| ┌TRANSFORMAČNÍ┐ └ TECHNOLOGIE ┘ |  ISSN 1804-8293 |
| ┌TRANSFORMAČNÍ┐ └ TECHNOLOGIE ┘ | ISSN 1804-8293 |
Při proudění skutečných tekutin vzniká tření o povrch průtočného kanálu a obtékaných těles i tření uvnitř tekutiny (tzv. vnitřní tření). Třením ztrácí tekutina kinetickou energii, a aby protekla kanálem požadovanou rychlostí (průtokem) musí získat kinetickou energii poklesem tlaku na druhé straně kanálu – vzniká tlaková ztráta ΔpZ. Třením vzniká také třecí teplo (tekutina se zahřívá). Mimo ztráty třením vznikají v proudu i ztráty vířením, které mají stejný dopad jako tření viz článek 37. Škrcení plynů a par. Teplo, které vzniká při těchto ztrátách se nazývá ztrátové teplo qZ, které v ideálním případě zůstává uvnitř tekutiny. Toto teplo zvyšuje vnitřní teplenou energii tekutiny (zahřívá se). Naopak, při proudění nestlačitelné tekutiny lze tlakovou ztrátu přímo určit ze ztrátového tepla pomocí Bernoulliho rovnice.
V tomto článku se zabývám popisem vzniku tlakové ztráty v kanálech, o vzniku a vlivu tlakové ztráty při obtékaní osamocených těles píšu v článku 16. Základy aerodynamiky profilů lopatek a lopatkových mříží.
V technické praxi má smysl se zabývat tlakovou ztrátou při dopravě tekutin například potrubím konstantního průřezu. V případech proudění v kanálech určené pro transformaci tlakové a kinetické energie tekutiny (trysky a difuzory) se používá veličina účinnost transformace energie, která tlakovou ztrátu již zahrnuje.
Při dopravě tekutin se příliš nemění hustota tekutiny, proto se vychází z teoriií pro nestlačitelnou tekutinu především z Bernoulliho rovnice. Při dopravě plynů se může hustota měnit na velmi dlouhých trasách plynovodů nebo prudce, například v redukčních ventilech, mezerách ucpávek hřídelů a vřeten. V takových případech se obvykle řeší výpočet tlakové ztráty po úsecích, na kterých se vychází ze střední hustoty plynu nebo přesněji z rovnic pro tlakovou ztrátu při proudění plynů za přítomnosti tření, které popisuji v kapitolách na konci tohoto článku. Tlakovou ztrátu stanovujeme proto, abychom dokázali stanovit tlak na konci potrubí a práci čerpadla či ventilátoru pro pokrytí energetických potřeb vzniku ztrátového tepla.
Podle pohybu částic tekutiny v proudu se rozlišují dva základní druhy proudění a to laminární a turbulentní. Pro výpočet tlakové ztráty je velmi důležité umět tyto dva druhy proudění rozlišit, protože podle toho se vybírá nejvhodnější postup výpočtu.
Při laminárním proudění vytváří tekutina rovnoběžná proudová vlákna, přičemž tato vlákna po sobě klouzají (v rámci vlákna vytváří tekutina drobné víry). Tekutina ze sousedních proudových vláken se nepromíchává. V důsledku tření tekutiny o stěny kanálu je rychlost tekutiny v proudových vláknech přiléhající ke stěně nulová a v následujících proudových vláknech se zvyšuje, tím rychleji, čím menší je parametr tekutiny zvaný dynamická viskozita (zkráceně viskozita) pracovní tekutiny. Oblast "deformovaného" rychlostního profilu proudění u obtékané stěny se nazývá mezní vrstva. Laminární proudění není potenciální proudění, protože rotor rychlosti je různý od nuly a mezi jednotlivými vlákny vytváří tekutina drobné víry, proto je laminární proudění současně i vírové:
Dynamická viskozita tekutin se měří pomocí viskozimetrů, kterých je několik typů [1, s. 406]. Výsledky měření se uvádí do tabulek, které se využívají při výpočtech. Problém získání komplexních dat hodnot viskozity je v tom, že viskozita tekutin závisí na teplotě a tlaku. S rostoucí teplotou dynamická viskozita kapalin klesá a s rostoucím tlakem vzrůstá. Vliv tlaku je u většiny kapalin zanedbatelný, vyjma velmi vysokých tlaků v řádech megapascalů. Dynamická viskozita plynů s rostoucí teplotou vzrůstá a je nezávislá na tlaku, vyjma extrémně nízkých nebo naopak vysokých tlaků [1, s. 446]. Z těchto důvodů se uvádí dynamické viskozity tekutiny pro technické účely pouze v závislosti na teplotě (pro některé případy lze použít pro výpočet změny dynamické vizkozity plynů s teplotou rovnici odvozenou australským fyzikem Williamem Sutherlandem (1859-1911), která je uvedena například v [1, s. 447], [33]).
Hodnoty dynamické a kinematické viskozity různých tekutin jsou uvedeny například v [12], [13], [21], [2], [22], pro vodu, páru a vzduch v Tabulkách 1190, 1191, 1192, 1193.
V technické praxi se velmi často pracuje se směsmi, jak plynnými, tak kapalnými, které se skládají ze dvou nebo více čistých látek. Viskozita směsi přibližně závysí na molárních koncentracích jednotlivých složek směsi:
Nomogram pro určení výsledné viskozity směsi kapalin, respektive olejů je uveden v [18, s. 47].
Rychlostní profil po celé vyšetřované délce nemusí být stálý, zvláště jedná-li se o vstupní úsek do zkoumaného kanálu, ve kterém teprve dochází ke vzniku mezní vrstvy (objeví se zdroje tření – stěny kanálu). Mezní vrstva vzniká při povrchu obtékaných těles či ploch kanálů. Z této příčiny na začátku obtékaných těles či počátečních úseků kanálů vzniká a postupně se vyvýjí laminární mezní vrstva, která se šíří směrem od obtékané plochy, a tím se postupně mění rychlostní profil. Aby byla zachována kontinuita proudu, musí se na hranici mezní vrstvy a v jádru proudu rychlost zvyšovat, protože u profilu je nulová, a také proto klesá tlak v jádru proudu (toto je tlaková ztráta). V případě uzavřených kanálů se mezní vrstvy protilehlých stran tak jak neustále rostou po určité délce spojí a vývoj se zastaví (ustálená mezní vrstva). V takovém případě hovoříme o plně vyvinuté mezní vrstvě, rychlostním profilu či obecně o plně vyvinutém proudění:
Pro trubku kruhového průřezu přibližně platí rozsah Ch≈0,025...0,065 – hodnotu 0,065 odvodil francouzký fyzik a matematik Joseph Boussinesq (1842-1929), hodnotu 0,025 německý fyzik Ludwig Schiller (1882-1961). Přičemž lze říci, že vyšší hodnoty jsou vhodné pro kratší a nižší pro delší vstupní úseky [3, s. 194], [28, s. 143]. Koeficienty Ch pro kanály jiných než kruhových průřezů jsou uvedeny v [32, s. 208] a v Tabulce 1203.
Nyní stojíme před úkolem určit ztrátu případně tvar profilu při laminárním proudění. Při řešení nelze aplikovat rovnice potenciálního proudění a je nutné odvodit zcela nový typ rovnice zahrnující ztrátové teplo. Jak již víme, množství ztrátového tepla roste ve směru proudění, odtud a pomocí definice viskozity, lze odvodit Navier-Stokesovu rovnici pro laminární proudění:
Všimněte si, že při odvození Navier-Stokesovy rovnice jsme dospěli k závěru, že ztrátové teplo qZ se v kanálech s konstantním rychlostním profilem generuje pouze z tlakové a potenciální energie, nikoliv z energie kinetické na tu tření nemá přímý vliv (při nestlačitelném proudění). Z rovnice ztrátového tepla mimo jiné plyne, že plyn při velmi malé hustotě, respektive tlaku může mít velmi vysoké vnitřní tření. To je také příčina výskytu laminárního proudění při malých rychlostech nebo u tekutin s vysokou kinematickou viskozitou.
Ztrátové teplo qZ je přesně to teplo, které zvyšuje entropii, jak je popsáno v kapitole 43. Vratnost termodynamických změn a entropie. Tato energie zvyšuje vnitřní tepelnou energii tekutiny(6) nebo kinetickou energii vírů vznikajících mezi proudnicemi. Tyto víry získávají energii tak, že třecí síla vytváří moment v nejbližším okolí vyšetřovaného bodu, jak naznačuje Obrázek 2c. Nicméně při stabilním laminárním proudění mají víry stále stejnou energii, takže stejné množství energie se třením transformuje také na vnitřní tepelnou energii.
Odvození vzorců pro tlakovou ztrátu a rychlost tekutiny při laminárním proudění v kanálech jednoduchých tvarů není pomocí Navier-Stokesovy rovnice obtížné [1], [26], [27], [28]. Například pro potrubí kruhového průřezu lze odvodit:
Z vlastností laminárního proudění je zřejmé, že pro jeho popis použít Eulerovu rovnici hydrodynamiky pro ideální tekutinu, protože rychlost není potenciální veličina. Eulerovu rovnici musíme upravit tak, aby platila i pro tento typ proudění. Rovnici silové rovnováhy proudnice laminárního proudění lze odvodit stejným postupem jako v případě proudění ideálních tekutin, jediný rozdíl je ve stanovení zrychlení tekutiny. V případě ideálních tekutin je zrychlení rovno gradientu kinetické energie, v případě vírového laminárního proudění je změna kinetické energie a tedy zrychlení tekutiny ve směru proudění rovna skálárnímu násobku vektoru rychlosti a divergence rychlosti:
Z Obrázku 2c je zřejmé, že mezi proudnicemi působí na element tekutiny dvojice sil, která jej uvádí do rotace. To znamená, že mezi jednotlivými proudnicemi vzniká řada drobných vírů, které svou energii při laminárním proudění maří třením, ale při vyšších rychlostech energie ve vírech postupně roste. Nakonec mohou víry získat takovou energii, že začnou narušovat hranice proudnic a dochází k vzájemnému promíchávání proudu a sdílení energií. Nastavá turbulentní proudění. Rychlost, při které toto nastane se nazývá kritická střední rychlost proudění. Při této rychlosti setrvačné síly částic převažují nad třecí silou a proudová vlákna se začnou proplétat. Při turbulentním proudění nemají částice ve všech místech stálou rychlost, ale průměrně lze definovat jak střední rychlost proudění tekutiny, tak rychlostní profil (tvar rychlostního profilu turbulentního proudění lze stanovit podle rovnic uvedených v [33, s. 171]). Charakter proudění se mění tak významně, že ovlivňuje vzorec pro výpočet tlakové ztráty. Přechod z laminárního proudění do turbulentního je pozvolný a rozhodující pro určení o jaké proudění se jedná je velikost Reynoldsova čísla vyšetřovaného proudění, protože vznikající víry budou narušovat proudová vlákna tím více, čím vyšší bude poměr dynamického tlaku proudící tekutiny (setrvačná síla) ku tečnému napětí (třecí síla) v tekutině.
Při opakovaných experimentech proudění v potrubí, kde charakteristickým rozměrem byl průměr potrubí, bylo zjištěno, že do Re = 2 320 se jedná vždy o laminární proudění (kritické Reynoldsovo číslo ReK, kritická střední rychlost proudění). V rozmezí Re=2 320 do Re=5 000 až 6 000 je tzv. přechodová oblast (rychlostní profil je nestabilní). Od Re=6 000 (tzv. horní kritické Reynoldsovo číslo) se jedná o proudění turbulentní. Je třeba zdůraznit, že v praxi tyto hodnoty budou nižší, protože zde uvedené hodnoty pochází z měření v laboratořích na dokonale uložených potrubích bez vibrací.
Jestliže vypočítaná hodnota Reynoldsova čísla je vyšší než kritická, neznamená to, že tento typ proudění je v celém vyšetřovaném úseku kanálu, protože turbulentní proudění se musí nejdříve vyvinout z laminárního a k tomu potřebuje určitý čas, respektive délku kanálu. Turbuletní proudění se začne nejprve objevovat až dále od vstupu do kanálu nebo obtékaného předmětu a to nejprve na okrajích mezní vrstvy a pak se postupně šíří dovnitř i vně původní mezní vrstvy. O plně vyvinutém turbolentním prouděním obvykle může hovořit až v oblasti potrubí vzdálené od ústí 10 až 60 průměrů potrubí [17, s. 66]:
V případě obtékání osamocených profilů poroste mezní vrstva postupně až vznikne turbulentní proudění, proto u krátkých těles (malý charakteristický rozměr) s plynule se měnícím tvarem (např. lopatkové profily) a malé rychlosti nemusí turbulentní proudění vůbec vzniknout, a pokud vznikne, může být pod turbulentní mezní vrstvou tzv. laminární podvrstva.
Délka úseku, na které začne proudění turbulizovat také záleží na geometrii vstupu, kde se mohou narušovat proudnice o vstupní hrany a také drsnosti povrchu, na tomto principu fungují tzv. turbulizátory, která mají za úkol vyvolat turbulentní proudění co nejdříve, například pro potřeby promíchávání proudů a pod.
Pro určení tlakové ztráty při turbulentním proudění už nelze vycházet z Navier-Stokesovy rovnice, ale vychází se buď z numerických modelů nebo praktických poloempirických vzorců:
Zřejmě nejčastějším případem výpočtu tlakového ztráty je jeho výpočet v potrubí kruhového průřezu, ale je nutné také řešit potrubí jiných tvarů a tlakové ztráty v místních odporech (armatury a potrubní tvarovky). Z výše uvedených vztahů pro viskozitu lze snadno odvodit vztah pro výpočet tlakové ztráty pro případ laminárního ustáleného proudění jako funkci dynamického tlaku. Tato rovnice se nazývá Darcy-Weisbachova rovnice, kterou sestavil francouzský inženýr Henrym Darcym (1803-1858) pro potrubí. Později, na základě dlohodobých experimentů a dedukce, potrdil platnost tohoto vztahu německý inženýr Julius Weisbach (1806-1871) i pro proudění přechodové a turbulentní a dokonce i pro ztrátu v potrubních tvarovkách a ventilech:
Z Darcy-Weisbachovy rovnice tedy plyne, že tlaková ztráta je vztažena jako určitý podíl z dynamického tlaku, který určuje ztrátový součinitel. Pokud se hustota, například na uvažované délce potrubí, mění, tak se vychází ze střední hodnoty hustot mezi vstupem a výstupem. U velkých změn hustoty lze rozdělit potrubí na úseku, ve kterých se hustota významně nemění [14, s. 71].
Pro kanály stálého průřezu, respektive potrubí, lze ztrátový součinitel docela dobře vypočítat. K výpočtu se používají poloempirické vztahy získané na základě dlouhodobého měření a pozorování proudění v potrubích. Rovnic pro výpočet ztrátového součinitele v potrubí je několik a zvlášť jsou vztahy pro laminární proudění a zvlášť pro turbulentní, také záleží na drsnosti a tvaru potrubí. Pro potrubí kruhového průřezu lze použít tyto rovnice:
Rovnice Colebrookova vychází z experimentálních dat shromážděných z velkého množství měření.
Kombinací Hagen-Poiseuilleho rovnice a rovnice Colebrookovy lze vytvořit tzv. Moodyho diagram pro určení součinitele tření v potrubí, ve kterém je patrno několik oblastí. Tento diagram přináší projektantům potrubí rychlý přehled o charakteru proudění v navrhovaném potrubí a navíc i rychlý odečet součinitele tření v potrubí. Diagram se jmenuje po americkém inženýrovi Lewisu Moodym (1880-1954):
Dalším parametrem ovlivňující tlakovou ztrátu je rychlost proudění, respektive dynamický tlak pracovní tekutiny. Ten by měl být takový, aby tlaková ztráta byla přijatelná v rámci technologie, ve které je potrubí instalováno (svou roli hraje energetická hustota a dispoziční možnosti a pod.) a také náklady na pořízení potrubí včetně montáže a údržby a náklady na čerpací nebo kompresní práci, odtud vyplývají hodnoty obvyklých a hospodárných rychlostí v potrubím pro různé pracovní látky, které lze nalézt např v [14, s. 141], výběr je pak uveden v Tabulce 1197.
Z navržené rychlosti proudění hustoty a požadovaného měrného průtoku se vypočítá průměr potrubí viz Nomogram 1198. Vypočítaný průměr potrubí je nutné zaokrouhlit podle vyráběných průměrů trubek odpovídající tlaku a teplotě, při které bude potrubí provozováno.
Pro základní návrhy potrubní trasy využívají projektanti veličinu měrná tlaková ztráta v potrubí označována πZ. Měrná tlaková ztráta odpovídá tlakové ztrátě v potrubí o délce 1 m, při plně vyvinuté mezní vrstvě pro předpokládaný součinitel tření, viz také Nomogram 1199.
Není třeba hluboký rozbor Darcy-Weisbachovy rovnice, aby bylo zřejmé, že pro co nejnižšší tlakovou ztrátu je výhodné stejné množství plynu dopravovat při vyšších tlacích, respektive hustotách než při nízkých tlacích, ale vysokých rychlostech. Proto tlaky zemního plynu v tranzitních plynovodech jsou kolem 7 MPa a jeho tlak se redukuje až těsně před spotřebiči.
Při výpočtu tlakové ztráty v potrubí nekruhového průřezu se postupuje stejným způsobem jako při výpočtu tlakové ztráty v kanále kruhového průřezu. Pouze při výpočtech Reynoldsových čísel je nutné dosadit místo vnitřního průměru potrubí charakteristický rozměr.
Potrubní trasa (potrubní síť) nebývá přímočará a může být tvořena dalšími potrubními prvky (odbočky různých tvarů, oblouky, zúžení), armaturami, filtry, měřidly a dalšími průtočnými částmi. V těchto částech potrubních tras vzniká tlaková ztráta podobně jako v přímém potrubí. Tyto tlakové ztráty bývají mnohem intenzivnější než na rovném úseku potrubí vzhledem k tomu, že při průtoku těmito částmi dochází i ke změně tvaru průtočného kanálu, směru proudění a často i ke škrcení [6]. Z pohledu tlakové ztráty se tyto prvky nazývají místní odpory:
U jednoduchých potrubních prvků lze jejich ztrátový součinitel ζ i vypočítat [3, s. 85], častěji se ale vychází z měření daného prvku při obvyklém provozním proudění, protože ztrátový součinitel se mění s Reynoldsovým číslem. Pro některé tvary není vliv Reynoldsova čísla významný a lze použít tabelizované hodnoty, především pro armatury a potrubní tvarovky např. v [2, s. 672], [7, s. 252], [8, s. 737]. Příslušný ztrátový součinitel poskytuje výrobce daného potrubního prvku. Za speciální případ místního odporu, lze považovat i vstupy a výstupy z trubky. Na okrajích je totiž proudění většinou neustálené a ovlivněné tvarem začátku či konce potrubí. Ztrátové součinitele pro různé typy okrajů potrubí jsou uvedeny v [10, s. 268].
V případě armatury obvykle výrobce dodává grafy závislosti její tlakové ztráty na průtoku (podle druhu protékajícího média). Pokud je znám jmenovitý průtokový součinitel armatury KVS lze ztrátu v závislosti na průtoku vypočítat z uvedené definice. Popřípadě je možné odvodit ze zmíněné definice přímo ztrátový součinitel:
Orientační hodnoty ztrátových součinitelů některých armatur jsou uvedeny v [4, s. 231, 232].
Při výběru nejvhodnější uzavírací armatury se nejdříve stanoví povolená tlaková ztráta ΔpZ při objemovém průtoku V a hustotě proudícího média ρ1. Vypočítá se jmenovitý průtokový součinitel KVS. Dále se z katalogu armatur příslušného výrobce vybere armatura s nejbližším vyšším KVS.
Existují i jiné typy součinitelů zpravidla odvozené od tlakové ztráty armatury. Záleží na výrobci jakou metodiku porovnávání armatur používá. Příslušné vztahy potom uvádí ve svém katalogu armatur, popřípadě uvede přímo diagram závislosti tlakové ztráty na průtoku armaturou.
Pro rychlý přibližný výpočet tlakové ztráty lze také použít veličinu zvanou ekvivalentní délka potrubí. Tato veličiny udává délku hladkého potrubí (vyjádřená jako počet průměrů hladkého potrubí) o stejném průměru jako je příruba ventilu či potrubní tvarovky se stejnou tlakovou ztrátou jako místní odpor. Ekvivalentní délky potrubí některých armatur a potrubních tvarovek jsou uvedeny v [24], [13], výběr pak v Tabulce 1200. Výhodou je, že potom stačí jednotlivé délky sečíst a pro výpočet celkové ztráty potrubního systému použít vztah pro výpočet tlakové ztráty v hladkém potrubí.
Závislost tlakové ztráty v potrubní trase a ve všech místních odporech, které jsou v této trase vloženy na objemovém průtoku se nazývá charakteristika potrubního systému. Z rovnice pro výpočet tlakové ztráty je zřejmé, že při ρ=konst. se bude tlaková ztráta měnit pouze se střední rychlostí proudění, respektive s objemovým průtokem:
V praxi se lze setkat i s obráceným problémem – určit charakteristiku potrubního systému, jehož popis není znám. V takovém případě stačí znát pouze tlakovou ztrátu takového systému a odtud ze Vzorce 17 určit konstantu potrubního systému K. Tyto situace se stávají například při výměně čerpadla apod.
V ideálním případě se střední rychlost v kanále vypočítá z rychlostního profilu v kanále. Měřit rychlostní profil lze prakticky pouze v laboratoři, v praxi se střední rychlost v kanálech počítá nepřímo a to nejčastěji z průtoku a nebo z kinetické energie proudění (z energetické bilance proudění):
Odtud lze pro laminární proudění mezi dvěma deskami a v potrubí odvodit vztah mezi střední rychlostí proudění a měrnou kinetickou energií proudu:
V praxi se obvykle počítá zjednodušeně s rovností c‾≈c‾k(10), a to, i při málo vyvinutém laminárním proudění – velmi krátké kanály, ve kterých se nestihne projevit vliv mezní vrstvy na rychlostní profil, jak popisuje následující kapitola.
Existence mezní vrstvy nezapříčiňuje pouze tlakovou ztrátu, ale také ztrátu kapacity průtoku, hybnosti a kinetivké energie, oproti oproti nevazkému proudění [20, s. 71]. Odtud lze stanovit tři charakteristické tloušťky mezní vrstvy(11, 12, 13):
Tyto charakteristické tloušťky mezní vrstvy se uplatňují v aerodynamice kanálů a to především v aerodynamice lopatkových kanálů. Podle jednotlivých tlouštěk lze porovnávat typy kanálu mezi sebou z pohledu rychlostí, hybnosti a energetických ztrát, protože jsou aplikace, kde je důležitá například co nejmenší ztráta hybnosti a u jiné energetická ztráta a podobně. Například hybnost je důležitá při vyhodnocování citlivosti mezní vrstvy na odtržení profilu v difuzoru.
Při adiabatickém proudění celková entalpie plynu zůstává konstantní a rovna celkové entalpii na vstupu do kanálu, ale bude se zvyšovat entropie v důsledku vnitřního tření. Z rovnice kontinuity, energetické bilance a zachování hybnosti lze pro předpoklad konstantní měrné tepelné kapacity plynu odvodit pro takové proudění tyto obecné rovnice:
Rovnice 22 popisují proudění plynů za přítomnosti tření ve všech typech kanálů to znamená v tryskách i difuzorech. Současně ke stanovení tlakové ztráty v tryskách a difuzorech lze použít jejich predikované účinnosti stanovené na základě podobnosti s podobnými tryskami a difuzory, u kterých byla účinnost měřena.
Jedná se o proudění plynu obvykle ve velmi malých mezerách. Typickým příkladem je proudění mezi hřídelí a skříní stroje tedy v ucpávkách apod. V těchto případech je požadavkem, aby tlaková ztráta odpovídala rozdílu tlaku před a za ucpávkou při co nejmenším úniku plynu ze stroje. Prakticky veškeré tvary bezdotykových ucpávek se dají přirovnat k hladké ucpávce s konstantním průtočným průřezem a s konkrétním součinitelem tření:
Z rovnice 23a a 23b jednoznačně vyplývá, že při podzvukovém rychlosti na vstupu ci tlak v mezeře klesá a rychlost se zvyšuje, při nadzvukové rychlosti na vstupu ci bude tlak růst a rychlost klesat(15). Nastavení stavu na konci kanálu ce=c*i (M=1) je fyzikálně nereálné. Pro technickou praxi (respektive pro případy ucpávek) je reálný pouze podzvukový vstup do kanálu. V takovém případě je očividné, že při poměru blízkém (M=1) na konci kanálu bude rychlost nestabilní, ale nikdy nepřekročí rychlost kritickou (plyn může expandovat až za kanálem).
Za pomocí Rovnice 22 a Rovnice 23 lze zkonstruovat křivku změny stavových veličin při průtoku plynu kanálem konstantního průřezu v i-s diagramu. Na Obrázku 24 je takový i-s diagram uveden pro kanál délky l a tři případy velikosti součinitele tření λ (λ1>λ2>λ3 )(16).
Výpočet Fannovy křivky se provádí iteračně s tím, že hmotnostní průtok se v prvním kroku musí odhadnout (celkový stav na vstupu a výstupu společně se součinitelem třením musí být zadán). Hodnota průtoku se v dalších krocích podle potřeby mění dokud stav pracovního plynu na konci Fannovy křivky neodpovídá požadovanému.
Zde bych rád zdůraznil skutečnost, že dosáhne-li rychlost na konci ucpávky kritické rychlosti neznamená to, že průtok ucpávkou už dále nelze snižovat. Je tomu právě naopak, je třeba prodloužit ucpávku nebo v případě labyrintové ucpávky přidat další komůrky labyrintu pro ještě větší snížení průtoku tím, že se zvýší součinitel tření λ. Maximálního průtoku by totiž bylo dosaženo při izoentropickém proudění, při kterém samozřejmě také dojde ke kritickému proudění viz kritický průtok v trysce.
O nadzvukových rychlostech a tlakových ztrátách, ke kterým dochází v důsledků vzniku rázových vln pojednává článek 39. Efekty při proudění vysokými rychlostmi.
ŠKORPÍK, Jiří. Vznik tlakové ztráty při proudění tekutiny, Transformační technologie, 2010-12, [last updated 2019-10-07]. Brno: Jiří Škorpík, [on-line] pokračující zdroj, ISSN 1804-8293. Dostupné z https://www.transformacni-technologie.cz/38.html.