Při proudění tekutin vzniká tření o povrch průtočného kanálu a obtékaných těles i tření uvnitř tekutiny (tzv. vnitřní tření). Třením ztrácí tekutina kinetickou energii a aby protekla kanálem požadovanou rychlostí (průtokem), musí nabývat kinetickou energii na úkor tlakové energie poklesem tlaku na druhé straně kanálu – vzniká tlaková ztráta ΔpZ, nebo na úkor jiné energie, například potenciální energie apod. Třením vzniká také třecí teplo (tekutina se zahřívá).
Mimo ztráty třením vznikají v proudu i ztráty vířením, které mají stejný dopad jako tření, viz článek Škrcení plynů a par.
Teplo, které vzniká při tření a víření se nazývá ztrátové teplo qZ, které v ideálním případě zůstává uvnitř tekutiny. Toto teplo zvyšuje vnitřní teplenou energii tekutiny (zahřívá se). Při proudění nestlačitelné tekutiny lze tlakovou ztrátu přímo určit ze ztrátového tepla pomocí Bernoulliho rovnice, viz Obrázek 833.
Schopnost produkce vnitřního tření je vlastnost tekutiny nikoliv kanálu. Za účelem základních výpočtů složitých úlohy v proudění a porovnávání definujeme tzv. ideální tekutinu, která nemá schopnost produkovat vnitří tření a při jejím proudění nevzniká tlaková ztráta navíc má konstantní měrnou tepelnou kapacitu. Modely proudění s ideální tekutinou jsou k realnému proudění tím bližší, čím je schopnost skutečné tekutiny produkovat vnitřní tření menší.
Ideální tekutina není jen matematický ideál, ale ideální tekutinou je i kapalné Helium při teplotách pod 2 K, jedná se o tzv. supratekutost [6, s. 8], [23, s. 22-24]. Supratekutost také umožňuje existenci navzájem protiproudých proudění v jednom kanále bez vzniku tření [6, s. 50].
Pro běžnou technickou praxi má smysl se zabývat tlakovou ztrátou zejména při dopravě tekutin, například potrubím konstantního průřezu vybavené různými armaturami a převážně touto problematikou se zabývá tento článek. Dále identifikujeme tlakovou ztrátu v kanálech určené pro transformaci tlakové a kinetické energie tekutiny jako jsou trysky a difuzory případně lopatkové kanály, ale v těchto případech je tlaková ztráta definována nepřímo – problematika ztrát v těchto kanálech je popsána zejména v článcích Proudění plynů a par tryskami, Proudění plynů a par difuzory, Základy aerodynamiky profilů lopatek a lopatkových mříží.
konstantního průřezu vybavené různými armaturami a převážně touto problematikou se zabývá tento článek. Dále identifikujeme tlakovou ztrátu v kanálech určené pro transformaci tlakové a kinetické energie tekutiny jako jsou trysky a difuzory případně lopatkové kanály, ale v těchto případech je tlaková ztráta definována nepřímo – problematika ztrát v těchto kanálech je popsána zejména v článcích Proudění plynů a par tryskami, Proudění plynů a par difuzory, Základy aerodynamiky profilů lopatek a lopatkových mříží.
Při dopravě tekutin se příliš nemění hustota tekutiny, proto se vychází z teoriií pro nestlačitelnou tekutinu především z Bernoulliho rovnice. Při dopravě plynů se může hustota měnit na velmi dlouhých trasách plynovodů. V takových případech se obvykle řeší výpočet tlakové ztráty po úsecích [14, s. 71], na kterých se vychází ze střední hustoty plynu nebo přesněji z rovnic pro tlakovou ztrátu při proudění plynů za přítomnosti tření, které jsou popsány v kapitolách na konci tohoto článku.
Tlakovou ztrátu stanovujeme proto, abychom dokázali stanovit tlak na konci potrubí a práci čerpadla či ventilátoru pro pokrytí energetických potřeb vzniku ztrátového tepla. Výpočet ztrátové tepla je důležitý i v kriogenice při dopravě zkapalněných plynů potrubím, protože ztrátové teplo tyto podchlazené tekutiny zahřívá a ty mohou ztrácet vlastnosti nebo se dokonce odpařovat. Ztrátu při proudění krve v těle kompenzuje činnost srdce a čím je vyšší, tím větší musí být i výkon srdce, respektive větší rozdíl mezi tlakem na vstupu a výstupu ze srdce (minimálním a maximálním tlakem neboli tzv. diastolický a systolický tlakem).
Typickým projevem vnitřního tření tekutiny je nižší rychlost proudění u okrajů kanálu a vyšší v jádru proudu – rozložení rychlosti tekutiny ve vyšetřovaném řezu kanálu nazýváme rychlostní profil.
U okrajů kanálu dochází k přímému tření tekutiny o plochy kanálu a limitně je zde rychlost tekutiny nulová, viz Obrázek 173. Oblast proudění, která je přímo ovlivněna přítomnosti třecích ploch kanálu se nazývá mezní vrstva. Mezní vrstva nevzniká při proudění ideálních tekutin.
Pro střední rychlost proudění se používají podle potřeby tři definice: 1. Střední rychlost odvozená z průtoku; 2. Střední rychlost odvozená z hybnosti proudu; 3. Střední rychlost odvozená z kinetické energie proudu.
1/3. Střední rychlost odvozená z průtoku je taková rychlost proudění, při které za jednotku času proteče kanálem stejné množství tekutiny odpovídající hmotnostnímu průtoku, viz Vzorec 173(c).
množství tekutiny odpovídající hmotnostnímu průtoku, viz Vzorec 173(c).
2/3. Střední rychlost odvozená z hybnosti proudu je taková rychlost proudění, při které by proud dosahoval stejné hybnosti (síla, kterou působí paprsek tekutiny na kolmou desku) jako skutečný proud s rychlostním profilem, viz Vzorec 173(d).
3/3. Střední rychlost odvozená z kinetické energie tekutiny je taková rychlost proudění, při které by proud dosahoval stejného výkonu jako skutečný proud s rychlostním profilem, viz Vzorec 173(e).
Uvedené definice střední rychlosti se v technické praxi používají, ale rozhodně nejčastější je používaná definice první, tj. střední rychlost odpovídá hmotnostního průtoku v kanále, a pokud není řečeno jinak, tak střední rychlosti v tomto článku je myšlena právě tato rychlost. Střední rychlost definovaná ze zákona zachování kinetické energie tekutiny se používá v energetických bilancí, například ve výpočtech pomocí Bernoulliho rovnice, ve které kinetická energie tekutiny vystupuje, apod.
Tlaková ztráta v daném potrubí je funkcí vlastností a stavu pracovní tekutiny a její střední rychlosti proudění. Střední rychlost proudění proto navrhujeme tak, aby byla přijatelná v rámci technologie, ve které je potrubí instalováno (svou roli hraje energetická hustota a dispoziční možnosti a pod.) a také náklady na pořízení potrubí včetně montáže a údržby a náklady na čerpací nebo kompresní práci, odtud vyplývají hodnoty obvyklých a hospodárných rychlostí v potrubím pro různé pracovní látky, které lze nalézt např v [14, s. 141], výběr je pak uveden v Tabulce 1197.
c‾ | c‾ | |||
Olej | 1...2 | Pára přehřátá do 4 MPa | 20...40 | |
Voda | 1...4 | Pára přehřátá o vysokém tlaku | 30...60, 80 | |
Pára topná o nízkém tlaku | 10...15 | Výfuková pára (po expanzi ve stroji) | 15...30 | |
Pára sytá do 1 MPa | 15...20 | Vzduch (stlačený) | 2...15 |
Obvykle právě z navržené rychlosti proudění, hustoty a požadovaného měrného průtoku se vypočítá hospodárný průměr potrubí, viz Nomogram 1198. Vypočítaný průměr potrubí je nutné zaokrouhlit podle vyráběných průměrů trubek odpovídající tlaku a teplotě, při které bude potrubí provozováno.
K optimalizaci nákladů tedy potřebujeme znát rovnice pro výpočet tlakové ztráty jako funkce rychlosti (přesný výpočet hospodárné rychlosti v potrubí na základě závislosti tlakové ztráty na této rychlosti je provden například v [9, s. 187]).
Vnitřní tření v tekutině nevytváří jen tlakovou ztrátu, ale také snižuje průtok, hybnost a kinetické energii proudu, oproti proudění bez vnitřního tření. Pro vyjádření těchto ztrát byly definovány tyto tři charakteristické tloušťky mezní vrstvy: 1. Pošinovací tloušťku mezní vrstvy; 2. Impulsní tloušťku mezní vrstvy; 3. Energetickou tloušťku mezní vrstvy.
definovány tyto tři charakteristické tloušťky mezní vrstvy: 1. Pošinovací tloušťku mezní vrstvy; 2. Impulsní tloušťku mezní vrstvy; 3. Energetickou tloušťku mezní vrstvy.
1/3. Při prouděním bez tření by v celém průtočném průřezu byla stejná rychlost (maximální) a tomu by odpovídal i hmotnostní průtok, ale v důsledku vnitřního tření tekutiny je průtok menší. Pošinovací tloušťka mezní vrstvy odpovídá průtočnému průřezu, kterým by protékala pracovní tekutina maximální rychlostí a hmotnostním průtoku rovnající se rozdílu mezi průtokem bez tření a skutečném průtoku, viz Vzorec 409(a).
2/3. Při prouděním bez tření by v celém průtočném průřezu byla stejná hybnost tekutiny (maximální) a tomu by odpovídala i celková hybnost proudu, ale v důsledku vnitřního tření tekutiny je celková hybnost menší. Impulsní tloušťka mezní vrstvy odpovídá průtočnému průřezu, kterým by protékala pracovní tekutina maximální rychlostí s hybnostní proudu rovnající se rozdílu mezi celkovou hybností bez tření a skutečnou celkovou hybností proudu, viz Vzorec 409(b).
3/3. Při prouděním bez tření by v celém průtočném průřezu byla stejná kinetická energie tekutiny (maximální) a tomu by odpovídal i celkový kinetický výkon proudu, ale v důsledku vnitřního tření tekutiny je celkový kinetický výkon menší. Energetická tloušťka mezní vrstvy odpovídá průtočnému průřezu, kterým by protékala pracovní tekutina maximální rychlostí s kinetickým výkonem proudu rovnající se rozdílu mezi kinetickým výkonem proudu bez tření a skutečným výkonem proudu, viz Vzorec 409(c).
V případech obtékání těles se jednotlivé charakteristické tloušťky mezní vrstvy stanovují k rychlosti proudu před obtékaným tělesem, přičemž hranice ovlivněné oblasti, ke které se stanovuje průtok, je ve vzdálenosti, ve které je rychlost proudění už velmi blízká rychlosti před ovlivněnou oblastí, podrobněji v [19, s. 235].
se stanovuje průtok, je ve vzdálenosti, ve které je rychlost proudění už velmi blízká rychlosti před ovlivněnou oblastí, podrobněji v [19, s. 235].
Tyto charakteristické tloušťky mezní vrstvy se uplatňují v aerodynamice kanálů a to především v aerodynamice lopatkových kanálů. Podle jednotlivých tlouštěk lze porovnávat typy kanálu mezi sebou z pohledu rychlostí, hybnosti a energetických ztrát, protože jsou aplikace, kde je důležitá například co nejmenší ztráta hybnosti a u jiné energetická ztráta a podobně. Například hybnost je důležitá při vyhodnocování citlivosti mezní vrstvy na odtržení profilu v difuzoru, viz podkapitola Opatření ke snížení citlivosti na odtržení mezní vrstvy.
Z úvodních podkapitol je zřejmé, že pro výpočty parametrů proudění v kanálech jako je tlaková ztráta nebo charakteristická tloušťka mezní vrstvy potřebujeme znát tvar rychlostního profilu. Tvar rychlostního profilu se odvijí od druhu proudění, přičemž rozlišujeme dva základní druhy proudění, a to laminární a turbulentní a podle toho se vzorce pro výpočty odvíjejí, proto je velmi důležité umět tyto dva druhy proudění rozlišit.
Při laminárním proudění vytváří tekutina rovnoběžná proudová vlákna, přičemž tato vlákna po sobě klouzají (v rámci vlákna vytváří tekutina drobné víry). Tekutina v sousedních proudových vláknech se nepromíchává. Laminární proudění není potenciální proudění, protože rotor vektoru rychlosti je různý od nuly a mezi jednotlivými vlákny vytváří tekutina drobné víry, proto je laminární proudění současně i vírové.
Vliv vnitřního tření na rychlostní profil při laminárním proudění lze kvalifikovat pomocí veličiny zvané dynamická viskozita (zkráceně jen viskozita), viz definiční Vzorec 655, s. 35. Dynamická viskozita je poměr mezi tečným napětím a tenzorem rychlosti. U většiny tekutin je tato úměra platná (výjimku činí pouze anomální kapaliny).
Tekutiny, u kterých lze uplatnit výše uvedenou definici viskozity nazýváme newtonovské tekutiny a naopak tekutiny, ve kterých se viskozita mění s rychlostí nazýváme nenewtonovské tekutiny (tekutiny obsahující větší shluky molekul jako koloidní roztoky, suspense, emulze gely apod. [1, s. 395], [33, s. 24]). Tekutiny, které mají nenulovou viskozitu se nazývají viskozní tekutiny.
Při definici viskozity Vzorcem 655 jsme vycházeli z velmi jednoduchého případu proudění v rovině. Ale definovat jednotlivá napětí od tření tekutiny při proudění v prostoru je už mnohem složitější. Vztahy mezi jednotlivými tečnými napětími a viskozitou při proudění v prostoru naleznete například v [26, s. 613] nebo v [33, s. 97].
Dynamická viskozita tekutin se měří pomocí viskozimetrů, kterých je několik typů [1, s. 406]. Výsledky měření se uvádí do tabulek, které se využívají při výpočtech. Problém získání komplexních dat hodnot viskozity je v tom, že viskozita tekutin závisí na teplotě a tlaku. S rostoucí teplotou dynamická viskozita kapalin klesá a s rostoucím tlakem vzrůstá. Vliv tlaku je u většiny kapalin nevýznamný, vyjma velmi vysokých tlaků v řádech megapascalů. Dynamická viskozita plynů s rostoucí teplotou vzrůstá a je nezávislá na tlaku, vyjma extrémně nízkých nebo naopak vysokých tlaků [1, s. 446]. Z těchto důvodů se uvádí dynamické viskozity tekutiny pro technické účely pouze v závislosti na teplotě (pro některé případy lze použít pro výpočet změny dynamické vizkozity plynů s teplotou rovnici odvozenou australským fyzikem Williamem Sutherlandem (1859-1911), která je uvedena například v [1, s. 447], [33]). Hodnoty dynamické a kinematické viskozity různých tekutin jsou uvedeny například v [12], [13], [21], [2], [22], pro vodu a páru v Tabulkách 1190, 1191.
V technické praxi se velmi často pracuje se směsmi, jak plynnými, tak kapalnými, které se skládají ze dvou nebo více čistých látek. Viskozita směsi přibližně závisí na molárních koncentracích jednotlivých složek směsi, viz Vzorec 1025. Nomogram pro určení výsledné viskozity směsi kapalin, respektive olejů je uveden např. v [18, s. 47]. Hodnoty viskozity suchého a vlhkého vzduchu jsou v Tabulkách 1192, 1193.
Nomogram pro určení výsledné viskozity směsi kapalin, respektive olejů je uveden např. v [18, s. 47]. Hodnoty viskozity suchého a vlhkého vzduchu jsou v Tabulkách 1192, 1193.
t | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | |
η | 1770,2 | 1303,9 | 1001,9 | 797,3 | 652,6 | 546,8 | 466,5 | 404,2 | 354,7 | |
ν | 1769,7 | 1303,7 | 1003,3 | 800,46 | 657,46 | 553,2 | 474,28 | 413,22 | 364,84 | |
t | 90 | 100 | 110 | 120 | 130 | 140 | 150 | 160 | 170 | |
η | 314,7 | 281,8 | 254,7 | 232,05 | 212,9 | 196,54 | 182,46 | 170,24 | 159,55 | |
ν | 325,87 | 293,92 | 267,84 | 246,05 | 227,74 | 212,22 | 198,97 | 187,6 | 177,78 |
t | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | |
η | 9,24 | 9,461 | 9,7272 | 10,01 | 10,307 | 10,616 | 10,935 | 11,26 | 11,592 | |
ν | 1778 | 1005,8 | 561,81 | 329,12 | 201,15 | 127,68 | 83,837 | 56,747 | 39,474 | |
t | 90 | 100 | 110 | 120 | 130 | 140 | 150 | 160 | 170 | |
η | 11,929 | 12,269 | 12,612 | 12,956 | 13,301 | 13,647 | 13,992 | 14,337 | 14,681 | |
ν | 28,141 | 20,511 | 15,251 | 11,547 | 8,8853 | 7,9770 | 5,4912 | 4,3983 | 3,5615 |
t | -20 | 0 | 10 | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 | 150 | |
η | 16,28 | 17,08 | 17,75 | 18,24 | 19,04 | 20,10 | 20,99 | 21,77 | 23,83 | |
ν | 11,93 | 13,70 | 14,70 | 15,70 | 17,60 | 19,60 | 21,70 | 23,78 | 29,50 | |
t | 200 | 300 | 400 | 500 | 600 | 700 | 800 | 900 | 1000 | |
η | 25,89 | 29,70 | 33 | 36,20 | 39,10 | 41,70 | 44,40 | 46,60 | 49,30 | |
ν | 35,82 | 48,20 | 63 | 79,30 | 96,80 | 115 | 135 | 155 | 178 |
η | φ | t=10 | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 |
0,2 | 17,73 | 18,20 | 18,91 | 19,75 | 20,15 | 20,12 | |
0,4 | 17,71 | 18,16 | 18,79 | 19,43 | 19,45 | 18,96 | |
0,6 | 17,69 | 18,12 | 18,67 | 19,13 | 18,86 | 18,10 | |
0,8 | 17,67 | 18,09 | 18,56 | 18,85 | 18,35 | 17,43 | |
1 | 17,65 | 18,05 | 18,45 | 18,59 | 17,91 | 16,90 | |
ν | 0,2 | 14,67 | 15,63 | 17,35 | 18,86 | 19,77 | 19,66 |
0,4 | 14,63 | 15,56 | 17,11 | 18,17 | 18,16 | 16,75 | |
0,6 | 14,60 | 15,49 | 16,87 | 17,53 | 16,80 | 14,60 | |
0,8 | 14,57 | 15,43 | 16,64 | 16,93 | 15,62 | 12,93 | |
1 | 14,54 | 15,36 | 16,42 | 16,38 | 14,60 | 11,61 |
Nyní stojíme před úkolem určit ztrátu případně tvar profilu při laminárním proudění. Při řešení nelze aplikovat rovnice potenciálního proudění a je nutné odvodit zcela nový typ rovnice zahrnující ztrátové teplo. Jak již víme, množství ztrátového tepla roste ve směru proudění, odtud a pomocí definice viskozity, lze odvodit rovnici laminárního pohybu tekutiny nazývanou také jako Navier-Stokesovu rovnicí, viz Rovnice 791. Uvedenou rovnici na základě kinetiky pohybu molekul odvodil francouzský inženýr Claude-Louis Navier (1785-1836). Irský matematik George Gabriel Stokes (1819-1903) je v názvu přidán na počest, protože s rovnicí dále experimentoval a hlouběji popsal její možnosti [34], i když vědců, kteří ji rozvinuli je více [28].
Z rovnice ztrátového tepla mimo jiné plyne, že plyn při velmi malé hustotě, respektive tlaku může mít velmi vysoké vnitřní tření. To je také příčina výskytu laminárního proudění při malých rychlostech nebo u tekutin s vysokou kinematickou viskozitou.
Ztrátové teplo qZ je přesně to teplo, které zvyšuje entropii tekutiny, jak je popsáno v kapitole Vratnost termodynamických změn a entropie. Tato energie zvyšuje vnitřní tepelnou energii tekutiny nebo kinetickou energii vírů vznikajících mezi proudnicemi. Tyto víry získávají energii tak, že třecí síla vytváří moment v nejbližším okolí vyšetřovaného bodu, jak naznačuje Obrázek 655, s. 35. Nicméně při stabilním laminárním proudění mají víry stále stejnou energii, takže stejné množství energie se třením transformuje také na vnitřní tepelnou energii. U plynů se část ztrátového tepla, respektive vnitřní tepelné energie může zpět transformovat na tlakovou, kinetickou nebo potenciální energii, respektive práci. To je způsobeno tím, že při zvýšení teploty se zvětší měrný objem plynu, viz také teplo znovu využité či přídavné ztráty u tepelných strojů.
Už víme, že laminární proudění není potenciální a pro popis jeho dynamických účinků nelze použít Eulerovu rovnici hydrodynamiky pro ideální tekutinu, protože vektor rychlosti není potenciální veličina. Přesto lze Eulerovu rovnici, tedy rovnici silové rovnováhy, pro vírové proudění odvodit stejným postupem jako v případě proudění ideálních tekutin, rozdíl je ve stanovení zrychlení tekutiny. V případě ideálních tekutin je zrychlení rovno gradientu kinetické energie, v případě vírového laminárního proudění je změna kinetické energie a tedy zrychlení tekutiny ve směru proudění rovna skálárnímu násobku vektoru rychlosti a divergence rychlosti, viz Rovnice 997.
stanovení zrychlení tekutiny. V případě ideálních tekutin je zrychlení rovno gradientu kinetické energie, v případě vírového laminárního proudění je změna kinetické energie a tedy zrychlení tekutiny ve směru proudění rovna skálárnímu násobku vektoru rychlosti a divergence rychlosti, viz Rovnice 997.
Odvození vzorců pro tlakovou ztrátu a rychlost tekutiny při laminárním proudění v kanálech jednoduchých tvarů není pomocí Navier-Stokesovy rovnice obtížné [1], [26], [27], [28]. Například pro potrubí kruhového průřezu lze odvodit Vzorce 872.
Rychlostní profil po celé vyšetřované délce nemusí být stálý, zvláště jedná-li se o vstupní úsek do zkoumaného kanálu, ve kterém teprve dochází ke vzniku mezní vrstvy (objeví se zdroje tření – stěny kanálu, viz Obrázek 324, s. 12). Mezní vrstva vzniká při povrchu obtékaných těles či ploch kanálů. Z této příčiny na začátku obtékaných těles či počátečních úseků kanálů vzniká a postupně se vyvýjí laminární mezní vrstva, která se šíří směrem od obtékané plochy, a tím se postupně mění rychlostní profil. Aby byla zachována kontinuita proudu, musí se na hranici mezní vrstvy a v jádru proudu rychlost zvyšovat, protože u profilu je nulová. V případě uzavřených kanálů se mezní vrstvy protilehlých stran, tak jak neustále rostou, po určité délce spojí a vývoj se zastaví (ustálená mezní vrstva), viz Obrázek 324, s. 12. V takovém případě hovoříme o plně vyvinuté mezní vrstvě, rychlostním profilu či obecně o plně vyvinutém proudění. Postupný vývoj rychlostního profilu je také důvod, proč u velmi krátkých kanálů je střední rychlost velmi blízká maximální rychlosti.
V takovém případě hovoříme o plně vyvinuté mezní vrstvě, rychlostním profilu či obecně o plně vyvinutém proudění. Postupný vývoj rychlostního profilu je také důvod, proč u velmi krátkých kanálů je střední rychlost velmi blízká maximální rychlosti.
Vstupní délka kanálu xe, na které dochází k vývoji mezní vrstvy je funkcí poměru dynamického tlaku a tečného napětí v proudu, který označujeme jako Reynoldsovo číslo Re, dále je funkcí koeficientu hydraulické vstupní délky kanálu, jeho tvaru a tzv charakteristickém rozměru, viz Vzorec 656.
Pro trubku kruhového průřezu jsou hodnoty hydraulické vstupní délky přibližně v rozsahu Ch≈0,025...0,065 – hodnotu 0,065 odvodil francouzký fyzik a matematik Joseph Boussinesq (1842-1929), hodnotu 0,025 německý fyzik Ludwig Schiller (1882-1961). Přičemž lze říci, že vyšší hodnoty odpovídají pro kratším a nižší delším vstupním úsekům [3, s. 194], [28, s. 143]. Koeficienty Ch pro kanály jiných než kruhových průřezů jsou uvedeny v [32, s. 208] a v Tabulce 1203 jsou uvedeny hodnoty pro obdelníkové kanály.
t=h | h=2·t | h=4·t | h·t-1≈∞ | |
Ch | 0,09 | 0,085 | 0,075 | 0,011 |
Charakteristický rozměr ve Vzorcích 656 zohledňuje rozměr průtočného kanálu, respektive obtékaného tělesa. Je to rozměr, ke kterému se provádí případná měření. Charakteristiký rozměr uzavřených kanálů je nejčastěji definován jako poměr čtyřnásobku velikosti průtočného průřezu a omočeného obvodu kanálu (Vzorec 660) – v případě kruhového průřezu se tedy jedná o průměr, proto se také charakteristický rozměr nazývá i jako ekvivalentní průměr, [2, s. 110]. Existují ale i atypické případy, které jsou uvedeny v [31, s. 378] a charakteristickým rozměrem těles bývá obvykle rozměr, který má největší vliv na proudění (například u lopatkových profilů je to délka tětivy).
Reynoldsovo číslo definované Vzorcem 656 je podobnostní součinitel18.. Pomocí Reynoldsova čísla lze porovnávat proudění v kanálech nebo proudění kolem těles podobných tvarů v závislosti na reprezentativním rozměru kanálu, respektive tělesa (tzv. charakteristický rozměr).
Výpočet střední rychlosti plně vyvinutého laminárního proudění není u jednoduchých kanálů problematický, jak naznačují příklady v předchozí podkapitole Příklady výpočtu tlakové ztráty při laminárním proudění na s. 11. Odtud lze pro laminární proudění mezi dvěma deskami a v potrubí odvodit vztah mezi střední rychlostí proudění a měrnou kinetickou energií proudu, respektive střední rychlostí proudění vypočítanou ze vzorce pro měrnou kinetickou energii c definovanou Vzorcem 173, s. 3. Tyto vztahy jsou popsány Vzorci 266.
Z Obrázku 655, s. 8 je zřejmé, že mezi proudnicemi působí na element tekutiny dvojice sil, která jej uvádí do rotace. To znamená, že mezi jednotlivými proudnicemi vzniká řada drobných vírů, které svou energii při laminárním proudění maří třením, ale při vyšších rychlostech energie ve vírech postupně roste. Nakonec mohou víry získat takovou energii, že začnou narušovat hranice proudnic a dochází k vzájemnému promíchávání proudu a sdílení energií. Nastavá turbulentní proudění. Rychlost, při které toto nastane se nazývá kritická střední rychlost proudění. Při této rychlosti setrvačné síly částic převažují nad třecí silou.
třením, ale při vyšších rychlostech energie ve vírech postupně roste. Nakonec mohou víry získat takovou energii, že začnou narušovat hranice proudnic a dochází k vzájemnému promíchávání proudu a sdílení energií. Nastavá turbulentní proudění. Rychlost, při které toto nastane se nazývá kritická střední rychlost proudění. Při této rychlosti setrvačné síly částic převažují nad třecí silou.
Při turbulentním proudění nemají částice ve všech místech stálou rychlost, ale průměrně lze definovat jak střední rychlost proudění tekutiny, tak rychlostní profil, viz Obrázek 834. Tvar rychlostního profilu turbulentního proudění lze stanovit podle rovnic uvedených například v [33, s. 171] a [19, s. 257].
Přechod z laminárního proudění do turbulentního je pozvolný a rozhodující pro určení o jaké proudění se jedná je velikost Reynoldsova čísla vyšetřovaného proudění, protože vznikající víry budou narušovat proudová vlákna tím více, čím větší bude poměr dynamického tlaku proudící tekutiny (setrvačná síla) ku tečnému napětí (třecí síla) v tekutině. Velikost Reynoldosva čísla, při kterém dochází k zhroucení laminárního proudění se nazývá kritické Reynoldsovo číslo. Při opakovaných experimentech proudění v potrubí, kde charakteristickým rozměrem byl průměr potrubí, bylo zjištěno, že do Re = 2320 se jedná vždy o laminární proudění (kritické Reynoldsovo číslo ReK, kritická střední rychlost proudění). V rozmezí Re=2320 do Re=5000 až 6000 je tzv. přechodová oblast (rychlostní profil je nestabilní). Od Re=6000 (tzv. horní kritické Reynoldsovo číslo) se jedná o proudění turbulentní. Je třeba zdůraznit, že v praxi tyto hodnoty budou nižší, protože zde uvedené hodnoty pochází z měření v laboratořích na dokonale uložených potrubích bez vibrací. Nomogram pro výpočet Reynoldsova čísla s vyznačením přechodové oblasti mezi proudění pro potrubí je na Obrázku 1196. Z nomogramu mimo jiné vyplývá, že laminární proudění v běžných případech nastává jen za velmi vysokých hodnot kinematických viskozit a nízkých rychlostí, jinak jsou Reynoldsova čísla daleko větší než kritické Reynoldsovo číslo.
v laboratořích na dokonale uložených potrubích bez vibrací. Nomogram pro výpočet Reynoldsova čísla s vyznačením přechodové oblasti mezi proudění pro potrubí je na Obrázku 1196. Z nomogramu mimo jiné vyplývá, že laminární proudění v běžných případech nastává jen za velmi vysokých hodnot kinematických viskozit a nízkých rychlostí, jinak jsou Reynoldsova čísla daleko větší než kritické Reynoldsovo číslo.
Při postupném vývoji mezní vrstvy nepřechází proudění ani při vysokých rychlostech přímo na turbulentní, nejprve totiž musí dojít k projevům třecích sil. Proto k vývoji turbulencí dojde až od určité vzdálenosti od vstupu, viz Obrázek 792, s. 16. Například o plně vyvinutém turbulentním prouděním v potrubí můžeme hovořit až v oblasti potrubí vzdálené od ústí 10 až 60 průměrů potrubí [17, s. 66]. Délka úseku, na které začne proudění turbulizovat také záleží na geometrii vstupu, kde se mohou narušovat proudnice o vstupní hrany a také drsnosti povrchu, na tomto principu fungují tzv. turbulizátory, která mají za úkol vyvolat turbulentní proudění co nejdříve, například pro potřeby promíchávání proudů, nebo pro potřeby rovnoměrného rozložení kinetické energie proudu jako jedno z opatření ke snížení citlivosti na odtržení mezní vrstvy od stěn difuzorů a pod.
Turbulentní proudění může zpět přejít do lamirnárního, jestliže klesne součin rychlosti a charakteristického rozměru, respektive klesne Reynoldosvo číslo pod kritické Reynoldsovo číslo. Například vložíme-li do turbulentního proudění desku, tak na jejích obou stranách se vytvoří laminární mezní vrstva přesně podle Obrázku 792. Další příkladem je změna průměrů potrubí, nebo vložení kanálu do turbuletního proudu, jak je naznačeno na Obrázku 228. V případě nasávání turbulentního proudu se na nátokovém okraji vloženého kanálu vytvoří laminární vrstva (v jádru je stále turbulentní), která, jestliže je v tomto kanálu Reynoldosovo číslo dostatečně nízké, se může spojit a může vytvořit laminární profil v celém průřezu jako na Obrázku 324, s. 12. Stejný efekt vzniku laminární vrstvy lze sledovat i při proudění v lopatkových kanálech, i když na vstupu je turbulentní proud.
Pro určení tlakové ztráty při turbulentním proudění už nelze vycházet z Navier-Stokesovy rovnice, ale vychází se buď z numerických modelů nebo praktických poloempirických vzorců založených na podobnosti proudění.
z numerických modelů nebo praktických poloempirických vzorců založených na podobnosti proudění.
Z výše uvedených vztahů pro viskozitu lze snadno odvodit vztah pro výpočet tlakové ztráty pro případ laminárního ustáleného proudění jako funkci dynamického tlaku. Tato rovnice se nazývá Darcy-Weisbachova rovnice, kterou sestavil francouzský inženýr Henrym Darcym (1803-1858) pro potrubí, viz Rovnice 657. Později, na základě dlohodobých experimentů a dedukce, potrdil platnost tohoto vztahu německý inženýr Julius Weisbach (1806-1871) i pro proudění přechodové a turbulentní a dokonce i pro ztrátu v potrubních tvarovkách a ventilech.
Z Darcy-Weisbachovy rovnice tedy plyne, že tlaková ztráta je určitým podílem z dynamického tlaku, tento podíl se nazývá ztrátový součinitel. Pro kanály stálého průřezu, respektive potrubí, lze ztrátový součinitel docela dobře vypočítat. K výpočtu se používají poloempirické vztahy získané na základě dlouhodobého měření a pozorování proudění v potrubích. Rovnic pro výpočet ztrátového součinitele v potrubí je několik a zvlášť jsou vztahy pro laminární proudění a zvlášť pro turbulentní, také záleží na drsnosti a tvaru potrubí vždy jsou ale funkcí tzv. součinitele tření dané prvku. Pro potrubí kruhového průřezu lze použít tyto Rovnice 855.
Kombinací Hagen-Poiseuilleho rovnice a rovnice Colebrookovy lze vytvořit tzv. Moodyho diagram pro určení součinitele tření v potrubí, ve kterém je patrno několik oblastí, viz Obrázek 658, s. 18. Tento diagram přináší projektantům potrubí rychlý přehled o charakteru proudění v navrhovaném potrubí a navíc i rychlý odečet součinitele tření v potrubí. Diagram se jmenuje po americkém inženýrovi Lewisu Moodym (1880-1954).
Diagram se jmenuje po americkém inženýrovi Lewisu Moodym (1880-1954).
k | k | ||||
Tažené (nové) z: měď, mosaz, sklo | 0,001...0,002 | Litinové | 0,2..0,6 | ||
Plast nebo pryž | 0,0015...0,007 | Ocelové pozinkované | 0,07...0,1 | ||
Ocelové bezešvé válcované | 0,04...0,1 | Ocelové trubky korodované vyčištěné | 0,15...0,2 | ||
Ocelové svařované podélným švem | 0,04...0,1 |
Jednou z křivek Moodyho digramu, která ukazuje významné hodnoty mimo křivek pro laminární proudění Obrázek 658(a) a křivky turbulentního proudění v hladké trubkce (Obrázek 658(c)) je křivka tzv. mezního Reynoldsova ReM. Jedná se o takovou hodnotu Reynoldsova čísla od které zůstává při zvyšování Reynoldsova čísla hodnota součinitele tření přibližně konstantní při dané relativní drsnosti potrubí. To je způsobeno potlačením turbulencí u stěny potrubí, kde vzniká laminární vrstva [2, s. 108]. Pokud je tloušťka této laminární vrstvy větší než drsnost chová se potrubí jako hydraulicky hladké a součinitel tření lze odečíst z křivky c pro dokonale hladké potrubí. Pokud je tloušťka této laminární vrstvy menší než drsnost nejprve s rostoucím Re se součinitel tření snižuje až po mezní Reynoldsovo číslo, kde už je turbulence způsobená drsnosti povrchu tak velká, že už na Re nezávisí.
hodnotu Reynoldsova čísla od které zůstává při zvyšování Reynoldsova čísla hodnota součinitele tření přibližně konstantní při dané relativní drsnosti potrubí. To je způsobeno potlačením turbulencí u stěny potrubí, kde vzniká laminární vrstva [2, s. 108]. Pokud je tloušťka této laminární vrstvy větší než drsnost chová se potrubí jako hydraulicky hladké a součinitel tření lze odečíst z křivky c pro dokonale hladké potrubí. Pokud je tloušťka této laminární vrstvy menší než drsnost nejprve s rostoucím Re se součinitel tření snižuje až po mezní Reynoldsovo číslo, kde už je turbulence způsobená drsnosti povrchu tak velká, že už na Re nezávisí.
Není třeba hluboký rozbor Darcy-Weisbachovy rovnice, aby bylo zřejmé, že pro co nejnižší tlakovou ztrátu je výhodné stejné množství plynu dopravovat při vyšších tlacích, respektive hustotách než při nízkých tlacích, ale vysokých rychlostech. Proto tlaky zemního plynu v tranzitních plynovodech jsou kolem 7 MPa a jeho tlak se redukuje až těsně před spotřebiči (viz Tabulka 1142), které jsou z bezpečnostních důvodů konstruované na mnohem nižší tlaky.
p | p | |||
Tranzitní plynovod | 7,5 | Středotlaký plynovod | 0,1...0,3 | |
Vysokotlaký plynovod | 4 | Nízkotlaký (domácnosti) | 0,002 |
Při výpočtu tlakové ztráty v potrubí nekruhového průřezu se postupuje stejným způsobem jako při výpočtu tlakové ztráty v kanále kruhového průřezu. Pouze při výpočtech Reynoldsových čísel je nutné dosadit místo vnitřního průměru potrubí charakteristický rozměr vypočítáný podle Vzorce 660, s. 13 – kritická Reynoldsova čísla mají ale jinou hodnotu než pro kruhové potrubí.
Pro základní návrhy potrubní trasy využívají projektanti veličinu měrná tlaková ztráta v potrubí označována πZ. Měrná tlaková ztráta odpovídá tlakové ztrátě v potrubí o délce 1 m, při plně vyvinuté mezní vrstvě pro předpokládaný součinitel tření, viz také Nomogram 1199, s. 20.
Potrubní trasa (potrubní síť) nebývá přímočará a může být tvořena dalšími potrubními prvky (odbočky různých tvarů, oblouky, zúžení), armaturami, filtry, měřidly a dalšími průtočnými částmi. V těchto částech potrubních tras vzniká tlaková ztráta podobně jako v přímém potrubí, viz Obrázek 93. Tyto tlakové ztráty bývají mnohem intenzivnější než na rovném úseku potrubí vzhledem k tomu, že při průtoku těmito částmi dochází i ke změně tvaru průtočného kanálu, směru proudění a často i ke škrcení. Z pohledu tlakové ztráty se tyto prvky nazývají místní odpory.
dochází i ke změně tvaru průtočného kanálu, směru proudění a často i ke škrcení. Z pohledu tlakové ztráty se tyto prvky nazývají místní odpory.
Tlakovou ztrátu místního odporu lze vypočítat stejně jako tlakovou ztrátu rovného úseku potrubí, tedy podle Darcy-Weisbachovy rovnice, s. 17. Při výpočtu tlakové ztráty vznikající v daném prvku se vychází ze střední rychlosti proudu před prvkem (armaturou) a ze ztrátového součinitele příslušného prvku.
U jednoduchých potrubních prvků lze jejich ztrátový součinitel ζ i vypočítat [3, s. 85], častěji se ale vychází z měření daného prvku při obvyklém provozním proudění, protože ztrátový součinitel se mění s Reynoldsovým číslem. Nicméně u některých prvků není vliv Reynoldsova čísla významný a lze použít tabelizované hodnoty, především pro armatury a potrubní tvarovky např. v [2, s. 672], [7, s. 252], [8, s. 737]. Příslušný ztrátový součinitel poskytuje výrobce daného potrubního prvku. Za speciální případ místního odporu, lze považovat i vstupy a výstupy z trubky. Na okrajích je totiž proudění většinou neustálené a ovlivněné tvarem začátku či konce potrubí. Ztrátové součinitele pro různé typy okrajů potrubí jsou uvedeny v [10, s. 268]. V případě armatury obvykle výrobce dodává grafy závislosti její tlakové ztráty na průtoku (podle druhu protékajícího média). Pokud je znám jmenovitý průtokový součinitel armatury KVS lze ztrátu v závislosti na průtoku vypočítat z uvedené definice. Popřípadě je možné odvodit ze zmíněné definice přímo Vzorec 661, s. 22 pro ztrátový součinitel. Orientační hodnoty ztrátových součinitelů některých armatur jsou uvedeny v [4, s. 231, 232]. Existují ale i jiné typy součinitelů zpravidla odvozené od tlakové ztráty armatury. Záleží na výrobci jakou metodiku porovnávání armatur používá. Příslušné vztahy potom uvádí ve svém katalogu armatur, popřípadě uvede přímo diagram závislosti tlakové ztráty na průtoku armaturou.
uvedeny v [4, s. 231, 232]. Existují ale i jiné typy součinitelů zpravidla odvozené od tlakové ztráty armatury. Záleží na výrobci jakou metodiku porovnávání armatur používá. Příslušné vztahy potom uvádí ve svém katalogu armatur, popřípadě uvede přímo diagram závislosti tlakové ztráty na průtoku armaturou.
Při výběru nejvhodnější uzavírací armatury se nejdříve stanoví povolená tlaková ztráta ΔpZ při objemovém průtoku V a hustotě proudícího média ρ1. Vypočítá se jmenovitý průtokový součinitel KVS. Dále se z katalogu armatur příslušného výrobce vybere armatura s nejbližším vyšším KVS.
Pro rychlý přibližný výpočet tlakové ztráty lze také použít veličinu zvanou ekvivalentní délka potrubí. Tato veličiny udává délku hladkého potrubí (vyjádřená jako počet průměrů hladkého potrubí) o stejném průměru jako je příruba vyšetřovaného místního odporu se stejnou tlakovou ztrátou jako místní odpor. Ekvivalentní délky potrubí některých armatur a potrubních tvarovek jsou uvedeny v [24], [13], výběr pak v Tabulce 1200. Výhodou je, že potom stačí jednotlivé délky sečíst a pro výpočet celkové ztráty potrubního systému použít vztah pro výpočet tlakové ztráty v hladkém potrubí.
Ventily přímé | l·d-1 | l·d-1 | ||
obyčejné | 340 | s šikmým vedení vřetena 60° od osy potrubí | 175 | |
s vedením vřetena i v průtočné části | 450 | s šikmým vedení vřetena 45° od osy potrubí | 145 | |
Nárožní ventily | l·d-1 | l·d-1 | ||
obyčejné | 145 | s vedením vřetena i v průtočné části | 200 | |
Šoupátka | l·d-1 | l·d-1 | ||
obyčejné (dvě sedla) | 13 | pro plynovody | 3 | |
pro velmi vazké kapaliny (jedno sedlo) | 17 | |||
Zpětné ventily | l·d-1 | l·d-1 | ||
se zpětnou klapkou | 35 | s kuličkou | 150 | |
s plně otvíratelnou klapkou | 50 | se sacím košem deskový | 420 | |
přímé | 340 | se sacím košem s klapkou | 75 | |
nárožní | 145 | uzavírací klapky | 20 | |
Kohouty | l·d-1 | l·d-1 | ||
obyčejné | 18 | třícestné | 140 |
Potrubní tvarovky | l·d-1 | l·d-1 | ||
90° koleno | 30 | rohové koleno (bez radiusu) | 57 | |
45° koleno | 16 | 180° koleno (malé) | 50 | |
90° koleno (velký rádius) | 20 | tvarovka T | 20 | |
90° koleno s hrdlem (k pájení nebo šroubení) | 50 | tvarovka T (většina průtoku odbočuje do větve) | 60 | |
45° koleno s hrdlem (k pájení nebo šroubení) | 26 | |||
Průtokoměry | l·d-1 | l·d-1 | ||
turbínový | 150 | clonkový | 200 | |
pístový (objemový) | 400 |
Závislost tlakové ztráty v potrubní trase a ve všech místních odporech, které jsou v této trase vloženy na objemovém průtoku se nazývá charakteristika potrubního systému. Z rovnice pro výpočet tlakové ztráty je zřejmé, že při ρ=konst. bude tlaková ztráta kvadratickou funkcí s paramatrem K zvaným konstanta potrubního systému (jiný název měrný hydraulický odpor potrubní trasy), viz Rovnice 662.
Parametr K se většinou uvažuje jako konstanta pro dané otevření jednotlivých armatur, ale protože součinitel tření λ je funkcí Reynoldsova čísla, musí se s průtokem měnit i K. Tato změna není ovšem příliš velká pokud nás zajímá tlaková ztráta v oblasti jmenovitého průtoku. Pro výpočty ve větším rozsahu průtoků lze použít korekci, a to tak, že objemový průtok není umocněn 2, ale jiným exponentem, více v [11, s. 25].
Konstantu potrubního systému lze vypočítat podle Rovnice 662 z jednotlivých tlakových ztrát potrubního systému a nebo ji lze vypočítat z naměřené tlakové ztráty při konkrétním objemovém průtoku, viz Úloha 1081.
lze vypočítat z naměřené tlakové ztráty při konkrétním objemovém průtoku, viz Úloha 1081.
Při adiabatickém proudění celková entalpie plynu zůstává konstantní a rovna celkové entalpii na vstupu do kanálu, ale bude se zvyšovat entropie v důsledku vnitřního tření. Z rovnice kontinuity, energetické bilance a zachování hybnosti lze pro předpoklad konstantní měrné tepelné kapacity plynu odvodit pro takové proudění obecné Rovnice 1060, které popisují proudění plynů za přítomnosti tření ve všech typech kanálů. Nicméně v technické praxi uvedené rovnice používáme jen při výpočtech proudění se velkými změnami hustoty v úzkých kanálech ucpávek.
Součinitel tření λ je v Rovnicích 1060 zde předpokládán jako konstanta po celé délce kanálu, ale ve skutečnosti je více či méně závislý na Re a Machovu číslu ve vyšetřovaném místě kanálu. Záleží tedy jak moc se mění průtočný průřez kanálu a Machovo číslo. Experimentální ověření změn součinitele tření při stlačitelné proudění a platnosti Rovnic 1060 je provedeno v [17, s. 217].
stlačitelné proudění a platnosti Rovnic 1060 je provedeno v [17, s. 217].
V případě stlačitelného proudění v kanále konstatního průřezu lze obecné Rovnice 1060 upravit pro podmínku dA=0, viz Rovnice 1061.
V důsledku tření se bude při adiabatickém proudění plyn zahřívat, což bude způsobovat zvětšování jeho měrného objemu a v kanále konstatního průřeu současně i nárůst střední rychlosti, takže postupně bude klesat tlak a měrná statická entalpie. Zakreslení stavů plynu v jednotlivých bodech osy kanálu v i-s diagramu označujeme jako Fannovu křivku (Fanno line). Na Obrázku 1059 je takový záznam zobrazen pro kanál délky l a tři případy velikosti součinitele tření λ (stejný vliv jako změny součinitele tření má na změnu tlaku i prodlužování kanálu).
V technické praxi je uvedená teorie uplatnitelná zejména při vyšetřovaní proudění v bezdotykových ucpávkách. Na vysoké tlakové ztrátě spojené s prouděním plynu ve velmi malé mezeře je také založen princip suchoběžných plynových ucpávek popsaný v subkapitole Bezdotykové ucpávky. Nicméně i labyrintové ucpávky lze připodobnit k hladké ucpávce s konstantním průtočným průřezem a s konkrétním součinitelem tření. Zde by měla být zdůrazněna skutečnost, že dosáhne-li rychlost na konci ucpávky kritické rychlosti neznamená to, že průtok ucpávkou už dále nelze snižovat. Je tomu právě naopak, je třeba prodloužit ucpávku nebo v případě labyrintové ucpávky přidat další komůrky labyrintu pro ještě větší snížení průtoku tím, že se zvýší součinitel tření λ (m1<m2<m3 atd). Maximálního průtoku by totiž bylo dosaženo při izoentropickém proudění (m*i), při kterém samozřejmě také dojde ke kritickému proudění.
Součástí článku jsou tyto přílohy:
č. | název | strana |
173 | Odvození vzorců pro výpočet střední rychlosti tekutiny v kanále | 28 |
266 | Odvození vzorců pro výpočet střední rychlosti tekutiny protékající ze střední kinetické energie | 29 |
409 | Odvození vzorců charakteristických tlouštěk mezní vrstvy pro případ proudění kanále | 31 |
413 | Řešení úlohy | 32 |
655 | Jak Newton definoval viskozitu | 34 |
656 | Odvození vzorce pro Reynoldsovo číslo | 36 |
659 | Řešení úlohy | 37 |
663 | Řešení úlohy | 37 |
781 | Řešení úlohy | 40 |
791 | Odvození Navier-Stokesovy rovnice | 41 |
833 | Odvození vzorce pro třecí teplo a třecí sílu při dopravě tekutin | 49 |
855 | Odvození rovnice ztrátového součinitele pro laminární proudění potrubím | 50 |
872 | Odvození tlakové ztráty potrubí při laminárním proudění kapaliny | 51 |
997 | Odvození Eulerovy rovnice hydrodynamiky | 55 |
1139 | Řešení úlohy | 56 |
Přílohy jsou placenou částí článku a lze je zakoupit ve formátu PDF společně s článkem zde: