40. PROUDĚNÍ PLYNŮ A PAR TRYSKAMI

Úvod

Tryska – jiný frekventovaný název dýza – je kanál s plynulou změnou průtočného průřezu. Proudění tekutiny v trysce je děj, při kterém dochází především k poklesu tlaku a zvýšení kinetické energie.

Zužující se tryska (konvergentní tryska, konfuzor)

Výstupní rychlost plynu zužující se tryskou závisí na tlaku na vstupu p_i a tlaku na výstupu p_e (protitlak) z trysky:

1.416 Změna stavových veličin plynu v trysce

Rovnici výtokové rychlosti z trysky lze odvodit z rovnice pro První zákon termodynamiky pro otevřený systém:

2.101 Rychlost plynu na výtoku z trysky při izoentropické expanzi⁽¹⁾

⁽¹⁾Poznámka

Pro popis proudění kapalin tryskami (změna hustoty při změně tlaku je zanedbatelná) se používá Bernoulliho rovnice.

Z Rovnice 2 je patrno, že rychlost plynu c je závislá na vstupní teplotě T_i a tlaku p_i, přičemž maximální rychlost plynu bude při výtoku do vakua p_e=0:

3.514 Výtoková rychlost plynu z trysky v závislosti na tlakovém poměru* pat [Pa] atmosférický tlak. Parametry plynu: κ=1,4, r=287 J·kg-1·K-1, ti=20 °C, pi=pat, ci=0.

Hmotnostní tok plynu tryskou se vypočítá z rovnice kontinuity:

4.334 Rovnice pro hmotnostní tok plynu tryskou

Podle této rovnice s klesajícím tlakem za tryskou p_e hmotnostní tok plynu m^• roste pouze do určitého tlakového poměru ε, potom by měl průtok začít klesat:

5.515 Maximální hmotnostní tok plynu tryskou Křivka 1-a-0 odpovídá Vzorci 4(2). Maximálního průtoku m* je dosaženo při tlakovém poměru ε*c. Podle Vzorce 4 by měl, poněkud nelogicky, následovat pokles průtoku. Ve skutečnosti od poměru ε*c až do expanze do vakua (εc=0) je průtok konstantní a roven m*. Tlakový poměr při kterém je dosažena maximální průtok plynu tryskou se nazývá kritický tlakový poměr (proto značka hvězdičky *). Odvození rovnice pro kritický tlakový poměr je uvedeno v Příloze 515.

⁽²⁾Bendemannova elipsa

Křivka 1-a-0 je tvarem velice blízkou elipse, proto se v inženýrské praxi, pro zjednodušení, úsek 1-a často nahrazuje části elipsy, která se nazývá Bendemannovou:

6.162 Přibližný výpočet průtoku tryskou z Bendemannovy elipsy Platnost rovnice je pro rozsah pe≥p*. Odvození rovnice pro Bendemannovu elipsu je uvedeno v Příloze 162.

Protože konstanta adiabaty κ je u jednotlivých plynů jiná a proto jsou různé i jejich kritické tlakové poměry:

7.699 Tabulka kritických tlakových poměrů některých plynů

Při kritickém nebo nižším tlakovém poměru dosahuje rychlost proudu v nejužším místě trysky rychlosti šíření zvuku, tento stav proudění se nazývá kritickým stavem proudění. Po dosazení Vzorce 5 pro kritický tlakový poměr do výše uvedených vztahů pro rychlost a průtok lze získat vzorce pro nejužší místo trysky:

8.516 Vzorce pro kritický průtok tryskou

Grafické vyjádření závislosti průtoku na vstupním tlaku a protitlaku se nazývá průtokový kužel trysky.

Ideální tvar zužující se trysky

Ideální tvar trysky je plynulý, rovnoběžný s proudnicemi (na vstupu i výstupu, aby nedošlo ke vzniku turbulencí prudkou změnou směru proudění o stěnu) a takový, při kterém je dosaženo na výstupu rovnoměrné rychlostní pole, jak vyplývá z experimentů [4, s. 319]. To znamená, že výstupní rychlost by měla být ve směru osy trysky. Tuto podmínku musí splňovat i proudnice blízko okraje trysky:

9.475 Vliv tvaru trysky na směr výstupní rychlosti

Uvedené tvary lze použít i pro nekruhové kanály a lopatkové kanály.

Stav za ústím trysky

Z výše uvedeného je zřejmé, že na výstupu z trysky do volného prostředí mohou nastat dva stavy^{(3, 4)}:

⁽³⁾Výstupní rychlost odpovídá podkritickému nebo přesně kritickému tlakovému poměru, p_e≥p^*.

Proudění se postupně začne zbržďovat a promíchávat s okolním plynem. V určité vzdálenosti od ústí dojde k vyrovnání rychlosti a teploty výtokového plynu s okolím – bude v termodynamické rovnováze s okolím:

10.984 Výtok z trysky při kritickém tlakovém poměru Obrázek z [3, s. 5].

⁽⁴⁾Tlakový poměr je menší než kritický, p_e<p^*.

Za ústím trysky plyn dále expanduje a jeho rychlost se zvyšuje podle Vzorce 2 na nadzvukovou. Podle Hugoniotova teorému současně roste průtočný průřez takto vzniklého rychlého proudu plynu. Rozšiřující se proudový kanál vytváří na okrajích s okolním plynem šikmé rázové vlny, které se odráží dovnitř proudu a snižují účinnost expanze (způsobují tlakové ztráty). Po vyrovnání tlaku s okolím expanze ustává a následuje děj popsaný u předchozího případu tj. postupné vyrovnání stavu plynu s okolním plynem.

Lavalova tryska (konvergentně-divergentní tryska)

Pro zlepšení účinnosti expanze plynu za kritickým průřezem trysky, tedy pro případ p^*>p_e, je třeba pro expandující plyn vytvořit vhodné podmínky tj. vytvořit za nejužším průřezem trysky (tzv. kritický průřez, protože v něm rychlost proudění dosahuje rychlosti zvuku) rozšiřující se kanál – taková konstrukce se nazývá Lavalova tryska nebo také Lavalova dýza:

11.103 Lavalova tryska (konvergentně-divergentní tryska) – průběh expanze (a) konvergetní část trysky; (b) divergetní část trysky. Ma [-] Machovo číslo; l [m] délka rozšiřující se části trysky. V konvergentní části trysky je rychlost proudu podzvuková Ma<1, v kritickém, respektive v nejmenším průřezu trysky dosahuje právě rychlosti zvuku Ma=1, v divergentní části je rychlost proudu nadzvuková Ma>1.

12.983 Nadzvukové výtok plynu z Lavalovy trysky Šikmý útvar v proudu je šikmá rázová vlna, která se dále odráží od rozhranní mezi nadzvukovým proudem a okolím. Obrázek z [3, s. 23].

13.517 i-s diagram ideální expanze plynu v Lavalově trysce

Základní tvary Lavalových trysek

Ideálním tvarem rozšiřující se části Lavalových trsek je tvar konstruovaný metodou charakteristik⁽⁵⁾. Existují také analytické metody výpočtu tvaru rozšiřujících se trysek, u kterých je tvar trysky aproximován polynomem prvního nebo druhého řádu^{(6, 7)}.

⁽⁵⁾Tvar Lavalovy trysky metodou charakteristik

Trysky těchto tvarů mají nejrovnoměrněší rychlostní pole na výstupu. Na úseku t-e se tento tvar navrhuje metodou charakteristik, pomocí konstrukce čar expanzních vln v trysce. Okrajovou podmínkou této metody je zadaný počáteční poloměr r_r při α_e=0° (podmínka výstupní rychlosti v osovém směru) a průtočný průřez na výstupu A_e [4, s. 341], [5, s. 79]. Nevýhodou je, že délka takové trysky je mnohem větší než trysky lineární, takže v důsledku vnitřního tření může být její účinnost nižší než u kónických trysek, proto se tento tvar trysek používá prakticky jen v nadzvukových aerodynamických tunelech, kde je rovnoměrné rychlostní pole na výtoku velmi důležité:

14.993 Ideální tvar rozšiřující se části Lavalovy trysky

⁽⁶⁾Lineární tvary Lavalových trysek

Tyto trysky jsou charakteristické snadným výpočtem i výrobou, protože na úseku t-e mají stálý úhel rozšíření. Používají se u kuželových trysek a jako statorové kanály jednostupňových turbín, v případech kdy jsou jiné ztráty tak vysoké, že není hospodárná výroba složitějšího tvaru. Tento tvar se používá i u malých raketových motorů, malých trysek, na injektorech a ejektorech a podobně. Výpočet vychází ze zadaného úhlu rozšíření α, který bývá 8 až 30° a z vypočítaného průtočného průřezu na výstupu A_e. Tyto dva parametry stačí k výpočtu délky rozšiřující se části:

15.88 Lineární (kónický) tvar rozšiřující se části Lavalovy trysky

⁽⁷⁾Bellova tryska

Bellova tryska je nejpoužívanější tvar rozšiřující se části Lavalových trysek v široké škále aplikací především raketových motorů. Tvar této trysky je navržen buď podle rovnice Rao (podle G.V.R. Rao, který tuto rovnici sestavil na základě experimentů [6], [8]), nebo podle rovnice Allman-Hoffman (podle Allman J. G. a Hoffman J. D., kteří rovnici odvodili zjednodušením rovnice Rao [7]); obě rovnice jsou polynomy druhého stupně. Bellova tryska je kratší než lineární tryska, přesto má větší účinnost i hybnost v osovém směru:

16.335 Tvar Bellovy trysky

Porovnání všech metod konstrukce tvaru rozšiřujících se částí trysek je uvedeno v [9].

Proudění Lavalovou tryskou při nenávrhových stavech

U správně navržené Lavalovy trysky dosáhne v ústí trysky tlak proudící látky právě tlaku p_n-návrhový tlak. Nenávrhovým stavem je tedy myšlen stav, kdy se mění vstupní parametry plynu nebo výstupní parametry plynu nebo oba parametry najednou. Tyto parametry se mohou měnit z různých příčin (regulace průtoku tryskou). Pokud je tlak na výstupu z trysky p_e>p_n je tryska tzv. přeexpandovaná (tryska byla navržena na "delší" expanzi než je skutečnost), pokud je tlak na výstupu p_e<p_n je tryska tzv. podexpandovaná (tryska byla navržena na "kratší" expanzi než je skutečnost). Při tlaku vyšším než návrhový tlak může v Lavalově trysce vznikat útvar zvaný kolmá rázová vlna.

Vznik kolmé rázové vlny v divergentní části Lavalovy trysky, při určitém rozsahu nenávrhových stavů lze dedukovat i z Hugoniotova teorému. Plynulý (spojitý) přechod z nadzvukové do podzvukové rychlostí je možný pouze v nejužším místě trubice se spojitou změnou průtočného průřezu.

17.105 Lavalova tryska – charakter proudění při změně protitlaku^(9-14)

⁽⁹⁾p_e>p_b

Při tomto protitlaku nedosáhne rychlost plynu v nejužším průřezu trysky rychlosti zvuku - nenastane kritický stav, křivka a. V rozšiřující se části trysky dochází k podzvukové kompresi (nárůst tlaku a pokles rychlosti – rozšiřující se část trysky v tomto případě funguje jako difuzor) až na tlak p_a.

⁽¹⁰⁾p_e=p_b

Při tomto protitlaku dosáhne rychlost plynu v nejužším průřezu trysky rychlosti zvuku - nastane kritický stav, křivka b. Za tímto průřezem probíhá v rozšiřující se části trysky podzvuková komprese až do tlaku p_b.

⁽¹¹⁾p_b>p_e>p_d

Při tomto protitlaku dojde někde v rozšiřující se části Lavalovy trysky k porušení spojitosti stavových veličin (ke kolmé rázové vlně). Za vlnou je rychlost proudu podzvuková a plyn je komprimován až na tlak p_c.

⁽¹²⁾p_e=p_d

Tlak p_d je tlak okolí na výstupu z Lavalovy trysky, při kterém dojde ke kolmé rázové vlně právě ve výstupním hrdle trysky.

⁽¹³⁾p_d>p_e>p_n

Při takovém protitlaku budou vznikat rázové vlny až za tryskou. Protože se jedná o volný proud je rázová vlna nestabilní a střídavě vzniká a zaniká (podobná situace jako v případě obyčejné trysky, kde je tlak okolí na výstupu nižší než kritický p_e<p^*).

⁽¹⁴⁾p_n>p_e

V tomto případě bude expanze plynu pokračovat i za tryskou opět s efekty spojené s rázovými vlnami jako v předchozím případě.

Při hledání polohy vzniku kolmé rázové vlny v trysce, lze vycházet z Rankine-Hugoniotových rovnic pro kolmou rázovou vlnu:

Rázové vlna v trysce nebývá stabilní [4, s. 363] a může proto vyvolávat vibrace trysky a přilehlých částí dalších strojů, navíc podstatně zvyšuje hlučnost.

Změna protitlaku se projevuje i na konstrukci trysek raketových motorů. Během letu rakety v atmosféře se mění podle výšky vnější tlak. Proto jsou trysky prvního stupně navrženy na expanzi do tlaku atmosférického (při zemi) a stupně následujícího na tlak mnohem nižší (podle dosažení výšky při zažehnutí dalšího stupně). Poslední stupeň je navržen pro expanzi do vakua [1].

Proudění v šikmo seříznuté trysce

Při nadzvukovém proudění v šikmo seříznuté trysce dochází k odklonu proudu od osového směru v důsledku expanzní vlny, která vzniká na hraně kratší strany trysky. V technické praxi se vyskytuje aplikace šikmo seříznuté trysky například v případě konce lopatkového kanálu, jak je popsáno v níže uvedené kapitole Tryska jako lopatkový kanál:

18.106 Šikmo seříznutá tryska – situace při kritickém proudění v nejužším průřezu

Změna protitlaku p₂ na výstupu z konvergentní trysky se na směru proudění projeví třemi možnými způsoby^(15-17) následovně:

⁽¹⁵⁾p₂>p*

Tlak p₂ se nastaví v nejužším průřezu trysky, protože se jedná o podzvukové proudění. Směr výstupního proudu bude totožný s osou trysky.

⁽¹⁶⁾p₂=p*

Tlak p₂ je kritickým tlakem, proto se nastaví v nejužším průřezu trysky. Rychlost proudění je v tomto místě zvuková. Protože plyn dále neexpanduje bude dále probíhat proudění jako v předchozím případě tj. ve směru osy trysky.

⁽¹⁷⁾p₂<p*

V průřezu A-C se nastaví kritický tlak p* a tlak p se nastaví až na průřezu A-C', přitom dojde k odchýlení směru proudu o úhel δ. Mezi průřezy A-C a A-C' se nachází expanzní vlna.

Situace u šikmo seříznuté Lavalovy trysky je tedy totožná s obtékáním tupého úhlu nadzvukovou rychlostí. Expanze plynu z tlaku p₁ započne na linii A-C a dokončí se na linii A-C', na které se nastaví tlak p₂. Šikmo seříznutá Lavalova tryska není tedy tak citlivá na změnu protitlaku jako neseříznutá Lavalova tryska.

Proudění tryskou se ztrátami

V předchozím odstavcích byla popsána adiabatická expanze v trysce beze ztrát, tzn. expanze byla považována za izoentropickou. Expanzi v trysce ale také ovlivňuje třecí neboli ztrátové teplo, které vzniká vnitřním třením plynu a třením plynu o stěny trysky a snižuje výslednou kinetickou energii plynu. Toto třecí teplo je ztráta, která představuje rozdíl mezi teoretickou kinetickou energií při izoentropické expanzi a skutečné kinetické energie na konci trysky:

19.108 Proudění v trysce se ztrátami z [J·kg-1] měrná ztráta v trysce. Index iz označuje stav plynu pro případ izoentropické expanze.

Při tlaku p^*_iz může nastat v jádru proudu rychlost zvuku přičemž na okrajích (v blízkosti stěn) je rychlost podzvuková, protože plyn je brzděn třením o okraje kanálu. Střední rychlost v hrdle trysky je menší, než je rychlost zvuku, respektive střední kinetická energie plynu je nižší, než odpovídá energii při rychlosti zvuku. Až při tlaku nižším p^* je střední kinetická energie plynu taková, že odpovídá rychlosti zvuku⁽¹⁸⁾ v celém průtočném průřezu plynu viz kapitola 38. Proudění plynu v kanálu konstantního průřezu za přítomnosti tření.

Účinnost trysky

Ztrátu lze vypočítat z energetických parametrů trysky, kterými jsou rychlostní součinitel φ a účinnost trysky η:

20.569 Energetické parametry trysky

Popsat průběh změny statických stavů v trysce a porovnávat dvě různé trysky je možné i pomocí exponentu polytropy. Průměrnou hodnotu exponentu polytropy lze odvodit z rovnice pro výpočet rozdílu entalpie plynu:

21.883 Rovnice pro výpočet průměrné hodnoty exponentu polytropy mezi dvěma stavy plynu n [-] exponent polytropy.

Zúžení proudu a součinitel průtoku

Hmotnostní průtok tryskou se může snížit nejen v důsledku vnitřního tření v tekutině, ale i v důsledku zúžení neboli kontrakce proudu za nejužším místem trysky [15 s. 14]. Toto zúžení je způsobeno setrvačností proudu a působením okolí a má stejný dopad na průtok jako zmenšení průtočného průřezu trysky:

22.761 Zúžení proudu v trysce A'min [m2] průtočný průřez trysky po zúžení. U dobře provedených trysek je zúžení proudu velmi malé (Amin≈A'min), naopak významné je u clon.

Skutečný průtok tryskou se vypočítá pomocí součinitele průtoku, který zahrnuje vliv vnitřního tření i zúžení proudu. Součinitel průtoku je podíl skutečného průtoku tryskou ku průtoku při izoentropické expanzi bez zúžení proudu:

23.478 Součinitel průtoku μ [-] součinitel průtoku; m•iz [kg·s-1] průtok tryskou při při proudění beze ztrát (izoentropická expanze).

Hodnoty průtokových součinitelů některých typů trysek a clon jsou uvedeny v [4], [15].

Některé aplikace teorie trysek

Teorie trysek má široké uplatnění v různých typech proudových strojů. Pomocí propracované teorie trysek lze totiž popsat i některé na první pohled složité proudění.

Tryska jako lopatkový kanál

Lopatkový kanál může mít tvar zužující se trysky i Lavalovy trysky. Lopatkový kanál ve tvaru Lavalovy trysky se používá v případech, kdy na jeho výstupu musí být nadzvuková rychlost pracovního plynu (entalpie poklesne mezi vstupem a výstupem pod kritickou entalpii i*). Takový lopatkový kanál se chová jako šikmo seříznutá tryska:

23.111 Situace na výstupu z lopatkové mříže při nadzvukovém proudění

Lopatkové kanály s nadzvukovou výstupní rychlostí se vyskytují většinou u malých jednostupňových turbín a u posledních stupňů parních kondenzačních turbín.

Raketový motor

Raketový motor patří do skupiny reakčních motorů, jeho tah je roven hybnosti proudu výstupních spalin. Hlavní částí motoru je spalovací komora a na ni navazující Lavalova tryska. Ve spalovací komoře hoří okysličovadlo a palivo, tak vznikají spaliny, které expandují v trysce. Požadavkem na raketové palivo je, aby rychlost spalin byla co největší, protože to je způsob jak dosáhnout co nejvyššího poměru tahu ku spotřebě paliva (tento poměr se nazývá specifický impuls). Z úpravy rovnice pro rychlost spalin na výstupu z trysky je zřejmé, že jako palivo pro raketové motory jsou vhodné látky s vysokou teplotou hoření a malou molovou hmotností (například vodík, který má teplotu hoření až T_H2O=3 517 K při molové hmotnosti M_H2O=18 kg·mol^-1):

25.113 Raketový motor na kapalné palivo a výpočet rychlosti výtoku spalin

Existují i raketové motory na tuhá paliva (TPL), ve kterých probíhá postupné hořívání palivové směsi za vzniku velmi horkých spalin. Nevýhodami jsou omezená možnost regulace tahu a motor lze zažehnou jen jednou. Na druhou stranu jsou jednodušší než motory na kapalná paliva. Existují i hybridní raketové motory, kde palivo je v tuhé formě a okysličovadlo je přiváděno (lze regulovat tah). Motory na TPL lze také opakovaně používat, například první stupně raketoplánu Space shutle tzv. motory SRB:

26.511 Raketový motor na tuhá paliva 1 spalovací komora; 2 směs paliva a okysličovadla (jeho povrchová plocha ovlivňuje spalinový tok); 3 kritický průřez trysky; 4 Lavalova tryska. Vektor tahu se u motorů TPL často reguluje pomocí šikmé rázové vlny.

Průtok skupinou trysek, skupinou stupňů turbín

Teorie trysek se využívá i pro stanovení průtoku skupinou stupňů turbín za změněných podmínek před touto či za touto skupinou stupňů. Existuje hned několik výpočtových postupů (např. v [14], [13]), které ovšem byly vytlačeny numerickými výpočty. Proto zde uvedu pouze postup nejjednodušíí, který má smysl používat při přibližných výpočtech viz také kapitola 25. Zjednodušené spotřební charakteristiky parních turbín.

Lopatkové kanály jednoho stupně turbíny lze přirovnat ke dvou tryskám pracující v sérii⁽¹⁹⁾, což znamená, že se jedná o trysky se stejným průtokem. Stejný předpoklad lze aplikovat i na skupinu s více stupni, respektive na více trysek řazených za sebou.

⁽¹⁹⁾Průtok stupněm turbíny jako průtok dvěma tryskami za sebou

Průtok lopatkovými kanály rotoru se počítá z relativní rychlosti.

Uspokojivého výsledku výpočtu změny průtoku větší skupinou stupňů lze dosáhnout při zavední dvou zjednodušujících předpokladů. Prvním je předpoklad adiabatické expanze a její konstantní hodnota expenentu polytropy i při změně průtoku. Druhým předpokladem je zanedbání vlivu změny měrného objemu pracovního plynu v pruběhu expanze jedním stupněm, a měrný objem se mění skokově vždy na výstupu z lopatkového kanálu:

27.994 Vzorec pro přibližný výpočet změny průtoku velkou skupinou stupňů turbíny

Použitím Bendemanovy elipsy lze tuto rovnici zjednodušit:

28.995 Vzorec pro přibližný výpočet změny průtoku velkou skupinou stupňů turbíny odvozený z Bendemanovy elipsy Odvození je uvedeno v [13, s. 181].

Rovnice 28 je méně přesná než Rovnice 27, ale je jednoduší a její řešení vede na hledaní kořene kvadratické rovnice, na rozdíl od Rovnice 25 s obecným (necelým) exponentem.

Rovnice 27 a 28 jsou přesné i pro plyny blízko sytosti. Pouze odečet měrných objemů nedává uspokojivé výsledky v oblasti syté páry.

Jestliže na poslední lopatkové řadě skupiny stupňů nastane kritický tlakový poměr, pak lze na tuto skupiny stupňů aplikovat poznatky pro kritický průtok tryskou. To znamená, že rovnice pro průtok by při takových podmínkách měla být stejná, jako když se jedná o výtok do vakua (p_e=0):

29.996 Průtok skupinou stupňů při kritickém tlakovém poměru na poslední lopatkové řadě Odvozeno z Rovnice 29 pro expanzi do vakua pe=0.

Stupně s kritickým tlakovým poměrem na poslední lopatkové řadě se používájí například u kondenzačních turbín. Uvedené rovnice pro průtok skupinou trysek poprvé odvodil Auler Stodola, a proto se označují jako Stodolovo pravidlo.

Odkazy

Bibliografická citace článku

ŠKORPÍK, Jiří. Proudění plynů a par tryskami, Transformační technologie, 2006-02, [last updated 2018-04-10]. Brno: Jiří Škorpík, [on-line] pokračující zdroj, ISSN 1804-8293. Dostupné z https://www.transformacni-technologie.cz/40.html. English version: Flow of gases and steam through nozzles. Web: https://www.transformacni-technologie.cz/en_40.html.