MACHOVO ČÍSLO A EFEKTY PŘI PROUDĚNÍ VYSOKÝMI RYCHLOSTMI

Úvod

Obecně je za vysokou rychlost považována rychlost, při které je dosaženo takové velikosti Machova čísla (Rovnice 337) proudu tekutiny, při kterém už pro danou aplikaci nelze uvažovat tekutinu za nestlačitelnou. Stlačitelnost totiž způsobuje efekty v proudění, které se při proudění nestlačitelných tekutin nebo nízkých Machových číslech nevyskytují. Právě o obecných projevech vlastností stlačitelných tekutin při proudění pojednává tento článek.

Jestliže je v okolí vyšetřovaného bodu tekutiny Machovo číslo menší než jedna (Ma<1), pak mluvíme o podzvukovém (subsonických) proudění. Jestliže se v okolí vyšetřovaného bodu tekutiny pohybuje hodnota Machova čísla kolem 1, konkrétně v rozmezí 0,8<Ma<1,3, pak mluvíme o transonickém proudění – speciálně při velikosti Machova čísla právě 1 (Ma=1) mluvíme o zvukovém (sonické) proudění. Jestliže se v celém okolí vyšetřovaného bodu tekutiny pohybuje hodnota Machova čísla nad hodnotu 1 (Ma>1), pak mluvíme o nadzvukovém (supsonickém) proudění.

Někdy se setkáme s pojmem kritické Machovo číslo, toto číslo je vztaženo k nějakému jasně definovanému bodu v rámci vyšetřovaného objemu tekutiny, a jedná se o takovou velikost Machova čísla, při které se někde v daném objemu dosáhne zvukové nebo nadzvukové rychlosti (například v důsledku obtékání nějakých těles uvnitř).

Dopady konečné velikosti rychlosti zvuku na kontinuitu proudu

Šíření zvuku při nízkých rychlostech

Zvuk je tlaková porucha šířící se stlačitelným prostředí rychlostí zvuku a. Vzniklá tlaková porucha je zároveň informace o tlaku v okolí zdroje této poruchy pomocí, které se stlačitelné prostředí přizpůsobuje zdroji tlakové poruchy, například na Obrázku 520 díky šíření tlakové poruchy, která je rychlejší než nakreslený profil se vzduch rozestupuje (viz nakreslené proudnice) už před profilem; tlaková porucha šířící se od otvoru v tlakové nádobě směrem dovnitř nádoby, která způsobí, že plyn uvnitř nádoby začne proudit směrem k otvoru, kde je nižší tlak apod. Rychlost zvuku lze, z tohoto pohledu, také chápat jako rychlost šíření informace v daném prostředí.

Šíření zvuku při vysokých rychlostech a vznik rázových vln

Pokud rychlost zdroje tlakové poruchy nebo proudění stlačitelného prostředí je blízká rychlosti zvuku nebo je dokonce vyšší, potom dochází k efektům narušující spojitost stlačitelného prostředí (skokové změny stavových veličin) a místo šíření tlakové poruchy formou zvukových vln se šíří formou tzv. rázových vln.

V případě, že se zdroj tlakové poruchy pohybuje rychlostí zvuku nebo vyšší (Ma≥1) je čelo tlakových poruch neustále v místě zdroje. To způsobí, že proudnice se před obtékaným tělesem pozvolna nerozestupují a toto těleso je nuceno svým objemem okolní plyn vytěsnit prudkou kompresí – energie ke kompresi plynu v rázové vlně je brána z pohybu tělesa. Takto zkomprimovaný plyn postupně expanduje směrem od tělesa. Hranici mezi zkomprimovaným plynem a okolním doposud neovlivněným plynem má tvar kužele a nazývá se rázová vlna (Obrázek 339). Sklon rázové vlny β_R je dán rychlostí a velikostí tělasa a je vždy větší než úhel, který by vznikal při pohybu nekonečně tenkého tělesa stejnou rychlostí, tzv. Machův úhel μ.

Oproti zvukové vlně je rázová vlna stálá skoková změna stavových veličin (za rázovou vlnou je vyšší tlak, teplota i hustota. Situaci lze přirovnat k expandující kouly stlačeného plynu s tím, že vlivem pohybu tělesa je kompresí další plyn doplňován. Nicméně objem kužele roste s třetí mocninou doby pohybu a množství komprimovaného plynu je lineární (při konstantní rychlosti), takže se vzdáleností od špice kuželu rázové vlny v něm klesá tlak (klesá hustota energie v rázové vlně), až se úplně vyrovná s okolním tlakem.

Z Hugoniotova teorému je zřejmé, že jediný možný způsob plynulého přechodu nadzvukového proudění (Ma>1) do podzvukového (Ma<1) je postupným zmenšováním průtočného průřezu až do okamžiku Ma=1 (kdy A=min) a následně jeho zvětšováním pro dosažení (Ma<1). Stroje, ve kterých může docházet k takto vysokým rychlostem lze reálně konstruovat jen pro konkrétní podmínky (lze dokázat, že poměr výstupního průtočného průřezu ku minimálnímu průřezu musí být pro rozdílná Machova čísla také rozdílná), při změně podmínek by bylo nutné měnit geometrii stroje, aby splňoval požadavky na přechod proudění z nadzvukového do podzvukového. To často není možné splnit a přechod se uskuteční v rozšiřující se části proudové trubice skokem, tj. skokovou změnou stavových veličin tedy rázovou vlnou, jen tak lze splnit podmínky Hugoniotova teorému (plynulý přechod není v takovém kanále možný – typickým příkladem je vznik rázové vlny při proudění Lavalovou tryskou při nenávrhovém stavu). Při přechodu z podzvukového do nadzvukového proudění k náhlým (skokovým) změnám stavových veličin nedochází.

Druhy rázových vln

Kolmá (přímá) rázová vlna

V kolmé rázové vlně se téměř skokově mění stavové veličiny plynu (tlak, teplota, hustota), Obrázek 519, s. 6. Po průchodu kolmou rázovou vlnou zůstává směr proudění stejný, ale mění se rychlost a hybnost proudu – za kolmou rázovou vlnou je vždy rychlost nižší, než je rychlost zvuku. Kolmá rázová vlna může vznikat například před letounem letícím rychlostí zvuku, v Lavalových tryskách při nenávrhových stavech apod.

Šikmá rázová vlna

Před šikmou rázovou vlnou musí být rychlost nadzvuková, ale za ní může být proudění podzvukové i nadzvukové. Při průchodu proudění šikmou rázovou vlnou dochází navíc ke změně směru proudu o úhel δ:

Pro normálové složky rychlosti šikmé rázové vlny c_1n, c_2n platí stejné vlastnosti jako pro rychlosti procházející kolmou rázovou vlnou – pro výpočet je možné použít Rankine-Hugoniotovy rovnice pro kolmou rázovou vlnu (Rovnice 333). Lze dokázat (např. [6, s. 126-127]), že platí rovnost tečných složek rychlosti c_1t=c_2t. Jestliže úhel β_R je stejný jako Machův úhel μ, pak musí platit c_1n=a a jedná se pouze o zvukovou vlnu, což plyne z definice Machova úhlu. Dále lze dokázat, že k největší energetické ztrátě (nárůstu entropie) dochází při β_R=90° – to znamená, že ztráty v šikmé rázové vlně jsou menší než v kolmé pro stejný tlakový poměr mezi tlaky před a za vlnou.

Šikmá rázová vlna vzniká například na hranách profilů pohybujících se nadzvukovou rychlostí, nebo pokud jsou obtékány nadzvukovým proudem, viz níže. Šikmou rázovou vlnu může vytvořit i nerovnost na obtékané ploše (výrobní nerovnost, kapička nestlačitelné tekutiny v nadzvukovém proudu atd.) či rozhraní mezi nadzvukovým proudem a okolním prostředím, typickým příkladem je nadzvukový výtok plynu z Lavalovy trysky. Šikmá rázová vlna vzniká také tam, kde se náhle zmenší průtočný průřez nadzvukovému proudění, jak je znázorněno na Obrázku 808.

V letectví se provádí experimenty se snižování zvukových efektů způsobené rázovými vlnami při nadzvukových letech založené na rozdělení rázové vlny na několik dílčích vln (zředění rázové vlny, viz Obrázek 905). Tímto způsobem se sníží nejen ztráty v rázových vlnách, ale především se tím dosáhne co největšího úhlu výsledné rázové vlny (poté co se setkají všechny rázové vlny od trupu letounu). Čím je totiž úhel rázové vlny větší (nejlépe 90°), tím je zvukový efekt od vlny menší [14, s. 60] – což by umožňovalo dopravním letounům alespoň omezeně let vysokou rychlostí i v obydlených oblastech.

λ-rázová vlna

λ-rázová vlna (Obrázek 865, s. 10) vzniká při obtékání těles transonickou rychlostí s laminární mezní vrstvou. Samotná příčina vzniku rázové vlny při transonických rychlostech v okolí těles je popsána v kapitole Charakteristika obtékání tělesa vysokou rychlostí, s. 12.

Protože v mezní vrstvě je podzvukové proudění, zvyšuje se v ní tlak postupně zároveň na úkor rychlosti. Tím se zvětšuje její tloušťka a vzniká klín od kterého dochází ke kumulaci šikmých rázových vln podle Obrázku 481. Výsledná rázová vlna je často mírně skloněna dopředu [1]. V případě turbulentního proudění je klín velmi malý (turbulentní proudění není tak citlivé na změnu tlaku) a na hranici mezní vrstvy vzniká přímo kolmá rázová vlna.

na tlak p₂ a ke zvýšení rychlosti proudu z c₁ na c₂, zároveň dojde i k vychýlení směru proudícího plynu o úhel δ od původního směru. V expanzní vlně nedochází ke skokové ale pozvolné změně stavových veličin při expanzi s velmi nízkými ztrátami (izoentropická expanze).

Hrana z vyvolává tlakovou poruchu, která se šíří proti proudění rychlostí a_1t. První proudnice zareaguje okamžitě a začne expandovat do tlaku nižšího změnou směru proudění ve směru poklesu tlaku. Vzdálenější proudnice expanduje až za hranou z, protože než k ní dorazí tlaková porucha urazí vzdálenost Δ. Hranice z, na které se začne měnit směr proudění a plyn expandovat je tzv. Machova čára nebo také první expanzní vlna. Je evidentní, že sklon této čáry je roven Machovu úhlu μ₁. Na první Machově čáře započne tedy expanze plynu. Při expanzi dochází ke změně Machova čísla a i expanze mění svůj charakter, protože se mění Machův úhel. Expanze se ukončí na Machově čáře MČ₂, kde proudící plyn dosáhne tlaku p₂. První a poslední Machova čára vytváří Machův klín, ve kterém expanze plynu probíhá.

Maximálního úhlu odklonu proudu při průchodu v expanzní vlnou δ_max a maximální rychlosti c_max dosáhne proudění při expanzi do vakua p₂=0. Při expanzi do vakua bude Ma₂=∞. Jestliže úhel sklonu hrany bude větší než δ_max vznikne mezi hranou z-A a proudem mezera s vakuem. Hodnotu úhlu δ lze stanovit z Prandtl-Meyerovy funkce ν [8], viz Rovnice 521.

Expanzní vlny mohou také vznikat při nadzvukových rychlostech proudění ve výtoku z kanálů, například v šikmo seříznutých tryskách a velké problémy dělá i při nadzvukovém výtoku z lopatkového kanálu.

Odkazy

Bibliografická citace článku