VZNIK TLAKOVÉ ZTRÁTY PŘI PROUDĚNÍ TEKUTINY A JEJÍ VÝPOČET

konstantního průřezu vybavené různými armaturami a převážně touto problematikou se zabývá tento článek. Dále identifikujeme tlakovou ztrátu v kanálech určené pro transformaci tlakové a kinetické energie tekutiny jako jsou trysky a difuzory případně lopatkové kanály, ale v těchto případech je tlaková ztráta definována nepřímo – problematika ztrát v těchto kanálech je popsána zejména v článcích Proudění plynů a par tryskami, Proudění plynů a par difuzory, Základy aerodynamiky profilů lopatek a lopatkových mříží.

Při dopravě tekutin se příliš nemění hustota tekutiny, proto se vychází z teoriií pro nestlačitelnou tekutinu především z Bernoulliho rovnice. Při dopravě plynů se může hustota měnit na velmi dlouhých trasách plynovodů. V takových případech se obvykle řeší výpočet tlakové ztráty po úsecích [14, s. 71], na kterých se vychází ze střední hustoty plynu nebo přesněji z rovnic pro tlakovou ztrátu při proudění plynů za přítomnosti tření, které jsou popsány v kapitolách na konci tohoto článku.

Tlakovou ztrátu stanovujeme proto, abychom dokázali stanovit tlak na konci potrubí a práci čerpadla či ventilátoru pro pokrytí energetických potřeb vzniku ztrátového tepla. Výpočet ztrátové tepla je důležitý i v kriogenice při dopravě zkapalněných plynů potrubím, protože ztrátové teplo tyto podchlazené tekutiny zahřívá a ty mohou ztrácet vlastnosti nebo se dokonce odpařovat. Ztrátu při proudění krve v těle kompenzuje činnost srdce a čím je vyšší, tím větší musí být i výkon srdce, respektive větší rozdíl mezi tlakem na vstupu a výstupu ze srdce (minimálním a maximálním tlakem neboli tzv. diastolický a systolický tlakem).

● Rychlostní profil a střední rychlost proudění

Typickým projevem vnitřního tření tekutiny je nižší rychlost proudění u okrajů kanálu a vyšší v jádru proudu – rozložení rychlosti tekutiny ve vyšetřovaném řezu kanálu nazýváme rychlostní profil.

U okrajů kanálu dochází k přímému tření tekutiny o plochy kanálu a limitně je zde rychlost tekutiny nulová, viz Obrázek 173. Oblast proudění, která je přímo ovlivněna přítomnosti třecích ploch kanálu se nazývá mezní vrstva. Mezní vrstva nevzniká při proudění ideálních tekutin.

Pro střední rychlost proudění se používají podle potřeby tři definice: 1. Střední rychlost odvozená z průtoku; 2. Střední rychlost odvozená z hybnosti proudu; 3. Střední rychlost odvozená z kinetické energie proudu.

1/3. Střední rychlost odvozená z průtoku je taková rychlost proudění, při které za jednotku času proteče kanálem stejné množství tekutiny odpovídající hmotnostnímu průtoku, viz Vzorec 173(c).

● Návrh hospodárných rychlostí tekutiny v potrubí

Tlaková ztráta v daném potrubí je funkcí vlastností a stavu pracovní tekutiny a její střední rychlosti proudění. Střední rychlost proudění proto navrhujeme tak, aby byla přijatelná v rámci technologie, ve které je potrubí instalováno (svou roli hraje energetická hustota a dispoziční možnosti a pod.) a také náklady na pořízení potrubí včetně montáže a údržby a náklady na čerpací nebo kompresní práci, odtud vyplývají hodnoty obvyklých a hospodárných rychlostí v potrubím pro různé pracovní látky, které lze nalézt např v  [14, s. 141], výběr je pak uveden v Tabulce 1197.

Obvykle právě z navržené rychlosti proudění, hustoty a požadovaného měrného průtoku se vypočítá hospodárný průměr potrubí, viz Nomogram 1198. Vypočítaný průměr potrubí je nutné zaokrouhlit podle vyráběných průměrů trubek odpovídající tlaku a teplotě, při které bude potrubí provozováno.

K optimalizaci nákladů tedy potřebujeme znát rovnice pro výpočet tlakové ztráty jako funkce rychlosti (přesný výpočet hospodárné rychlosti v potrubí na základě závislosti tlakové ztráty na této rychlosti je provden například v [9, s. 187]).

definovány tyto tři charakteristické tloušťky mezní vrstvy: 1. Pošinovací tloušťku mezní vrstvy; 2. Impulsní tloušťku mezní vrstvy; 3. Energetickou tloušťku mezní vrstvy.

1/3. Při prouděním bez tření by v celém průtočném průřezu byla stejná rychlost (maximální) a tomu by odpovídal i hmotnostní průtok, ale v důsledku vnitřního tření tekutiny je průtok menší. Pošinovací tloušťka mezní vrstvy odpovídá průtočnému průřezu, kterým by protékala pracovní tekutina maximální rychlostí a hmotnostním průtoku rovnající se rozdílu mezi průtokem bez tření a skutečném průtoku, viz Vzorec 409(a).

2/3. Při prouděním bez tření by v celém průtočném průřezu byla stejná hybnost tekutiny (maximální) a tomu by odpovídala i celková hybnost proudu, ale v důsledku vnitřního tření tekutiny je celková hybnost menší. Impulsní tloušťka mezní vrstvy odpovídá průtočnému průřezu, kterým by protékala pracovní tekutina maximální rychlostí s hybnostní proudu rovnající se rozdílu mezi celkovou hybností bez tření a skutečnou celkovou hybností proudu, viz Vzorec 409(b).

3/3. Při prouděním bez tření by v celém průtočném průřezu byla stejná kinetická energie tekutiny (maximální) a tomu by odpovídal i celkový kinetický výkon proudu, ale v důsledku vnitřního tření tekutiny je celkový kinetický výkon menší. Energetická tloušťka mezní vrstvy odpovídá průtočnému průřezu, kterým by protékala pracovní tekutina maximální rychlostí s kinetickým výkonem proudu rovnající se rozdílu mezi kinetickým výkonem proudu bez tření a skutečným výkonem proudu, viz Vzorec 409(c).

V případech obtékání těles se jednotlivé charakteristické tloušťky mezní vrstvy stanovují k rychlosti proudu před obtékaným tělesem, přičemž hranice ovlivněné oblasti, ke které se stanovuje průtok, je ve vzdálenosti, ve které je rychlost proudění už velmi blízká rychlosti před ovlivněnou oblastí, podrobněji v [19, s. 235].

Tekutiny, u kterých lze uplatnit výše uvedenou definici viskozity nazýváme newtonovské tekutiny a naopak tekutiny, ve kterých se viskozita mění s rychlostí nazýváme nenewtonovské tekutiny (tekutiny obsahující větší shluky molekul jako koloidní roztoky, suspense, emulze gely apod. [1, s. 395], [33, s. 24]). Tekutiny, které mají nenulovou viskozitu se nazývají viskozní tekutiny.

Při definici viskozity Vzorcem 655 jsme vycházeli z velmi jednoduchého případu proudění v rovině. Ale definovat jednotlivá napětí od tření tekutiny při proudění v prostoru je už mnohem složitější. Vztahy mezi jednotlivými tečnými napětími a viskozitou při proudění v prostoru naleznete například v [26, s. 613] nebo v [33, s. 97].

Dynamická viskozita tekutin se měří pomocí viskozimetrů, kterých je několik typů [1, s. 406]. Výsledky měření se uvádí do tabulek, které se využívají při výpočtech. Problém získání komplexních dat hodnot viskozity je v tom, že viskozita tekutin závisí na teplotě a tlaku. S rostoucí teplotou dynamická viskozita kapalin klesá a s rostoucím tlakem vzrůstá. Vliv tlaku je u většiny kapalin nevýznamný, vyjma velmi vysokých tlaků v řádech megapascalů. Dynamická viskozita plynů s rostoucí teplotou vzrůstá a je nezávislá na tlaku, vyjma extrémně nízkých nebo naopak vysokých tlaků [1, s. 446]. Z těchto důvodů se uvádí dynamické viskozity tekutiny pro technické účely pouze v závislosti na teplotě (pro některé případy lze použít pro výpočet změny dynamické vizkozity plynů s teplotou rovnici odvozenou australským fyzikem Williamem Sutherlandem (1859-1911), která je uvedena například v [1, s. 447], [33]). Hodnoty dynamické a kinematické viskozity různých tekutin jsou uvedeny například v [12], [13], [21], [2], [22], pro vodu a páru v Tabulkách 1190, 1191.

V technické praxi se velmi často pracuje se směsmi, jak plynnými, tak kapalnými, které se skládají ze dvou nebo více čistých látek. Viskozita směsi přibližně závisí na molárních koncentracích jednotlivých složek směsi, viz Vzorec 1025. Nomogram pro určení výsledné viskozity směsi kapalin, respektive olejů je uveden např. v [18, s. 47]. Hodnoty viskozity suchého a vlhkého vzduchu jsou v Tabulkách 1192, 1193.

● Rovnice popisující laminární proudění

Nyní stojíme před úkolem určit ztrátu případně tvar profilu při laminárním proudění. Při řešení nelze aplikovat rovnice potenciálního proudění a je nutné odvodit zcela nový typ rovnice zahrnující ztrátové teplo. Jak již víme, množství ztrátového tepla roste ve směru proudění, odtud a pomocí definice viskozity, lze odvodit rovnici laminárního pohybu tekutiny nazývanou také jako Navier-Stokesovu rovnicí, viz Rovnice 791. Uvedenou rovnici na základě kinetiky pohybu molekul odvodil francouzský inženýr Claude-Louis Navier (1785-1836). Irský matematik George Gabriel Stokes (1819-1903) je v názvu přidán na počest, protože s rovnicí dále experimentoval a hlouběji popsal její možnosti [34], i když vědců, kteří ji rozvinuli je více [28].

Z rovnice ztrátového tepla mimo jiné plyne, že plyn při velmi malé hustotě, respektive tlaku může mít velmi vysoké vnitřní tření. To je také příčina výskytu laminárního proudění při malých rychlostech nebo u tekutin s vysokou kinematickou viskozitou.

Ztrátové teplo q_Z je přesně to teplo, které zvyšuje entropii tekutiny, jak je popsáno v kapitole Vratnost termodynamických změn a entropie. Tato energie zvyšuje vnitřní tepelnou energii tekutiny nebo kinetickou energii vírů vznikajících mezi proudnicemi. Tyto víry získávají energii tak, že třecí síla vytváří moment v nejbližším okolí vyšetřovaného bodu, jak naznačuje Obrázek 655, s. 35. Nicméně při stabilním laminárním proudění mají víry stále stejnou energii, takže stejné množství energie se třením transformuje také na vnitřní tepelnou energii. U plynů se část ztrátového tepla, respektive vnitřní tepelné energie může zpět transformovat na tlakovou, kinetickou nebo potenciální energii, respektive práci. To je způsobeno tím, že při zvýšení teploty se zvětší měrný objem plynu, viz také teplo znovu využité či přídavné ztráty u tepelných strojů.

Už víme, že laminární proudění není potenciální a pro popis jeho dynamických účinků nelze použít Eulerovu rovnici hydrodynamiky pro ideální tekutinu, protože vektor rychlosti není potenciální veličina. Přesto lze Eulerovu rovnici, tedy rovnici silové rovnováhy, pro vírové proudění odvodit stejným postupem jako v případě proudění ideálních tekutin, rozdíl je ve stanovení zrychlení tekutiny. V případě ideálních tekutin je zrychlení rovno gradientu kinetické energie, v případě vírového laminárního proudění je změna kinetické energie a tedy zrychlení tekutiny ve směru proudění rovna skálárnímu násobku vektoru rychlosti a divergence rychlosti, viz Rovnice 997.

V takovém případě hovoříme o plně vyvinuté mezní vrstvě, rychlostním profilu či obecně o plně vyvinutém proudění. Postupný vývoj rychlostního profilu je také důvod, proč u velmi krátkých kanálů je střední rychlost velmi blízká maximální rychlosti.

Vstupní délka kanálu x_e, na které dochází k vývoji mezní vrstvy je funkcí poměru dynamického tlaku a tečného napětí v proudu, který označujeme jako Reynoldsovo číslo Re, dále je funkcí koeficientu hydraulické vstupní délky kanálu, jeho tvaru a tzv charakteristickém rozměru, viz Vzorec 656.

Pro trubku kruhového průřezu jsou hodnoty hydraulické vstupní délky přibližně v rozsahu C_h≈0,025...0,065 – hodnotu 0,065 odvodil francouzký fyzik a matematik Joseph Boussinesq (1842-1929), hodnotu 0,025 německý fyzik Ludwig Schiller (1882-1961). Přičemž lze říci, že vyšší hodnoty odpovídají pro kratším a nižší delším vstupním úsekům [3, s. 194], [28, s. 143]. Koeficienty C_h pro kanály jiných než kruhových průřezů jsou uvedeny v [32, s. 208] a v Tabulce 1203 jsou uvedeny hodnoty pro obdelníkové kanály.

třením, ale při vyšších rychlostech energie ve vírech postupně roste. Nakonec mohou víry získat takovou energii, že začnou narušovat hranice proudnic a dochází k vzájemnému promíchávání proudu a sdílení energií. Nastavá turbulentní proudění. Rychlost, při které toto nastane se nazývá kritická střední rychlost proudění. Při této rychlosti setrvačné síly částic převažují nad třecí silou.

Turbulentní proudění

Při turbulentním proudění nemají částice ve všech místech stálou rychlost, ale průměrně lze definovat jak střední rychlost proudění tekutiny, tak rychlostní profil, viz Obrázek 834. Tvar rychlostního profilu turbulentního proudění lze stanovit podle rovnic uvedených například v [33, s. 171] a [19, s. 257].

● Přechod laminárního proudění do turbulentního

Přechod z laminárního proudění do turbulentního je pozvolný a rozhodující pro určení o jaké proudění se jedná je velikost Reynoldsova čísla vyšetřovaného proudění, protože vznikající víry budou narušovat proudová vlákna tím více, čím větší bude poměr dynamického tlaku proudící tekutiny (setrvačná síla) ku tečnému napětí (třecí síla) v tekutině. Velikost Reynoldosva čísla, při kterém dochází k zhroucení laminárního proudění se nazývá kritické Reynoldsovo číslo. Při opakovaných experimentech proudění v potrubí, kde charakteristickým rozměrem byl průměr potrubí, bylo zjištěno, že do Re = 2320 se jedná vždy o laminární proudění (kritické Reynoldsovo číslo Re_K, kritická střední rychlost proudění). V rozmezí Re=2320 do Re=5000 až 6000 je tzv. přechodová oblast (rychlostní profil je nestabilní). Od Re=6000 (tzv. horní kritické Reynoldsovo číslo) se jedná o proudění turbulentní. Je třeba zdůraznit, že v praxi tyto hodnoty budou nižší, protože zde uvedené hodnoty pochází z měření v laboratořích na dokonale uložených potrubích bez vibrací. Nomogram pro výpočet Reynoldsova čísla s vyznačením přechodové oblasti mezi proudění pro potrubí je na Obrázku 1196. Z nomogramu mimo jiné vyplývá, že laminární proudění v běžných případech nastává jen za velmi vysokých hodnot kinematických viskozit a nízkých rychlostí, jinak jsou Reynoldsova čísla daleko větší než kritické Reynoldsovo číslo.

● Přechod turbulentního proudění do laminárního

Turbulentní proudění může zpět přejít do lamirnárního, jestliže klesne součin rychlosti a charakteristického rozměru, respektive klesne Reynoldosvo číslo pod kritické Reynoldsovo číslo. Například vložíme-li do turbulentního proudění desku, tak na jejích obou stranách se vytvoří laminární mezní vrstva přesně podle Obrázku 792. Další příkladem je změna průměrů potrubí, nebo vložení kanálu do turbuletního proudu, jak je naznačeno na Obrázku 228. V případě nasávání turbulentního proudu se na nátokovém okraji vloženého kanálu vytvoří laminární vrstva (v jádru je stále turbulentní), která, jestliže je v tomto kanálu Reynoldosovo číslo dostatečně nízké, se může spojit a může vytvořit laminární profil v celém průřezu jako na Obrázku 324, s. 12. Stejný efekt vzniku laminární vrstvy lze sledovat i při proudění v lopatkových kanálech, i když na vstupu je turbulentní proud.

Praktický výpočet tlakové ztráty v potrubí nejen kruhového průřezu

Pro určení tlakové ztráty při turbulentním proudění už nelze vycházet z Navier-Stokesovy rovnice, ale vychází se buď z numerických modelů nebo praktických poloempirických vzorců založených na podobnosti proudění.

Diagram se jmenuje po americkém inženýrovi Lewisu Moodym (1880-1954).

Jednou z křivek Moodyho digramu, která ukazuje významné hodnoty mimo křivek pro laminární proudění Obrázek 658(a) a křivky turbulentního proudění v hladké trubkce (Obrázek 658(c)) je křivka tzv. mezního Reynoldsova Re_M. Jedná se o takovou hodnotu Reynoldsova čísla od které zůstává při zvyšování Reynoldsova čísla hodnota součinitele tření přibližně konstantní při dané relativní drsnosti potrubí. To je způsobeno potlačením turbulencí u stěny potrubí, kde vzniká laminární vrstva [2, s. 108]. Pokud je tloušťka této laminární vrstvy větší než drsnost chová se potrubí jako hydraulicky hladké a součinitel tření lze odečíst z křivky c pro dokonale hladké potrubí. Pokud je tloušťka této laminární vrstvy menší než drsnost nejprve s rostoucím Re se součinitel tření snižuje až po mezní Reynoldsovo číslo, kde už je turbulence způsobená drsnosti povrchu tak velká, že už na Re nezávisí.

● Tlaková ztráta v místních odporech

Potrubní trasa (potrubní síť) nebývá přímočará a může být tvořena dalšími potrubními prvky (odbočky různých tvarů, oblouky, zúžení), armaturami, filtry, měřidly a dalšími průtočnými částmi. V těchto částech potrubních tras vzniká tlaková ztráta podobně jako v přímém potrubí, viz Obrázek 93. Tyto tlakové ztráty bývají mnohem intenzivnější než na rovném úseku potrubí vzhledem k tomu, že při průtoku těmito částmi dochází i ke změně tvaru průtočného kanálu, směru proudění a často i ke škrcení. Z pohledu tlakové ztráty se tyto prvky nazývají místní odpory.

uvedeny v [4, s. 231, 232]. Existují ale i jiné typy součinitelů zpravidla odvozené od tlakové ztráty armatury. Záleží na výrobci jakou metodiku porovnávání armatur používá. Příslušné vztahy potom uvádí ve svém katalogu armatur, popřípadě uvede přímo diagram závislosti tlakové ztráty na průtoku armaturou.

Při výběru nejvhodnější uzavírací armatury se nejdříve stanoví povolená tlaková ztráta Δp_Z při objemovém průtoku V a hustotě proudícího média ρ₁. Vypočítá se jmenovitý průtokový součinitel K_VS. Dále se z katalogu armatur příslušného výrobce vybere armatura s nejbližším vyšším K_VS.

Pro rychlý přibližný výpočet tlakové ztráty lze také použít veličinu zvanou ekvivalentní délka potrubí. Tato veličiny udává délku hladkého potrubí (vyjádřená jako počet průměrů hladkého potrubí) o stejném průměru jako je příruba vyšetřovaného místního odporu se stejnou tlakovou ztrátou jako místní odpor. Ekvivalentní délky potrubí některých armatur a potrubních tvarovek jsou uvedeny v [24], [13], výběr pak v Tabulce 1200. Výhodou je, že potom stačí jednotlivé délky sečíst a pro výpočet celkové ztráty potrubního systému použít vztah pro výpočet tlakové ztráty v hladkém potrubí.

lze vypočítat z naměřené tlakové ztráty při konkrétním objemovém průtoku, viz Úloha 1081.

Vznik tlakové ztráty při adiabatickém proudění plynů

Při adiabatickém proudění celková entalpie plynu zůstává konstantní a rovna celkové entalpii na vstupu do kanálu, ale bude se zvyšovat entropie v důsledku vnitřního tření. Z rovnice kontinuity, energetické bilance a zachování hybnosti lze pro předpoklad konstantní měrné tepelné kapacity plynu odvodit pro takové proudění obecné Rovnice 1060, které popisují proudění plynů za přítomnosti tření ve všech typech kanálů. Nicméně v technické praxi uvedené rovnice používáme jen při výpočtech proudění se velkými změnami hustoty v úzkých kanálech ucpávek.

Součinitel tření λ je v Rovnicích 1060 zde předpokládán jako konstanta po celé délce kanálu, ale ve skutečnosti je více či méně závislý na Re a Machovu číslu ve vyšetřovaném místě kanálu. Záleží tedy jak moc se mění průtočný průřez kanálu a Machovo číslo. Experimentální ověření změn součinitele tření při stlačitelné proudění a platnosti Rovnic 1060 je provedeno v [17, s. 217].

V technické praxi je uvedená teorie uplatnitelná zejména při vyšetřovaní proudění v bezdotykových ucpávkách. Na vysoké tlakové ztrátě spojené s prouděním plynu ve velmi malé mezeře je také založen princip suchoběžných plynových ucpávek popsaný v subkapitole Bezdotykové ucpávky. Nicméně i labyrintové ucpávky lze připodobnit k hladké ucpávce s konstantním průtočným průřezem a s konkrétním součinitelem tření. Zde by měla být zdůrazněna skutečnost, že dosáhne-li rychlost na konci ucpávky kritické rychlosti neznamená to, že průtok ucpávkou už dále nelze snižovat. Je tomu právě naopak, je třeba prodloužit ucpávku nebo v případě labyrintové ucpávky přidat další komůrky labyrintu pro ještě větší snížení průtoku tím, že se zvýší součinitel tření λ (m₁<m₂<m₃ atd). Maximálního průtoku by totiž bylo dosaženo při izoentropickém proudění (m^*_i), při kterém samozřejmě také dojde ke kritickému proudění.

Odkazy