42. TECHNICKÁ MATEMATIKA

Úvod

Použitím názvu Technická matematika nechci matematiku rozdělovat na technickou a netechnickou, ale pouze chci vyjádřit způsob a hloubku výkladu matematiky jaký je pro techniky běžný. V užším smyslu lze za technickou matematiku považovat frekventované matematické postupy v daném technickém oboru. Jejím hlavním znakem bývá, že úlohy v prostoru mají tři rozměry a při nestacionárních úlohách je čtvrtým rozměrem čas.

Pro technickou matematiku je také typické, že si lze pod rovnicemi něco konkrétního představit a to co si lze představit na to lze odpovědět přímo, bez složitého abstraktního počítání [43]. Platí to i obráceně studium technické matematiky zvyšuje schopnost představovat si i velmi složité procesy a nemusí docházet k tomu, že dnešní inženýři řeší i triviální úlohy pomocí počítače, což může být paradoxně pomalejší a chybovější než problému rozumět. Snad se po přečtení tohoto článku ve vás dokonce probudí nadšení z toho, že pomocí vědomostí, tužky a papíru lze mnohdy postupovat efektivněji než s počítačem nebo přijít na jiné řešení než to, které jste měli původně na mysli.

Pro techniky je také typické, že hledají pomocí matematiky prakticky použitelný výsledek. A co je ten prakticky použitelný výsledek? Samotná matematika dokáže pouze převádět zadání do jiné podoby. Například řešení rovnice 3x+1=7, což je x=2, vlastně neobsahuje žádnou informaci navíc, oproti samotné rovnici. Na počátku byla rovnice o jedné neznámé a na konci opět rovnice o jedné neznámé, akorát je v použitelnější podobě [17, s. 21], [24, s. 42].

V technické matematice často také nejde o dokonale přesné výsledky, ale výsledky takové, které umožňují realizaci konkrétního díla a dostatečnou predikci jeho vlastností.

V tomto článku chci také ukázat možnosti aplikace matematiky při řešení konkrétních technických problémů, naopak mnohé matematické formulace odvozuji na základě potřeby vyřešit nějaký konkrétní technický či jiný fyzikální problém.

Jako učebnice matematiky, které obsahují i úlohy z technické praxe, doporučuji knihy Matematika pro dělníky a mistry [13] a Přehled technické matematiky [8] a pro ucelený přehled matematiky knihu Přehled užité matematiky [1].

Tento článek není o matematice od A po Z a předpokládám, že čtenář má za sebou základní matematický dril z aritmetiky a algebry tj. v rozsahu základní školy, přibližně jaký nabízí kniha Matematika: přehled učiva pro základní školy [34].

Jak lze počítáním objevit nová čísla

Pouze pomocí znalostí toho co jednotlivá čísla vyjadřují lze správně interpretovat výsledky. Základním stavebním kamenem čísel jsou přirozená čísla jako 1, 2, 3, 4..., které mají přímou souvislost s fyzickým světem při označovaní množství (tři jablka, sedm dnů...). Až používáním matematických operacích (sčítání, odčítání, násobení, dělení) s přirozenými čísly byla objevena čísla další, nejprve jako mezivýsledky a později našla uplatnění i jako konečné výsledky.

Při odčítání předešlých typů čísel byla objevena čísla záporná (nejprve používaná pouze jako mezivýsledky) například 2-4=-2⁽¹⁾.

Přímou souvislost s fyzickým světem mají i čísla racionální. Jedná se o čísla vzniklá podílem dvou přirozených čísel (například polovina jablka 1/2=0,5). Výsledkem operace dělení nemusí a často ani nebývá celé číslo jakými jsou čísla přirozená, ale číslo desetinné, přičemž před i za desetinou čárkou může být libovolný počet čísel.

Na první pohled se zdá, že jakékoliv přirozené číslo lze dělit nekonečným počtem jiných přirozených čísel, a tak by bylo možné vyjádřit jakékoliv desetinné číslo, leč není tomu tak. Lze celkem jednoduše dokázat, že například číslo √2= 2,4142... nelze vyjádřit podílem dvou přirozených čísel (krásné důkazy, že toto číslo nelze vyjádřit jako zlomek přirozených čísel jsou uvedeny v [21, s. 31] a [20, s. 113]). Čísla, která nelze takovým podílem vyjádřit se nazývají iracionální čísla.

Představené typy čísel jsou souhrnně nazývána jako čísla reálná, a hranice mezi kladnými a zápornými čísly je nula – při počítání má význam jako nic [41, s. 92], prázdno apod. a není to reálné číslo (proto násobení nulou je nula a dělení nulou je nesmysl [35, s. 39])⁽²⁾. Reálná čísla a nulu lze znázornit i graficky pomocí osy (Obrázek 1), kde jsou seřazena čísla vzestupně zleva do prava, přičemž vzdálenosti mezi nimi jsou stejné podle toho jak rozměrově velkou osu chceme vytvořit.

Některé matematické operace v technické praxi mohou končit výsledkem ve tvaru a±√c (kde a je jakékoliv reálné číslo nebo nula a c je záporné reálné číslo c<0 např. -2). Protože druhá odmocnina ze záporného čísla je neurčitý výraz, tak tento výsledek už nelze dále zjednodušit a jedná se tedy o tzv. složené číslo. Navíc lze dokázat, že číslo √c nemůže být na reálné ose čísel, protože není reálné. Druhá odmocnina je považována v aritmetice za obrácenou operaci k operaci druhé mocniny, jenže druhá mocnina z jakéhokoliv reálného čísla (kladného či záporného) je vždy číslo kladné, takže výraz √c nelze považovat za reálné číslo [23, s. 192], jedná se o nový druh čísel, které nemají

spojitost s fyzickým světem a nazývají se imaginární čísla.

Matematický dvojčlen a±√c se označuje jako komplexní číslo (kombinace reálného a imaginárního čísla) a zapisuje se obvykle ve tvaru a±i·b, kde ±√(c)=±i·b, b je reálné kladné číslo a √(-1)=i je tzv. imaginární jednotka, kterou zavedl Leonhard Euler (1707-1783) [21, s. 138], aby se vyhnul opakovanému zápisu výrazu √(-1). S komplexním číslem se pracuje jako s matematickým dvojčlenem akorát dělení je trochu složitější [1, s. 9] a je potřeba si dát pozor i na součin i·i, který nemůže být roven 1, protože to už je reálné číslo.

Výsledky ve tvaru komplexních čísel se poprvé začaly objevovat při řešení kvadratických rovnic a později i jako řešení diferenciálních rovnic. Takový výsledek se dá interpretovat více způsoby (pokud se nejedná o mezivýsledek, se kterým se dále pracuje). Vždy záleží na spojitosti s výpočtem, respektive co je vlastně počítáno.

Mimo zmíněná čísla existují ještě čísla nazývaná kvaterniony a oktoniony [9], ale ty se v běžné technické praxi už nevyskytují.

Rychlé a přibližné výpočty

Rychlé přibližné výpočty se dělají obvykle bez elektroniky. Například pomocí počítání z paměti, pomocí tužky a papíru nebo pomocí předem připravených jiných výpočetních pomůcek. Především kontrolní výpočty je dobré provádět jiným nástrojem než byl proveden kontrolovaný výpočet, kvůli tzv. "autorské slepotě" a opakovaným překlepům s tím, že postačuje zkontrolovat, jestli se přibližný výsledek blíží přesnému výpočtu. Rychlé výpočty technici ocení také při práci v terénu pro získání rychlé orientace v problému.

Mezi základní problémy rychlých a přibližných výpočtů patří zaokrouhlování. V současné době díky počítačům není problém pracovat s čísly, které mají velký počet desetinných míst. Taková čísla jsou matematicky sice velmi přesná, ale v běžných technickych případech těžko využitelná, zvláště pro přibližné a rychlé výpočty je lepší taková čísla zaokrouhlovat (zkracovaní čísla). Tři základní matematická pravidla zaokrouhlování, která jistě znáte, se dají shrnout do těchto tří příkladů: 4,335≐4,34≐4,3, ale pokud se jedná o desetinné číslo končící číslicí 5 s následujícími nulami zaokrouhluje se obvykle na nejbližší sudé číslo: 4,38500≐4,38, 4,37500≐4,38 [8, s. 32]. Tzn. poslední dvojciferné číslo končící číslem 4 a menším se zaokrohluje směrem dolů, poslední dvojciferné číslo končící číslem 6 a vyšším se zaokrohluje směrem nahoru.

Pro rychlé přibližné výpočty se čísla zaokrouhlují obvykle pouze na dvouciferné desetinné místo například: 4 335≐4,3·10³, 0,004335≐4,3·10^-3.

Zaokrouhlováním se dopouštíme jisté chyby. O teorii chyb bylo napsáno spousta knih, ale pro přibližné výpočty v technické praxi lze doporučit jedno "lidové" pravidlo a to zaokrouhlovat na stranu bezpečnou. To znamená, že počítáme-li přibližně nosnost nějaké konstrukce tak zaokrouhlujeme čísla dolů. Konečný výsledek sice bude nepřesný, ale s vědomím, že skutečná nosnost bude vyšší a ne nižší. Naopak budeme-li počítat velikost zatěžující síly, tak zaokrouhlováním vždy nahoru bude výsledek nepřesný, ale s vědomím, že skutečná zatěžující síla bude menší apod.

Pokud chceme počítat bez kalkulačky či počítače s většími čísly, pak obvykle

přistupujeme k počítání "pod sebou" pomocí tužky a papíru . Tzv. sčítání, odčítání pod sebou souvisí se zavedením pozičního systému zápisu arabských čísel [9], [10], který se do západní Evropy dostal pomocí spisů perského učence Muhamad ibn Músa al-Chwárizmí (780-850) [9], [10]. V takovém případě stačí napsat čísla pod sebe a jednotlivé řády k sobě přičítat, respektive odčítat. Připomenutí takového postupu je na Obrázku 2.

2.921 Sčítaní a odčítání dvou čísel pod sebou Při odčítání většího čísla od menšího je praktičtější jejich pozice přehodit a rozdíl doplnit znaménkem -.

Uvedené matematické operace mohou být libovolně přesné, nicméně pro kontrolní a přibližné výpočtu stačí přibližné výpočty pomocí zaokrouhlování čísel na dva první řády, aby počítání bylo snazší a rychlejší. Například součet 4 346+6 328 lze zaokrouhlit na 4 300+6 300=10 600.

Rychlé zaokrouhlené sčítání a odčítání lze provádět pomocí analogových pomůcek jako je posuvné pravítko pro sčítání a odčítání. Posuvné pravítko je složeno ze dvou identických posuvných lišt s číselnou osou, kde jednotlivé stupnice musí být od sebe stejně vzdálené (vlastně se jedná o dvě osy reálných čísel). Takové pravítko lze vytvořit například ze dvou stejných pravítek pro rýsování. Vzhledem k omezení viditelnosti stupnice by pravítko o délce 20 centimetrů se stupnicí po 0,5 mm bylo schopno přičítat nebo odečítat čísla od 1 do 10 s přesností na 0,05 a pod.

Takové pravítko, zvyšuje přesnost oproti přibližnému výpočtu "z hlavy" málo a nemá praktický smysl ho používat. Ale existuje případ, kdy ho lze vytisknout na papír a nosit třeba jako součást osobních tabulek. Pomocí vytisknutého posuvného pravítka v jedné poloze lze velmi rychle přičítat nebo odečítat často používané konstanty. Například k naměřené teplotě ve stupních Celsia se musí přičíst teplota absolutní nuly (273,15 °C), pro získání teploty absolutní (Obrázek 3).

Další podobný případ je práce s absolutním tlakem, kdy k odečtenému tlaku z manometru se musí přičíst tlak atmosférický (101,325 kPa), pro získání tlaku absolutního apod. Pravítka pro převod jednotek teploty a tlaku také uvádím v Tabulkách pod čísly 1046, 1047.

Operace násobení a dělení jsou obtížnější, co se týká výpočtů z hlavy. Podobně jako pro sčítání a odčítání tak i pro násobení a dělení lze provádět metodou "počítáním pod

sebe". Při násobení se násobená čísla napíši pod sebe podle řádů jako u sčítání a postupně se vzájemně násobí jednotlivé řády činitelů, tyto násobky se na konci sečtou. Při dělení se hledají násobky dělitele, který se postupně odečítá od dělence. Připomenutí takového postupu je na Obrázku 4.

Násobení i dělení jsou stále složité i po uplatnění zaokrouhlování na dvouciferné členy např. 4 400·6 300 a špatné zaokrouhlování může mít na výsledek velký vliv např. 1 400:20 – porovnejte s výše uvedenými příklady. Naštěstí novověcí matematici nám dali do ruky ještě mocnější nástroj pro rychlé násobení a dělení, tento nástroj vychází z vlastností logaritmů.

O logaritmech

Logaritmy jsou založeny na faktu, že každé kladné reálné číslo y lze vyjádřit umocňováním ve tvaru y=n^x (záporná reálná čísla lze vyjádřit umocňováním pomocí algebry komplexních čísel). Logaritmus čísla je tak definován jako log_n n^x=x·log_n n=x·1, kde n je základ umocňování⁽³⁾, respektive logaritmu a log_n n=1. Všimněte si, že například při základu logaritmu 10 budou na ose reálných čísel udávající hodnoty logaritmů jednotlivých řádů stejně vzdálené (Obrázek 5). To je dáno tím, že podíl mezi sousedními řády jsou stejné 10/1=100/10=1000/100... Právě tato vlastnost byla impulsem k vytvoření logaritmického počtu [24, s. 245], [36, s. 194].

Z vlastností logaritmů [1, s. 14] lze součin čísel a a b převést na součet dvou logaritmů A a B⁽⁴⁾: a·b=c→log 10^A+log 10^B=log 10^C→A+B=C a obdobně pro podíl dvou čísel a·b^-1=c→log 10^A+log 10^-B=log 10^C→A-B=C. Alegebra logaritmů je shrnuta v [1, s. 14].

Pro řešení logaritmů, respektive pro násobení a dělení je nutné znát hodnoty logaritmů. Ty se dříve tabelizovaly⁽⁵⁾ a první tabulky dekadických logaritmů publikoval Briggs. Nicméně logaritmické tabulky jsou další z archaických vybavení technika, ale lze je nalézt v knihovnách např. [12].

Tabulky logaritmů se udávaly na pět i více desetinných míst, používaly se až pro přesnější výpočty, protože hledání v tabulkách bylo zdlouhavé. Pro rychlé přibližné výpočty se používalo logaritmické pravítko vynalezené anglikánským duchovním a matematikem Williamem Oughtredem (1575-1660). Logaritmické pravítko funguje stejně jako posuvné pravítko pro sčítání a odčítaní s tím rozdílem, že obě stupnice odpovídají logaritmům čísel. Takže při násobení čísla 4,4 a 6,3 stačí sečíst logaritmy těchto čísel na dvou zrcadlově otočených pravítkách s logaritmickou stupnicí (Obrázek 6). Při dělení se logaritmy odčítají.

Nicméně logaritmické pravítko je také už archaická pomůcka, ale opět je užitečné si vytisknout logaritmické pravítko, které bude násobit stále stejnou hodnotu (vzájemný posun stupnic bude stálý). Například se hodí při převodu jednotek nebo pro násobky či podíly Ludolfova čísla π=3,14159... (Obrázek 7) apod.

Pro konstrukci logaritmických stupnic o velikosti 10^x až 10^x+1 s přesností 0,1·10^x můžete použít logaritmy čísel 1 až 100 uvedené v Tabulce 880 nebo v [33].

Vyšší přesností výpočtu, pomocí zobrazeného logaritmického pravítka, lze provést rozkladem činitele 324 na 324=3·10²+2·10²+4, takže předchozí příklad by se počítal: π·324=π(3·10²+2·10²+4) odtud řešení 1 015,4 s chybou už jen 0,24 %. Tento postup (více o něm v [13]) je sice přesnější, ale už postrádá rychlost a jednoduchost.

Příklady logaritmických pravítek násobící stále stejnou hodnotu jako logaritmické pravítko pro výpočet plochy kruhu, převody jednotek délky, hmotnosti, energie a výkonu jsou uvedeny v Nomogramech 1021, 1023, 1026, 1034 a 1045.

Princip logaritmů lze využít i pro přibližný výpočet mocnin. V tomto případě lze mocninu a^b=c zapsat i ve tvaru b·log a=log c [1, s. 14]. K přibližnému řešení mocnin lze opět použít malou tabulku logaritmů čísel 1 až 100 uvedené v [33].

Při přibližném výpočtu mocniny 14 468,56³ se nejprve zaokrouhlí jednotlivé členy, tak aby šla použít tabulka logaritmů čísel 1 až 100, 14 468,56³≐14,5³·10⁹. Nyní postačuje vyřešit mocninu 14,5³. Pomocí logaritmů, je hledané řešení ve tvaru 3·log 14,5=log c. log 14,5 je podle tabulky přibližně 1,16, takže lze psát 3,48≐log c.

Z velikosti levé strany rovnice je evidentní, že c je větší jak tisíc a musí být menší než deset tisíc, protože log 10⁰=0, log 10¹=1, log 10²=2, log 10³=3.... Odtud lze c vyjádřit i jako c=x·10², takže 3,48≐log c=log x+2, kde 1,48=log x odtud z tabulek log x≐30,5, c≐30,5·10² a 14 468,56³≐30,5·10¹¹, přičemž podle kalkulačky 14 468,56³≐30,29·10¹¹.

Vzorce

Za vzorec⁽⁶⁾ považujeme algebraický zápis výpočtu různých veličin. Vzorce naleznete v příručkách, učebnicích a dalších dokumentech zabývající se výpočtem konkrétních veličin. Výhodou vzorce je, že stačí do něj dosadit hodnoty jednotlivých veličin a výsledkem je hodnota hledané veličiny. Vzorec pro výpočet obvodové rychlosti kola u=π·d·n, kde u [m·s^-1] je symbol a značka jednotky obvodové rychlosti, d [m] je průměr kola a n [s^-1] jsou otáčky je typickým příkladem vzorcem.

⁽⁶⁾Vzorce, rovnice a nerovnice

Pro vzorec lze současně použít i název rovnice, respektive veličinová rovnice. Existují ale i vzorce, kde místo rovnosti obou stran musí platit nerovnost, takové vzorce jsou nerovnicemi, například pokud vzorec doporučuje aby tloušťka stolu byla větší než bude výsledek výpočtu t>2·m, kde t [mm] je tloušťka stolu a m [kg] je hmotnost závaží.

Při dosazování do vzorce je nutné mít na paměti, že matematickou operaci lze provádět pouze mezi dvěma čísly. To znamená, že výpočet vzorce se skládá z několika elementárních kroků (matematická operace mezi dvěmi čísly) jejichž výsledkem je jedno nové číslo a tak se postupně lze dopracovat k výsledku. Dosazování do vzorců má svá algebraická pravidla [25], [34], která čtenáři už jistě znají.

Důležité je do vzorců dosazovat jednotlivé veličiny v požadovaných jednotkách, nejčastěji se dosazuje v tzv. základních, respektive odvozených jednotách SI [26].

Existují ale vzorce, ve kterých počítaná veličina není vyjádřená přímo. Například ve Vzorci 8 máme určit hodnotu neznámé označenou jako λ, přitom vystupuje na levé i pravé straně vzorce. V takových případech se aplikuje iterační neboli numerický postup výpočtu.

8.824 Jaké je řešení tohoto vzorce? Symboly r, ε zastupují dosazovaná čísla, jejich hodnoty známe. λ veličina, kterou máme vypočítat.

Iterační metody výpočtu se používá pro řešení vzorců v nepřímém tvaru. Výpočet probíhá v několika krocích, které se opakují (počítání ve smyčce) a obsahují podmínku (přesnost výsledku, počet cyklů aj.), která definuje podmínku konce výpočtu.

Iterační výpočet vzorce spočívá v tom, že se postupně zadávají vhodně vybrané hodnoty (odhady) počítané veličiny (v případě Vzorce 8 jsou to odhadnuté hodnoty veličiny λ) a sleduje výsledky na levé a pravé straně vzorce – čím bližší si budou tím více se výpočet přiblížil ke skutečné hodnotě λ. Metoda výběru dosazovaných hodnot záleží na metodě iteračního výpočtu. V technické praxi je nejrozšířenější iterační metoda Monte carlo⁽⁷⁾ nebo Newtonova iterační metoda [1, s. 612], která už předpokládá znalost diferenciálního počtu.

⁽⁷⁾Monte Carlo

Jedná se o "náhodné" testování různých řešení (v případě Vzorce 8 hodnot λ). Pokud vzorec má nějaké řešení, tak touto metodou máte možnost jej nalézt, ale s omezenou přesností. Úspěch tohoto výpočtu podstatně závisí na prvním odhadu (číslo, o kterém se předpokládá, že leží blízko řešení). Následně se porovná výsledek pravé a levé strany vzorce a podle jejich rozdílu odhaduje nová hodnota veličiny λ. Obvykle platí, že jestliže se rozdíl výsledku levé a pravé strany vzorce vzdalují při zvyšování odhadu λ, tak by správná hodnota λ měla být menší než odhad a obráceně (i když to nemusí platit vždy, záleží na tvaru vzorce). Hledat tímto způsobem řešení ručeně je časově náročené, ale při použití matematického stroje neboli výpočetní techniky velmi oblíbené viz níže kapitola Výpočtové metody matematického softwaru .

Funkce

Vzorce máme proto, že pro každý jednotlivý případ může být hodnota počítané veličiny jiná se změnou zadávaných hodnot. To znamená, že počítaná veličina je závislá neboli je funkcí jiných veličin, které se mohou měnit. Když se řekne, že hodnota veličiny je funkcí jiné, tak tím zdůrazňujeme její závislost na jedné nebo více veličinách [24, s. 133].

Například v případě vzorce pro obvodovou rychlost lze konstatovat, že obvodová rychlost u je funkcí průměru kola d a otáček n. V řeči matematiky se to vyjádří zápisem u=f(d, n) nebo také f(d, n)=π·d·n, v technické praxi je obvyklejší kratší označení u(d, n). Písmeno f označuje, že se jedná o funkci.

Výpočty vzorců lze provádět i pomocí analytické geometrie. Spojitost mezi geometrií a algebrou objevil francouzský matematik René Descartes (1596-1650) [21, s. 161], [10, s. 97]. Jeho objev znamená, že geometrické útvary, jejichž souřadnice jsou zapsány v pravoúhlé soustavě souřadnic, lze zapsat algebraickou rovnicí a naopak. Pro dvourozměrné geometrické útvary postačí systém souřadnic x-y a pro trojrozměrné objekty x-y-z viz dále kapitola Analytická geometrie v prostoru. Písmena x, y jsou označení os (stupnic) reálných čísel, které jsou na sebe kolmé (Obrázek 9). Grafické znázornění rovnic se nazývá grafem. Graf zkonstruovaný za účelem nalezení řešení vzorce pro vybrané proměnné se nazývá nomogram.

9.999 Znázornění přímky v soustavě souřadnic zavedené Descartem Každý bod přímky odpovídá vzorci y=a1·x+a2, kde a1, a2 jsou konstanty, lze v soustavě souřadnic x-y vyjádřit jednoznačně souřadnicí [x, y]. Na obrázku je přímka o parametrech: a1=1,2; a2=-0,7. Bodu P lze jednoznačně přiřadit souřadnici [x1; y1]. Čtyři základní oblasti pravoúhlé soustavy souřadnic se nazývají kvadranty (1) až (4), což umožňuje snadnější orientaci v takové rovině při ústním podání apod. Další frekventované funkce znázorňované v rovině naleznete například v [1, s. 163].

Nomogramy

Nomogram je grafická analogová výpočetní pomůcka [14], [15]. Jedná se o převod funkcí do grafické podoby ve vhodně vybraném soustavě souřadnic (nejčastěji pravoúhlé⁽⁸⁾). Nomogramy, na rozdíl od pravítek, umožňují rychlý výpočet rovnic více proměnných. Používají se pro rychlý přibližný výpočet často používaných vzorců.

Například nomogram pro výpočet obvodové rychlosti kola je tvořen přímkami, protože pro konstantní průměr kola je tato rovnice rovnicí přímky. Takový nomogram lze zkonstruovat pouze pravítkem. Nutné je stanovit rozsah jednotlivých proměnných podle toho, které kombinace hodnot d a n nás zajímají (Obrázek 10).

10.1077 Nomogram pro výpočet obvodové rychlosti kola u [m·s-1]; d [m]; n [s-1]. Osa otáček je v intervalu 1 až 10 s-1, osa obvodové rychlosti kola 0 až 300 m·s-1. Do oblasti řešení, která je vymezená vodorovnou osu hodnot pro otáčky a svislou pro obvodovou rychlost kola se zakreslují průběhy změn obvodové rychlosti v závislosti na otáčkách pro jednotlivé průměry kola (čára, na které je jedna z proměnných konstantní – v tomto případě průměr kola se nazývá izopléta). První izopléta byla nakreslena ze souřadnic u=3,1415 při n=1 do bodu u=31,415 při n=10. Následující izopléty byly nakresleny stejným postupem. Obvodová rychlost kola se odečte z průsečíku zadaných hodnot otáček a průměru kola.

Je očividné, že takový nomogram pro funkci tří proměnných nemůže pokrýt všechny možnosti řešení v navrženém intervalu vstupních proměnných, to by musel obsahovat nekonečný počet izoplét, a nikoliv jen deset. Jestliže nomogram neobsahuje izoplétu splňující zadání, je nutné její průběh určit alespoň přibližně tak jak naznačuje přerušovaná čára příkladu výpočtu obvodové rychlosti pro n=6,3 s^-1 a d=5,6 m.

Přesnost nomogramů je dána převážně jeho fyzickou velikostí. Rozsah chyby (chyba, která vznikne na délce 1 mm osy nomogramu) lze jednoduše stanovit z měřítka nomogramu. Tato chyba nemusí být na celé ploše nomogramu stejná. Například v případě posledního nomogramu v oblasti kolem n=2, d=2 bude vzdálenost 1 mm na ose obvodových otáček kola představovat chybu o velikosti ~24 % a v oblasti n=9,

d=10 ta chybě jen ~1 %. Rozdíly v přesnosti lze vyřešit nelineárními stupnicemi os, tak aby chyba v odečtu byla přibližně stejná na celé ploše nomogramu.

Typ nelineární stupnice osy závisí na druhu rovnice, kterou nomogram zobrazuje, přičemž každá osa může mít jinou stupnici. Pro exponenciální rovnice (včetně exponentu 1) se nejčastěji používá logaritmická stupnice, ale ve speciálních případech lze použít stupnici kvadratické (pro kvadratické rovnice) atd.

V případě logaritmické stupnice je její výhoda i v tom, že jakékoliv exponenciální rovnice se dají znázornit jako přímky, například rovnice a·b^3,4=c bude přímkou ve tvaru log a + 3,4·log b = log c apod. Nomogram pro výpočet obvodové rychlosti kola v logaritmických stupnicích je zobrazen na Obrázku 11.

11.1078 Nomogram pro výpočet obvodové rychlosti kola v logaritmické soustavě souřadnic Velikost tohoto nomogramu je 8,35x8,35 cm, takže chyba 1 mm v oblasti n=2, d=2 je asi 6,6 % a v oblasti n=9, d=10 je také 6,6 %, přičemž přesnost lze zvýšit zvětšením velikosti plochy nomogramu a zvýšením hustoty stupnic. V logaritmické soustavě souřadnic tedy lze dosáhnout stejné přesnosti, respektive nepřesnosti na celé ploše nomogramu. Více o rozboru chyb v logaritmické soustavě souřadnic v [14, s. 12].

Do jednoho nomogramu lze zakreslit i více rovnic, které mají stejné proměnné. Například do nomogramu pro obvodovou rychlost kola lze zakreslit i průběh pro kritické otáčky hřídele s tímto kolem, které se s průměrem kola budou měnit (kritické otáčky jsou funkcí průměru kola a tuhosti hřídele, která je v tomto případě stejná).

Lze vytvořit nomogramy i pro jednoduché rovnice, jako je sčítání násobení či dělení dvou čísel viz Nomogramy 1067, 1068.

Nomogram zvládne i více proměnných než jen tři, takové nomogramy se nazývají sdružené. Jedná se vlastně o dva nomogramy, které mají jednu společnou stupnici, která slouží jako výstup prvního a vstup do druhého viz například Nomogram 38.1038 pro výpočet Reynoldsova čísla.

Nomogramy se také dodávají k různým výrobkům jako pomůcka pro koncového uživatele o změnách parametrů stroje při různých nastavení. Například nomogramy u soustruhů, pro odečet otáček nebo posuvu při změně převodového poměru, nomogramy regulačních ventilů, ze kterých lze vyčíst změnu průtoku a tlakové ztráty při změně zdvihu vřetena ventilu apod.

Doposud posané typy nomogramů se nazývají průsečíkové. Nevýhodou těchto nomogramů je obtížný odečet (hledání průsečíku tří různoběžných čar) i velká hustota čar, proto se konečným uživatelům, pokud to jde, dodávají spojnicové nomogramy.

Spojnicový nomogram pro tři proměnné je složen ze tří stupnic, na kterých jsou v příslušných měřítkách vyneseny hodnoty jednotlivých proměnných. Konstruktér

nomogramu musí navrhnout typ stupnic a jejich měřítka, jejich tvar a jejich vzájemné vzdálenosti tak, aby průsečíky na jednotlivých osách, které vzniknout nakreslením libovolné přímky, byly řešením příslušné rovnice.

12.1079 Základní součtový spojnicový nomogram V tomto případě je jedna z os přesně uprostřed dvou dalších, ale lze ji podle potřeby posouvat, pokud to sníží komplikace s měřítkem jednotlivých stupnic. Tento tvar spojnicového nomogram je vhodný pro rovnice ve tvaru α+β=2 γ (odvození je v Příloze 1079), například a·x+b·y=c·z, kde a, b, c jsou konstanty; například x2+y2=z2, což je Pythagorova věta apod. Jestliže osy jsou logaritmické stupnice lze tento součtový spojnicový diagram také použít pro součin např. rovnici x·y=z, která bude mít v logaritmických souřadnicích tvar log x+log y=log z, což už je rovnice přímky. Všechny stupnice nemusí být stejně dlouhé, lze je měnit podle požadovaného rozsahu jednotlivých veličin.

Nejednodušším spojnicovým nomogramem je případ, kdy tvarem stupnic jsou přímé navzájem rovnoběžné čáry, tzv. součtový spojnicový nomogram. V takovém případě se upravuje pouze měřítko a typ stupnic a může i vzájemná vzdálenost. Například konstrukce spojnicového nomogramu pro výpočet obvodové rychlosti kola je uvedena na Obrázku 13.

13.1080 Spojnicový nomogram pro výpočet obvodové rychlosti kola Konstrukce tohoto nomogramu je popsána v Příloze 1080.

Spojnicové nomogramy lze také konstruovat pro více jak tři proměnné spojením několika nomogramů tzv. sdružený spojnicový nomogram. Dokonce lze kombinovat průsečíkové nomogramy s nomogramy spojnicovými [14, s. 136], [15, s. 215].

Existují i jiné tvary průsečíkových a spojnicových nomogramů jejiž konstrukce, obvykle vyžadují většího duševního úsilí a více zkušeností. U nomogramů mohou být osy různě skloněny, zakřiveny, mohou být různého typu i  měřítek délek.

Tvar nomogramu⁽⁹⁾ také ovlivňuje, jaké veličiny budou na jednotlivých osách, což je důležité především u spojnicových nomogramů. Ten kdo nemá dostatek zkušeností může vycházet při konstrukci nomogramu z podobnosti s jiným nomogramem, přičemž lze čerpat z katalogů nomogramů uvedených v [14], [15], [30].

⁽⁹⁾Z historie nomogramů

Nomogramy na první pohled vypadají jako jednoduché efektivní výpočetní pomůcky, alespoň pro rychlé a přibližné výpočty výpočtářem často používaných vzorců, přesto první použitelné nomogramy zkonstruoval až průmyslník Louis Pouchet (1748-1809), které převáděly staré Francouzské jednotky vah na kilogramy [14], [16].

Rovnice

Rovnicí je i vzorec, protože jeho levá strana se rovná pravé, přesto při vyslovení slova rovnice je obvykle myšlen její širší význam tedy něco do čeho nestačí jen dosadit a získáme použitelný výsledek. Rovnici máme obvykle upravit či vyřešit. Rovnici nejčastěji získáme při řešení složitějších úloh kombinací dvou a více vzorců. Sestavování rovnic je ryze lidská schopnost. Při řešení úloh postupujeme systematicky po krocích, které jsou přehledné a srozumitelné, což se nejlépe ukáže na úloze:

Ze zadání úlohy je zřejmé, že výsledná rovnice bude obsahovat minimálně dva typy vzorců, a to vzorec pro výpočet ujeté vzdálenosti při rovnoměrně zrychleném/zpomaleném pohybu a vzorec pro výpočet ujeté vzdálenosti při konstantní rychlosti. Celkovou ujetou vzdálenost si označme jako x₁ (písmeno x se používá k označení veličin, které nejsou známy, respektive nejdou jednoduše ze zadání vyčíst), vzdálenost při rovnoměrném zrychlení x₂, vzdálenost ujetou konstantní rychlosti x₃ a vzdálenost ujetou při zpomalování x₄. Je evidentní, že celková vzdálenost x₁ bude součtem vzdáleností x₂, x₃, x₄ a x₅ viz Vzorce 14.

14.931 Vzorce pro řešení Úlohy 1 Vzorec pro výpočet ujeté vzdálenosti při rovnoměrně zrychleném/zpomaleném pohybu má tvar l=1/2(a·t2) a vzorec pro rychlost na konci rovnoměrného zrychlení z nuly má tvar c=a·t [3, s. 39]. l [m] ujetá dráha; a [m·s-2] zrychlení (záporné číslo je zpomalení); t [s] doba pohybu; c [m·s-1] rychlost na konci zrychlení. x5 [m·s-1] rychlost tramvaje na konci zrychlování – je označena písmenem x, protože je to také neznámá. Výsledné skupině rovnic se říká soustava pěti rovnic o pěti neznámých. Konstantám v rovnicích se říká parametry rovnice [37, s. 8].

Nyní jsou v podstatě dvě možnosti jak dosáhnout užitečného výsledku neboli řešení těchto pěti rovnic. Myšlenkově nejméně náročné je postupně vypočítat jednotlivé neznáme dosazením hodnot za zrychlení a čas, jak je již naznačeno při zápisu rovnic – takový to postup se nazývá numerické metoda či řešení. Druhou možností je z těchto pěti rovnic udělat jen jednu, respektive vytvořit relativně složitý vzorec pro přímý výpočet ujeté vzdálenosti tramvaje. Takový vzorec vznikne tzv. dosazováním do první rovnice, kdy za jednotlivé neznámé x₂...x₅ se dosazují vzorce pro jejich výpočet – takový to způsob způsob řešení soustavy rovnic se nazývá analytická metoda či řešení. Výsledný vzorec jako analytické řešení soustavy rovnic Úlohy 1 je následující:

15.931 Úloha 1: analytické řešení

Nevýhodou výsledného vzorce je, že nejsou okamžitě patrny mezivýsledky, které bývají u složitějších úloh důležité, protože z nich plyne celková představa o situaci a lépe se hledají ve výpočtu případné chyby, na druhou stranu jsou patrny vlivy jednotlivých členů na výsledek.

Při sestavování rovnic se často stává, že neznámá není samostatně na jedné straně rovnice například 2,54 + a = b·x²+(2x²+c)d, takže je potřeba ji tzv. separovat neboli osamostatnit. To se dělá vhodnými promyšlenými matematickými operacemi, při kterých musí být zachována rovnost pravé a levé strany rovnice. Například, přičítáním stejného čísla k pravé i levé straně rovnice, tak aby byla zachována její rovnost. To samé pravidlo platí i pro jiné matematické operace včetně umocňování, logaritmování atd. Postup separace neznámé x z poslední rovnice je zobrazen na Obrázku 16.

Nutno podotknout, že ne vždy lze neznámou separovat na jednu stranu rovnice a ostatní členy na druhou jako v případě Vzorce 8. To zjistíte tak, že to zkusíte a ono to nejde. Věřte, že s přibývajícími zkušenostmi takovou záludnou rovnici rozeznáte. Takové rovnice se řeší iteračním výpočtem, a protože iterační výpočty jsou díky výpočetní technice oblíbenější než duševní námaha používají se i pro řešení rovnic, u nichž by úprava byla prostě pracná (myšleno separace neznámé na jednu stranu rovnice).

Především při úpravách je dobré rovnici co nejvíce zjednodušit, taky abychom se v ní neztráceli a nemuseli neustále opisovat spoustu symbolů. Například během úprav Rovnice 16 lze x² označit zkráceně například symbolem y a v kroku 5 opět dosadit x². Také se může vyskytnout logaritmická rovnice a místo x² v předchozí rovnici může být například log 2x opět by šlo za tento výraz při úpravách dosadit symbol y a v pátém kroku dosadit zpět log 2x apod.

Stejná pravidla při sestavování a úpravách rovnic paltí i pro nerovnice. Nerovnice pouze znamená, že levá strana se nerovná pravé například 2,54 + a > b·x²+(2x²+c)d. Úprava, respektive separace neznáme na jednu stranu nerovnice probíhá stejně jako v předchozím případě rovnic. Jedna záludnost tu ale je – jedna strana nerovnice je větší než ta druhá a když k pravé i levé straně přičteme stejné číslo (nebo odečteme) vždy vztah (nerovnost) mezi oběma stranami zůstane stejný. Když je vynásobíme kladným číslem stále zůstane stejný. Ale při násobení záporným číslem (nejčastěji -1) se kladná čísla stanou zápornými a naopak, takže byl-li člen na pravé straně nerovnice větší než pravý, tak po vynásobení tomu musí být naopak, takže i nerovnost musíme obrátit – viz Nerovnice 17.

17.874 Příklad změny nerovnosti při vynásobení nerovnice záporným číslem, v tomto případě -1

Asi si dokážeme představit, že existují složitější rovnice s více neznámými, než bylo řešeno v Úloze 1. Naštěstí existují obecné postupy a pravidla řešení soustav rovnic pomocí nichž, lze většinu soustav docela dobře řešit mechanicky. Prvním pravidlem je soustavu zapsat v nějakém normalizovaném tvaru, kterých je více. Pro rovnice bez exponentů lze použít normalizovaný zápis uvedený na Obrázku 18, kdy se každá neznámá zapisuje v jednotlivých rovnicích ve stejném pořadí, například Rovnice 19 je soustava rovnic z Úlohy 1 zapsána právě v takovém normalizovaném tvaru.

18.915 Obecný tvar soustavy rovnic o více neznámých a, b jsou konstanty, mohou být i rovny nule, a21 znamená, že se jedná o konstantu z druhého řádku před první neznámou. Tento typ soustavy rovnic se nazývá soustava lineárních rovnic, protože každá rovnice vznikla součtem rovnic pro přímku, která se nazývá lineární rovnicí.

19.931 Normalizovaný zápis soustavy rovnic z Úlohy 1 Všimněte si, že parametry rovnic se už vyčíslují, protože u větších soustav rovnic se předpokládá numerická metoda řešení, analytická je příliš pracná.

Do obecného tvaru se soustavy rovnic zapisují kvůli přehlednosti, porovnání s jinými již vyřešenými úlohami a především kvůli mechanickým postupům vyvinutých pro jejich vyřešení.

U větší soustavy rovnic se z praktických důvodů na analytickou metodu řešení rezignuje a používá se numerická metoda zvaná Gausovou eliminační metoda zkráceně GEM [8, s. 61], [1, s. 32], [27, s. 196] (existují i další numerické metody řešení soustav lineárních rovnic [27]):

Eliminace spočívá v tom, že z původní soustavy rovnic vytvoříme prakticky nové rovnice se stejnými výsledky (v rozsahu zaokrouhlování), přičemž výsledná soustava rovnic bude mít v normalizovaném tvaru zleva postupně na každém řádku o jeden nulový parametr navíc jak ukazuje Rovnice 20.

20.1201 Cílová soustava lineárních rovnic při řešení Gaussovou eliminační metodou Tato soustava má stejné řešení jako původní soustava Rovnic 18 (hodnoty parametrů b mohou být samozřejmě jiné než v původní soustavě).

Nové rovnice z původní soustavy tvoříme odečítáním rovnic od sebe, pokud před touto operací odečítanou rovnici vynásobíme takovým číslem, aby výsledná rovnice obsahovala alespoň o neznámou méně na té správné pozici (eliminovaly jsme jednu neznámou), pak se nám postupně podaří dalšími takovými operacemi získat cílový tvar soustavy viz příklad na Obrázku 21. Rovnice lze za účelem rychlejšího výpočtu prohazovat z jednoho řádku na jiný a to lze provádět i se sloupci, ale v takovém případě musíme myslet na to, že pořadí neznámé už nebude odpovídat číslu sloupce (proto dáváme přednost prohození řádků, pokud to jde). Samozřejmě při operacích nelze násobit nulou, proto při výběru dvojice rovnic, které budeme od sebe odečítat, musíme vybrat rovnice takové, abychom nemuseli násobit nulou. Všimněte si, že cílový tvar obsahuje pouze nehomogenní rovnice (lineární rovnice, která má na pravé straně nenulové číslo b≠0), proto je tato eliminační metoda neúčinná, pokud původní soustava rovnic obsahuje pouze homogenní rovnice b=0 – násobením ani odčítáním od sebe se tyto nuly nezmění. Naštěstí stačí, aby alespoň jedna rovnice v původní soustavě byla nehomogenní, pak už stačí vytvořit novou soustavu tak, že ke každé homogenní rovnici přičteme/odečteme onu nehomogenní rovnici.

U velkých soustav rovnic se při neustálém opisování rovnic vynechává znaménko plus, rovná se i označení jednotlivých neznámých x a celá soustava se zapisuje pomocí tzv. maticového zápisu do matice (Obrázek 22, na Obrázku 23 je zobrazen maticový zápis a výsledná matice po aplikaci GEM na soustavu rovnic z Úlohy 1).

GEM je vhodná pro matematické stroje, jako jsou programovatelné kalkulačky nebo počítače (viz kapitola Matematické stroje neboli počítače), protože operace potřebné k dosažení výsledku jsou předvídatelné. GEM má velké uplatnění všude tam kde se řeší rozsáhlé soustavy lineárních rovnic [27], především při řešení schémat v elektrotechnice i schémat rozsáhlých potrubních tras technologických celků viz kapitola 25. Kapitola o výpočtu rozsáhlých schémat technologických celků.

Potud o řešení lineárních rovnic. V případě rovnice n-tého stupně (rovnice obsahující neznámé umocněné celým číslem) se snažíme rovnice upravit do normalizovaného tvaru za účelem rychlého vyhledání řešení, tak aby mocninami byla pouze přirozená čísla (Obrázek 24). V případě že výchozí tvar rovnice obsahuje záporný exponent např. 2,35x^-2+1,03x=7, pak stačí levou i pravou stranu rovnice vynásobit členem x² a tím všechny exponenty převedeme na kladné 2,35+1,03x³=7x². Úprava této rovnice na obecný tvar je už pak triviální.

24.963 Obecný tvar rovnice n-tého stupně n≥1; první rovnice je rovnice prvního stupně neboli lineární, druhá rovnice je rovnice druhého stupně neboli kvadratická, rovnice třetího stupně neboli kubická atd. a0, a1, a2, a3...jsou konstanty a kromě a0 mohou být i rovny nule, takže x3+a1=0 je stále kubická rovnice.

Jakoukoliv rovnice n-tého stupně zapsanou v obecném tvaru lze také převést na mnohem jednodušší následující tvar a₀(x-b₁)^k1(x-b₂)^k2...(x-b_r)^kr=0, k₁+k₂+..+k_r=n, r≤n kde b je konstanta, k, r jsou přirozená čísla, [1, s. 21]. Z takové tvaru rovnice je zřejmé, že řešení rovnice n-tého stupně může existovat několik a maximálně rovné nejvyšší mocnině x₁=b₁, x₂=b₂ atd., protože rovná-li se jakákoliv závorka 0 je celá rovnice rovna 0. Jednotlivá řešení rovnic n-tého stupně se také označují jako kořeny rovnice a zmíněný jednoduchý tvar rovnice n-tého stupně se nazývá součin kořenových činitelů.

Problém je, že převést rovnici libovolného n-tého stupně pomocí algebraických úprav na součin kořenových činitelů je velmi obtížné a pracné (neexistuje žádný obecný postup pro takovou úpravu, který by vždy vedl k řešení). V praxi obvykle každý takový pokus o vyhledání součinu kořenových činitelů končí ztrátou času. Naštěstí existuje obecné analytické řešení pro rovnice alespoň do n=4⁽¹⁰⁾. Řešení pro rovnice 2 až 4 stupně jsou uvedena [1, s. 38], [8]. Na Obrázku 25 uvádím analytické řešení pro rovnici kvadratickou, která se v technické praxi vyskytuje nejčastěji.

Rovnice 5-tého a 6-stupně mají obecná řešení, jestliže je dopředu znám alespoň jeden, respektive dva kořeny nebo jsou-li tyto rovnice reciproké. Reciproké rovnice jsou takové rovnice n-tého stupně, které mají jeden z kořenů roven 1 nebo -1. To jestli

je rovnice reciproká či nikoliv lze zjistit podle jednoduchého pravidla uvedeného například v  [1, s. 43], [8, s. 111]. Tam naleznete i jak postupovat dále při řešení, ale vzhledem k možnostem dnešních počítačů a numerických metod je rychlejší řešit rovnice vyššího stupně numericky, například iteračními metodami uvedenými v [1, s. 603].

Algebraické rovnice jiných typů, než zde byly do tohoto místa popisovány – například rovnice s neceločíselnými mocninami (např. 2,5 x^2,3+x+3,6=0) nebo rovnice kde mocninou je neznáma (např. 2,5^x+3x=0), jejich kombinace apod. – se řešeí, kromě triviálních případů⁽¹¹⁾, numericky.

Popis dalších typů rovnic bude příležitostně probíhat i v další části článku.

Na závěr této kapitoly bych chtěl říct, že než začnete řešit nějakou úlohu či přímo rovnice snažte se zamyslet zda by na ně nemohlo být aplikováno jedno dobré matematické přísloví: Převeď úlohu na podobný již vyřešený případ. Druhá snad ještě důležitější než první rada je k sestavování soustavy rovnic. Soustava rovnic má řešení pouze tehdy obsahuje-li takový počet vzájemně nezávislých rovnic jako počet neznámých. Nezávislá rovnice v soustavě rovnic je taková, kterou nelze sestavit úpravami jedné nebo více rovnic soustavy.

Matematické stroje neboli počítače

Matematické postupy se vyznačují svou univerzálností, proto není divu, že se postupně objevovaly úvahy do jaké míry lze sestavit stroje, které by počítaly – vynechme různé pomůcky a strojky pro základní aritmetické operace. Touto otázkou se zabýval i anglický matematik Alan Turing (1912-1954), který dokázal že řešení matematické úlohy lze provést strojem lze-li ji zapsat do tzv. programu [24, s. 305], [28, s. 171], [29, s. 371]. Program je postup výpočtu pro stroj, jeho elementární jednotkou je instrukce neboli pokyny pro stroj jakou operaci má provést zapsané v pořadí v jakém se budou provádět. Každá instrukce musí obsahovat jeden operační znak⁽¹²⁾ a adresu jednotky počítače, která má operaci provést (kam ho uložit – do jaké části počítače) nebo naopak odkud vzít údaj pro zpracování.

⁽¹²⁾Operační znak

Každá samostatná operace, které je stroj schopen má svoje číslo, kterému se říká operační znak.

Univerzální samočinný počítač schopný pracovat podle programu je strojový celek obsahující minimálně pět samostatných mezi sebou komunikujících jednotek – řadič⁽¹³⁾, operační paměť⁽¹⁴⁾, vstup⁽¹⁵⁾, výstup⁽¹⁶⁾ a operační jednotku⁽¹⁷⁾ (Obrázek 26).

26.815 Blokové schéma počítače Ř řadič; OP operační paměť;I vstup; E výstup; OJ operační jednotka(18); CPU centrální procesorová jednotka (Central Processing Unit). Jedná se o schéma počítače, které navrhl americký matematik John von Neumann (1903-1957). Tento typ počítače obsahuje pět jednotek, takže instrukce programu může mít pět různých adres. Existují i jiná bloková schémata počítače, ale velmi podobná.

⁽¹³⁾Řadič

Řadič je jednotka, která je schopna přečíst program. Na základě instrukcí v programu rozesílá požadavky do dalších čtyř jednotek. Existují počítače, které nemají cestu z operační paměti do řadiče. U těchto počítačů je program uložen v řadiči a nelze ho měnit nebo má svůj vlastní vstup pro změnu programu zvnějšku. Tak tomu bylo i v raných dobách stavby počítačů. Současné počítače obsahují i několik časově synchronizovaných řadičů. Konstrukce řadiče [17, s. 154].

⁽¹⁴⁾Operační paměť

Dříve jen paměť – je schopna uchovávat čísla tj. mezivýsledky, výsledky a i program, který je také napsán ve formě čísel. Do ni může zapisovat řadič, operační jednotka i vstupní zařízení. Od řadiče může dostat příkaz k odeslání čísla do výstupní jednotky.

⁽¹⁵⁾Vstup

Ze vstupních zařízení se dostávají čísla nebo i program do paměti (například klávesnice, měřící čidla apod).

⁽¹⁶⁾Výstup

Ve výstupních zařízení se ukládají/zobrazují/zapisují konečné výsledky (například tiskárna, monitor, paměť apod). Vstupy a výstupy určené pro lidské smysly jsou tomu uzpůsobeny.

⁽¹⁷⁾Operační jednotka

Operační jednotka je zařízení, jehož konstrukce zvládá početní operace jak základní aritmetické tak logické, proto se ji také říká aritmeticko-logická jednotka. Počet operací, které tato jednotka zvládne přímo je dána její konstrukcí. Obvykle umí přímo základní aritmetické operace. Například pokud má obvody pro násobení, tak násobí přímo (v programu je napsáno násob dvě čísla a operační jednotka ví jak to má udělat – má pro to číslo operace). Jestliže obvod pro násobení nemá musí program obsahovat i postup násobení obvody, které k dispozici má. Dnešní počítače mohou obsahovat i několik operačních jednotek. Konstrukce operační jednotky např. v [17, s. 148].

Množství operací, kterých je matematický stroj schopen záleží na jeho konstrukci. Seznam těchto možných operací se nazývá operační kód. Čím větší je operační kód

stroje tím je rychlejší a jeho programování snažší na druhou stranu je složitější a dražší. Turing dokázal, že nejjednodušší počítač⁽¹⁸⁾, který by dokázal splnit jakkoliv složitý výpočet – cokoliv lze spočítat to spočítat dokáže – by měl operační kód o velikosti 6.

Z pohledu konstrukce, respektive fungování počítačů je lze rozdělit ještě na analogové a číslicové neboli digitální. Analogové počítače pracují na principu velikosti signálů, kterým může být síla, napětí, tlak, posun apod. Například pro násobení by mohlo být používáno logaritmické pravítko, u kterého by se snímal posuv. Je očividné, že složitější analogový počítače by byl náchylný na chyby a poruchy [17], které by souvisely s přesností výroby a dnes se prakticky používají jen jako neprogramovatelné jednoduché stroje například pro regulaci.

Číslicové počítače pracují na principu nějaký signál/žádný signál (posun, napětí, tlak, síla) , respektive rozlišují pouze dva stavy a nikoliv sílu signálu. Počítání pouze se dvěma možnými stavy lze díky Booleovy algebře [17, s. 105]. Tuto algebru vytvořil anglický matematiky George Boole (1815-1864) při popisu se obvykle tyto stavy označují symboly či výrazy 0/1, ano/ne apod.

Velikost a text programu počítače závisí na jeho operačním kódu případně i na výrobci. Během desítek let vývoje počítačů ale došlo k vývoji normovaných programovacích příkazů neboli vzniku programovacích jazyků, těch je více. Takový programovací jazyk je lépe srozumitelný lidem použitím mnohem širší sady symbolů než 0/1. Program napsaný v tomto jazyce potom jiný tzv. kompilační program přepisuje do konečného programu pro počítač. Dnešní matematické stroje obsahují speciální programy pro komunikaci s člověkem (nebo i jinými zařízeními), toto programové vybavení se nazývá software. Dříve se vkládal program přímo do řadiče. Software také programově obsluhuje vstupy a výstupy, tak aby byly čitelné pro člověka případně jiný počítač nebo zařízení, které je na ně napojeno.

Hlavní přesnou výpočetní pomůckou technika je počítač případně kalkulačka. Z pohledu uživatele není podstatná samotná konstrukce a princip matematických strojů, ale jejich způsob komunikace s uživatelem tj. forma zadání a forma výsledků, což zajišťuje v tomto případě matematický software. Matematický software lze rozdělit podle výpočetní metody, pro kterou je primárně určen. Výpočetní metody jsou analytické a numerické.

Software pracující s analytickými metodami pracuje přímo s funkčními závislostmi mezi jednotlivými proměnnými a vztahy mezi nimi. Požadovaným výsledkem je nový tvar funkční závislosti. Například analytické řešení rovnice a₁·x+a₂=a₃ je x=(a₃-a₂)/a₁.

Celý proces probíhá v několika krocích, kdy výpočtář zadá tvar rovnice, definuje co je konstanta, co proměnná a jaký tvar výsledku je požadován (v tomto případě vyjádření

proměnné x) a následuje krok softwaru, který vygeneruje řešení. Počet nutných kroků se podle softwaru může lišit, velmi záleží na tom jakou vlastnost software přiřazuje jednotlivým znakům, které lze při zápisu rovnice použít. Představitelem tohoto typu softwaru je například Maple [18]. Tento typ softwaru obvykle dokáže zpracovat většinu algebraických úloh a například umí nalézt řešení i neurčitých integrálů apod. Jestliže je požadován číselný výsledek stačí zadat hodnoty konstant (Obrázek 27).

27.1082 Základní kroky při řešení rovnice analytickým softwarem Zkratka var označuje proměnnou; zkratka con konstantu.

Software pro numerické výpočetní metody se obvykle omezuje pouze na číselné řešení zadané úlohy (bez algebraických úprav). K tomu využívá buď přímé metody výpočtu, iterační metody výpočtu a nebo metodu výpočtu Monte Carlo uvedené výše. V případě přímé metody výpočtu musí být zadán výpočetní vzorec v použitelné podobě například x=(a₃-a₂)/a₁. Vyčíslení může proběhnout zadáním konstant a_1..3.

Mezi typické softwary primárně určené pro přímý numerický výpočet patří tabulkové procesory (Obrázek 28), ve kterých se jednotlivé konstanty a vzorce zadávají do buněk s unikátní adresou. Tabulkovým procesorem je například produkt Calc, který je součástí kancelářských balíků OpenOffice.org a LiberOffice [7] nebo Exel z Microsoft Office [6].

28.1083 Základní kroky při výpočtu vzorce numerickým softwarem užitím přímé metody vlevo obecný zápis; vpravo způsob zápisu v tabulkovém procesoru.

Mezi software určený pro iterační metody patří i softwary metody konečných prvků (MKP) používané v mechanice kontinua pro zjištění napětí v součásti či tvaru proudového pole tekutiny a pod. (v těchto případech se výpočet ukončuje po splnění okrajových podmínek). Většina softwarů nedokáže jen podle tvaru rovnice určit iterační metodu (například porovnáním podobnosti s jinými úlohami uložených v knihovně softwaru). Tuto metodu musí vybrat výpočtář včetně logické podmínky ukončení výpočtu. Zadání iteračního výpočtu je náročnější než u předchozích metod, nicméně lze jej zadat (naprogramovat) i v tabulkovém procesoru či programovatelné kalkulačce.

29.1084 Vzorec mocninné řady přirozeného logaritmu (Úloha 2) Zdroj [1, s. 625].

Software pracující na principu metody Monte Carlo obsahuje algoritmus, který náhodně testuje různá řešení. Obecně se za řešení považuje  množinu čísel, interval na reálné ose čísel nebo konkrétní číslo, o kterém se předpokládá, že leží blízko řešení. Následně matematický software různými postupy dosazuje různá čísla do rovnice jehož řešení hledá a vyhodnocuje zda se od řešení vzdaluje nebo přibližuje a tak neustále zužuje oblast, ve kterém je hledán výsledek. Na typu metody zužování oblasti, kde by mohl ležet výsledek podstatně závisí konvergence výpočtu, protože čím je větší oblast, ve které se hledá výsledek, tím je menší pravděpodobnost, že bude nalezen. V knize Matematické stroje [17] přirovnávají autoři metodu Monte Carlo k myšlenkovým pochodů člověka s tím že lidská mysl má zatím neznáme metody pro zužování oblastí, ve které se nachází množina možných řešení.

Je zřejmé, že metoda Monte Carlo je nejvíce náročná na rychlost hardwaru počítače. Pomocí této metody se řeší diferenciální rovnice, ale využívá se dost často pro hledání řešení i mnohem méně náročných rovnic např. 3·x+1=7, protože rychlost stolních počítačů je vysoká a šetří tak duševní úsilí výpočtáře a tuto metodu výpočtu obsahují i kancelářské tabulkové procesory. Výpočet probíhá tak, že software náhodně dosazuje proměnnou x a testuje jestli se hodnota pravé strany rovnice vzdaluje od levé a podle toho vybírá další tip pro řešení.

Goniometrické a cyklometrické funkce

Výpočet úhlů pravoúhlého trojúhelníka a nebo délky jeho stran jsou-li známy jeho úhly je relativně frekventovanou úlohou v technické praxi. Za tímto účelem se používají tzv. goniometrické funkce. Tyto funkce nás informují o hodnotě úhlu, který svírá vyšetřovaná strana s odvěsnou, jestliže známe alespoň jednu z možných kombinací poměru dvou stran pravoúhlého trojúhelníka. Podle kombinací poměrů dvou stran rozlišujeme funkci sinus, kosinus a tangens⁽¹⁹⁾ (Obrázek 32).

⁽¹⁹⁾Poznámka

Protože trojúhelník má tři strany existuje celkem šest kombinací poměrů dvou stran – mimo výše zmíněných tří existují ještě goniometrické funkce Sekans, kosekans a kotangens. Vzhledem k tomu, že pracují s převrácenými hodnotami poměrů stran sinus, kosinus a tangents, tak se v praxi nepoužívají a první tři funkce plně postačují.

Z definic goniometrických funkcí (Obrázek 32) je zřejmé, že funkce sinus a kosinus mohou mít velikost od -1 do 1, kdežto maximální a minimální hodnoty funkce tangents jsou neomezené. Maximální vnitřní úhel pravoúhlého trojúhelníku je 90°, ale pří kótování úhlu podle Obrázku 32 může úhel x teoreticky dosáhnout velikosti 360° (plný úhel), pro případ, kdy se přepona otočí kolem počátku o celou otáčku. Jestliže se přepona otočí o čtvrt otáčky bude úhel 90°, o půl otáčky 180° a o tři čtvrtě otáčky 270°. Což je jasně patrné i z průběhu funkcí (Obrázek 33).

Typická úloha v trigonometrii obvykle vychází ze znalosti úhlu x a jedné strany, přičemž úkolem je vypočítat velikost další strany. K tomu je ale nutné znát hodnotu příslušné goniometrické funkce při zadaném úhlu, ta se hledá v tabulkách goniometrických funkcí nebo se jednoduše vypočítá pomocí kalkulačky nebo jiného matematického stroje⁽²⁰⁾.

⁽²⁰⁾Výpočet a přepočet goniometrických funkcí

Dříve se goniometrické tabulky počítaly pracným půlením úhlů, kterým se dá hodnota poměru stran přiřadit přesně, což jsou obvykle úhly odpovídající pravidelným mnohoúhelníkům [23, s. 153] vepsaných do jednotkové kružnice. Po objevu Taylorového rozvoje se počítají goniometrické funkce pomocí Taylorovy řady pro funkci sinus [1, s. 389], které lze pomocí jednoduchých vztahů [1, s. 74] přepočítat na funkci cosinus cos x=sin (x+90°) a nebo tangents tg x=sin x/cos x⁽²¹⁾. Matematické stroje jako kalkulačky a počítače využívají buď hodně přesnou tabulku goniometrických funkcí a nebo algoritmus pro výpočet Taylorovy řady příslušné goniometrické funkce v reálném čase podobně jako se počítají hodnoty logaritmů uvedené v Úloze 2. Bez kalkulačky lze provést přibližný výpočet goniometrických funkcí pomocí základní tabulky hodnot sinu a tangentu v intervalu 0° až 90°. Tento krátký interval postačuje, protože hodnoty pro další úhly lze odvodit z podobnosti křivek na Obrázku 33. Například hodnota sin 200° bude stejná jako -sin 20° apod. Tabulky goniometrických funkcí sinus a tangents jsou uvedeny v Tabulce 1145 nebo v [33].

⁽²¹⁾Operace s goniometrickými funkcemi a rovnicemi

Souhrn základních vztahů mezi goniometrickými funkcemi například jak je sčítat, odčítat, násobit a dělit mezi sebou jsou uvedeny v [1, s. 72-78]. Obecné řešení rovnic obsahující goniometrické funkce existuje pouze pro funkce jednoho proměnného úhlu. V případě více proměnných úhlů se postupuje numericky vhodnou iterační metodou, to platí i pro případy funkce jedné proměnné, u kterých nelze separovat neznámý úhel.

Průběhem funkce sinus lze popsat i vlnění. Ve vlnové mechanice se hodnota funkce sinus pro konkrétní úhel nazývá amplituda. Délka amplitudy a příslušný úhel vytvoří vektor (šipka orientovaná v prostoru ukazující směr, délka šipky je označovaná jako velikost vektoru). Takový vektor má tu vlastnost, že se jeho velikost mění v závislosti na úhlu přesně podle funkce sinus. Takové vektory nejsou užitečné jen při popisu vlnění ale i při výpočtu pravděpodobnosti nějakého děje, který má průběh jako funkce sinus, v takovém případě se výsledný vektor nazývá amplituda pravděpodobnosti. Jestliže si dokážeme představit amplitudu funkce sinus jako vektor, který mění svou velikost, tak jak se otáčí kolem svého počátku, pak už nejsme daleko pochopit jak nakreslit průběh této funkce pouze pomocí pravítka a kružítka (Obrázek 34).

Přirozeně existují i obrácené úlohy a to výpočet úhlu x, jestliže je znám poměr dvou stran. K tomu se využívá vlastností cyklometrických funkcí. Existují tři základní cyklometrické funkce, které jsou inverzní ke goniometrickým funkcím, takže platí x=arcsin b/c (arkussinus), x=arccos a/c (arkuskosinus), x=arctg b/a (arkustangents).

Problém je v tom, že jednoznačnou hodnotu cyklometrické funkce lze přiřadit na intervalu dlouhým maximálně 180°. Například arcsin na intervalu 90° až 270°, arccos na intervalu 0° až 180° a arctg na intervalu 90° až 180°. Ale na intervalu 0° až 180° má arcsin dvě řešení (arcsin 0,5 může znamenat buď 30° nebo 150°) atd. Kvůli těmto vlastnostem je při výpočtu už nutné znát orientaci trojúhelníku v navrženém soustavě souřadnic, respektive v jakém je kvadrantu.

Například bude-li poměr protilehlé strany ku přeponě pravoúhlého trojúhelníku, který leží v druhém kvadrantu roven 0,5, potom úhel x například z tabulky v [33] musí být 150° a ne 30°.

V technické praxi se velmi často místo jednotky pro velikost úhlu stupeň [°] používá jednotky radián [rad] tzv. oblouková míra. Použití obou jednotek má své opodstatnění.

Zatímco v případě stupňů používáme 360 dílnou stupnici tak v u radiánů se stupnici o velikosti 2π. To má výhodu především pro případy, kdy se s úhly dále pracuje navazujících výpočtech (i v jiných než v trigonometrických), protože součin úhlu v radiánech a délky přepony je délkou oblouku vytvořené přeponou (přepona se v takovém případě nazývá průvodič). Takže při pootočení průvodiče o celou otáčku bude délka oblouku rovna obvodu kruhu 2π·c, proto plný úhel v radiánech je roven právě 2π=360°. Podobně oblouk vytvořený pootočením průvodičem o čtvrt otáčky musí být velký jako čtvrt kruhu 2π·c/4, takže π/2=90° apod. (Obrázek 35) Převod stupňů na radiány je potom jednoduchý X/(2π)=x/360, kde velké X je úhel v rad (viz. také Tabulka 1146, [33]).

35.403 Vlastnosti úhlu vyjádřeného v radiánech Úhel v radiánech násobený délkou průvodiče c je roven velikosti oblouku kružnice o poloměru c.

A proč tedy používáme i stupně? Pro výpočet oblouku pomocí zadaného úhlu ve stupních je sice nutné tyto úhly převést na radiány, ale jednotky stupně mají výhodu ve velmi jemné stupnici a důležité úhly jako pravý úhel 90°, ostrý úhel 45°, přímý úhel 180° a další frekventované úhly 30° a 60° jsou celá čísla. Proto se s dekadickou stupnicí úhlů pracuje mnohem snáz při konkrétních geometrických představách a používají se pro kótování úhlů ve výrobní dokumentaci nějaké součástky, v plánech domů a jiných technických dokumentacích. Radiány ale mají výhodu při širších výpočtech, kdy trigonometrický výpočet je součástí rozsáhlejšího výpočtu a úhly jsou vstupem i do jiných výpočtů (velikosti oblouku, úhlové rychlosti apod.).

Konečná matematika

V konečná matematika se používá pro opakující se cykly například pro měřní času v rámci jedno dne jednoho roku apod. Důležitou roli hraje také u goniometrických funkcí a kvantové mechanice. Takže konečnou matematiku drtivá většina z nás používá každý den. Princip tohoto druhu matematiky spočívá v tom, že je omezená maximální hodnotou čísla. Při měření času v rámci dne je to číslo 12 (nebo 24 při 24hodinovém formátu), v rámci hodiny 60 (minut) apod. V goniometrii je maximální úhel roven 2π nebo 360° atd. Konečná matematiky zpravidla obsahuje i nulu, která se kryje s maximální hodnotou, protože stupnice (osa) čísel konečné matematiky je uzavřená a nejčastěji se znázorňuje jako kruhová (Obrázek 36).

36.1182 Příklady stupnic konečné matematiky (a) dvanáctistupňová stupnice používaná u k určení času (hodinový ciferník); (b) 2π stupnice používaná v goniometrii a stanovení úhlů.

V konečné matematice se používají matematické operace stejným způsobem jako při operacích s časem ve dvanáctihodinovém cyklu. Například součet 8h+10h=6h. Tímto způsobem fungují goniometrické funkce, a proto úhel 390° dá hodnotu goniometrické funkce stejnou jako pro 30° apod například π+10π=π atd.

Analytická geometrie v prostoru

V kapitole Funkce je popsáno zobrazení funkcí dvou proměnných v pravoúhlé soustavě souřadnic x-y. Podobným způsobem lze zobrazovat funkce tří proměnných rozšířením soustavy souřadnic o třetí osu kolmou na dvě předchozí obvykle označovanou z (Obrázek 37).

V prostorové (nebo také tříosé či 3D) soustavě souřadnic lze zobrazovat jakékoliv prostorové objekty jako koule, krychle, roviny a pod. Další často se vyskytující funkce zobrazené v prostorové soustavě souřadnic jsou uvedeny v [1, s. 191].

Znázorňovat funkce lze i v jiných soustavách souřadnic než je pravoúhlá [3, s. 14] pokud je to výhodnější. Nejčastěji se lze setkat v technice s válcovou soustavou souřadnic a méně se sférickou (kulovou, polární) soustavou souřadnic [1, s. 192].

Válcová soustava souřadnic se používá při vyšetřování pohybu kolem osy. Poloze bodu P₁ o souřadnicích [x₁, y₁, z₁] v pravoúhlé soustavě souřadnic x, y, z odpovídá poloha ve válcovém soustavě souřadnic r₁, u₁, a₁. Obvodová vzdálenost leží smluvně v rovině xy a axiální směr je totožný se směrem osy z. Protože, obvodová vzdálenost je funkcí průvodiče a úhlu ν lze tuto polohu vyjádřit také souřadnicemi r₁, ν₁, a₁ jak ukazuje Obrázek 38.

38.419 Válcová soustava souřadnic-transformace z pravoúhlé soustavy souřadnic Ve válcové soustavě souřadnic je poloha bodu vyjádřitelná vzdáleností, respektive délkou oblouku u [m] (obvodovou) od počátku úhlového souřadného systému ν [rad] (0 až 2π), a vzdálenosti ve směru osy kolem niž se bod pohybuje od počátku souřadného systému označována a [m] (axiální) a vzdáleností kolmé k ose r [m] (radiální). Počátek pootočení ν [rad] je vhodné ztotožnit od nějaké osy (zde s osou z), obvodová vzdálenost se vypočítá z nejkratší vzdálenost bodu od osy tedy r (také se označuje jako průvodič) u=r·ν.

Válcová soustava souřadnic se používá v lopatkových strojích, při sestavování rovnic pro osově symetrické proudění viz kapitola 19. Obecné rovnice a předpoklady řešení prostorového proudění ve stupni lopatkového stroje. Každý bod v objemu pracovní tekutiny v lopatkové části lopatkového stroje má polohu popsanou třemi souřadnicemi, takže vektor rychlosti (šipka ukazující směr a velikost proudění ve vyšetřovaném bodě) pracovní tekutiny proudící kolem lopatek může mít tři průměty a to do axiálního, obvodového a radiálního směru. Při výpočtu rychlosti tekutiny se počítají pro vyšetřovaný bod právě tyto tři složky rychlosti (Obrázek 39).

39.861 Válcové souřadnice aplikované na lopatkový stroj ω [rad·s-1] úhlová rychlost rotoru; c [m·s-1] výsledná rychlost tekutiny ve vyšetřovaném bodě.

Parciální derivace

V technice a fyzice se často vyskytují veličiny, které jsou funkcí více nezávislých proměnných a právě takových funkcí se týká parciální neboli částečná derivace. Například pro u=f(x, y) je veličina u funkcí dvou veličin tj. polohy v rovině xy. Takový typ rovnice je možné derivovat podle proměnné x i y, přičemž, když se derivuje podle jedné proměnné, tak druhá je považována za konstantu [1, s. 395]. Výsledkem parciální derivace takové funkce je soustava dvou rovnic (Obrázek 40). Taková soustava rovnic se využívá například při hledání gradientu nebo přírůstku funkce známé jako totální diferenciál – oba tyto matematické pojmy mají své vlastní kapitoly uvedené v další části článku. Obecně platí, jestliže funkce obsahuje n nezávisle proměnných, potom výsledkem parciální derivace takové funkce bude soustava s n rovnicemi.

40.269 Parciální derivace funkce u=f(x, y) (a) označení parciální derivace písmenem d (dolní index označuje, která proměnná je při derivaci konstantní) [8, s. 189]; (b) pro přehlednost se upouští od indexů a pro označení parciální derivace se používá místo písmene d znak ∂.

Pro parciální derivace platí úplně stejná pravidla derivovaní jako pro funkce jedná proměnné, a parciální derivace má i stejnou interpretaci (jedná se o směrnici tečny k průběhu funkce ve směru osy proměnné podle, které se derivuje). To znamená, že uvedené dvě parciální derivace v určitém bodě soustavy souřadnic u-x-y představují dvě tečny k této ploše vytvořenou funkcí f. Tyto tečny jsou na sebe kolmé. Tečna, která je výsledkem parciální derivace podle proměnné x leží v rovině kolmé na osu y, a tečna která je výsledkem parciální derivace podle proměnné y leží v rovině kolmé na osu x.

Vlastnosti a postup při parciální derivaci lze dobře předvést na příkladu jednoho z nejznámějších vztahů v termodynamice, což je rovnice pro hmotnostního průtoku ideálního plynu tryskou při podzvukových rychlostech. Tato rovnice obsahuje dvě proměnné (Obrázek 41) a to tlak před tryskou a za tryskou, proto výsledkem parciální derivace budou dvě rovnice. Jedna rovnice bude udávat jak se bude měnit průtok tryskou, když se bude měnit tlak před tryskou a druhá jak se bude měnit průtok, když se bude měnit tlak za tryskou:

Parciální derivace v jiné soustavě souřadnic už může být trochu složitější, protože diferenciály musíme transformovat. Například pro válcovou soustavu souřadnic se parciální derivace provádí podle proměnných r, u a a a protože diferenciál v obvodovém směru lze vyjádřit jako součin délky průvodiče a diferenciálu úhlu ν tj. du=r·dν je ve jmenovateli derivace podle úhlu ν součin r·dν (Vzorec 42).

42.679 Parciální derivace pro jednotlivé proměnné funkce k=f(r, u, a) ve válcové soustavě souřadnic

Kdybychom chtěli znát jak se změní průtok tryskou z Úlohy 3, když se změní průtok, jestliže se změní oba tlaky před i za tryskou o diferenciály dp_ci, dp_e, pak stačí tyto diferenciály sečíst a výsledek bude změna průtoku plynu tryskou dm. Právě tento výsledný diferenciál se nazývá totálním diferenciálem nebo také přírůstek funkce dvou a více proměnných. Obecně lze říci, že totální diferenciál funkce u=f(x, y) dvou proměnných x, y bude du. Totální diferenciál du představuje přírůstek funkce ve vyšetřovaném bodě (ve kterém jsou známy parciální derivace) třírozměrné soustavě souřadic u-x-y, jestliže se změní velikost proměnných o diferenciály dx, dy, což je graficky znázorněno na Obrázku 43.

43.263 Totální diferenciál funkce u=f(x, y) V tomto případě se jedná o funkci jejíž přírůstek ve směru x je klesající duy<0 a ve směru y rostoucí dux>0. Totální diferenciál neboli přírůstek funkce v okolí vyšetřovaného bodu je tedy součtem přírůstků v jednotlivých směrech (parciálních přírůstků) du=duy+dux.

Rovnici pro totální diferenciál lze dále upravit na tvar du=du_y/dx·dx+du_x/dy·dy=∂u/∂x·dx+∂u/∂y·dy. Takový součet platí i pro funkce s více jak dvěma proměnnými [1, s. 396], viz obecný Vzorec 44 pro totální diferenciál.

44.377 Totální diferenciál funkce j-proměnných j počet proměnných; n proměnná.

Vektory a tenzory

V této kapitole se zaměřím zejména na užití vektorů a tenzorů v mechanice kontinua pro popis spojitých vlastností a stavu látky či energie ve vyšetřovaném prostoru a čase⁽²²⁾. Jakákoliv sledovaná veličina (tlak, teplota, rychlost, hustota, vnitřní energie apod.) se může spojitě měnit ve vyšetřovaném objemu podle souřadnice i v čase. Například rychlost proudění ve vyšetřovaném objemu se může měnit podle toho jaké síly působí na proudící tekutinu, a pokud se budou taty síly v čase měnit lze očekávat, že se bude měnit i rychlost tekutiny – bude zrychlovat nebo zpomalovat.

Rovnice k popisu rychlosti ve vyšetřovaném objemu musí tedy obsahovat tři rovnice (pro každý směr jednu) a v případě, že se bude jednat o nestacionární proudění budou rovnice funkcí i času [5, s. 294]. Navíc tvary rovnic budou ovlivněny i polohou a orientací soustavy souřadnic. Naštěstí zápis těchto rovnic a operace s nimi usnadňují pravidla vektorové algebry (například zápis vektoru, vektorový součet, součin apod), jejich soupis lze nalézt v [4], [1, s. 219], [8, s. 342]. Vektorovou algebru zavedl Němec Hermann Grassmann (1809-1877) povoláním učitel [10, s. 180], [21, s. 66]. Hlavní výhody vektorového zápisu/počtu názorně vyjadřuje následující citace:

Jeho největší výhody záleží v tom, že jednak pomocí zvláštní symboliky umožňuje velmi jednoduchý zápis vztahů, které by se jinak vyjadřovaly těžkopádnými a nepřehlednými vzorci, jednak dává možnost vyjádřit různé zákony ve tvaru nezávislém na zvolené soustavě souřadnic. František Kejla [1, s. 219]

První operací s vektory, o které se zde zmíním je divergence vektoru. Jedná se o součet derivací jednotlivých složek vektoru a^→(a_x, a_y, a_z) výsledkem je tedy číslo neboli skalár [1, s. 228]. Matematický zápis takové operace je uveden na Obrázku 46.

Divergence vektoru se používá pro bilance objemu tekutiny v okolí vyšetřovaného bodu. Například je-li a^→ vektor průtoku tekutiny stacionárního proudění je součet derivací průtoku v jednotlivých směrech roven nule div a^→=0. To znamená, že sníží-li se průtok v jednom nebo dvou směrech musí se v dalším směru/směrech zvýšit, aby byl celkový průtok kolem vyšetřovaného bodu zachován [1, s. 228]. Proto lze divergenci vektoru použít pro zápis rovnice kontinuity, která je uvedena pod označením Rovnice 47. Divergenci lze ale také použít pro energetické toky apod.

47.680 Zápis rovnice kontinuity stacionárního průtoku tekutiny m→ [kg·s-1] hmotnostní průtok tekutiny; ρ [kg·m-3] hustota tekutiny, c [m·s-1] rychlost tekutiny.

Předchozí případ užití divergence pro zápis rovnice kontinuity předpokládá, že průtok je stacionární ve vyšetřovaném bodě. V případě nestacionárního průtoku může dojít u stlačitelného proudění k tomu, že v čase se bude ve vyšetřovaném bodě měnit hustota pracovní látky (například při šíření zvukové vlny), takže v jistém krátkém časovém úseku může k danému bodu více tekutiny přitékat než odtékat (hustota se zvyšuje) a obráceně [37, s. 32], a divergence průtoku by nebyla rovna nule, proto je nutné k divergenci přičíst ještě změnu hustoty v čase, respektive derivace hustoty podle času (Rovnice 48).

48.982 Zápis rovnice kontinuity nestacionárního průtoku tekutiny t [s] čas.

Stejným způsobem lze sestavit rovnici zachování například pro tok nabitých částic, proud energie apod.

Některé vektory můžeme nazvat gradientem skalárního pole. Sklarní pole si můžete představit jako vyšetřovaný objem, například objem vody v rybníku, ve kterém je v každém jeho místě možno stanovit výpočtem hodnotu námi požadované veličiny, například teplotu vody, pak gradient teploty vody je vektor, který směřuje z vyšetřovaného bodu směrem k vyšší teplotě – ukazuje směr v jakém nejrychleji roste teplota vody – velikost vektoru udává o kolik se zvýší teplota vody při pohybu daným směrem o vzdálenost 1 m.

V mechanice kontinua je tedy gradient vektor změny sledované veličiny popsané nějakou spojitou funkcí ve vyšetřovaném objemu. Touto veličinou může být nejen teplota, ale i rychlost, hustota, pevnost, tlak, energie či další stavové veličiny. Takže podle této definice bude směr gradientu potenciální energie vody v nějaké nádobě proti směru gravitačního zrychlení (ve směru kolmém na hladinu bude ode dna potenciální energie vody růst), viz také Obrázek 49. Jestliže navrhneme systém souřadnic takový, že osa y směřuje proti směru gravitačního zrychlení (kolmo na hladinu) bude i gradient potenciální energie vody v nádobě ve směru y. Potenciální energie v homogenním gravitačním poli se vypočítá jako součin gravitačního zrychlení a vzdálenosti od počátku navrženého souřadného systému (dno nádoby) e=g·y. Velikost změny potenciální energie ve směru osy y je rovno derivaci rovnice potenciální energie podle osy y, což je de/dy=g. Označíme-li potenciální energii vody písmenem e, pak gradient potenciální energie vody v nádobě bude gradient s jednou nenulovou souřadnicí, což se zapíše jako grad e (0, g, 0).

49.918 Gradient potenciální energie v nádobě s vodou grad e [J·kg-1·m-1] gradient potenciální energie (směr růstu potenciální energie ve vyšetřovaném bodě a jeho velikost v závislosti na souřadnici); g [m·s-2] gravitační zrychlení. V tomto případě se potenciální energie vody zvyšuje proti směru gravitačního zrychlení tedy. Vyšetřovaná oblast Ω je celý objem vody v nádobě.

Je možné vytvořit gradient jakékoliv veličiny, která je funkcí prostorových souřadnic, tedy obecně se musí jednat o funkci u=f(x, y, z) dána funkcí v oblasti Ω tzv. skalární pole [37, s. 12] (tzn. v každém bodě oblasti Ω má veličina u danou hodnotu – skalár, číslo), pomocí Vzorce 50 pro gradient. Plochy, na kterých je u=konst. jsou tzv. hladiny skalárního pole [1, s. 226].

V oblasti, ve které nelze definovat funkci u nelze stanovit ani gradient. Gradient funkce je vektor (jeho složky jsou z pohledu souřadnic konstanty, druhou derivací jeho složek podle souřadnic získáme nulu (s časem může být gradient proměnný, potom mluvíme o nestacionárním či neustáleném stavu kontinua ve vyšetřovaném bodě), proto gradient skalárního pole v bodě x₀, y₀, z₀ je kolmý k hladině procházející tímto bodem.

Všimněte si, že gradient lze, tak jak ho chápeme v technice, vytvořit pro funkce, které se mění pouze se souřadnicí, tudíž jednotlivé složky gradientu jsou současně i parciální derivace této funkce. Pokud bychom chtěli stanovit přírůstek nějaké funkce, pak stačí jednotlivé složky gradientu vynásobit diferenciály vzdáleností (pro složku ve směru x diferenciálem dx atd.). Obecně se taková operace zapíše Rovnicí 51. Této vlastnosti se využívá při odvozování rovnic v mechanice kontinua – pro stanovení hodnoty veličiny u v blízkém bodě stačí přičíst přírůstek u+du⁽²³⁾.

51.677 Přírůstek funkce jako skalární součin gradientu a jednotkového vektoru směru Diferenciál ds→ se nazývá jednotkový vektor směru.

Zkoumejme dále vlastnosti funkcí závisejících pouze na souřadnicích, takové funkce se mimo jiné nazývají potenciální, což znamená, že hodnoty v funkce ve směrech jednotlivých os budou záviset pouze na hodnotě souřadnice (ve směru osy x na hodnotě x, ve směru osy y na hodnotě y atd). Řekněme, že máme potenciální funkci, která určuje teplotu vody v rybníce. Představíme-li si nějakou křivku v tomto rybníce a na této křivce vyznačíme bod (říkejme mu počáteční) a od tohoto bodu provedeme integraci přírůstku teploty kolem celé křivky, pak musí být výsledkem integrálu nula, protože o tu samou hodnotu jakou se veličina zvýšila ve směru jednotlivých os se musela zase snížit při postupu integrace zase zpět⁽²⁴⁾. Víme, že přírůstek je vektorový součin dvou vektorů a to gradientu teploty a jednotkového vektoru směru (Rovnice 51). Obecně se integrace součinu vektoru a jednotkového vektoru směru po uzavřené křivce nazývá cirkulace vektoru [31] (Vzorec 52).

52.390 Cirkulace vektoru na křivce K (a) obecná definice (jestliže a→=grad u pak výsledkem je rozdíl veličiny u mezi koncem a začátkem křivky K); (b) cirkulace vektoru a→ po uzavřené křivce K v potenciálním poli.

Zkusme teď obrátit situace, ve které máme vymezenou nějakou oblast, ve které je vektorové pole (definovaný vektor pro každý bod), jestliže provedeme cirkulaci tohoto vektoru a ta je rovna nule, tak může tvrdit, že tento vektor je vlastně gradientem nějaké funkce. Říkáme, že toto vektorové pole je potenciální (konzervativní) vektorové pole. Jestliže by se cirkulace nerovnala nule neznamená to hned, že jsme narazily na nepotenciální oblast. Stačí totiž aby oblast obsahoval jediný bod (nebo oblast, například ryba v rybníce), kde nemá funkce řešení a ten bod je naneštěstí z nějakého pohledu uvnitř křivky a cirkulace vyjde rázem různá od nuly. Pokud ale tvar křivky, po které integrujeme upravíme tak, aby tuto nedefinovanou oblast obcházela, tak cirkulace opět vyjde nula (viz příklady níže). To se využívá v technice velmi často k identifikace vlastností objektů pohybujících se v potenciálním poli (jako třeba letící projektil, profil apod.) pomocí cirkulace vektoru kolem tohoto tělesa.

Vektory v nekonzervativním (nepotenciálním) vektorovém poli lze řešit pomocí statistiky, podobnosti atd.

Vraťme se k výstavbě funkce na základě znalostí vektorového potenciálního pole. Je-li znám vektor v potenciálním vektorovém poli lze pomocí definice gradientu získat i tvar funkce, ze které tento vektor vznikl, taková funkce se nazývá potenciál. Například, pokud gradientem potenciálu je rychlost vyšetřovaného proudu částic, pak mluvíme o potenciálu rychlosti apod. a toto proudění nazýváme potenciálním prouděním [2, s. 207].

Vektor rychlosti c^→(c_x, c_y, c_z) ustáleného potenciálního proudění v oblasti Ω lze podle definice potenciálního pole vyjádřit ve tvaru c^→= grad Φ, kde funkce Φ=f(x, y, z), což je hledaný potenciál rychlosti. Přírůstek potenciálu rychlosti pak bude ve tvaru dΦ=c_xdx+c_ydy+c_zdz. Pro výpočet proudového pole lze použít analytické nebo numerické metody výpočtu, případně lze pro přibližný výpočet použít grafickou metodu odhadu tvaru trajektorií rychlosti, jak je popsáno v [2, Obr. 208]. Navíc pro většinu případů postačuje zjednodušení celého úlohy na proudění v rovině [5, s. 388]. Potenciál rychlosti má vlastnosti hladiny skalárního pole popsané výše, to znamená, že křivky s konstantní hodnotou Φ=konst. (dΦ=0) jsou kolmé na vektor rychlosti proudění a tečna k funkci Φ v konkrétním bodě je normála proudnice jak názorně ukazuje Obrázek 54. Na základě tohoto odstavce lze jednoduše dokázat, že vytváří-li nějaké proudění potenciální vektorové pole, pak zrychlení proudu je dáno gradientem kinetické energie – důkaz je proveden v Obrázek 961.

54.171 Příklad proudění v rovině Φ [m2·s-1] potenciál rychlosti; Ψ(x, y) [m2·s-1] proudová funkce (funkce kolmá na potenciál rychlosti, na čáře proudnice je její hodnota konstantní); n normála proudnice. Odvození těchto rovnic je uvedeno v Příloze 171.

55.961 Výpočet zrychlení potenciálního proudění a [m·s-2] zrychlení; c [m·s-1] rychlost tekutiny. Zrychlení je tedy gradientem měrné kinetické energie. Rovnice je odvozena v Příloze 961.

Model potenciálního proudění se uplatňuje v hydrodynamice při popisu proudění ideálních tekutin, kde se ho užívá ve formě rovnic silové a energetické rovnováhy. Z rovnice silové rovnováhy (zde uvedeném případě máme na mysli Eulerovu rovnici hydrodynamiky pro ideální kapalinu – Rovnice 56) je očividné, že při zanedbání vlivu vnějšího zrychlení může tekutina zrychlovat jen tehdy pokud se mění tlak:

56.1044 Eulerova rovnice hydrodynamiky ustáleného potenciálního proudění ρ [kg·m-3] hustota tekutiny ve vyšetřovaném bodě; R→ [m·s-2] výslednice vnějších zrychlení. Rovnice je odvozena v Příloze 1044.

Nyní se zaměřme na Rovnici 57⁽²⁵⁾ energetické rovnováhy proudící ideální tekutiny, která jednoduše vychází ze zákona zachování energie. To znamená, že klesá-li v nějakém směru gradient jednoho druhu energie, tak v tom samém bodě a směru musí gradient jiné energie růst apod.

Tvar Rovnice 57 energetické rovnováhy tekutiny je dost nepraktický pro popis proudění, které koná práci. Práce je totiž tekutinou sdílena prostřednictvím nějakého pohybujícího se tělesa (například pístu u pístových strojů nebo lopatek u lopatkových strojů apod.), na které tekutina působí silou a právě síla krát dráha tělesa je vykonaná práce. Toto těleso narušuje podmínku potenciálního proudění tím, že v jeho objemu nelze definovat funkci, která potenciální proudění popisuje. To lze obejít tak, že se vztažná soustava souřadnic bude pohybovat společně s tělesem, a tím se toto těleso bude chovat jako nehybné, zároveň vzhledem k této soustavě nebude konat práci – mluvíme o vyšetřování relativního proudu. Nevýhoda je, že v relativním proudu se objeví setrvačné odstředivé a Coriolissovo zrychlení. Tato zrychlení ovlivňují potenciální energii a práci těchto zrychlení je nutné přičíst k práci vnějšího zrychlení, což je provedeno v Rovnici 58.

58.1144 Energetická bilance relativního proudu potenciálního proudění w [m·s-1] relativní rychlost; Rr [m·s-2] odstředivé zrychlení; Rc [m·s-2] Coriolisovo zrychlení.

Ovšem nutno dodat, že ne každé proudění lze považovat za potenciální. Abychom byly schopni o nějakém proudění rozhodnout zda je, či není potenciální musíme už něco vědět o tenzorech. Navíc složitější případy potenciálního proudění lze vyřešit pomocí výše uvedených rovnic také pouze se znalostí tenzorů.

Při řešení některých úloh v mechanice kontinua již nevystačíme pouze s vektorem a jeho třemi složkami. V případě potenciálních funkcí již víme, že přírůstek funkce v jednom směru není závislý na přírůstcích ve dvou zbývajících směrech tj. potenciální funkce u(x, y, z) může mít v jednom bodě přírůstky ve třech směrech du_x, du_y, du_z (index označuje směr osy). Ale existují funkce jejiž přírůstky v jednom směru nemá jednu složku ale hned tři du_xx, du_yx, du_zx, du_yx, du_yy, du_yz, du_zx, du_zy, du_zz (první index označuje směr derivace, druhý směr přírůstku). To znamená, že přírůstek v každém směru je ještě závislý na zbývajícíh dvou souřadnicích jak je ukázáno na Obrázku 59 – právě jsme získaly tzv. tenzor, který má devět složek (lze stanovit i jiné směry viz tenzorový počet [1], [5], [38]).

Podobně nemusí stačit tři souřadnice při popisu všech možných složek nějakých prostorových veličin v mechanice kontinua, jako je například napětí v tělesech a tekutinách. V takovém případě záleží nejen na směru působení ale i na ploše, na které napětí vzniká. V tělesech rozeznáváme tzv. normálová napětí, které mohou mít tři směry ve směrech x, y, z, také se nazývají tah a tlak (tah obvykle označujeme kladnými čísly tlak zápornými). Mimo normálových může v tělesech vznikat ještě napětí tečné, mezi které patří smyk a krut. Smyk i krut mohou mít také po třech směrech, takže napětí je tenzor o devíti souřadnicích viz Obrázek 60. Popisy dalších tenzorů používaných v technice jako například tenzory momentu setrvačnosti nebo deformace jsou uvedeny v [42, s. 24] nebo v [39, s. 184].

Vyšetřování kontinua je celkem snadné, pokud jsou přírůstky veličin v paralelních směrech nulové (tzn. nenulové by mohly být pouze přírůstky xx, yy, zz ostatní tj. xy, xz, yx, yz, zx, zy nulové). Takové veličiny mají vlastnosti potenciálních veličin, které jsme si popsali výše. Jestliže jsou přírůstky veličin v paralelních směrech nenulové, pak to znamená, že se kolem vyšetřovaného bodu kontinuum deformuje, vzniká v něm již výše zmíněné tečné napětí nebo, v případě tekutin, může dokonce rotovat kolem vyšetřovaného bodu – mluvíme o vírovém pohybu tekutiny.

Rotace tekutiny může nastat, jestliže přírůstky složek rychlosti mimo normálové směry jsou nenulové. Z jejich velikosti lze vypočítat i úhlovou rychlost otáčení tekutiny. Úhlovou rychlost otáčení elementu tekutiny kolem vyšetřovaného bodu P lze stanovit velmi snadno, podívejme se na Obrázek 61, kde je zobrazen element tekutiny zjišťujeme zda se bude otáčet kolem bodu P⁽²⁶⁾, který se nachází v jeho pravém dolní rohu (uvažujeme pro jednoduchost rotaci kolem osy z). Obecně se úhlová rychlost rotace stanoví jako podíl obvodové rychlosti ku ramenu (vzdálenost od osy rotace zapsáno ve tvaru ω=u·r^-1, kde ω [rad·s^-1] je úhlová rychlost; u [m·s^-1] je obvodová rychlost – viz také Vzorec 10; r [m] je rameno). V případě vyšetřování rotace v nejbližším okolí bodu P, kde je rychlost tekutiny c^→(c_x, c_y, c_z), musí obvodová rychlost odpovídat přírůstku rychlosti na ramenu rovnu diferenciálu vzdálenosti od bodu P.

61.1031 Rotace kolem osy rovnoběžné s osou z (a) úhlová rychlost rotace elementárního objemu podle přírůstku složky rychlosti cx ve směru osy y; (b) úhlová rychlost rotace elementárního objemu podle přírůstku složky rychlosti cy ve směru osy x; (c) přírůstky od jednotlivých složek(29) rychlosti i velikost ramen se mohou měnit a tedy i úhlové rychlosti (v tomto případě působí dokonce proti sobě), proto výsledná úhlová rychlost se bere jako jejich průměr. Viz také postup v [2], [4], [40, s. 1-3]. Přírůstky dcxx, respektive dcyy a dczz nemohou být obvodovými rychlostmi, protože jejich směr prochází bodem P, nemají k tomuto bodu rameno.

Vyšetřovaní rotace nejen kontinua, ale třeba i energetických polí je natolik používaná operace, že pro tento účel vznikl obecný vzorec zvaný rotace vektoru odvozený a uvedený pod označení Vzorec 62. Vektorové pole (v našem případě nejčastěji rychlosti) s nenulovou rotací se nazývá vírové vektorové pole [4, s. 202].

Dosazením definice gradientu funkce do rovnice rotace vektoru lze velmi snadno odvodit, že rotace potenciálního vektorového pole je nulová (Rovnice 63). Znamená to, že při potenciálním proudění jednotlivé elemnetární objemy tekutiny nerotují, pouze konají posuvný pohyb, říkáme mu nevírový nebo též translační pohyb, naopak jiný druh proudění, kdy se elementární objemy při pohybu nátačí nebo přímo otáčí se nazývá vírový pohyb. Oba pohybu jsou názorně porovnány na Obrázku 64.

63.681 Rotace potenciálního vektorového pole Odvození této rovnosti je uvedeno v Příloze 681.

64.920 Typy pohybu látky podle rotoru rychlosti (a) charakter nevírového proudění, respektive potenciálního proudění (částečky proudící látky konají pouze posuvný pohyb v celém vyšetřovaném objemu); (b) charakter vírového pohybu (částečky pohybující se látky se otáčí kolem vyšetřovaného bodu B a zároveň mohou konat i posuvný pohyb).

Definice nevírového proudění usnadňuje řešení především energetických a silových bilancí proudění. Rotace látky ve vyšetřovaném bodě totiž může spotřebovávat či produkovat energii, která ovlivňuje i posuvný pohyb, proto jsou-li tyto vlivy malé lze s dostatečnou přesností aplikovat rovnice nevírového proudění i na proudění, které očividně nevírové není například případy rot a^→=konst., rot a^→≈0.

V technické praxi se lze velice často setkat s pohybem látky po kružnici nebo trajektoriím blízkým kružnicím. Typickým příkladem je osově symetrické proudění či rotace disku setrvačníku. Zatím co lze dokázat, že rychlostní pole hmoty setrvačníku vytváří vírové pole (ano je skutečně tomu tak a jakýkoliv vybraný elementární objem setrvačníku rotuje úhlovou rychlostí odpovídající úhlové rychlosti setrvačníku), potenciální proudění po kruhové dráze nevírové být může – takový útvar se nazývá potenciální vír a je velmi blízký vírům, které v přírodě vznikají ať už na vodě nebo ve vzduchu jako tornádo (Obrázk 65). Pro potenciální víry je typická velmi vysoká rychlost proudění blízko středu víru.

Pár odstavců výše jsme si napsaly, že cirkulace rychlosti po uzavřené křivce v potenciálním vektorovém poli je nulová. Zamysleme se nad výsledkem cirkulace rychlosti po kružnici jejíž střed bude totožný se středem potenciálního víru. Na této kružnici je rychlost proudění všude stejná, protože se pohybujeme ve stejné vzdálenosti od středu, takže i cirkulace rychlosti bude různá od nuly – to je proto, že uvnitř této křivky se nachází střed, kde nelze vektor rychlosti definovat a tudíž nesplňuje požadavek, že pro stanovení gradientu musí být funkce rychlosti definována v každém bodě oblasti Ω [2, s. 220].

Aby nějaký objem hmoty začal rotovat je k tomu potřeba dvojice sil. Dvojice sil, které uvádí v malém okolí bodu hmotu do rotace mohou vznikat u reálných tekutin například v důsledku vnitřního tření způsobeného viskozitou. V technické praxi je proudění vždy vírové, protože viskozita je, až na extrémní výjimky, v každé tekutině. Přesto má smysl, především v případech prostorově složitého proudění, tuto vlastnost v základním výpočtu ignorovat a počítat toto proudění jako potenciální tedy pomocí Vzorců 56, až 58. Jednak tímto přístupem získáme výsledky vhodné pro podrobnější výpočet (například pomocí počítače), a jednak dost často má viskozita na finální výsledek malý vliv.

Potenciální vír mohou vytvořit i jednotlivá tělesa pohybující se po kružnici na různých drahách, takový vír se nazývá kvantový vír. Rozložení energie a tedy ani rychlosti v radiálnímu směru kvantového víru není spojité (plynulé), ale skokové – je kvantováno). Vychází se z toho, že moment hybnosti částice je o násobek celého čísla menší než stejně hmotné částice na vedlejší nižší dráze (Obrázek 66).

66.1153 Kvantový vír m [kg] hmotnost jedné částice; ΔH [m2·s-1] změna momentu hybnosti částic. V tomto případě obsahuje kvantový vír 4 částice.

Kvantový vír se tvoří například v rotujícím kapalném hélium [32] a po objevu skladby atomu se myslelo, že elektrony kolem jádra vytváří v atomu také kvantový vír, to se ale později potvrdilo jen částečně.

Aproximace v logaritmické soustavě souřadnic

Technická praxe samozřejmě zahrnuje i měření. Naměřená data u jednoho zařízení často slouží k predikci parametrů podobného zařízení, takže na základě naměřených dat je potřeba vytvořit nějaký vzorec (empirický vzorec) pomocí něhož by šlo výpočítat sledovanou veličinu i bez měření. Pro aproximaci naměřených dat vhodnou funkcí lze využít logaritmický papír, respektive logaritmického soustavy souřadnic, zvláště pokud očekávaný tvar vzorce je exponenciální. Na logaritmickém papíře jsou i exponenciální křivky přímkami, a proto aproximace bodů z naměřených dat není tak obtížné. Za tímto účelem je v Nomogramech pod číslem 1070 zobrazen logaritmický papír o velikosti 17x17cm. Jestliže proložíme naměřená data v logaritmické soustavě přímkou, tak už není problém pomocí pravidel pro logaritmický počet získat funkci sledované veličiny.

V Tabulce 67 je uvedena tabulka měření tlakové ztráty v potrubí nějaké vytápěcího systému v závislosti na průtoku vody tímto potrubím. Našim cílem je sestavit na základě těchto dat vzorec pro výpočet tlakové ztráty v závislosti na průtoku. V prvním kroku tedy zakreslíme jednotlivé body na logaritmický papír, což je provedeno na Obrázku 68. Tímto jsme získali přímku, respektive konkrétní vzorec přímky, který už není problém převést na funkci Δp=f(V). Výsledek si může ověřit v Příloze 1081.