Copyright©Jiří Škorpík, 2023
Všechna práva vyhrazena.
Při proudění tekutin vzniká tření o povrch průtočného kanálu a obtékaných těles i tření uvnitř tekutiny (tzv. vnitřní tření7.). Třením ztrácí tekutina kinetickou energii a aby protekla kanálem požadovanou rychlostí (průtokem), musí nabývat kinetickou energii na úkor tlakové energie – vzniká tlaková ztráta Lp, případně na úkor jiné energie, například potenciální energie apod.
Na Obrázku 1 je nejjednodušší případ vzniku tlakové ztráty při proudění nestlačitelné tekutiny v potrubí s konstantním průřezem. Protože na vstupu i výstupu z kanálu musí být stejný průtok, tedy i rychlost, bez změny potenciální energie, je tlaková ztráta Lp rovna rozdílu statických tlaků mezi vstupem a výstupem, viz Rovnice 1(a).
Ztrátové teplo7. Lq, které vzniká při tření zahřívá pracovní tekutinu. Ztrátové teplo pro případ Obrázku 1 odpovídá tlakové energii tlakové ztráty, viz Rovnice 1(b).
Tekutina působí třecí silou F na kanál ve směru proudění. Třecí síla pro případ Obrázku 1 odpovídá součinu rozdílu tlaku mezi vstupem a výstupem z kanálu (tlakové ztrátě) a průtočné plochy kanálu, viz Rovnice 1(c).
Tlakovou ztrátu potrubní sítě stanovujeme proto, abychom dokázali stanovit tlak na konci potrubí a práci čerpadla či ventilátoru pro pokrytí energetických potřeb vzniku ztrátového tepla. Výpočet ztrátové tepla je důležitý i v kryogenice při dopravě zkapalněných plynů potrubím, protože ztrátové teplo tyto podchlazené tekutiny zahřívá a ty mohou ztrácet vlastnosti nebo se dokonce odpařovat. Ztrátu při proudění krve v těle kompenzuje činnost srdce a čím je vyšší, tím větší musí být i výkon srdce, respektive větší rozdíl mezi tlakem na vstupu a výstupu ze srdce (minimálním a maximálním tlakem neboli tzv. diastolický a systolický tlakem).
Při dopravě tekutin se nemění hustota, vychází se z teorií pro nestlačitelnou tekutinu. Nicméně při dopravě plynů na velmi dlouhých trasách plynovodů se může hustota měnit. Při přepravě plynů plynovody se řeší výpočet tlakové ztráty po úsecích, na kterých se vychází ze střední hustoty plynu na daném úseku [Mikula et al., 1974, s. 71].
Postup výpočtu tlakové ztráty ve vyšetřovaném kanále se odvíjí podle toho, jestli je v kanále laminární7. a nebo turbulentní proudění7.. To lze zjistit podle hodnoty Reynoldsova čísla7. pro daný případ, pro jehož výpočet je nutné znát střední rychlost tekutiny7., charakteristický rozměr7. kanálu (v případě potrubí se jedná o průměr) a hodnotu kinematické viskozity7.. Jestliže je hodnota Reynoldsova čísla menší než je hodnota kritického Reynoldosova čísla7., pak bude proudění spíše laminární, jestliže je hodnota Reynoldsova čísla menší než je hodnota horního kritického Reynoldosova čísla7., pak bude proudění pravděpodobně turbulentní.
Dále identifikujeme tlakovou ztrátu v kanálech určené pro transformaci tlakové a kinetické energie tekutiny jako jsou trysky, difuzory a profilové mříže, ale v těchto případech je tlaková ztráta definována nepřímo – problematika ztrát v těchto kanálech je popsána zejména v článcích Proudění plynů a par tryskami4., Proudění plynů a par difuzory5., v případě profilových mříží v článku [Škorpík, 2022a].
Z Navier-Stokesových rovnic7. lze snadno odvodit vztah pro výpočet tlakové ztráty pro případ laminárního ustáleného proudění jako funkci dynamického tlaku. Tato rovnice se nazývá Darcy-Weisbachova rovnice, kterou sestavil francouzský inženýr Henrym Darcym (1803-1858) pro potrubí, viz Rovnice 2. Později, na základě dlouhodobých experimentů a dedukce, potvrdil platnost tohoto vztahu německý inženýr Julius Weisbach (1806-1871) i pro proudění přechodové a turbulentní a dokonce i pro ztrátu v potrubních tvarovkách a ventilech.
Z Darcy-Weisbachovy rovnice tedy plyne, že tlaková ztráta je určitým podílem z dynamického tlaku, tento podíl se nazývá ztrátový součinitel. Pro kanály stálého průřezu, respektive potrubí, lze ztrátový součinitel docela dobře vypočítat podle rovnic uvedených v kapitole Výpočet ztrátového součinitele potrubí. Pro jiné typy kanálů, například kolena, ventily apod. se používají výsledky z měření, viz kapitola Ztrátový součinitel místních odporů.
Ztrátový součinitel potrubí neměnného průřezu lze vypočítat podle Rovnice 3. Je tedy funkcí délky a průměru potrubí (za d se dosazuje charakteristický rozměr7., jestliže je potrubí nekruhového průřezu [Mikula et al., 1974, s. 91]) a veličiny zvané součinitel tření.
Rovnici součinitele tření v potrubí při laminárním proudění λLF lze snadno odvodit z Navier-Stokesových rovnic, viz Rovnice 4. Při určování hodnoty součinitele tření při turbulentním proudění se vychází ze závěru měření na sérii skleněných potrubí s uměle vytvořenou drsností pomocí pískového filmu, které provedl Johann Nikuradse. Nikuradse měřil tlakovou ztrátu několika potrubí s různými relativními drsnostmi povrchu pro vybraná Reynoldsova čísla a odtud vypočítal hodnoty součinitele tření λ podle Darcy-Weisbachovy rovnice (Rovnice 2). Z těchto hodnot vytvořil diagram závislosti součinitele tření na Reynoldsově čísle a potvrdil existenci čtyř oblastí s různými závislostmi součinitele tření na Reynoldsově čísle, viz Obrázek 4.
K výpočtu součinitele tření v oblastech (C-D) na Obrázku 4 se používají poloempirické vztahy získané aproximací skutečně naměřených hodnot v Nikuradseho diagramu doplněného o další měření, která byla provedena. Přehled těchto rovnic je například uveden v [Štefan, 2009]. Existuje jedna univerzální rovnice s dostatečnou přesností pro běžnou technickou praxi, kterou sestavil Cyril Colebrook (1910-1997) [Míka, 1977, s. 150], viz Rovnice 5. Americký inženýr Lewis Moody (1880-1954) pak vytvořil pomocí Colerbrookovu rovnice diagram vypočítaných hodnot součinitele tření, který se dnes označuje jako Moodyho diagram. Moodyho diagram je široce publikován on-line i knižně, například [Cihelka et al., 1975, s. 684], [Roček, 2002, s. 230].
V oblasti (C) probíhá vývoj turbulentního rychlostního profilu. V oblasti (D) je již vývoj dokončen a i při zvyšující se hodnotě Reynoldsova čísla se podíl kinetické energie tekutiny v mezní vrstvě ku kinetické energie v jádru proudu nemění.
Hodnoty mezních Reynoldsových čísel ReRP, tedy přibližnou hranici mezi oblastmi (C) a (D) lze vypočítat dosazením rovnice pro λRP do Colebrookovy rovnice. Vybrané hodnoty takto vypočítaných mezních Reynoldsových čísel jsou uvedeny v Tabulce 6.
C | 1·10-6 | 1·10-5 | 1·10-4 | 0,001 | 0,01 | 0,01 | 0,04 | 0,05 | ||
ReRP | 2,62·109 | 2,22·108 | 1,82·107 | 1,42·106 | 2,28·105 | 1,02·105 | 1,95·104 | 1,48·104 |
ε | ε | ||||||
Tažené (nové) z: měď, mosaz, sklo | 0,001...0,002 | Litinové | 0,2..0,6 | ||||
Plast nebo pryž | 0,0015...0,007 | Ocelové pozinkované | 0,07...0,1 | ||||
Ocelové bezešvé válcované | 0,04...0,1 | Ocelové trubky korodované vyčištěné | 0,15...0,2 | ||||
Ocelové svařované podélným švem | 0,04...0,1 |
Z Darcy-Weisbachovy rovnice plyne, že pro minimální tlakovou ztrátu je výhodné přepravovat plyn při vyšších tlacích a hustotách než při nízkých tlacích a vysokých rychlostech. Proto jsou tlaky v tranzitních plynovodech kolem 7 MPa a tlak plynu se snižuje před spotřebiči (viz Tabulka 9), které jsou kvůli bezpečnosti konstruovány na nižší tlaky.
p | p | |||||
Tranzitní plynovod | 7,5 | Středotlaký plynovod | 0,1...0,3 | |||
Vysokotlaký plynovod | 4 | Nízkotlaký (domácnosti) | 0,002 |
Pro základní návrhy potrubní trasy využívají projektanti veličinu měrná tlaková ztráta v potrubí odpovídající tlakové ztrátě v potrubí o délce 1 m, viz také Nomogram 10.
Potrubní trasa (potrubní síť) nebývá přímočará a může být tvořena dalšími potrubními prvky (odbočky různých tvarů, oblouky, zúžení), armaturami, filtry, měřidly a dalšími průtočnými částmi, viz Obrázek 11. Tyto prvky jsou místními odpory a vzniká v nich místní tlaková ztráta.
V místních odporech vzniká tlaková ztráta podobně jako v přímém potrubí. Tyto tlakové ztráty bývají mnohem intenzivnější než na rovném úseku potrubí vzhledem k tomu, že při průtoku těmito částmi dochází i ke změně tvaru průtočného kanálu, směru proudění a často i ke škrcení tekutiny6.. Za speciální případ místního odporu, lze považovat i vstupy a výstupy z trubky. Na okrajích je totiž proudění většinou neustálené a ovlivněné tvarem začátku či konce potrubí.
Tlakovou ztrátu místního odporu lze vypočítat také podle Rovnice 2. Při výpočtu tlakové ztráty vznikající v daném místním odporu se vychází ze střední rychlosti proudu před prvkem a ze ztrátového součinitele příslušného typu místního odporu.
Ztrátový součinitel ζ některých typů místních odporů lze i vypočítat [Maštovský, 1964, s. 85], častěji se ale vychází z měření daného místního odporu pro různá Reynoldsova čísla. Nicméně u některých typů místních odporů není vliv Reynoldsova čísla významný a lze použít tabelizované hodnoty, především pro armatury a potrubní tvarovky např. v [Cihelka et al., 1975, s. 672], [Miller et al., 1972, s. 252], [Řasa and Švercl, 2004, s. 737]. Příslušný ztrátový součinitel poskytuje výrobce daného potrubního prvku. Ztrátové součinitele pro různé typy okrajů potrubí jsou uvedeny v [Ibler et al., 2002, s. 268].
V případě armatury obvykle výrobce také dodává přímo grafy závislosti její tlakové ztráty na průtoku (podle druhu protékajícího média). Pokud je znám jmenovitý průtokový součinitel armatury6. KVS, lze ztrátu v závislosti na průtoku vypočítat z definice průtokového součinitele, viz Rovnice 12. Jmenovitý průtokový součinitel se měří na úseku 2·d před armaturou a 8·d za armaturou, proto takto vypočítaný ztrátový součinitel zahrnuje i tuto délku potrubí. Takže skutečný ztrátový součinitel armatury je nižší o ztrátový součinitel odpovídající 10·d hladkého potrubí. Orientační hodnoty ztrátových součinitelů některých armatur jsou uvedeny v [Roček, 2002, s. 231, 232]. Existují ale i jiné typy součinitelů zpravidla odvozené od tlakové ztráty armatury. Záleží na výrobci jakou metodiku porovnávání armatur používá. Příslušné vztahy potom uvádí ve svém katalogu armatur.
Při výběru nejvhodnější uzavírací armatury se nejdříve stanoví povolená tlaková ztráta Lp při objemovém průtoku Q a hustotě proudícího média na vstupu ρ. Vypočítá se jmenovitý průtokový součinitel KVS. Dále se z katalogu armatur příslušného výrobce vybere armatura s nejbližším vyšším KVS.
Pro přibližný výpočet tlakové ztráty místního odporu lze použít i veličinu zvanou ekvivalentní délka potrubí. Tato veličiny udává délku hladkého potrubí (vyjádřená jako počet průměrů hladkého potrubí) o stejném průměru jako je vstupní průměr vyšetřovaného místního odporu se stejnou tlakovou ztrátou. Ekvivalentní délky potrubí některých armatur a potrubních tvarovek jsou uvedeny v [Izard, 1961], [Fraas, 1989], výběr pak v Tabulce 13. Výhodou je, že při výpočtu stačí jednotlivé ekvivalentní délky sečíst a vypočítat jejich celkovou tlakovou ztrátu jako by se jednalo o stejně dlouhé hydraulicky hladké potrubí, viz Úloha 1.
l·d-1 | l·d-1 | |||||
VENTILY PŘÍMÉ | ||||||
obyčejné | 340 | s šikmým vedení vřetena 60° od osy potrubí | 175 |
l·d-1 | l·d-1 | |||||
s vedením vřetena i v průtočné části | 450 | s šikmým vedení vřetena 45° od osy potrubí | 145 | |||
NÁROŽNÍ VENTILY | ||||||
obyčejné | 145 | s vedením vřetena i v průtočné části | 200 | |||
ŠOUPÁTKA | ||||||
obyčejné (dvě sedla) | 13 | pro plynovody | 3 | |||
pro velmi vazké kapaliny (jedno sedlo) | 17 | |||||
ZPĚTNÉ VENTILY | ||||||
se zpětnou klapkou | 35 | s kuličkou | 150 | |||
s plně otvíratelnou klapkou | 50 | se sacím košem deskový | 420 | |||
přímé | 340 | se sacím košem s klapkou | 75 | |||
nárožní | 145 | uzavírací klapky | 20 | |||
KOHOUTY | ||||||
obyčejné | 18 | třícestné | 140 | |||
POTRUBNÍ TVAROVKY | ||||||
90° koleno | 30 | rohové koleno (bez radiusu) | 57 | |||
45° koleno | 16 | 180° koleno (malé) | 50 | |||
90° koleno (velký rádius) | 20 | tvarovka T | 20 | |||
90° koleno s hrdlem (k pájení nebo šroubení) | 50 | tvarovka T (většina průtoku odbočuje do větve) | 60 | |||
45° koleno s hrdlem (k pájení nebo šroubení) | 26 | |||||
PRŮTOKOMĚRY | ||||||
turbínový | 150 | clonkový | 200 | |||
pístový (objemový) | 400 |
Z Darcyho-Weisbachovy rovnice vyplývá, že vyšší střední rychlost způsobuje vyšší tlakovou ztrátu. S rostoucí tlakovou ztrátou stoupá cena pracovního stroje (čerpadla, ventilátoru...) a provozní náklady. Větší průměr potrubí snižuje rychlost proudění, ale zvyšuje náklady na pořízení potrubních tras a armatur. Přesný výpočet hospodárné rychlosti v potrubí je proveden v [Krbek et al., 1999, s. 187]. Hodnoty hospodárných rychlostí pro různé látky lze nalézt v [Mikula et al., 1974, s. 141], s výběrem v Tabulce 14. Existují však i jiné důvody pro nižší/vyšší rychlosti než je hospodárnost, např. dispoziční důvody apod.
V‾ | V‾ | |||||
Olej | 1...2 | Pára přehřátá do 4 MPa | 20...40 | |||
Voda | 1...4 | Pára přehřátá o vysokém tlaku | 30...60, 80 | |||
Pára topná o nízkém tlaku | 10...15 | Výfuková pára (po expanzi ve stroji) | 15...30 | |||
Pára sytá do 1 MPa | 15...20 | Vzduch (stlačený) | 2...15 |
Z navržené hospodárné rychlosti proudění, hustoty a požadovaného měrného průtoku se vypočítá průměr potrubí d, viz Nomogram 15. Vypočítaný průměr potrubí je nutné zaokrouhlit podle vyráběných průměrů trubek odpovídající tlaku a teplotě, při které bude potrubí provozováno.
Závislost tlakové ztráty potrubní trasy na objemovém průtoku se nazývá charakteristika potrubního systému. Z rovnice pro výpočet tlakové ztráty je zřejmé, že při ρ=konst. bude tlaková ztráta kvadratickou funkcí s parametrem CS zvaným konstanta potrubního systému (jiný název měrný hydraulický odpor potrubní trasy), viz Rovnice 16.
Konstanta potrubního systému CS se většinou uvažuje jako konstanta pro dané otevření jednotlivých armatur, ale protože součinitel tření λ je funkcí Reynoldsova čísla, musí se s průtokem měnit i CS. Tato změna není ovšem příliš velká pokud nás zajímá tlaková ztráta v oblasti jmenovitého průtoku. Pro výpočty ve větším rozsahu průtoků lze použít korekci, a to tak, že objemový průtok není umocněn 2, ale jiným exponentem, více v [Bašta, 2003, s. 25].
Konstantu potrubního systému lze vypočítat podle Rovnice 16 z jednotlivých tlakových ztrát potrubního systému pro známý (jmenovitý) průtok (viz Úloha 1) a nebo ji lze vypočítat z naměřené tlakové ztráty při konkrétním objemovém průtoku, viz Úloha 2.
Potrubní charakteristiku, respektive rovnici závislosti tlakové ztráty Lp na objemovém průtoku Q (Lp=f(Q)) lze zjistit měřením pro několik případů. Následně lze toto měření zpracovat na počítači pomocí připraveného softwaru nebo rovnici určit zakreslením naměřených dat na logaritmický papír a tato data proložit přímkou jejíž směrnice pak odpovídá mocnině průtoku, viz Úloha 2 a článek Technická matematika [Škorpík, 2023].
K zanesní potrubí může dojít, jestliže kapalina není čistá. Nánosy v potrubním systému způsobují zmenšení průtočného průřezu potrubí a tedy i změnu charakteristiky tohoto systému, respektive zvýšení tlakové ztráty. Na Obrázku 17 je uvedena změna tlakové ztráty v potrubí při rovnoměrném nánosu v potrubí – o stejná procenta zvýšení tlakové ztráty se přibližně zvýší i čerpací práce. Závislost na tomto obrázku byla vytvořena dosazením Darcy-Weisbachovy rovnice do podílu tlakové ztráty Lp po zúžení průtočného průřezu a tlakové ztráty Lp,n. Odtud je patrné, že vliv zúžení na tlakovou ztrátu roste s pátou mocninou. Naproti tomu i při zachování absolutní drsnosti je vliv změny součinitele tření o několik řádů nižší.
Zanesením potrubí může dojít důsledkem chemického nebo biologického působení a nebo obsahem tuhých částic v kapalině. V případě chemického či elektrochemického procesu dochází k vysrážení minerálů a jejich krystalizace na vnitřní plochách potrubí. Biologická usazenina na potrubí může být rostlinného i živočišného původu – většinou se jedná o nějaké druhy řas nebo korýšů a velmi zavísí na teplotě vody, obsahu živin ve vodě a v případě řas i světelných podmínkách. Typickým znaekm zanesení potrubní trasy tuhými nečistotami v kapalině je, že není rovnoměrně rozložená po celé délce potrubí. Tuhé částice se usazují v místech s malou rychlostí proudění, v nejnižších bodech potrubní trasy odkud je proud kapaliny není schopen vytlačit a před zúženími.
K usazování vodního kamene na stěny potrubí nedochází přibližně již při rychlostech 1,5 až 2,5 m·s-1 [Vosmík, 2023]. Nicméně při určitych kombinacích pH a teplot tato rychlost nemusí stačit. Usazování tuhých částic lze zamezit usazovaní mechanických nečistot už od rychlostí kolem 1,5 m·s-1, ale také záleží i na orientaci potrubí a velikosti a hmotnosti jednotlivých částic, podle [Pugh et al., 2009]. Biologickému zanesení potrubí lze zabránit při rychlostech nad 2 m·s-1.
Uvedené rychlosti jsou pro vodu. U jiných kapalin se mezní rychlost může lišit, protože zamezení přilnutí nečistot k povrchu trubky je potřebné určité tečné napětí, které je funkcí viskozity, takže kapaliny s vyšší viskozitou zamezí zanášení při nižších rychlostech a obráceně. Podrobnosti o zanášení potrubí a výměníků včetně softwárových nástrojů jsou uvedeny v odkazech článku [Pugh et al., 2009].
Stálou rychlost proudění při nepravidleném provozu potrubí lze udržet vytvořením smyček na ohrožených částech potrubí, ve kterých bude proudit kapalina stálou rychlostí bez ohledu na průtok mezi vtokem a výtokem z potrubí Případně se musí zajistit výrazně vyšší jmenovitá rychlost proudění při zapnutí, aby se potrubí vyčistilo po částečném provozu (například po nočním nevytíženém provozu).
Koroze potrubí zvyšuje absolutní drsnost potrubí současně způsobuje úbytek tloušťky stěn potrubí. Jestliže úbýtek materiálu nezpůsobuje významnou změnu protočné plochy plochy potrubí, pak, při konstatních hodnotách ostatních parametrů v Darcyho-Weisbachovy rovnice, lze podíl tlakové ztráty Lp ku tlakové ztrátě při jmenovité (počáteční) Lp,n vyjádřit jako podíl součinitelů tření. Na Obrázku 18 je záznam změny tlakové ztráty v ocelovém potrubí při zvyšující se drsnosti kvůli korozi čištěné ocelové trubky (data z Tabulky 7), ze kterého je patrné, že koroze může zvětšit tlakovou ztrátu řádově o desítky procent.
Mimo dopravy tekutin se setkáváme s dynamickým proudem plynů, při kterém se může významně měnit hustota plynu. Jestliže se jedná o adiabatické proudění, pak lze vycházet při stanovení tlakové ztráty z toho, že celková entalpie plynu zůstává konstantní a rovna celkové entalpii na vstupu do kanálu, ale bude se zvyšovat entropie v důsledku vnitřního tření. Na tomto předpokladu lze odvodit obecné Rovnice 19, které popisuje proudění plynů za přítomnosti tření ve všech typech kanálů lze odvodit z rovnice kontinuity, energetické bilance a zachování hybnosti pro předpoklad konstantní měrné tepelné kapacity plynu. Nicméně v technické praxi uvedené rovnice používáme jen při výpočtech proudění s velkými změnami hustoty v úzkých kanálech ucpávek.
Součinitel tření λ v Rovnicích 19 je konstantní po celé délce kanálu, ale ve skutečnosti je více či méně závislý na Re a Machovu číslu ve vyšetřovaném místě kanálu. Záleží tedy jak moc se mění průtočný průřez kanálu a Machovo číslo. Experimentální ověření změn součinitele tření při stlačitelné proudění a platnosti Rovnic 19 je provedeno v [Dejč, 1967, s. 217].
V případě stlačitelného adiabatického proudění v kanále konstantní průtočné plochy lze vypočítat tlakovou ztrátu pomocí Rovnice 20, která vychází z úpravy obecné Rovnice 19 pro podmínku dA=0.
Při adiabatickém proudění plynu se plyn zahřívá v důsledku tření, což způsobuje zvětšování jeho měrného objemu a tedy i rychlosti v kanále konstantní průtočné plochy. To znamená, že postupně v plynu klesá tlak a měrná entalpie. Zakreslení stavů plynu v jednotlivých bodech osy kanálu v h-s diagramu označujeme jako Fannovu křivku (Fanno line). Na Obrázku 21 jsou tři Fannovy křivky pro kanál délky l a různé velikosti součinitele tření λ (stejný vliv jako změny součinitele tření má na změnu tlaku i prodlužování kanálu). Při maximálním součiniteli tření λ1 nedosáhne proudění na výstupu z kanálu kritické rychlosti, λ2 je takový, aby proudění na výstupu dosáhlo právě kritické rychlosti. Součinitel λ3 je menší jak λ2 a přesto proudění dosáhne na výstupu také jen kritické rychlosti.
V technické praxi je uvedená teorie uplatnitelná zejména při vyšetřovaní proudění v bezdotykových ucpávkách. Na vysoké tlakové ztrátě spojené s prouděním plynu ve velmi malé mezeře je také založen princip suchoběžných plynových ucpávek. Nicméně i labyrintové ucpávky lze připodobnit k hladké ucpávce s konstantním průtočným průřezem a s konkrétním součinitelem tření.
Lp | 10 | 25,1 | 62 | 140 | 320 | 700 | 1400 | |
Q | 19,64 | 29,64 | 50,07 | 74,61 | 113,9 | 161 | 233,7 |