podobnosti, které sestavili generace lidí, kteří, většinou na základě dlouhodobého pozorování a prací na strojích, si všimli, že poměry některých parametrů (například kinetických veličin, dynamických veličin, geometrických a pod) jsou u jednotlivých typů strojů stejné. Některá taková kritéria podobnosti pro lopatkové stroje jsou uvedena v následujících kapitolách.

Geometrická podobnost stupňů lopatkových strojů

Jedná se o vyhledávání a využívání podobnosti v geometrii (tvaru lopatkových strojů) a tím i tvaru rychlostních trojúhelníků:

1.376 Typické parametry geometrické podobnosti stupně radiálního ventilátoru. Z tvaru/typu oběžného kola (a) lze určit tvar rychlostního trojúhelníku (b). βL [°] výstupní (index 2) nebo vstupní (index 1) úhel profilu lopatky; d1 [m] vstupní průměr kola; d2 [m] výstupní průměr kola; b2 [m] šířka kola na výstupu; u2 [m·s-1] obvodová rychlost na výstupu z oběžného kola; w2 [m·s-1] relativní rychlost pracovní tekutiny na výstupu z oběžného kola; c2 [m·s-1] absolutní rychlost pracovní tekutiny na výstupu z oběžného kola. Dalšími geometrickými parametry může být i počet a typ lopatek, hustota lopatkové mříže apod.

Pro ilustraci je zde uvedena tabulka geometrických hodnot nízkotlakého radiálního ventilátoru:

2.378 Obvyklé hodnoty geometrické podobnosti oběžného kola nízkotlakého radiálního ventilátoru.

Hodnoty geometrických součinitelů lopatkových strojů uvádí firemní podklady pro konstrukci a jsou i hojně publikované ve specializované literatuře viz odkazy na konci článku.

Kinematická podobnost stupňů lopatkových strojů

Jedná se o vyhledávání a využívání podobnosti v pohybu částic zkoumané látky a v energetickém obsahu. Tyto podobnosti v lopatkových strojích mají vliv na velikosti stran rychlostního trojúhelníku, poměry jednotlivých stran a zpracovaný spád ve stupni. Velikost kinematických podobnostních součinitelů výrazně ovlivňuje Reynoldsovo číslo a další vlastnosti pracovní látky, proto je vždy nutné uvádět i pro jakou pracovní látku daná hodnota součinitele přísluší, pokud to není zřejmé.

Průtokový součinitel

Tvar rychlostního trojúhelníku je dán geometrií oběžného kola, která byla vybrána na základě geometrické podobnosti uvedené výše. Průtokový součinitel udává obvyklé poměry jednotlivých stran výstupního rychlostního trojúhelníku z oběžného kola. Je to poměr mezi rychlostí pracovní tekutiny kolmou na obvodovou rychlost ku obvodové rychlosti na výstupu z oběžného kola měřené u špice lopatek, respektive obvodu radiálního kola:

3.866 Definice průtokového součinitele.

Uvedený poměr rychlostí je dán průtokem pracovní tekutiny stupněm a průtočnou plochou, proto lze vzorec pro φ převést do rozšířenějšího obecného tvaru:

4.341 Obecný vzorec pro průtokový součinitel.

Pro ilustraci návrhové hodnoty průtokového součinitele nízkotlakého radiálního ventilátoru (bez difuzoru) se pohybují v rozmezí 0,32 až 1 podle [5], 0,4 až 1 podle [9] a 0,7 až 1 podle [10] – uvedené hodnoty jsou vypočítané podle Vzorce 4b.

Tlakový součinitel

Pomocí předchozích podobnostních součinitelů je možné odhadnout vhodný tvar rychlostního trojúhelníku, některé úhly a vzájemné poměry stran. K tomu, aby bylo možné odhadnout i velikost rychlostního trojúhelníku je potřeba znát, alespoň velikost jedné rychlosti. Obvykle touto rychlostí je obvodová rychlost, kterou lze odhadnou z tlakového součinitele, což je poměr mezi rozdílem celkových entalpií ve stupni ku kinetické energii pracovní tekutiny v obvodovém směru:

5.342 Tlakový součinitel.

Pro ilustraci návrhové hodnoty tlakového součinitele nízkotlakého radiálního ventilátoru (bez difuzoru) se pohybují v rozmezí 0,5 až 2,5 podle [5], 2 až 3 podle [9] a ≈2 podle [10].

Čísla se různí, protože někteří autoři používají trochu jinou definici (například vycházejí z rozdílu statických tlaků [4, s. 141] a nebo ve jmenovateli vynechávají konstantu 1/2 [10, p. 1-3] apod.). U radiálních stupňů se ve jmenovateli používá kinetická energie obvodové složky na vnějším obvodou kola (u centripetálních turbín tedy obvodová rychlostu u₁).

Vztah mezi průtokovým a tlakovým součinitelem – bezrozměrové charakteristiky lopatkových strojů

U turbínových stupňů se nejčastěji využívá charakteristika vnitřní práce stupně jako funkce průtoku stupněm. U stupňů pracovních strojů se dává přednost charakteristice celkového zvýšení tlaku a průtoku, jestliže je změna hustoty pracovní tekutiny vysoká (turbokompresorové stupně), tak charakteristice kompresní poměr a průtok. Uvedené veličiny lze vypočítat z tlakového nebo průtokového součinitele:

6.668 Provozní veličiny stupně lopatkového stroje jako funkce tlakového nebo průtokového součinitele.

Jednotlivé provozní veličiny jsou, při konstantních otáčkách, prostým násobkem tlakového nebo průtokového součinitele. Takže ze známých charakteristik ψ-φ jednotlivých typů stupňů je možné určit příslušné charakteristiky a_i-m, Δp_c-m nebo ε-m. Například pro proudění beze ztrát by vypadaly charakteristiky ψ-φ takto:

7.803 Ideální charakteristiky stupňů lopatkových strojů (pro n=konst.).

Z těchto ideálních charakteristik vyplývají hned tři důležité závislosti. Za prvé vztah mezi třemi základními podobnostními veličinami stupně ψ, φ, β případně čtvrtou poměr průměrů oběžného kola – to znamená, že stačí znát dva a třetí se dopočítává. Za druhé limity průtokového i tlakového součinitele – například tlakový součinitel stupně radiálního ventilátoru s dopředu zahnutými lopatkami bude vždy větší jak 2 a naopak stupeň radiálního ventilátoru s dozadu zahnutými lopatkami bude menší jak 2. Současně pro ψ=0 je v tomto případě možno odečíst maximální možnou hodnotu průtokového součinitele apod. Třetí závislostí je změna rozdílu celkových entalpií se změnou průtoku.

Ideální charakteristika nezohledňuje ztráty, které nutně při proudění vznikají. Rozdíl mezi Δi_c,iz a a_i jsou ztráty stupně, takže tyto ztráty je možné vyjádřit i z rozdílu tlakového součinitele při ideálním proudění a reálném prouděním:

8.1111 Vztah mezi ztrátami stupně a součiniteli podobnosti. (a) pro turbínové stupně; (a) pro stupně pracovních strojů. zst [J·kg-1] měrné ztráty stupně.

Problém je, že se změnou průtoku se mění i ztráty, takže se musí měnit i grafické závislosti změny tlakového součinitele na průtokovém součiniteli. Takovou grafickou závislost lze vytvořit tak, že se vypočítá ztráta stupně pro přiměřený počet provozních stavů (průtoků) a ty se zakreslí do ideální výkonové charakteristiky:

9.60 Reálné charakteristiky stupňů lopatkových strojů (pro n=konst.).

Charakteristiku ψ-φ lze převést na libovolnou provozní charakteristiku přepočtem podle Vzorce 6. Například charakteristika hydrodynamického čerpadla Δp_c-V, absolutní charakteristika turbokompresoru ε_c-m atd. Pro jiné typy stupňů je postup konstrukce charakteristik ekvivalentní. Pokud postačuje konstruktérovi pouze odhad charakteristiky nového stroje, pak může vycházet z již publikovaných bezorozměrových charakteristik ψ-φ např. [5], [11], [6], [2], [14, s. 132]:

Z výše uvedeného je zřejmé, že existuje pevný vztah mezi optimálním průtokovým a tlakovým součintelem. Toho lze využít při určení parametrů nového stroje. Za tímto účelem jsou ve specializované literatuře uvedené optimální kombinace ψ_j, φ_j podobně jako bezrozměrové charakteristiky ψ-φ např. [1], [2], [5], [6], [10], [4]. Nejsme-li schopni tuto optimální kombinaci nalézt, lze ji ještě vyčíst z bezrozměrové charakteristiky ψ-φ, jestliže je známa oblast jmenovitých parametrů. Pro konstruktéra jsou znalosti optimálních kombinací ψ, φ přínosem tedy v tom, že velice rychle navrhne přibližnou geometrii nového stroje včetně odhadu ztrát viz Úloha [20.262].

Stupeň reakce

Stupeň reakce udává rozdělení celkového entalpického spádu mezi rotorovou a statorovou část stupně a jedná se o podíl entalpického spádu na rotorovou část stupně ku celkového entalpickému spádu:

10.344 Stupeň reakce stupňů tepelných turbín a turbokompresorů.

U hydraulických strojů nemá teplo z ventilační ztráty rotoru přímý vliv na proces transformace energie v lopatkových kanálech:

11.1088 Stupeň reakce stupňů hydraulických strojů. (a) stupeň reakce stupně turbíny; (b) stupeň reakce stupně čerpadla nebo ventilátoru. h [m] výška vyšetřovaného místa nad základnou. Člen z-ar představuje vnitřní ztráty v rotoru bez ventilační ztráty, které nemají vliv na rychlostní trojúhelník. Odvození vzorce stupně reakce pro hydraulické lopatkové stroje je uvedeno v Příloze 1088.

Stupeň reakce se dá vyjádřit pouze z tvaru rychlostního trojúhelníku před a za rotorovou řadou lopatek, proto se také v některé literatuře nazývá kinematický stupeň reakce s označením ρ_k, aby se odlišil od termodynamického stupně reakce ρ_t. Termodynamický stupeň reakce je poměr rozdílu statických entalpií v rotorové části stupně ku rozdílu statických entalpií v celém stupni při izoentropickém ději [4, s. 142].

Stupeň reakce je velmi dobrou pomůckou při konstrukci zcela nového stupně. Má-li konstruktér základní představu o podobě rychlostního trojúhelníku, otáčkách případně i samotném stupni reakce lze z této veličiny celkem snadno určit optimální rozložení transformace energie ve stupni. Například při návrhu stupně jsou obvykle známy požadavky na parametry proudění před a za stupněm, takže ze stupně reakce lze snadno (separací) vypočítat výstupní rychlost z první řady lopatek stupně, což je základ pro konstrukci rychlostního trojúhelníku. Stupeň reakce slouží i ke konstrukci i-s diagramu, ze kterého lze následně vyčíst stavové veličiny z první řady lopatek stupně a to předevší měrný objem:

12.713 Vzorce pro změnu měrného objemu plynu ve stupni jako funkce stupně reakce.

13.179 Obrázek k úloze 3.

Rychlostní poměr

Rychlostní poměr je poměr mezi obvodovou rychlostí u₂ a absolutní rychlosti c₁. Za absolutní rychlost se někdy dosazuje c_1,iz nebo ideální rychlost pracovní látky odpovídající entalpickému spádu na celý stupeň Δi_{c, iz} apod.:

14.345 Rychlostní poměr. x [-] rychlostní poměr celého stupně; ΔiSc entalpický spád statoru. Zdroj: [1], [2].

Tento součinitel se například používá k výpočtu zakřivení proudu, k určení optimálních otáček a průměru rotoru tepelných lopatkových strojů, protože optimální obvodové účinnosti dosahují jen při určitém rychlostním poměru pod.

Specifické (měrné) otáčky

Jedná se o parametr používaný pro stupeň turbostroje. Specifické otáčky jsou otáčky popisovaného stupně, při kterém by měl stupeň 1 W, přičemž by byl zatížen spádem 1 J·kg^-1 a oběžné kolo by bylo zmenšeno/zvětšeno na průměr 1 m (je možné se setkat v odborné literatuře i s jinými parametry modelového stupně v jiných jednotkách)⁽⁶⁾:

15.870 Definice specifických otáček.

Zpracovaný spád se u hydraulických strojů přepočítává například na disponibilní vodní spád (u vodních turbín) vycházející z Bernoulliho rovnice či celkovou změnu tlaku (u čerpadel a ventilátorů). Vzorec pro specifické otáčky stupně ventilátoru se upravuje tak, aby místo výkonu P vystupoval objemový průtok. Úpravy obvyklé pro jednotlivé typy strojů jsou provedeny například v [1, s. 156]:

16.373 Vzorec pro určení specifických otáček vodních turbín.

Specifické otáčky se využívají při výběru nejvhodnějšího typu oběžného kola pro dané požadavky. Přitom se vychází z dat specifických otáček modelů či dříve vyrobených a provozovaných strojů, při kterých daný typ oběžného kola dosahoval optimálních parametrů. Hodnoty návrhových specifických otáček jsou uvedeny například v [5, s. 19] pro ventilátory, ve [12] pro vodní turbíny a v [10]⁽⁸⁾, [13] pro lopatkové stroje obecně.

17.1112 Vhodné specifické otáčky vodních turbín v závislosti na spádu.

Jak je patrno, pro konkrétní spád je vhodný pouze konkrétní typ turbíny a specifické otáčky, ze kterých pak lze vypočítat skutečné otáčky oběžného kola turbíny. Obecně lze tvrdit, že pro nejvyšší specifické otáčky jsou vhodnější axiální stroje a pro ty nižší radiální. To je dáno především tím, že měrná obvodová práce radiálního stupně bude díky změně obvodových rychlostí větší než u axiálního stupně.

Další podobnostní součinitele stupňů lopatkových strojů jsou uvedeny v [1, s. 81] nebo jiné specializované literatuře zabývající se konkrétním typem lopatkového stroje.

Odhad účinnosti z podobnostních součinitelů

Navrhne-li se stupeň stroje v doporučeném rozsahu příslušných podobnostních součinitelů, lze oprávněně očekávat, že bude dosahovat i optimální účinnosti. Například z následujícího obrázku je patrné, že optimální účinnosti turbokompresorový stupeň dosahuje pouze v jistém intervalu specifický otáček:

18.794 Účinnost kompresorových stupňů v závislosti na specifických otáčkách.

Podobnosti lopatkových strojů

Podobně jako lze porovnávat mezi sebou stupně lopatkových strojů je možné porovnávat celé lopatkové stroje jednostupňové (u nich zvláště) i vícestupňové. Například lze očekávat, že dva vícestupňové lopatkové stroje zpracovávající stejný spád stejné pracovní tekutiny budou mít i podobný optimální počet stupňů atd.

Pár slov na závěr

Využití podobnosti strojů při jejich návrhu je velmi užitečné. Podobnosti kritéria podstatným způsobem doplňují zadání, nicméně je nutná jistá opatrnost při jejich výběru a použití velkého počtu podobnostních součinitelů na jednom stroji, protože mnoho podobnostních součinitelů je funkcí jiného a odhadem více součinitelů může dojít k přeurčení zadání. Například rychlostní poměr x lze očividně vyjádřit jako funkci tlakového součinitele, proto použitím obou součinitelů v jednom výpočtu dojde k přeurčení zadaní. Pokud je nutné studovat závislost například obvodové účinnosti stupně na rychlostním součiniteli je možné buď tlakový součinitel dopočítat z optimálního rychlostního poměru nebo naopak raději vyjádřit funkci x=f(ψ) a pod. Součinitele "navíc" se používají pouze pro ověření výpočtu, dobře navržený stupeň by měl mít totiž v doporučeném rozsahu i ostatní kritéria podobnosti.

Nesmí se zapomínat, že podobnostní součinitele často zahrnují případ i se ztrátami a tak pomocí nich nelze sestrojit ideální případ. Například doporučená hodnota poměru d₁/d₂ u radiálního ventilátoru je pro případ proudění se ztrátami a beze ztrát by optimální poměr d₁/d₂ mohl být samozřejmě jakýkoliv a použití podobností by nedávalo smysl apod.

Podobnosti se požívá i v aerodynamice. Součinitele vztlaku a odporu profilu při změně velikosti profilu zůstávají stejná pro stejná Reynoldsova čísla, což už vyplývá z kapitoly 16. Aerodynamika osamoceného profilu. Toto lze tvrdit i pro lopatkové mříže.

Role teorie podobnosti klesá vzhledem k výkonům počítačů, které jsou se specializovaným softwarem, schopné kombinovat velké množství variant a vybrat podle požadavku kritérií nejlepší řešení. Na druhou stranu díky znalosti teorie podobnosti je schopen konstruktér vybrat počáteční variantu optimalizace velmi dobře, takže software řeší méně variant rychleji.

Odkazy

Bibliografická citace článku

ŠKORPÍK, Jiří. Podobnosti lopatkových strojů, Transformační technologie, 2009-11, [last updated 2019-07-08]. Brno: Jiří Škorpík, [on-line] pokračující zdroj, ISSN 1804-8293. Dostupné z https://www.transformacni-technologie.cz/18.html.