Tento web obsahuje aplikace Google Adsense a Google analytics, které využívají data ze souborů cookie, více informací. Používání této stránky vyjadřujete souhlas s využitím těchto dat. Využívání dat ze souborů cokies lze zakázat v nastavení Vašeho prohlížeče.

42. TECHNICKÁ MATEMATIKA

Sčítání a odčítaní pod sebou                       _5
Ruční násobení a dělení                           _6
Právitka pro sčítání a odčítání                       _6
Násobení a dělní pomocí logaritmického pravítka a logaritmických převodníků                       _7
Logaritmy čísel 1 až 100 [T.880]                       _9
Postup při učení mocniny čísla pomocí logaritmů [Ú.356] _13
Nomogramy jako pomůcka pro opakované výpočty vzorců                       _13
Sestavení rovnice                               _18
Příklad sestavení rovnic na základě slovní úlohy [Ú.931] _18
Analytická řešení rovnic, některá pravidla pro úpravu rovnic a kanonické tvary rovnic             _19
Numerická řešení rov. a metoda Monte Carlo _22
Řešení rovnice iterací [Ú.1260]                       _23
Gaussova eliminační metoda a maticový zápis soustavy lineárních rovnic                           _23
Vyčíslení hodnot goniometrických funkcí       _27
Tabulka funkce sinus a tangens [T.1145]       _28
Stupně, nebo radiány?                                     _28
Gomiometrické funkce při popisu vlnění       _29
Derivace funkce j-proměnných                       _31
Provedení parciální derivace rovnice průtoku plynu tryskou [Ú.214]                                     _32
Totální diferenciál aneb přírůstek funkce         _33
Totální dif. průtoku plynu tryskou [Ú.205]       _33
Provedení rovnice kontinuity [Ú.387]             _34
Gradient                                                             _35
Gradienty skalárních veličiny a některé jejich vlastnosti _37
Gradient tlaku kapaliny v nádobě [Ú.1085]     _38
Vlastnosti potenciálních vektorových polí       _38
Vlastnosti proudnice potenciálního proudění [Ú.171] _39
Zrychlení potenciálního proudění [Ú.961]       _39
Zrychlení plynu v trubce tepelného výměníku [Ú.1087] _39
Gradient tlaku v trubce tepelného výměníku [Ú.1040] _39
Potenciální vír [Ú.500]                                     _39
Grad. rych. laminárního proudění [Ú.1238]     _41
Divergence vektoru                                     _41
Napětí                                                             _43
Vírový pohyb tekutiny                                     _43
Univerzální počítač                                           _49
Programy matematických strojů                       _51
Příklad sestavení algoritmu výpočtu a programu pro počítač [Ú.1084]                                           _53
171 _56           961 _64           1084 _72
205 _57 963 _65 1085 _73
214 _57 1040 _65 1087 _74
356 _58 1044 _66 1177 _75
387 _59 1068 _68 1238 _76
421 _60 1079 _69 1260 _78
500 _62 1080 _70
681 _63 1081 _71
Článek z on-line pokračujícího zdroje Transformační technologie; ISSN 1804-8293;
www.transformacni-technologie.cz; Copyright©Jiří Škorpík, 2009-2021. All rights reserved. Tato publikace neprošla redakční ani jazykovou úpravou.

Úvod

Co vyjadřuje název technická matematika

Použitím názvu Technická matematika nechci matematiku rozdělovat na technickou a netechnickou, ale pouze chci vyjádřit způsob a hloubku výkladu matematiky jaký je pro techniky běžný. V užším smyslu lze za technickou matematiku považovat frekventované matematické postupy v daném technickém oboru. Jejím hlavním znakem bývá, že úlohy v prostoru mají tři rozměry a při nestacionárních úlohách je čtvrtým rozměrem čas.

Většinou popisuje něco představitelného

Pro technickou matematiku je také typické, že si lze pod rovnicemi něco konkrétního představit a to co si lze představit na to lze odpovědět přímo, bez složitého abstraktního počítání [43]. Platí to i obráceně studium technické matematiky zvyšuje schopnost představovat si i velmi složité procesy a nemusí docházet k tomu, že dnešní inženýři řeší i triviální úlohy pomocí počítače, což může být paradoxně pomalejší a chybovější než problému rozumět, a navíc tím mohou přijít. Matematika je také hlavní prostředek při studiu technických oborů, bez které by nebylo možné vysvětlit přírodní zákonosti, ze kterých technik vychází při návrhu a realizaci svých děl.

Forma výkladu v tomto článku

Článek je psán takovou formou aby ukázal možnosti aplikace matematiky při řešení konkrétních technických problémů, naopak mnohé matematické formulace jsou zde odvozeny na základě potřeby vyřešit nějaký konkrétní fyzikální problém.

Další literatura k článku

Tento článek není o matematice od A po Z a předpokládám, že čtenář má za sebou základní matematický dril z aritmetiky a algebry v rozsahu základní a střední školy. Dále jako učebnice matematiky, které obsahují i úlohy z technické praxe, doporučuji knihy Matematika pro dělníky a mistry [13] a Přehled technické matematiky [8] a pro ucelený přehled matematiky knihu Přehled užité matematiky [1].

Jak lze počítáním objevit nová čísla

Spojení čísel a prostoru

Pouze skrz pochopení toho co jednotlivá čísla vyjadřují, lze správně interpretovat výsledky a pochopit vztah mezi geometrií a algebrou neboli analytickou geometrii, jejíž pochopení je pro technika naprosto klíčové.

Reálná čísla

Přirozená čísla

Základním stavebním kamenem čísel jsou přirozená čísla jako 1, 2, 3, 4..., které mají přímou souvislost s fyzickým světem při označovaní množství (tři jablka, sedm dnů...). Až používáním matematických operacích (sčítání, odčítání, násobení, dělení) s přirozenými čísly byla objevena čísla další, nejprve jako mezivýsledky a později našla uplatnění i jako konečné výsledky.

42. Technická matematika

matematických operacích (sčítání, odčítání, násobení, dělení) s přirozenými čísly byla objevena čísla další, nejprve jako mezivýsledky a později našla uplatnění i jako konečné výsledky.

Záporná čísla jako výsledek počítání
Proč máme pravidla pro počítání se zápornými čísly

Při odčítání předešlých typů čísel byla objevena čísla záporná (nejprve používaná pouze jako mezivýsledky) například 2-4=-2. A proto musela vzniknout pravidla, jak s takovými čísly počítat, například bylo zavedeno, že násobením dvou záporných čísel vyjde číslo kladné, to je jedno z pravidel aritmetiky. Kdyby tomu tak nebylo a pravidlo by znělo například tak, že násobením dvou záporných čísel vyjde číslo záporné, musela by být aritmetická pravidla zvlášť pro kladná a záporná čísla [23, s. 45] – prostě by počítaní také šlo, ale bylo by to složitější.

Iracionální čísla

Na první pohled se zdá, že jakékoliv přirozené číslo lze dělit nekonečným počtem jiných přirozených čísel, a tak by bylo možné vyjádřit jakékoliv desetinné číslo, leč není tomu tak. Lze celkem jednoduše dokázat, že například číslo √2= 2,4142... nelze vyjádřit podílem dvou přirozených čísel (jednoduché důkazy, že toto číslo nelze vyjádřit jako zlomek přirozených čísel jsou uvedeny v knihách Jazyk matematiky a Matematické důkazy [21, s. 31] a [20, s. 113]). Čísla, která nelze takovým podílem vyjádřit se nazývají iracionální čísla.

Racionální čísla

Přímou souvislost s fyzickým světem mají i čísla racionální. Jedná se o čísla vzniklá podílem dvou přirozených čísel (například polovina jablka 1/2=0,5). Výsledkem operace dělení nemusí být, a často ani nebývá, celé číslo, ale číslo desetinné, přičemž před i za desetinou čárkou může být libovolný ale konečný počet čísel.

Reálná čísla
Nula

Představené typy čísel jsou souhrnně nazývána jako čísla reálná, a hranice mezi kladnými a zápornými čísly je nula – při počítání má význam jako nic [41, s. 92], prázdno apod. a není to reálné číslo (proto násobení nulou je nula a dělení nulou je nesmysl [35, s. 39]).Někdy se uvádí při dělení nulou jako výsledek nekonečno (znak ), ale to jen ve speciálních případech, protože obrácená operace dělení je násobení a při násobení nekonečna nulou je výsledek opět nula a ne původní dělenec, více v knize Kabinet matematických kuriozit profesora Stewarta [23, s. 93].

Osa reálných čísel

Reálná čísla a nulu lze znázornit i graficky pomocí osy (Obrázek 1065), kde jsou seřazena čísla vzestupně zleva do prava, přičemž vzdálenosti mezi nimi jsou stejné, podle toho jak rozměrově velkou osu chceme vytvořit.

42_2
42. Technická matematika
1065
Osa reálných čísel
Množství vyznačených stupnic mezi dvěma přirozenými čísly označující dekadická racionální čísla 1/10, 1/100... (zde vyznačena pouze 1/10) je dána pouze rozlišením, tj. vzdáleností přirozených čísel. Iracionální a některá racionální čísla nelze na ose reálných čísel nikdy přesně zakreslit (mohou mít nekonečně mnoho desetinných míst), pouze lze jejich polohu zpřesňovat vyčíslením jejich velikosti na co nejvíce desetinných míst. Šipka na pravé straně označuje směr růstu kladných čísel.

Nevíme co to je – objev komplexních čísel

Neidentifikovatelné číslo, které nemůže ležet na ose reálných čísel
Imaginární jednotka
Komplexní číslo

Postupem času se začaly objevovat ve výsledcích matematický dvojčlen ve tvaru a+-b√(-1). √(-1) není to samé jako √1, protože 12 i -12 je 1. Nula to být nemůže, ta je jen jedna (znamená nic). Současně se jedná o jedno číslo, o kterém nevíme mezi jakými dvěma čísly by se mohlo na reálné ose čísel nacházet. To znamené, že když toto neidentifikovatelné číslo vynásobíme nebo k němu další číslo přičteme, tak stále výsledek nemůže ležet na reálné ose. Takže se jedná o nové číslo, které neleží na ose reálných čísel a pro lepší představivost jsme kvůli němu začali používat zcela nový systém os, abychom je mohli zapisovat, který nazýváme Gaussovou rovinnou, viz níže. Současně byl zaveden Leonhardem Eulerem1. (1707-1783) pojem imaginární jednotka i [21, s. 138], která je krátkým symbolem pro výraz √(-1), takže uvedený matematický dvojčlen by šel zapsat ve tvaru a±i·b a nazýváme ho komplexním číslem. S komplexním číslem se pracuje jako s matematickým dvojčlenem akorát dělení je trochu složitější [1, s. 9] a je potřeba si dát pozor i na součin i·i, který nemůže být roven 1, protože to už je reálné číslo.

Kde všude se komplexní čísla vyskytují

Výsledky ve tvaru komplexních čísel se poprvé začaly objevovat při řešení kvadratických rovnic a později i jako řešení diferenciálních rovnic. Takový výsledek se dá interpretovat více způsoby (pokud se nejedná o mezivýsledek, se kterým se dále pracuje). Vždy záleží na spojitosti s výpočtem, respektive co je vlastně počítáno.

Gaussova rovina

Gaussova rovina je tvořena dvěma vzájemně kolmými osami, proto ji také nazýváme i rovinou komplexních čísel. Na vodorovnou vynášíme hodnoty a, která má stejné vlastnosti jako osa reálných čísel – obsahuje i nulu. Nulou prochází osa čísel b, která má také vlastnosti osy reálných čísel a je kolmá k ose čísel b. Komplexní čísla se v takovém systému zakreslují tak, jak je znázorněno na Obrázku 1002, s. 42_4.

42. Technická matematika
1002
Gausova rovina
Bod P je komplexní číslo 2-i·1,4 znázorněné v Gaussově rovině.

osa reálných čísel – obsahuje i nulu. Nulou prochází osa čísel b, která má také vlastnosti osy reálných čísel a je kolmá k ose čísel b. Komplexní čísla se v takovém systému zakreslují tak, jak je znázorněno na Obrázku 1002.

Další využití vlastností Gaussovy roviny

Při práci v rovině se v odborné literatuře velmi často používá algebra komplexních čísel (kde osa x je osou parametrů b a osa y osou parametrů a komplexního čísla), která defacto popisuje operace v rovině – zdůrazňuji, že se využívá pouze algebra, takže ve skutečnosti se nejdná o práci s komplexními čísly, ale čísly reálnými. Komplexní číslo většinou není v technické praxi přijatelný výsledek a musí se umět správně interpretovat co by to mohlo znamenat pro postup výpočtu nebo popisovaný děj.

Jiná nereálná čísla

Mimo zmíněná čísla existují ještě čísla nazývaná kvaterniony a oktoniony [9], ale ty se v běžné technické praxi už nevyskytují.

Zaokrouhlování

Dvě základní pravidla pro matematické zaokrouhlování

Mezi základní problémy rychlých a přibližných výpočtů patří zaokrouhlování. V současné době díky počítačům není problém pracovat s čísly, které mají velký počet desetinných míst. Taková čísla jsou matematicky sice velmi přesná, ale v běžných technickych případech těžko využitelná, zvláště pro přibližné a rychlé výpočty je lepší taková čísla zaokrouhlovat (zkracovaní čísla). Tři základní matematická pravidla zaokrouhlování, která jistě znáte, se dají shrnout do těchto tří příkladů: 4,335≐4,34≐4,3, ale pokud se jedná o desetinné číslo končící číslicí 5 s následujícími nulami zaokrouhluje se obvykle na nejbližší sudé číslo: 4,38500≐4,38, 4,37500≐4,38 [8, s. 32]. Tzn. poslední dvojciferné číslo končící číslem 4 a menším se zaokrohluje směrem dolů, poslední dvojciferné číslo končící číslem 6 a vyšším se zaokrohluje směrem nahoru.

42_4
42. Technická matematika

se zaokrohluje směrem dolů, poslední dvojciferné číslo končící číslem 6 a vyšším se zaokrohluje směrem nahoru.

Dvouciferné zaokrouhlování

Pro rychlé přibližné výpočty se čísla zaokrouhlují obvykle pouze na dvouciferné desetinné místo například: 4335≐4,3·103, 0,004335≐4,3·10-3.

Pravidla pro technické zaokrouhlování

Zaokrouhlováním se dopouštíme jisté chyby. O teorii chyb bylo napsáno spousta knih, ale pro přibližné výpočty v technické praxi lze doporučit jedno "lidové" pravidlo a to zaokrouhlovat na stranu bezpečnou. To znamená, že počítáme-li přibližně nosnost nějaké konstrukce tak zaokrouhlujeme čísla dolů. Konečný výsledek sice bude nepřesný, ale s vědomím, že skutečná nosnost bude vyšší a ne nižší. Naopak budeme-li počítat velikost zatěžující síly, tak zaokrouhlováním vždy nahoru bude výsledek nepřesný, ale s vědomím, že skutečná zatěžující síla bude menší apod.

Rychlé a přibližné výpočty pomocí jednoduchých technik a pomůcek

Nástroj pro základní výpočty, kontrolu výsledků, práci v terénu, ověření realizovatelnosti

Rychlé přibližné výpočty se dělají obvykle bez elektroniky. Například pomocí počítání z paměti, pomocí tužky a papíru nebo pomocí předem připravených jiných výpočetních pomůcek. Především kontrolní výpočty je dobré provádět jiným nástrojem než byl proveden kontrolovaný výpočet, kvůli tzv. "autorské slepotě" a opakovaným překlepům s tím, že postačuje zkontrolovat, jestli se přibližný výsledek blíží přesnému výpočtu. Rychlé výpočty technici ocení také při práci v terénu pro získání rychlé orientace v problému. Občas už i přibližný výpočet umožňuje realizaci konkrétního díla a dostatečnou predikci jeho vlastností. Ostatně přibližné řádově přesné výpočty jako nástroj k pochopení děje prosazoval v USA už Enrico Fermi [25, s. 183]. To se potvrdilo i při vývoji atomových bomb, kdy někteří vědci byly schopni dělat velmi přesné předpovědi výsledků numerických výpočtů, které trvaly i několik měsíců, ale přitom bylo potřeba učinit závažné rozhodnutí hned [44, s. 230].

Efektivní nástroj ve stresových situací

Rychlé výpočty pomocí primitivních technik jsou často jediným úkonem, kterého je člověk schopen při stresových situací, například při haváriích technologických celků, při ohrožení života apod.

Sčítání a odčítaní pod sebou

Postupně podle řádů

Pokud chceme počítat bez kalkulačky či počítače s většími čísly, pak obvykle přistupujeme k počítání "pod sebou" pomocí tužky a papíru . Tzv. sčítání, odčítání pod sebou souvisí se zavedením pozičního systému zápisu arabských čísel [9], [10], který se do západní Evropy dostal pomocí spisů perského učence Muhamad ibn Músa al-Chwárizmí (780-850) [9], [10]. V takovém případě stačí napsat čísla pod sebe a jednotlivé řády k sobě přičítat, respektive odčítat. Připomenutí takového postupu je na Obrázku 921.

42. Technická matematika

a papíru . Tzv. sčítání, odčítání pod sebou souvisí se zavedením pozičního systému zápisu arabských čísel [9], [10], který se do západní Evropy dostal pomocí spisů perského učence Muhamad ibn Músa al-Chwárizmí (780-850) [9], [10]. V takovém případě stačí napsat čísla pod sebe a jednotlivé řády k sobě přičítat, respektive odčítat. Připomenutí takového postupu je na Obrázku 921.

921
Sčítaní a odčítání dvou čísel pod sebou
Při odčítání většího čísla od menšího je praktičtější jejich pozice přehodit a rozdíl doplnit znaménkem -.

Ruční násobení a dělení

Princip násobení a dělení dvou čísel metodou – zapisování pod sebe

Operace násobení a dělení jsou obtížnější, co se týká výpočtů z hlavy. Podobně jako pro sčítání a odčítání tak i pro násobení a dělení lze provádět metodou "počítáním pod sebe". Při násobení se násobená čísla napíši pod sebe podle řádů jako u sčítání a postupně se vzájemně násobí jednotlivé řády činitelů, tyto násobky se na konci sečtou. Při dělení se hledají násobky dělitele, který se postupně odečítá od dělence. Připomenutí takového postupu je na Obrázku 1064.

1064
Princip násobení a dělení dvou čísel metodou – zapisování pod sebe

Právitka pro sčítání a odčítání

Princip

Rychlé zaokrouhlené sčítání a odčítání lze provádět pomocí analogových pomůcek jako je posuvné pravítko pro sčítání a odčítání. Posuvné pravítko je složeno ze dvou identických posuvných lišt s číselnou osou, kde jednotlivé stupnice musí být od sebe stejně vzdálené (vlastně se jedná o dvě osy reálných čísel). Takové pravítko lze vytvořit například ze dvou stejných pravítek pro rýsování. Jestliže chceme znát hodnotu a+b, pak první pravítko posuneme tak, aby ryska odpovídající nule měla naproti rysku odpovídající hdonotě a, výsledek pak odpovída rysce na druhém pravítku, která ma naproti rysku prvního pravítka s hodnotou b. Vzhledem k omezení viditelnosti stupnice by pravítko o délce 20 centimetrů se stupnicí po 0,5 mm bylo schopno přičítat nebo odečítat čísla od 1 do 10 s přesností na 0,05 a pod.

42_6
42. Technická matematika

prvního pravítka s hodnotou b. Vzhledem k omezení viditelnosti stupnice by pravítko o délce 20 centimetrů se stupnicí po 0,5 mm bylo schopno přičítat nebo odečítat čísla od 1 do 10 s přesností na 0,05 a pod.

Pravítko pro sčítaní jako převodník jednotek

Takové pravítko, zvyšuje přesnost oproti přibližnému výpočtu "z hlavy" málo a nemá praktický smysl ho používat. Ale používá se jako převodník jednotek, přesněji pro převod mezi dvěmi různými jednotkami stejné veličiny, které se od sebe liší pouze o nějakou přičtenou číselnou hodnotu. Například k naměřené teplotě ve stupních Celsia se musí přičíst teplota absolutní nuly (273,15 °C), pro získání teploty absolutní (Obrázek 1066). Další podobný případ je práce s absolutním tlakem, kdy k odečtenému tlaku z manometru se musí přičíst tlak atmosférický (101,325 kPa), pro získání tlaku absolutního, viz Obrázek 1047 (samořejmě pro tlaky řádu desítek MPa už stačí připočítat jen jednu desetinu a převodník ztrátcí smysl).

1066 Převodník jednotek teploty v rozsahu 0 až 100 °C na absolutní teplotu v Kelvinech a obráceně
Příklad pravítka pro součet/rozdíl stále stejného čísla
Na obrázku je vyznačen případ, kdy teploměr ukazuje 56 °C, pomocí narýsovaného pravítka velmi rychle vypočítáme, že tato teplota odpovídá 329,15 K.
1047 Převodník přetlaku v rozsahu 0 až 100 kPa(g) na absolutní tlak a obráceně
Převodník absolutního tlaku
Písmeno a v závoce označuje absolutní tlak, písmeno g v závorce označuje přetlak (ang. naměřený).
I primitivní převodník je ceněnou pomůckou ve stresujících situací

S podobnými jednoduchými převodníky se můžeme setkat především v místech, kde mohou nastat stresující situace, kdy obsluha zařízení nemusí být schopna ani jednoduchých matematických úkonů.

Násobení a dělní pomocí logaritmického pravítka a logaritmických převodníků

Jak na složitější mat. operace

Pomocí logaritmického pravítka lze provádět složitější matematické operace jako je násobení a dělení založené na vlastnostech logaritmů, proto si nejprve řekněme něco o logaritmech.

42. Technická matematika
Logaritmus čísla

Logaritmy jsou založeny na faktu, že každé kladné reálné číslo x lze vyjádřit umocňováním ve tvaru x=ny (záporná reálná čísla lze vyjádřit umocňováním pomocí algebry komplexních čísel). Logaritmus čísla je tak definován jako logn ny=y·logn n=y·1, kde n je základ umocňování, respektive logaritmu a logn n=1.

Dekadický logaritmus
Přirozený logaritmus
Ostatní logaritmy

Nejčastěji se používají tzv. dekadické logaritmy, což je logaritmus o základu 10, a proto se zkráceně označují pouze log. Přirozený logaritmus se označuje ln (dříve lg), ten je o základu e=2,71828... (tzv. Eulerovo číslo, které souvisí s nekonečnými řadami). V počtu pravděpodobnosti a informatice se také používá logaritmus o základu 2 tj. log2, který už speciální označení nemá. Logaritmy o různých základech lze převádět mezi sebou pomocí vztahu logn x=(ln x)/(ln n). Log 0 je v matematice neurčitý výraz a pokud to lze definuje se jako 0·log 0=0 [17, s. 16].

Vyjádření násobení a dělení pomocí degadického logaritmu

Z vlastností logaritmů [1, s. 14] lze součin čísel a a b převést na součet dvou logaritmů takto: a·b=c => log a+log b=log c=C. Chceme-li znát zjistit hodnotu c. Podobný převod lze provést při dělení čísel a a b: a·b-1=c => log a-log b=log c=C. Pro výsledek c pak platí rovnost c=10C. Alegebra logaritmů je shrnuta v [1, s. 14].

Pro výpočty je nutné znát hodnoty logaritmů čísel

Pro výpočty pomocí logaritmů je nutné znát hodnoty logaritmů. Ty se dříve tabelizovaly a první tabulky dekadických logaritmů publikoval Briggs (viz Tabulka 880). V té době vyčíslení logaritmů představoval pracný ruční výpočet přirozeného logaritmu a převodu na dekadický logaritmus. Současné matematické softwary a kalkulačky tyto tabulky obsahují nebo si je počítají v reálné čase numerickým způsobem na požadovanou přesnost pomocí Taylorových řad [17, s. 182].

42_8
42. Technická matematika
880 Logaritmy čísel 1 až 100
x log x    x log x    x log x    x log x
1 0 26 1,4150 51 1,7076 76 1,8808
2 0,3010 27 1,4314 52 1,7160 77 1,8865
3 0,4771 28 1,4472 53 1,7243 78 1,8921
4 0,6021 29 1,4624 54 1,7324 79 1,8976
5 0,6990 30 1,4771 55 1,7404 80 1,9031
6 0,7782 31 1,4914 56 1,7482 81 1,9085
7 0,8451 32 1,5051 57 1,7559 82 1,9138
8 0,9031 33 1,5185 58 1,7634 83 1,9191
9 0,9542 34 1,5315 59 1,7709 84 1,9243
10 1 35 1,5441 60 1,7782 85 1,9294
11 1,0414 36 1,5563 61 1,7853 86 1,9345
12 1,0792 37 1,5682 62 1,7924 87 1,9395
13 1,1139 38 1,5798 63 1,7993 88 1,9445
14 1,1461 39 1,5911 64 1,8062 89 1,9494
15 1,1761 40 1,6021 65 1,8129 90 1,9542
16 1,2041 41 1,6128 66 1,8195 91 1,9590
17 1,2304 42 1,6232 67 1,8261 92 1,9638
18 1,2553 43 1,6335 68 1,8325 93 1,9685
19 1,2788 44 1,6435 69 1,8388 94 1,9731
20 1,3010 45 1,6532 70 1,8451 95 1,9777
21 1,3222 46 1,6628 71 1,8513 96 1,9823
22 1,3424 47 1,6721 72 1,8573 97 1,9868
23 1,3617 48 1,6812 73 1,8633 98 1,9912
24 1,3802 49 1,6902 74 1,8692 99 1,9956
25 1,3979 50 1,6990 75 1,8751 100 2
Příklad: Pro 4·8 musí platit log 4·8 = log 4 + log 8. Z tabulky log 4 = 0,6021; log 8 = 0,9031, odtud log 4·8 = 1,5052. Číslo 1,5052 je velice blízké číslu logartimu čísla 32, takže můžeme tvrdit, že součin 4·8 bude velmi blízký číslu 32. Samozřejmě čím přesnější čísla v tabulce, tím lze očekávat přesnější výsledek.
Porovnání lineární a logaritmické stupnice kladných reálných čísel

Všimněte si, že pokud hodnoty dekadických logaritmů vyneseme na osu (viz Obrázek 1071) jsou hodnoty logaritmů jednotlivých řádů stejně vzdálené. To je dáno tím, že podíl mezi sousedními řády jsou stejné 10/1=100/10=1000/100... a tedy i rozdíl (vzdálenost) logaritmů sousedních řádů je stejný.

1071
Porovnání lineární a logaritmické stupnice kladných reálných čísel
Horní osa je osa přirozených čísel od 1 do 10 o délce η=17 cm, takže jeden stupeň na stupnici je 1=1,7 mm, dolní osa je logaritmická stupnice od od 1 do 10 o délce ξ=17 cm. Jednotlivé vzdálenosti mezi stupni logaritmické stupnice v mm se vypočítají jako poměr konkrétní logaritmické hodnoty ku logaritmické hodnotě celé stupnice. Takže log x musí být ekvivalentní vzdálenosti ξ(log x – log min)/(log max – log min), v tomto případě log min =log 1=0, log max=log 10=1.
42. Technická matematika
Logaritmické pravítko

I když se tabulky logaritmů udávaly na pět i více desetinných míst, k výpočtům prostých součinů se nepoužívali, protože rychlejší bylo násobení pod sebou. Pro rychlé přibližné výpočty se používalo logaritmické pravítko vynalezené anglikánským duchovním a matematikem Williamem Oughtredem (1575-1660). Logaritmické pravítko funguje stejně jako posuvné pravítko pro sčítání a odčítaní s tím rozdílem, že obě stupnice odpovídají logaritmům čísel. Takže při násobení čísla 4,4 s číslem 6,3 stačí sečíst logaritmy těchto čísel na dvou zrcadlově otočených pravítkách s logaritmickou stupnicí (Obrázek 1073). Při dělení se logaritmy odčítají.

1073
Příklad násobení pomocí logaritmického pravítka
Na obrázku je zobrazen případ přibližného součinu čísel 4346 a 6328, pomocí dvou pravítek se stupnicemi od 0 do 20 rozdělených po log 0,1. Přibližný součin je proveden tak, že činitelé se zaokrouhlí na 4400 a 6300, potom 4400·6300=4,4·6,3·106, respektive log 4,4+log 6,3=log 27,8+log 106. Podle pravítka je výsledek 27,8·106, oproti přesnému výsledku je rozdíl 498 512, což odpovídá chybě 1,8 %.
Logaritmické pravítko, které násobí stále stejnou hodnotou – logaritmický převodník

Nicméně logaritmické pravítko je také už archaická pomůcka, ale narýsované pravítko, které by násobilo stále stejnou hodnotu lze použít jako rychlý převodník, například pro rychlý převod fyzikálních jednotek, které jsou vzájemným násobkem nebo i pro výpočet obvodu či plochy kruhu jak ukazují následující Obrázky 1074, 1021 a dále Obrázky 1023, 1026, 1034, 1045, 1046 na s. 42_12.

1074 Logaritmické pravítko pro výpočet obvodu kruhu
Příklad logaritmického pravítka pro násobení nebo dělení konstantou
Na pravítku je vyznačen příklad součinu čísla π a čísla 324 představující průměr kruhu, takže výsledkem bude obvod tohoto kruhu. Ten podle pravítka činí asi 1 010 (x=2), což představuje chybu od přesnějšího výsledku (1017,88) asi 0,77%.
42_10
42. Technická matematika
1021 Logaritmické pravítko pro výpočet plochy kruhu
Logaritmické pravítko pro výpočet plochy kruhu
42. Technická matematika
1023 Převodník palců na milimetry
Převodník palců na milimetry
1026 Převodník liber na kilogramy
Převodník liber na kilogramy
1034 Převodníky jednotek energie
Převodníky jednotek energie
1045 Převodník výkonu Britského koně (horse-power) na watty
Převodník výkonu Britského koně (horse-power) na watty
1046 Převodníky jednotek tlaku
Převodníky jednotek tlaku
42_12
42. Technická matematika
Jak na konstrukci vlastního logaritmického převodníku

Pro konstrukci logaritmických stupnic pro konstrukci vlastních převodníků o velikosti 10x10x+1 s přesností 0,1·10x můžete použít logaritmy čísel 1 až 100 uvedené v Tabulce 880, s. 42_9 nebo třeba ve Fyzikálně technické příručce [33].

Jak na vyšší přesnost výpočtu

Vyšší přesností výpočtu, pomocí zobrazeného logaritmického pravítka, lze provést rozkladem činitele 324 na 324=3·102+2·102+4, takže předchozí příklad by se počítal: π·324=π(3·102+2·102+4) odtud řešení 1015,4 s chybou už jen 0,24 %. Tento postup (více o něm například v knize Matematika pro dělníky a mistry [13]) je sice přesnější, ale už postrádá rychlost a jednoduchost.

Převodníky s jinou než logaritmickou stupnicí

Stupnice převodníků, ve kterých figurují násobky nemusí být nutně logaritmické, ale pokud rozdíly v převáděných jednotkách nejsou velké, lze použít linerání stupnice s tím, že budou mít rozdílné vzdálenosti mezi jedním stupněm. Například převodník mezi °C a stupni °F (viz Vzorec 45743.) pro rozsah 0 až 100 °C a délce 17 cm bude mít na stupnici pro stupně celsia vzdálenosti mezi stupni 1,7 mm, kdežto na stupnici stupňů farenheita bude rozdíl jednoho stupně 5/9·1,7 = 0,9444 mm (stupeň farenheita je 5/9 stupně celsia) navíc bude tato stupnice vůči předchozí stupnici posunuta o 32 dílků, viz Obrázek 1067.

1067 Převodník jednotek teploty v rozsahu 0 až 100 °C na teplotu ve stupních Farenheita a obráceně
Příklad pravítka pro součet/rozdíl stále stejného čísla
356 Úloha
Určete výsledek výrazu 14 468,563 pomocí logaritmů. Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 356, s. 42_58.

Nomogramy jako pomůcka pro opakované výpočty vzorců

Nomogram je grafických vyjádřením funkce dvou a více proměnných

Nomogram je grafická analogová výpočetní pomůcka [14], [15]. Jedná se o převod funkcí do grafické podoby ve vhodně vybraném soustavě souřadnic (nejčastěji pravoúhlé). Nomogramy vychází tedy z pravidel analytické geometrie v rovině [21, s. 161], [10, s. 97], což jsou pravidla pro grafické vyjadření funkcí dvou proměnných. Nomogramy, na rozdíl od pravítek, umožňují rychlý výpočet rovnic více proměnných. Používají se pro rychlý přibližný výpočet často používaných vzorců.

Nomogram pro výpočet obvodové rych. kola
Isopléta

Například nomogram pro výpočet obvodové rychlosti (u=π·d·n, kde u [m·s-1] je symbol a značka jednotky obvodové rychlosti, d [m] je průměr kola a n [s-1] jsou otáčky) kola je tvořen přímkami, protože pro konstantní průměr kola je tato rovnice rovnicí přímky – křivka konstatních hodnot funkce se nazývá isoplétou, viz Obrázek 1077. Takový nomogram lze zkonstruovat pouze pravítkem. Nutné je stanovit rozsah jednotlivých proměnných podle toho, které kombinace hodnot d a n nás zajímají.

42. Technická matematika

tvořen přímkami, protože pro konstantní průměr kola je tato rovnice rovnicí přímky – křivka konstatních hodnot funkce se nazývá isoplétou, viz Obrázek 1077. Takový nomogram lze zkonstruovat pouze pravítkem. Nutné je stanovit rozsah jednotlivých proměnných podle toho, které kombinace hodnot d a n nás zajímají.

1077
Nomogram pro výpočet obvodové rychlosti kola
u [m·s-1]; d [m]; n [s-1]. Osa otáček je v intervalu 110 s-1, osa obvodové rychlosti kola 0300 m·s-1. Do oblasti řešení, která je vymezená vodorovnou osu hodnot pro otáčky a svislou pro obvodovou rychlost kola se zakreslují průběhy změn obvodové rychlosti v závislosti na otáčkách pro jednotlivé průměry kola (čára, na které je jedna z proměnných konstantní – v tomto případě průměr kola se nazývá izopléta). První izopléta byla nakreslena ze souřadnic u=3,1415 při n=1 do bodu u=31,415 při n=10. Následující izopléty byly nakresleny stejným postupem. Obvodová rychlost kola se odečte z průsečíku zadaných hodnot otáček a průměru kola.
Systém souřadnic nemusí být pravoúhlý

Osy soustavy souřadnic nemusí být u nomogramů navzájem kolmé, ale mohou svírat i jiný úhel než 90°. V systému skloněných os se poměrově zvětší či zmenší úhly mezi isoplétami a osami nomogramu. Například pokud by osa x svírala s osou y úhel 70°, pak by se úhel mezi izoplétami a osami zmenšil poměrem 70/90 apod.

Problém přesnosti předchozího nomogramu, která může být různá v jednotlivých částech nomogramu

Je očividné, že takový nomogram pro funkci dvou proměnných nemůže pokrýt všechny možnosti řešení v navrženém intervalu vstupních proměnných, to by musel obsahovat nekonečný počet izoplét, a nikoliv jen deset. Jestliže nomogram neobsahuje izoplétu splňující zadání, je nutné její průběh určit alespoň přibližně tak, jak naznačuje příklad výpočtu obvodové rychlosti pro n=6,3 s-1 a d=5,6 m. Další problém přesnosti nomogramů tkví v jeho fyzické velikosti. Rozsah chyby (chyba, která vznikne na délce 1 mm osy nomogramu) lze jednoduše stanovit z měřítka nomogramu. Tato chyba nemusí být na celé ploše nomogramu stejná. Například v případě posledního nomogramu v oblasti kolem n=2, d=2 bude vzdálenost 1 mm na ose obvodových otáček kola představovat chybu o velikosti ~24 % a v oblasti n=9, d=10 chybě jen ~1 %.

42_14
42. Technická matematika

obvodové rychlosti pro n=6,3 s-1 a d=5,6 m. Další problém přesnosti nomogramů tkví v jeho fyzické velikosti. Rozsah chyby (chyba, která vznikne na délce 1 mm osy nomogramu) lze jednoduše stanovit z měřítka nomogramu. Tato chyba nemusí být na celé ploše nomogramu stejná. Například v případě posledního nomogramu v oblasti kolem n=2, d=2 bude vzdálenost 1 mm na ose obvodových otáček kola představovat chybu o velikosti ~24 % a v oblasti n=9, d=10 chybě jen ~1 %.

Nelineární stupnice mohou zrovnoměrnit přesnost nomogramu pro všechny jeho oblasti

Rozdíly v přesnosti lze vyřešit nelineárními stupnicemi os, tak aby chyba v odečtu byla přibližně stejná na celé ploše nomogramu. Typ nelineární stupnice osy závisí na druhu rovnice, kterou nomogram zobrazuje, přičemž každá osa může mít jinou stupnici. Pro exponenciální rovnice (včetně exponentu 1) se nejčastěji používá logaritmická stupnice, ale ve speciálních případech lze použít stupnici kvadratické (pro kvadratické rovnice) atd.

Výhody logaritmické stupnice při výpočtu exponenciálních funkcí

V případě logaritmické stupnice je její výhoda i v tom, že jakékoliv exponenciální rovnice se dají znázornit jako přímky, například rovnice a·b3,4=c bude přímkou ve tvaru log a + 3,4·log b = log c apod. Nomogram pro výpočet obvodové rychlosti kola v logaritmických stupnicích je zobrazen na Obrázku 1078.

1078 Nomogram pro výpočet obvodové rychlosti kola v logaritmické soustavě souřadnic
Nomogram pro výpočet obvodové rychlosti kola v logaritmické soustavě souřadnic
Velikost tohoto nomogramu je 8,35x8,35 cm, takže chyba 1 mm v oblasti n=2, d=2 je asi 6,6 % a v oblasti n=9, d=10 je také 6,6 %, přičemž přesnost lze zvýšit zvětšením velikosti plochy nomogramu a zvýšením hustoty stupnic. V logaritmické soustavě souřadnic tedy lze dosáhnout stejné přesnosti, respektive nepřesnosti na celé ploše nomogramu. Více o rozboru přesnosti v logaritmické soustavě souřadnic v [14, s. 12].
42. Technická matematika
V nomogramu lze vyznačit něčím výzmané oblasti pro rychlou orientaci – personalizace nomogramů Nomogramu 119638.

Do jednoho nomogramu lze zakreslit i více rovnic, které mají stejné proměnné. Například do nomogramu pro obvodovou rychlost kola lze zakreslit i průběh pro kritické otáčky hřídele s tímto kolem, které se s průměrem kola budou měnit (kritické otáčky jsou funkcí průměru kola a tuhosti hřídele, která je v tomto případě stejná). V nomogramu lze také vyznačit různé oblasti, respektive kombonace, které jsou preferovány, nebo naopak nevhodné, či vyznačují něčím jiné vyznamné oblasti – například v Nomogramu 119638. pro výpočet Reynoldova čísla. Takto lze nomogramy personalizovat podle toho jakou oblastí se vlastník nomogramu zabývá.

Nomogramy pro koncové uživatele

Nomogramy se také dodávají k různým výrobkům jako pomůcka pro koncového uživatele o změnách parametrů stroje při různých nastavení. Například nomogramy u soustruhů, pro odečet otáček nebo posuvu při změně převodového poměru, nomogramy regulačních ventilů, ze kterých lze vyčíst změnu průtoku a tlakové ztráty při změně zdvihu vřetena ventilu apod.

Sdružené nomogramy Nomogramu 119838.

Nomogram zvládne i více proměnných než jen dvě, takové nomogramy se nazývají sdružené. Jedná se vlastně o dva nomogramy, které mají jednu společnou stupnici, která slouží jako výstup prvního a vstup do druhého, viz například Nomogram 119838. pro výpočet výpočet průměru potrubí na základě hmotnostního průtoku, hustoty a střední rychlosti proudění.

Výše uvedené nomogramy se nazývají průsečíkové

Doposud popsané typy nomogramů se nazývají průsečíkové. Nevýhodou těchto nomogramů je obtížný odečet (hledání průsečíku tří různoběžných čar) i velká hustota čar, proto se koncovým uživatelům, kteří nejsou tak matematicky zdatní pokud to jde, dodávají graficky přehlednější spojnicové nomogramy.

Spojnicový nomogram

Spojnicový nomogram pro dvě proměnné je složen ze tří stupnic, na kterých jsou v příslušných měřítkách vyneseny hodnoty jednotlivých proměnných, respeketive hodnoty počítané veličiny, viz nejjednodušší tvar spojnicového nomogramu Obrázek 1079 tvořeného třemi přímkami z nichž jedna je uprostřed. Konstruktér nomogramu musí navrhnout typ stupnic a jejich měřítka, jejich tvar a sklon i jejich vzájemné vzdálenosti tak, aby průsečíky na jednotlivých osách, které vzniknout nakreslením libovolné přímky, byly řešením příslušné rovnice.

42_16
42. Technická matematika
1079
Základní součtový spojnicový nomogram
V tomto případě musí být jedna z os přesně uprostřed dvou dalších, ale lze ji podle potřeby posouvat, pokud se změní měřítko jedné z hlavních os – osa z bude přesně uprostřed, jestliže hlavní osy budou ve stejných měřítkách. Tento tvar spojnicového nomogram je vhodný pro rovnice ve tvaru α+β=2 γ (odvození je v Příloze 1079, s. 42_69), například a·x+b·y=c·z, kde a, b, c jsou konstanty; například x2+y2=z2, což je Pythagorova věta apod. Jestliže osy jsou logaritmické stupnice lze tento součtový spojnicový diagram také použít pro součin např. rovnici x·y=z, která bude mít v logaritmických souřadnicích tvar log x+log y=log z, což už je rovnice přímky.
Spojnicový nomogram pro výpočet obvodové rychlosti kola

Příklad konstrukce spojnicového nomogramu je opět proveden na rovnici pro výpočet obvodové rychlosti kola, viz Nomogram 1080, s. 42_70. Všimněte si, že kdyby osa obvodovývch otáček u

1080
Spojnicový nomogram pro výpočet obvodové rychlosti kola
Postup konstrukce tohoto nomogramu je popsána v Příloze 1080, s. 42_70.
42. Technická matematika

nebyla uprostřed, ale například blíže k ose průměrů, pak by se musela měřítka těchto os různě změnčit (měřítko osy průměrů více než osy rychlostí) a naopak. Proto je výhodné mít osu z uprostřed os hlavních.

Sdružené spojnicové i průsečíkové nomogramy

Spojnicové nomogramy lze také konstruovat pro více jak tři proměnné spojením několika nomogramů tzv. sdružený spojnicový nomogram. Dokonce lze kombinovat průsečíkové nomogramy s nomogramy spojnicovými [14, s. 136], [15, s. 215].

Podobnosti nomogramů a tip pro začátečníky

Konstrukce nomogramů často vyžadují většího duševního úsilí a zkušeností. Ten kdo nemá dostatek zkušeností může vycházet při konstrukci nomogramu z podobnosti s jiným nomogramem (napříkladem tvarem řešené rovnice), přičemž lze čerpat z katalogů nomogramů uvedených v [14], [15], [30].

Sestavení rovnic a jejich řešení

Rozdíl mezi rovnicí a vzorcem je formální

Rovnicí je i vzorec, protože jeho levá strana se rovná pravé, přesto při vyslovení slova rovnice je obvykle myšlen její širší význam tedy něco do čeho nestačí jen dosadit a získáme použitelný výsledek. Rovnici máme obvykle upravit či vyřešit.

Sestavení rovnice

Rovnici obvykle pro konkrétní případ složíme pomocí vzorců

Rovnici nejčastěji získáme při řešení složitějších úloh kombinací dvou a více vzorců. Sestavování rovnic je ryze lidská schopnost. Při řešení úloh postupujeme systematicky po krocích, které jsou přehledné a srozumitelné, což se nejlépe ukáže na úloze:

931 Úloha
Vypočítejte jakou vzdálenost ujela tramvaj mezi dvěma zastávkami, když víte, že ze zastávky nejdříve zrychlovala stálým zrychlením 2 m·s-2 po dobu 7 s, pak 24 s jela ustálenou rychlostí a nakonec zpomalovala ustáleným zpomalením -2 m·s-2 do zastavení. Řešení této úlohy je popsáno v následujícím textu.
Nejprve souhrn vzorců, které můžeme pro složení rovnic použít
Neznáme označujeme x1, x2...

Ze zadání úlohy je zřejmé, že výsledná rovnice bude obsahovat minimálně dva typy vzorců, a to vzorec pro výpočet ujeté vzdálenosti při rovnoměrně zrychleném/zpomaleném pohybu a vzorec pro výpočet ujeté vzdálenosti při konstantní rychlosti. Celkovou ujetou vzdálenost si označme jako x1 (písmeno x se používá k označení veličin, které nejsou známy, respektive nejdou jednoduše ze zadání vyčíst), vzdálenost při rovnoměrném zrychlení x2, vzdálenost ujetou konstantní rychlosti x3 a vzdálenost ujetou při zpomalování x4. Je evidentní, že celková vzdálenost x1 bude součtem vzdáleností x2, x3, x4 a x5, viz Vzorce 931.

42_18
42. Technická matematika
1258
Vzorce pro řešení Úlohy 1
Vzorec pro výpočet ujeté vzdálenosti při rovnoměrně zrychleném/zpomaleném pohybu má tvar l=1/2(a·t2) a vzorec pro rychlost na konci rovnoměrného zrychlení z nuly má tvar c=a·t [3, s. 39]. l [m] ujetá dráha; a [m·s-2] zrychlení (záporné číslo je zpomalení); t [s] doba pohybu; c [m·s-1] rychlost na konci zrychlení. x5 [m·s-1] rychlost tramvaje na konci zrychlování – je označena písmenem x, protože je to také neznámá.
Soustava rovnic
Parametry rovnice

Výsledná skupina rovnic se nazývá soustavou pěti rovnic o pěti neznámých. Konstanty v rovnicích označujeme jako parametry rovnice.

Dvě obecné možnosti řešení rovnic

Nyní jsou v podstatě dvě možnosti jak dosáhnout užitečného výsledku neboli řešení těchto pěti rovnic. Myšlenkově nejméně náročné je postupně vypočítat jednotlivé neznáme dosazením hodnot za zrychlení a čas, jak je již naznačeno při zápisu rovnic – takový to postup se nazývá numerické metoda či řešení. Druhou možností je z těchto pěti rovnic udělat jen jednu, respektive vytvořit relativně složitý vzorec pro přímý výpočet ujeté vzdálenosti tramvaje. Obě možnosti si nyní představíme.

Analytická řešení rovnic, některá pravidla pro úpravu rovnic a kanonické tvary rovnic

Postupné dosazovaní vzorců za neznámé

Analytické řešení je postup, při kterém soustavu rovnic převedeme na vzorce ve formě x=..., v případě soustavy Rovnic 1258 můžeme vytvořit až pět vzorců, ale stačí řešit jen neznámé, které nás zajímají. Takový vzorec vznikne tzv. dosazováním do první rovnice, kdy za jednotlivé neznámé x2...x5 se dosazují vzorce pro jejich výpočet. Výsledný vzorec jako analytické řešení soustavy rovnic Úlohy 931 je uvedeno pod označením Vzorec 1259.

1259
Úloha 1: anayltické řešení
Analytické řešení soustavy Rovnic 1259.
Nevýhody/výhody analytického řešení soustavy rovnic

Nevýhodou výsledného Vzorce 1259 (v tomto případě nás zajímalo řešení jen proměné x1) je, že nejsou okamžitě patrny mezivýsledky, které bývají u složitějších úloh důležité, protože z nich plyne celková představa o situaci a lépe se hledají ve výpočtu případné chyby, na druhou stranu jsou patrné vlivy jednotlivých členů na výsledek.

42. Technická matematika
Postup při úpravě složitější rovnic
Separace neboli osamostatňování

Při sestavování rovnic se často stává, že neznámá není samostatně na jedné straně rovnice například 2,54 + a = b·x2+(2x2+c)d, takže je potřeba ji tzv. separovat neboli osamostatnit. To se dělá vhodnými promyšlenými matematickými operacemi, při kterých musí být zachována rovnost pravé a levé strany rovnice. Například, přičítáním stejného čísla k pravé i levé straně rovnice, tak aby byla zachována její rovnost. To samé pravidlo platí i pro jiné matematické operace včetně umocňování, logaritmování atd. Postup separace neznámé x je na příkladu zobrazen na Obrázku 901.

901
Příklad separace neznáme v rovnici
V tomto případě stačilo 6 kroků a výpočet veličiny x už nebude problém. Do uvedených šesti kroků jsem zahrnul i zjednodušování rovnice, například kroky 2 a 3 zkušení výpočtáři slučují apod.
Substituce

Především při úpravách je dobré rovnici co nejvíce zjednodušit, taky abychom se v ní neztráceli a nemuseli neustále opisovat spoustu symbolů. Například během úprav Rovnice 16 lze x2 označit zkráceně například symbolem y a v kroku 5 opět dosadit x2, tomu se říká substituce. Také se může vyskytnout logaritmická rovnice a místo x2 v předchozí rovnici může být například log 2x opět by šlo za tento výraz při úpravách dosadit symbol y a v pátém kroku dosadit zpět log 2x apod.

Jak poznat, že analytické řešení rovnice už je známo
Kanonický tvar rovnice

Mnoho rovnic, které řešíme už vyřešné byly, takže lze použít již vytvořené analytické řešení. Ale jak poznat, že rovnice, kterou řešeíme už má někde uvedené řešení? Poznáme to tak, že naši rovnici převedeme do normalizovaného neboli kanonického tvaru, viz Rovnice 915. Příklady kanonických tvarů výše uvedených rovnic jsou na Obrázku 1255.

915 Kanonické tvary některých typů rovnic
Kanonické tvary některých typů rovnic
vlevo kanonické tvary lineárních rovnic (bez exponentů); vpravo kanonické tvary polynomů druhé, třetího až n-tého stupně (pro n≥1) – neboli kvadratická, kubická rovnice atd. a, b jsou konstanty, mohou být i rovny nule (takže x3+a1=0 je stále kubická rovnice), a21 znamená, že se jedná o konstantu z druhého řádku před první neznámou.
42_20
42. Technická matematika
1255
Kanonický zápis soustavy rovnic
vlevo kanonický tvar soustavy Rovnic 1258, s. 42_19. vpravo kanonický tvar kvadratické Rovnice 901.
Jaké rovnice mají analytická řešení

Analytické řešení lineární rovnice o jedné, dvou a tří neznámých je uvedeno na Obrázku 963, analytická řešení kanonických tvarů soustav lineárních rovnic o více jak dvou neznámých se už obvykle neuvádí (ale ze odvodit pro jakýkoliv počet neznámých) a používá se numerická metoda, viz níže. U polynomů existuje obecné analytické řešení pro rovnice alespoň do n=4 (důkaz provedl geniální mladý norský matematik Niels Abel (1802-1829) [24, s. 85]), tato řešení jsou uvedena v každém přehledu matematických vzorců, například v [1, s. 38], [8] a na Obrázku 815 je uvedeno analytické řešení pro rovnici kvadratickou, která se v technické praxi vyskytuje velmi často. Rovnice vyšších stupňů je nutné řešit numericky.

963
Analytické řešení lineárních rovnic
vlevo analytické řešení lineární rovnice o jedné neznémá; vpravo analytické řešení soustavy dvou lineárních rovnic. Obě řešení jsou pro kanonický tvar. Analytické řešení soustavy dvou lineárních rovnic je odvozeno v Příloze 963, s. 42_65.
812 Analytické řešení kvadratické rovnice
Analytické řešení kvadratické rovnice
D tzv. diskriminant. Pokud bude diskriminant menší než nula D<0, pak má kvadratická rovnice komplexní kořeny. Další záludností řešení kvadratických rovnic je že mohou mít dva kořeny (nejčastěji jeden záporný a jeden kladný), respektive dvě řešení, ale technik hledá pouze jedno, a tak v takových případech vybírá to, které lépe vyhovuje očekávání (obvykle je to ten kladný kořen) a takový výsledek dává smysl.
Pravidla pro úprava a řešení nerovnic

Stejná pravidla při sestavování a úpravách rovnic platí i pro nerovnice. Nerovnice pouze znamená, že levá strana se nerovná pravé například 2,54 + a > b·x2+(2x2+c)d. Úprava, respektive separace neznáme na jednu stranu nerovnice probíhá stejně jako v předchozím případě rovnic. Jedna záludnost tu ale je – jedna strana nerovnice je větší než ta druhá a když k pravé i levé straně přičteme stejné číslo (nebo odečteme) vždy vztah (nerovnost) mezi oběma stranami zůstane stejný. Když je vynásobíme kladným číslem stále zůstane stejný. Ale při násobení záporným číslem (nejčastěji -1) se kladná čísla stanou zápornými a naopak, takže byl-li člen na pravé straně nerovnice větší než pravý, tak po vynásobení tomu musí být naopak, takže i nerovnost musíme obrátit – viz Nerovnice 874.

42. Technická matematika

takže byl-li člen na pravé straně nerovnice větší než pravý, tak po vynásobení tomu musí být naopak, takže i nerovnost musíme obrátit – viz Nerovnice 874.

874 Příklad změny nerovnosti při vynásobení nerovnice záporným číslem
Příklad změny nerovnosti při vynásobení nerovnice záporným číslem, v tomto případ -1
V tomto případě násobíme -1.

Numerická řešení rovnic a metoda Monte Carlo

V jakých případech se uplatňuje numerický přístup

K numerickému řešení rovnice se přistupuje například tehdy je-li úpráva rovnice příliš duševně náročná nebo nemožná a u větší soustavy rovnic, u kterých se z praktických důvodů na analytickou metodu řešení rezignuje.

Numerické řešení soustavy lineárních rovnic

Asi si dokážeme představit, že existují rozsáhlejší soustavy rovnic s více neznámými, než je soustava rovnic na Obrázku 1255 (například především při řešení schémat v elektrotechnice i schémat rozsáhlých potrubních tras technologických celků viz kapitola Kapitola o výpočtu rozsáhlých schémat technologických celků25.). Takové soustavy řešíme numericky pomocí maticového počtu, viz následující podkapitola Gaussova eliminační metoda a maticový zápis soustavy lineárních rovnic, s. 42_23. V této kapitole se proto dále zaměříme na numerická řešení nelinárních rovnic.

Případ rovnice, ve které nelze neznámou separovat

Rovnice 824 je příkladem rovnice, u které nelze separovat neznámou, respektive nejsme schopni odvodit analytické řešení v přímém tavaru. To zjistíte tak, že to zkusíte a ono to nejde a samozřejmě existují i matematické důkazy, o tom kdy to jde a kdy ne, viz také předchozí kapitola. Věřte, že s přibývajícími zkušenostmi takovou záludnou rovnici rozeznáte i podvědomě. Takové rovnice se řeší numericky iteračním výpočtem.

824
Příklad separace neznáme v rovnici
Symboly r, ε zastupují dosazovaná čísla, jejich hodnoty známe. λ veličina, kterou máme vypočítat – všimněte si, že algebraickými úpravami nelze získa triviální vzorec λ=....
Iterační výpočet

Na počátku iteračního výpočtu obvykle odhadneme (na základě dostupných dat) interval na ose čísel, ve kterém by se mohl nalézat očekávaná hodnota hledané neznámé a postupně testujeme možná řešení – při iterčních postupech často nejsme schopni dosáhnout zcela přesného výsledku, ale výsledku s určitou přesností. Iterační metod je velké množství, ale téměř vždy jsou založeny na derivacích funkcí (viz [1, s. 603]), takže si řekněme něco jen o základní iterační metodě Monte Carlo založené na odhadu.

42_22
42. Technická matematika

řekněme něco jen o základní iterační metodě Monte Carlo založené na odhadu.

Monte Carlo

Při metodě Monte Carlo náhodně testujeme různá řešení. Obecně se za řešení považuje množina čísel, interval na ose čísel nebo konkrétní číslo, o kterém se předpokládá, že leží blízko řešení. Konkrétně v případě Rovnice 824 by mohl probíhat tak, že bychom nejprve převedli výraz na pravé straně na levou (rovnice se pak bude rovnat nule), při následném testování výsledků pro různá řešení (námi vybraný interval čísel, o kterém si myslíme, že by mohl obsahovat řešení) pro λ bychom sledovali, jestli se levá strana blíží nule (pak zužujeme interval správným směrem – zvyšujeme přesnost výsledku) a nebo vzdalujeme od nuly (pak interval možných řešení rozšiřujeme), viz Úloha 1260. Je zřejmé, že metoda Monte Carlo je nejvíce náročná na počet výpočtových kroků, ale s nástupem počítačů se jedná o velmi používanou metodu a využívá se dost často pro hledání řešení i mnohem méně náročných rovnic např. 3·x+1=7, protože rychlost stolních počítačů je vysoká a šetří tak duševní úsilí výpočtáře a navíc metodu výpočtu obsahují i kancelářské tabulkové procesory, viz podkapitola Programy matematických strojů, s. 42_51.

1260 Úloha
Řešte Rovnici 824 metodou Monte Carlo, pro parametry r=4·105, ε=6,6667·10-3. Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 1260, s. 42_78.

Gaussova eliminační metoda a maticový zápis soustavy lineárních rovnic

Numerická řešení soustav lin. rovnic

Numerických řešení soustavy lineárních rovnic existuje větší množství například [8, s. 61], [1, s. 32], [27, s. 196] ale Gaussova eliminační metoda zkráceně GEM je oblíbená a současně se na ní dobře demonstruje funkce maticového zápisu rovnic. Princip GEM spočívá v tom, že z původní soustavy rovnic vytvoříme prakticky nové rovnice se stejnými výsledky (v rozsahu zaokrouhlování), přičemž výsledná soustava rovnic bude mít v normalizovaném tvaru zleva postupně na každém řádku o jeden nulový parametr navíc, jak ukazuje Rovnice 1201.

1201 Cílová soustava lineárních rovnic při řešení Gaussovou eliminační metodou
Cílová soustava rovnic při řešení Gaussovou eliminační metodou
Tato soustava má stejné řešení jako původní soustava Rovnic 915, s. 42_23 (hodnoty parametrů b mohou být samozřejmě jiné než v původní soustavě).
42. Technická matematika
Rovnice "prohazujeme, násobíme, přičítáme a odčítáme

Nové rovnice z původní soustavy tvoříme odečítáním rovnic od sebe, pokud před touto operací odečítanou rovnici vynásobíme takovým číslem, aby výsledná rovnice obsahovala alespoň o neznámou méně na té správné pozici (eliminovaly jsme jednu neznámou), pak se nám postupně podaří dalšími takovými operacemi získat cílový tvar soustavy viz příklad na Obrázku 1200. Rovnice lze za účelem rychlejšího výpočtu prohazovat z jednoho řádku na jiný a to lze provádět i se sloupci, ale v takovém případě musíme myslet na to, že pořadí neznámé už nebude odpovídat číslu sloupce (proto dáváme přednost prohození řádků, pokud to jde). Samozřejmě při operacích nelze násobit nulou, proto při výběru dvojice rovnic, které budeme od sebe odečítat, musíme vybrat rovnice takové, abychom nemuseli násobit nulou.

1200
Příklad postupu Gaussovy eliminační metody
Soustavu (b) získáme tak, že poslední rovnici vynásobíme podílem a11·a-121, tedy podílem 1·3-1, abychom získaly stejnou hodnotu parametru před neznámou x1 jako v předchozí rovnici. Následně druhou rovnici nahradíme rovnicí, která vyjde odečtením druhé rovnice od první. Soustavu (c) získáme tak, že první rovnici vynásobíme podílem a22·a-112, tedy podílem 2·(3·2)-1, abychom získaly stejnou hodnotu parametru před neznámou x2 jako v následující rovnici. Následně první rovnici nahradíme rovnicí, která vyjde odečtením první rovnice od druhé. Výslednou soustavu (d) získáme tak, že první rovnici vynásobíme převrácenou hodnotou parametru a11, tedy číslem -3 a druhou rovnici vynásobíme převrácenou hodnotou parametru a22, tedy podílem 3·2-1.
Homogenní, nehomogenní tvar rovnic
Podmínky řešení

Všimněte si, že cílový tvar obsahuje pouze nehomogenní rovnice (lineární rovnice, která má na pravé straně nenulové číslo b≠0), proto je tato eliminační metoda neúčinná, pokud původní soustava rovnic obsahuje pouze homogenní rovnice b=0 – násobením ani odčítáním od sebe se tyto nuly nezmění. Naštěstí stačí, aby alespoň jedna rovnice v původní soustavě byla nehomogenní, pak už stačí vytvořit novou soustavu tak, že ke každé homogenní rovnici přičteme/odečteme onu nehomogenní rovnici.

Matice

U velkých soustav rovnic se při neustálém opisování rovnic vynechává znaménko plus, rovná se i označení jednotlivých neznámých x a celá soustava se zapisuje pomocí tzv. maticového zápisu do matice, viz Obrázek 1202. Na Obrázku 1068 je konkrétní příklad matice a to matice soustavy lineárních Rovnic 1255, s. 42_21 i s výslednou maticí, která je jejím řešením.

42_24
42. Technická matematika
1202 Příklady maticového zápisu soustavy lineárních rovnic
Příklady maticového zápisu soustavy lineárních rovnic
1068 Matice pro GEM a výsledná matice soustavy Rovnic 1255, s. 42_21
Matice pro GEM a výsledná matice Úlohy 1
O výsledné matici, která obsahuje nenulové parametry pouze na diagonále říkáme, že má schodovitý tvar zleva i zprava. Všimněte si, že během řešení matice byly přehozeny sloupce neznámých x2, x4, protože toto přehození vedlo k rychlejšímu výpočtu (méně potřebných operací). Všimněte si také kolik nul obsahuje zadávací matice. To je typický charakter matic z praxe (na rozdíl od příkladů z matematiky, kde je většina parametrů nenulová), a proto jejich výpočet lze velmi urychlit vhodným přeskládáním pořadí matic a pořadí neznámých. Celý postup je uveden v Příloze 1068, s. 42_68.
GEM je ideální nástroj pro strojové řešení soustav lin. rovnic

GEM je vhodná pro matematické stroje, jako jsou programovatelné kalkulačky nebo počítače (viz kapitola Matematické stroje neboli počítače, s. 42_49), protože operace potřebné k dosažení výsledku jsou předvídatelné.

Užití goniometrických a cyklometrických funkcí při technických výpočtech

Především sinus, kosinus, tangens

Výpočet úhlů pravoúhlého trojúhelníku a nebo délky jeho stran jsou-li známy jeho úhly je relativně frekventovanou úlohou v technické praxi. Za tímto účelem se používají tzv. goniometrické funkce. Tyto funkce nás informují o hodnotě úhlu, který svírá vyšetřovaná strana s odvěsnou, jestliže známe alespoň jednu z možných kombinací poměru dvou stran pravoúhlého trojúhelníka. Podle kombinací poměrů dvou stran rozlišujeme funkci sinus, kosinus a tangens (Obrázek 401, s. 42_26). Protože trojúhelník má tři strany existuje celkem šest kombinací poměrů dvou stran – mimo výše zmíněných tří existují ještě goniometrické funkce sekans, kosekans a kotangens. Vzhledem k tomu, že pracují s převrácenými hodnotami poměrů stran sinus, kosinus a tangents, tak se v praxi nepoužívají a první tři funkce plně postačují.

42. Technická matematika
401
Základní goniometrické funkce
x [°] úhel ve stupních dekadických nebo radiánech viz další kapitola; sin funkce sinus; cos funkce kosinus; tg funkce tangens (označuje se i jako tan). Na obrázku jsou dva trojúhelníky (a) a (b), přičemž oba úhly x jsou kótovány od stejného počátku, aby šlo vidět, že lze pracovat v trigonometrii i s úhly většími jak 90°. a, b nejkratší strany pravoúhlého trojúhelníku se nazývají odvěsny; c nejdelší strana se nazývá přepona. Délka přepony je vždy kladné číslo, ale délky odvěsen mohou být i záporné podle toho na jaké straně osy soustavy souřadnic je odvěsna. Tímto způsobem lze jednoznačně určit orientaci trojúhelníku v soustavě souřadnic, respektive v jakém jeho kvadrantu se vyskytuje. Délka odvěsen trojúhelníku (a) je kladná a u trojúhelníku (b) je vodorovná odvěsna záporná a proto cos x vyznačeného úhlu bude záporný, ale sin x už kladný a pod. Takové případy se vyskytují například při konstrukci rychlostních trojúhelníků11. lopatkových strojů11.), kde hledáme orientaci rychlosti pomocí úhlu a délky jedné strany. Dalším příkladem skládání sil, kdy jednotlivé složky síly mohou být i v různých kvadrantech apod.
Operace s goniometrickými funkcemi a rovnicemi

Souhrn základních vztahů mezi goniometrickými funkcemi, například jak je sčítat, odčítat, násobit a dělit mezi sebou jsou uvedeny v [1, s. 72-78]. Obecné řešení rovnic obsahující goniometrické funkce existuje pouze pro funkce jednoho proměnného úhlu. V případě více proměnných úhlů se postupuje numericky vhodnou iterační metodou, to platí i pro případy funkce jedné proměnné, u kterých nelze separovat neznámý úhel.

Typická goniometrická úloha

Typická úloha v trigonometrii obvykle vychází ze znalosti úhlu x a jedné strany, přičemž úkolem je vypočítat velikost další strany. K tomu je ale nutné znát hodnotu příslušné goniometrické funkce při zadaném úhlu, ta se hledá v tabulkách goniometrických funkcí nebo se jednoduše vypočítá pomocí kalkulačky nebo jiného matematického stroje.

Cyklometrické funkce

Přirozeně existují i obrácené úlohy a to výpočet úhlu x, jestliže je znám poměr dvou stran. K tomu se využívá vlastností cyklometrických funkcí. Existují tři základní cyklometrické funkce, které jsou inverzní ke goniometrickým funkcím, takže platí x=arcsin b/c (arkussinus), x=arccos a/c (arkuskosinus), x=arctg b/a (arkustangents). Problém je v tom, že jednoznačnou hodnotu cyklometrické funkce lze přiřadit na intervalu dlouhým maximálně 180°. Například arcsin na intervalu 90°270°, arccos na intervalu 180° a arctg na intervalu 90°180°. Ale na intervalu 180°arcsin dvě řešení (arcsin 0,5 může znamenat buď 30° nebo 150°) atd. Kvůli těmto vlastnostem je při výpočtu už nutné znát orientaci trojúhelníku v navrženém soustavě souřadnic, respektive v jakém je kvadrantu.

42_26
42. Technická matematika

je při výpočtu už nutné znát orientaci trojúhelníku v navrženém soustavě souřadnic, respektive v jakém je kvadrantu.

Vyčíslení hodnot goniometrických funkcí

Jak se hodnoty goniometrických funkcí počítají

Dříve se goniometrické tabulky počítaly pracným půlením úhlů, kterým se dá hodnota poměru stran přiřadit přesně, což jsou obvykle úhly odpovídající pravidelným mnohoúhelníkům [23, s. 153] vepsaných do jednotkové kružnice. Po objevu Taylorového rozvoje se počítají goniometrické funkce pomocí Taylorovy řady pro funkci sinus [1, s. 389], které lze pomocí jednoduchých vztahů [1, s. 74] přepočítat na funkci cosinus cos x=sin (x+90°) a nebo tangents tg x=sin x/cos x. Matematické stroje jako kalkulačky a počítače využívají buď hodně přesnou tabulku goniometrických funkcí a nebo algoritmus pro výpočet Taylorovy řady příslušné goniometrické funkce v reálném čase podobně jako se počítají hodnoty logaritmů uvedené v Úloze 1084, s. 42_53.

Určení hodnot goniometrických funkcí bez kalkulačky

Bez kalkulačky lze provést přibližný výpočet goniometrických funkcí pomocí základní tabulky hodnot sinu a tangentu v intervalu 90°. Tento krátký interval postačuje, protože hodnoty pro další úhly lze odvodit z podobnosti křivek na Obrázku 404. Například hodnota sin 200° bude stejná jako -sin 20° apod. Tabulky goniometrických funkcí sinus a tangents jsou uvedeny v Tabulce 1145, s. 42_28.

402 Grafy goniometrických funkcí
Grafy goniometrických funkcí
x [°]
42. Technická matematika
1145 Tabulka funkce sinus a tangens
x sin x tg x          x sin x tg x          x sin x tg x
1 0,0175 0,0175 31 0,5150 0,6009 61 0,8746 1,8040
2 0,0349 0,0349 32 0,5299 0,6249 62 0,8829 1,8807
3 0,0523 0,0524 33 0,5446 0,6494 63 0,8910 1,9626
4 0,0698 0,0699 34 0,5592 0,6745 64 0,8988 2,0503
5 0,0872 0,0875 35 0,5736 0,7002 65 0,9063 2,1445
6 0,1045 0,1051 36 0,5878 0,7265 66 0,9135 2,2460
7 0,1219 0,1228 37 0,6018 0,7536 67 0,9205 2,3559
8 0,1392 0,1405 38 0,6157 0,7813 68 0,9272 2,4751
9 0,1564 0,1584 39 0,6293 0,8098 69 0,9336 2,6051
10 0,1736 0,1763 40 0,6428 0,8391 70 0,9397 2,7475
11 0,1908 0,1944 41 0,6561 0,8693 71 0,9455 2,9042
12 0,2079 0,2126 42 0,6691 0,9004 72 0,9511 3,0777
13 0,2250 0,2309 43 0,6820 0,9325 73 0,9563 3,2709
14 0,2419 0,2493 44 0,6947 0,9657 74 0,9613 3,4874
15 0,2588 0,2679 45 0,7071 1,0000 75 0,9659 3,7321
16 0,2756 0,2867 46 0,7193 1,0355 76 0,9703 4,0108
17 0,2924 0,3057 47 0,7314 1,0724 77 0,9744 4,3315
18 0,3090 0,3249 48 0,7431 1,1106 78 0,9781 4,7046
19 0,3256 0,3443 49 0,7547 1,1504 79 0,9816 5,1446
20 0,3420 0,3640 50 0,7660 1,1918 80 0,9848 5,6713
21 0,3584 0,3839 51 0,7771 1,2349 81 0,9877 6,3138
22 0,3746 0,4040 52 0,7880 1,2799 82 0,9903 7,1154
23 0,3907 0,4245 53 0,7986 1,3270 83 0,9925 8,1443
24 0,4067 0,4452 54 0,8090 1,3764 84 0,9945 9,5144
25 0,4226 0,4663 55 0,8192 1,4281 85 0,9962 11,430
26 0,4384 0,4877 56 0,8290 1,4826 86 0,9976 14,300
27 0,4540 0,5095 57 0,8387 1,5399 87 0,9986 19,081
28 0,4695 0,5317 58 0,8480 1,6003 88 0,9994 28,636
29 0,4848 0,5543 59 0,8572 1,6643 89 0,9998 57,290
30 0,5000 0,5774 60 0,8660 1,7321 90 1,0000

Stupně, nebo radiány?

Úhel v radiánech umožňuje přímý výpočet délky oblouku

V technické praxi se velmi často místo jednotky pro velikost úhlu stupeň [°] používá jednotky radián [rad] tzv. oblouková míra. Použití obou jednotek má své opodstatnění. Zatímco v případě stupňů používáme 360 dílnou stupnici tak u radiánů stupnici o velikosti . To má výhodu především pro případy, kdy se s úhly dále pracuje navazujících výpočtech (i v jiných než v trigonometrických), protože součin úhlu v radiánech a délky přepony je délkou oblouku vytvořené přeponou (přepona se v takovém případě nazývá průvodič). Takže při pootočení průvodiče o celou otáčku bude délka oblouku rovna obvodu kruhu 2π·c, proto plný úhel v radiánech je roven právě 2π=360°. Podobně oblouk vytvořený pootočením průvodičem o čtvrt otáčky musí být velký jako čtvrt kruhu 2π·c/4, takže π/2=90° apod. (Obrázek 403) Převod stupňů na radiány je potom jednoduchý X/(2π)=x/360, kde velké X je úhel v rad (viz. také Převodník 1146, [33]).

42_28
42. Technická matematika

apod. (Obrázek 403) Převod stupňů na radiány je potom jednoduchý X/(2π)=x/360, kde velké X je úhel v rad (viz. také Převodník 1146, [33]).

403
Vlastnosti úhlu vyjádřeného v radiánech
Úhel v radiánech násobený délkou průvodiče c je roven velikosti oblouku kružnice o poloměru c.
1146 Převodník stupňů na radiány
Převodník stupňů na radiány
Úhel ve stupních je pro techniky přijatelnější jemnější stupnicí a především si je lépe představují

A proč tedy používáme i stupně? Pro výpočet oblouku pomocí zadaného úhlu ve stupních je sice nutné tyto úhly převést na radiány, ale jednotky stupně mají výhodu ve velmi jemné stupnici a důležité úhly jako pravý úhel 90°, ostrý úhel 45°, přímý úhel 180° a další frekventované úhly 30° a 60° jsou celá čísla. Proto se s dekadickou stupnicí úhlů pracuje mnohem snáz při konkrétních geometrických představách a používají se pro kótování úhlů ve výrobní dokumentaci nějaké součástky, v plánech domů a jiných technických dokumentacích. Radiány ale mají výhodu při širších výpočtech, kdy trigonometrický výpočet je součástí rozsáhlejšího výpočtu a úhly jsou vstupem i do jiných výpočtů (velikosti oblouku, úhlové rychlosti apod.).

Gomiometrické funkce při popisu vlnění

Amplituda
Sinusový vektor

Průběhem funkce sinus lze popsat i vlnění. Ve vlnové mechanice se hodnota funkce sinus pro konkrétní úhel nazývá amplituda. Délka amplitudy a příslušný úhel vytvoří vektor (šipka orientovaná v prostoru ukazující směr, délka šipky je označovaná jako velikost vektoru). Jestliže si dokážeme představit amplitudu funkce sinus jako vektor, který mění svou velikost tak, jak se otáčí kolem svého počátku, pak už nejsme daleko pochopit jak nakreslit průběh této funkce pouze pomocí pravítka a kružítka (Obrázek 1177).

42. Technická matematika

jako velikost vektoru). Jestliže si dokážeme představit amplitudu funkce sinus jako vektor, který mění svou velikost tak, jak se otáčí kolem svého počátku, pak už nejsme daleko pochopit jak nakreslit průběh této funkce pouze pomocí pravítka a kružítka (Obrázek 1177).

1177
Sinusový vektor
A [...] amplituda (jestliže A=1 jedná se o čistě funkci sinus); ψ [...] funkce, která je funkcí sinus (ψa příklad sinusového vektoru pro hodnotu x=1,16·π – jedná se o vektor o délce ψa svírající úhel 1,16·π≐208,8°). Důkaz rovnosti r=1/2·A, respektive, že čerchované křivky na obrázku vpravo jsou kružnice je proveden v Příloze 1177, s. 42_75.
Amlituda pravděpodobnosti

Takový vektor má tu vlastnost, že se jeho velikost mění v závislosti na úhlu přesně podle funkce sinus. Takové vektory nejsou užitečné jen při popisu vlnění ale i při výpočtu pravděpodobnosti nějakého děje, který má průběh jako funkce sinus, v takovém případě se výsledný vektor nazývá amplituda pravděpodobnosti.

Konečná matematika

Pro periodicky se opakující děje jako je denní čas

Konečná matematika se používá pro peirodicky se opakující děje, například pro měření času v rámci jednoho dne, jednoho roku apod. Důležitou roli hraje také u goniometrických funkcí a kvantové mechanice. Takže konečnou matematiku drtivá většina z nás používá každý den.

Množina čísel, se kterou pracujeme je jasně omezena

Princip tohoto druhu matematiky spočívá v tom, že je omezená maximální hodnotou čísla. Při měření času v rámci dne je to číslo 12 (nebo 24 při 24hodinovém formátu), v rámci hodiny 60 (minut) apod. V goniometrii je maximální úhel roven nebo 360° atd. Konečná matematiky zpravidla obsahuje i nulu, která se kryje s maximální hodnotou, protože stupnice (osa) čísel konečné matematiky je uzavřená a nejčastěji se znázorňuje jako kruhová (Obrázek 1182).

42_30
42. Technická matematika
1182 Příklady stupnic konečné matematiky
Příklady stupnic konečné matematiky
(a) dvanáctistupňová stupnice používaná u k určení času (hodinový ciferník); (b) stupnice používaná v goniometrii a stanovování úhlů.
Pravidla počítání v konečné matematice

V konečné matematice se používají matematické operace stejným způsobem jako při operacích s časem ve dvanáctihodinovém cyklu. Například součet 8h+10h=6h. Tímto způsobem fungují goniometrické funkce, a proto úhel 390° dá hodnotu goniometrické funkce stejnou jako pro 30° apod například π+10π=π atd.

Parciální derivace

Derivace funkce j-proměnných

Derivace funkce j-proměnných, výsledkem je soustava j-rovnic

V technice a fyzice se často vyskytují veličiny, které jsou funkcí více nezávislých proměnných a právě takových funkcí se týká parciální neboli částečná derivace. Například pro u=f(x, y) je veličina u funkcí dvou veličin a to x a y. Takový typ rovnice je možné derivovat podle proměnné x i y, přičemž, když se derivuje podle jedné proměnné, tak druhá je považována za konstantu [1, s. 395], jinými slovy jsme s funkce f(x, y) vytvořili nejprve dvě funkce fx(x, y=konst.), fy(x=konst., y). Výsledkem parciální derivace takové funkce je soustava dvou rovnic, viz Rovnice 269). Taková soustava rovnic se využívá například při hledání gradientu skalárního pole nebo přírůstku funkce známé jako totální diferenciál – oba tyto matematické pojmy mají své vlastní kapitoly uvedené v další části článku. Obecně platí, jestliže funkce obsahuje j nezávisle proměnných, potom výsledkem parciální derivace takové funkce bude soustava s j rovnicemi.

269 Parciální derivace funkce u=f(x, y)
Parciální derivace funkce u=f(x, y)
(a) označení parciální derivace písmenem d (dolní index označuje, která proměnná je při derivaci konstantní) [8, s. 189]; (b) pro přehlednost se upouští od indexů a pro označení parciální derivace se používá místo písmene d znak (partial).
42. Technická matematika
Pravidla derivování jsou stejné jako pro funkce jedné proměnné

Pro parciální derivace přírozeně platí stejná pravidla derivovaní jako pro funkce jedná proměnné, a parciální derivace má i stejnou interpretaci (jedná se o směrnici tečny k průběhu funkce ve směru osy proměnné podle, které se derivuje). To znamená, že uvedené dvě parciální derivace v určitém bodě soustavy souřadnic u-x-y představují dvě tečny k této ploše vytvořenou funkcí f.

Příklad aplikace
Průtokový kužel trysky

Vlastnosti a postup při parciální derivaci lze dobře předvést na příkladu jednoho z nejznámějších vztahů v termodynamice43., což je rovnice pro hmotnostního průtoku ideálního plynu tryskou40. při podzvukových rychlostech, viz Úloha 214. Tato rovnice obsahuje dvě proměnné (Rovnice 1144) a to tlak před tryskou a za tryskou, proto výsledkem parciální derivace budou dvě rovnice. Jedna rovnice bude udávat jak se bude měnit průtok tryskou, když se bude měnit tlak před tryskou a druhá jak se bude měnit průtok, když se bude měnit tlak za tryskou. Výsledkem je prostorová plocha označovaná jako průtokový kužel trysky.

214 Úloha
Proveďte parciální derivaci rovnice pro hmotnostní průtok ideálního plynu tryskou podzvukovou rychlostí. Předpokládejte konstantní celkovou teplotu plynu před tryskou. Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 214, s. 42_57.
1144 Rovnice pro hmotnostní průtok tryskou
Rovnice pro hmotnostní průtok tryskou
m [kg·s-1] hmotnostní průtok plynu tryskou; pe [Pa] tlak na výtoku z trysky (protiltak); κ [-] konstanta adiabaty; pci [Pa] celkový tlak na vstupu do trysky; Ae [m2] průtočný průřez na vstupu do trysky; r [J·kg-1·K-1] individuální plynová konstanta plynu; Tci [K] celková teplota43. plynu; a, b, c, d, e konstanty; mmax [kg·s-1] maximální průtok plynu tryskou, při kterém přestává reagovat na další snižování protitlaku pe. Jedná se o rovnici průtoku tryskou odvozenou v podkapitole Hmotnostní průtok tryskou a kritický tlakový poměr40..
Parciální derivace ve válcové soustavě souřadnic

Parciální derivace v jiné soustavě souřadnic už může být trochu složitější, protože diferenciály musíme transformovat. Například pro válcovou soustavu souřadnic se parciální derivace provádí podle proměnných r, u a a a protože diferenciál v obvodovém směru lze vyjádřit jako součin délky průvodiče a diferenciálu úhlu ν tj. du=r·dν je ve jmenovateli derivace podle úhlu ν součin r·dν, viz Vzorec 679.

42_32
42. Technická matematika
679
Derivace funkce k=f(r, ν, a) ve válcové soustavě souřadnic
Vzroce ukazují parciální derivace funkce k=f(r, u, a) ve válcové soustavě souřadnic.

Totální diferenciál aneb přírůstek funkce

Jedná se o součet všech dílčích změn

Kdybychom chtěli vědět jak se změní průtok tryskou z Úlohy 214, když se změní průtok, jestliže se změní oba tlaky před i za tryskou o diferenciály dpci, dpe, pak způsobí změnu průtoku dmpe, respektive dmpci, celková změna průtoku dm je pak součtem těchto změn. Právě tento výsledný diferenciál se nazývá totálním diferenciálem nebo také přírůstek funkce dvou a více proměnných. Obecně lze říci, že totální diferenciál veličiny u, která je dána funkcí f dvou proměnných x, y (u=f(x, y)) bude du. Totální diferenciál du představuje přírůstek funkce ve vyšetřovaném bodě (ve kterém jsou známy parciální derivace) třírozměrné soustavě souřadic u-x-y, jestliže se změní velikost proměnných o diferenciály dx, dy, což je graficky znázorněno na Obrázku 263. Rovnici pro totální diferenciál lze dále upravit na tvar du=duy/dx·dx+dux/dy·dy=∂u/∂x·dx+∂u/∂y·dy. Takový součet platí i pro funkce s více jak dvěma proměnnými [1, s. 396], viz obecný Vzorec 377 pro totální diferenciál.

263 Totální diferenciál funkce u=f(x, y)
Totální diferenciál funkce u=f(x, y)
V tomto případě se jedná o funkci jejíž přírůstek ve směru x je klesající duy<0 a ve směru y rostoucí dux>0. Totální diferenciál neboli přírůstek funkce v okolí vyšetřovaného bodu P je tedy součtem přírůstků v jednotlivých směrech (parciálních přírůstků) du=duy+dux.
377 Totální diferenciál funkce j-proměnných
Totální diferenciál funkce j-proměnných
j počet proměnných; n proměnná.
205 Úloha
Určete totální diferenciál průtoku plynu tryskou. Využijte poznatků z Úlohy 214, s. 42_32. Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 205, s. 42_57.
42. Technická matematika
387 Úloha
Určete totální diferenciál rovnice kontinuity proudění tekutiny v kanále. Rovnice má tvar A·ρ·c=K, kde A [m2] je průtočný průřez kanálu, ρ [kg·m-3] je hustota, c [m·s-1] rychlost tekutiny, K [kg·s-1] je hmotnostní průtok, který je konstantní. Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 387, s. 42_59.

Vektory

Vektor má složky

Vektorové veličiny obsahují o jedné veličině více údajů než její absolutní velikost (skalární hodnota). Budeme-li se soustředit na techniku, tak vektorová veličina udává hodnoty vyšetřované veličiny v různých směrech. Například rychlost tělesa můžeme sledovat podél osy x, y a z, takže obsahuje tři hodnoty cx, cy, cz, ale také ji lze vyjádřit jednou hodnotou a to ve směru pohybu (skalární hodnota). Vektorová veličina je kvalitativně jiná než skalární, dá se říct, že je nadřazená skalární, protože skalární hodnotu s vektorové vypočítáme, ale nikoliv naopak. Vektorové veličiny mohou mít jiné vlastnosti než její skálární protějšky.

916 Rychlost tekutiny ve vyšetřovaném bodě jako vektor
Rychlost tekutiny ve vyšetřovaném bodě jako vektor
Ω vymezení vyšetřovaného objemu; Ψ proudnice (trajektorie částic tekutiny); i vstup tekutiny do vyšetřovaného objemu; e výstup tekutiny z vyšetřovaného objemu; B poloha vyšetřovaného bodu. cx, y, z [m·s-1] složky rychlosti tekutiny do jednotlivých směrů ve vyšetřovaném bodě. c [m·s-1] Velikost vektoru (rychlosti) ve vyšetřovaném bodě
Místo tří rovnic jedna
Vektorová algebra

Rovnice k popisu rychlosti ve vyšetřovaném objemu musí tedy obsahovat tři rovnice (pro každý směr jednu) a v případě, že se bude jednat o nestacionární proudění, budou rovnice funkcí i času [5, s. 294]. Navíc tvary rovnic budou ovlivněny i polohou a orientací soustavy souřadnic. Naštěstí zápis těchto rovnic a operace s nimi usnadňují pravidla vektorové algebry (například zápis vektoru, vektorový součet, součin apod), jejich soupis lze nalézt v [4], [1, s. 219], [8, s. 342]. Vektorovou algebru zavedl Němec Hermann Grassmann (1809-1877) povoláním učitel [10, s. 180], [21, s. 66]. Hlavní výhody vektorového zápisu/počtu názorně vyjadřují slova František Kejla [1, s. 219]: Jeho největší výhody záleží v tom, že jednak pomocí zvláštní symboliky umožňuje velmi jednoduchý zápis vztahů, které by se jinak vyjadřovaly těžkopádnými a nepřehlednými vzorci, jednak dává možnost vyjádřit různé zákony ve tvaru nezávislém na zvolené soustavě souřadnic.

42_34
42. Technická matematika

názorně vyjadřují slova František Kejla [1, s. 219]: Jeho největší výhody záleží v tom, že jednak pomocí zvláštní symboliky umožňuje velmi jednoduchý zápis vztahů, které by se jinak vyjadřovaly těžkopádnými a nepřehlednými vzorci, jednak dává možnost vyjádřit různé zákony ve tvaru nezávislém na zvolené soustavě souřadnic.

Vektorová veličina jako funkce
Vektorová analýza

Mimo pojem vektorová algebra se lze ještě setkat s pojmem vektorvá analýza, což už je širší pojem pro operace vektory jakožto funkcemi, viz následující podkapitoly.

Užití například při vyšetřování rychlosti v mechanice kontinua

V této kapitole se zaměříme zejména na užití vektorů v mechanice kontinua pro popis spojitých vlastností a stavu látky či energie ve vyšetřovaném prostoru a čase. Jakákoliv sledovaná veličina (tlak, teplota, rychlost, hustota, vnitřní energie apod.) se může spojitě měnit ve vyšetřovaném objemu podle souřadnice i v čase. Například rychlost proudění ve vyšetřovaném objemu se může měnit podle toho jaké síly působí na proudící tekutinu, a pokud se budou tyty síly v čase měnit, lze očekávat, že se bude měnit i rychlost tekutiny – bude zrychlovat nebo zpomalovat.

Gradient

Směr a velikost růstu i stavových veličin

Gradient má užší smysl než vektor v tom, že se jedná o změny vyšetřované veličiny ve vyšetřovaném objemu pouze se souřadnicí. Například si definujme gradient teploty vody v rybníku – pak gradient teploty vody je vektor, který směřuje z vyšetřovaného bodu směrem k vyšší teplotě – ukazuje směr v jakém nejrychleji roste teplota vody – velikost vektoru udává o kolik se zvýší teplota vody při pohybu daným směrem o vzdálenost 1 m, to bychom zapsali způsobem jaký je uveden v Vzorci 52. Znamená to, že gradient lze vytvořit i ze stavových veličin43., například i pro hustotu, pevnost, tlak, energii atd.

52 Příklad gradientu
Příklad gradientu
t [°C] teplota vody; a vektor. Popis v textu.
Určení směru gradientu

Směr gradientu lze v některých případech určit triviálním způsobem. Například směr gradientu potenciální energie vody v nějaké nádobě bude proti směru gravitačního zrychlení (ve směru kolmém na hladinu bude ode dna potenciální energie vody růst), protože potenciální energie je definována vzorcem e=g·y, viz Obrázek 918, s. 42_36.

42. Technická matematika
918 Gradient potenciální energie vody v nádobě
Gradient potenciální energie vody v nádobě
grad e [J·kg-1·m-1] gradient potenciální energie (směr růstu potenciální energie ve vyšetřovaném bodě a jeho velikost v závislosti na souřadnici) v bodě B; g [m·s-2] gravitační zrychlení. Vyšetřovaná oblast Ω je celý objem vody v nádobě.
Z gradientů lze sestavit rovnice zachování

Pomocí gradientu lze vyjádřit i zákon zachování energie43. ve vyšetřovaném objemu proudící tekutiny. Podle prvního zákona termodynamika může tekutina obsahovat již zmíněnou potenicální energii, ale i kinetickou, tlakovou a vnitřní tepelnou energii. Současně ze zákona zachování musí platit, že klesá-li v nějakém směru gradient jednoho druhu energie, tak v tom samém bodě a směru musí gradient jiné energie růst apod. Jinými slovy součet gradientů těchto energií musí být roven nule. Pokud roven nule není, pak to jednoduše znamená, že tato tekutina sdílí energii se svým okolím a to buď ve formě práce nebo tepla. Toto tvrzení lze tedy zapsat Rovnici 746. Pomocí takové rovnice lze vyšetřit proudění po libvolné proudnici mezi vstupem a výstupem.

746 Energetická rovnice proudění
Energetická rovnice proudění
Ω vyšetřovaný objem. ci [m·s-1] rychlosti proudění na vstupech do vyšetřovaného objemu; ce [m·s-1] rychlosti proudění na výstupech z vyšetřovaného objemu; ai [J·kg-1] měrná vnitřní práce43. tekutiny; q [J·kg-1] měrné teplo sdílené s okolím (může se jednat o teplo přiváděné/odváděné do/z pracovní tekutiny přes hranici vyšetřovaného objemu nebo i o teplo vzniklé/spotřebované chemickou reakcí uvnitř vyšetřovaného objemu); u [J·kg-1] měrná vnitřní tepelná energie43.; ρ [kg·m-3] hustota tekutiny; p [Pa] tlak; c [m·s-1] rychlost tekutiny ve vyšetřovaném bodě. Předpoklady sestavení rovnice: ustálené proudění tekutiny; na vstupní ploše do vyšetřované oblasti je celková mechanická energie stejná. Poslední rovnice je naprosto klíčová rovnice pro studium mechaniky kontinua a v různých obdobách i ji obsahují téměř všechny energetické rovnice známe v hydromechanice i Navier-Stokesova rovnice38..
Jak by to vypadlo bez vektorové algebry

Kdyby neexistoval vektorová algebra, pak bychom museli poslední rovnici rozepsat do jednotlivých směrů, tzn. vytvořit energetickou bilanci pro každý směr, viz Rovnice 1233.

42_36
42. Technická matematika
1233 Energetická rovnice proudění – rozepsaná pro jednotlivé směry
Energetická rovnice proudění – rozepsaná pro jednotlivé směry
Rovnice jsou rozepsány pro pravoúhlou soustavu souřadnic.

Gradienty skalárních veličiny a některé jejich vlastnosti

Potenciální funkce
Hladiny skalárního pole
Potenciální vektorové pole

Jestliže v celém vyšetřovaném objemu Ω je vyšetřovaná veličina dopočitatelná podle nějaké funkce u=f(x, y, z) a tato funkce je v celé oblasti spojitá (tzn.v každém bodě oblasti Ω má veličina u danou hodnotu – skalár, číslo) [37, s. 12]. V takovém případě lze gradient této veličiny spočítat pomocí Vzorce 417. Plochy, na kterých je u=konst. jsou tzv. hladiny skalárního pole [1, s. 226] a funkci u nazýváme potenciální, protože je fukcí pouze polohy. Současně pole vzniklé z gradinetu potenciální funkce nazýváme potenciálním vektorovým polem.

417 Gradient funkce u=f(x, y, z)
Gradient funkce u = f(x, y, z)
(nabla) diferenciální Hamiltonův operátor.
Například gradient potenciální energie je vektor gravitačního zrychlení

Vraťme se nyní ke gradientu potenciální energie ve sklenici vody z Obrázku 918. V tomto případě jsme schopni sestavit funkci pro výpočet potenciální energie v celém objemu vody a to vzorcem: e=-g·y (g≈-9,81 m ·s-2), takže dosazením této funkce do Rovnice 417 získáme gradient potenciální energie ve sklenici vody ve tvaru: grad e = a(0, -g, 0). Obecně lze pro gradient potenciální energie (při konstantní hodnotě gravitačního zrychlení) odvodit Vzorec 1234.

1234 Gradient potenciální energie
Gradient potenciální energie
g [m·s-2] gravitační zrychlení musí být v tomto případě konstanta, aby se jednalo o potenciální vektorové pole.
Pomocí gradinetu funkce lze snadno zjistit její přírůstek

Všimněte si, že gradient lze tak, jak ho chápeme v technice, vytvořit pro funkce, které se mění pouze se souřadnicí, tudíž jednotlivé složky gradientu jsou současně i parciální derivace této funkce. Pokud bychom chtěli stanovit přírůstek nějaké funkce, pak stačí jednotlivé složky gradientu vynásobit diferenciály vzdáleností (pro složku ve směru x diferenciálem dx atd.) tak, jak se počítá přísůstek funkce z parciálních derivací v podkapitole Totální diferenciál aneb přírůstek funkce, s. 42_33. Obecně se taková operace zapíše Rovnicí 677.

42. Technická matematika

Totální diferenciál aneb přírůstek funkce, s. 42_33. Obecně se taková operace zapíše Rovnicí 677.

677 Přírůstek funkce
Přírůstek funkce
Diferenciál ds se nazývá jednotkový vektor směru.
Grad. v nepotenciálních nebo nespojitých funkcí

Pokud neexistuje pro vyšetřovanou veličinu spojitá potenciální funkce u=f(x, y, z), pak lze hodnoty gradientů řešit pomocí statistiky, podobnosti apod.

1085 Úloha
Určete gradient tlaku kapaliny v nádobě, zakreslete hladinu procházející bodem P[xi, yi, zi] a rovnici pro přírůstek tlaku v této nádobě. Uvažujte, že na kapalinu působí pouze tíhové zrychlení (homogenní tíhové pole). Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 1085, s. 42_73.

Vlastnosti potenciálních vektorových polí

Dvě základní vlastnosti

Jestliže vektorová veličina a je gradientem potenciální funkce u (a=grad u, u nazýváme potenciálem), pak lze z výše uvedené definice gradientu odvodit tyto dvě její vlastnosti: 1. lze zjistit původní funkci u; 2. cirkulace vektoru a musí být rovna nule.

a=grad u: určení u, když je znám a

1/2. Je-li vektor a(ax, ay, az) gradientem potenciální funkce u, pak musí podle Vzorce 677 platit: du=axdx+aydy+azdz a funkci u lze tedy získat integrací rovnice přírůstku du. Funkci u nazýváme potenciálem vektoru a.

Odvození potenciální funkce pro potenciální proudění

Jedním z příkladů potenciálního vektorového pole je vektor rychlosti potenciálního proudění (potenciální proudění proto, že rychlost je považována za gradient nějaké potenciální funkce). Model potenciálního proudění se uplatňuje v hydrodynamice při popisu proudění ideálních tekutin38., pro které má velmi dobré výsledky. Takže bude-li vektor rychlosti proudění c(cx, cy, cz) gradientem funkce u, pak lze z funkce u sestrojit hladiny (u=konst., du=0) a kolmo k těmto hladinám lze sestrojit i proudnice takového proudění, jak názorně ukazuje Úloha 171, viz také příklady v [2, obr. 208], [5, s. 388].

Zrychlení pot. proudění je grad kinetické energie

Na základě předchozího tvrzení o vlastnostech potenciálního proudění lze jednoduše dokázat, že zrychlení proudu je dáno gradientem měrné kinetické energie – viz důkaz v Úloze 961.

Energetická bilance potenciálního proudění

Pro energetickou rovnici potenciálního proudění lze samozřejmě užít Rovnici 746, s. 42_36 s tím, že grad lze vypočítat pomocí Hamiltonova operátoru a místo gradientu kinetické energie psát vektor zrychlení a místo gradientu potenciální energie vektor gravitačního zrychlení, viz Rovnice 1044, ze které je patrné, že při vynechání vlivu vnějšího zrychlení může kapalina zrychlovat jen tehdy, pokud se mění tlak.

42_38
42. Technická matematika
1044 Energetická bilance potenciálního proudění
Energetická bilance potenciální ho proudění
ρ [kg·m-3] hustota tekutiny ve vyšetřovaném bodě. Všimněte si, že rovnice je velmi blízká Eulerovu rovnici hydrodynamiky E.R. ustáleného potenciálního proudění (odvození v Příloze 1044, s. 42_66), což je rovnice silové rovnováhy proudění. V Eulerově rovnici vystupuje gradient tlaku a v energetické rovnici gradient tlakové energie – tyto gradienty nelze u stlačitelných tekutin zaměňovat, respektive nelze vytknout hustotu před gradient tlaku, pokud je uvnitř gradientu a obráceně zařadit hustotu do gradientu tlaku, to by rovnice dostaly jiný význam. Energetická rovnice je pro proudění, které nesdílí teplo s okolím a nekoná práci.
171 Úloha
Odvoďte tvar funkce u jejíž gradient je rychlostí potenciálního proudění c(cx, cy, cz) a rovnici pro proudnice takového proudění, respektive definujte vlastnosti proudnice. Uvažujte proudění v rovině, viz Obrázek 1121. Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 171, s. 42_56.
1121 Popis potenciálního proudění v rovině
Popis potenciálního proudění v rovině
c [m·s-1] rychlost a její složky; u [m2·s-1] potenciální veličina, která je funkcí polohy – její gradient je rychlost proudění; ψ proudnice (trajektorie proudění); n normála křivky proudnice.
961 Úloha
Dokažte, že zrychlení tekutiny je gradientem měrné kinetické energie tekutiny při potenciálním proudění. Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 961, s. 42_64.
1087 Úloha
Určete zrychlení proudu ideálního plynu v potrubí tepelného výměníku. Uvažujte stacionární proudění a vysokou tepelnou vodivost pracovního plynu. Neuvažujte vliv vnějšího zrychlení. Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 1087, s. 42_74.
1040 Úloha
Určete gradient tlaku proudu ideálního plynu v potrubí tepelného výměníku, jestliže znáte funkci pro zrychlení. Použijte výsledky z Úlohy 1087. Neuvažujte vliv vnějšího zrychlení. Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 1040, s. 42_65.
500 Úloha
Určete rovnici pro stanovení obvobdové složky rychlosti tekutiny, která se pohybuje po kruhové dráze kolem středu S. Předpokládejte, že toto proudění je potenciální – jedná se o tzv. potenciální vír. Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 500, s. 42_62.
Cirkulace vektoru v potenciálním vektorovém poli

2/2. Obecně se cirkulací vektoru nazývá integrace součinu vektoru a jednotkového vektoru směru po uzavřené křivce [31], viz Vzorec 390. Pro vektor jenž je gradientem potenciální funkce platí, že jeho cirkulace je rovna nule.

390 Cirkulace vektoru
Cirkulace vektoru
Γ cirkulace vektoru.
42. Technická matematika
Výsledek integrace v potenciálním poli

Proč musí být výsledek cirkulace v tomto případě roven nule? Připoměňme si, že součin vektoru a jednotkového vektoru je roven přírůstku funkce, viz Vzorec 677, s. 42_38. Integrujeme-li přírůstek potenciální funkce, podle křivky mezi body i a e, pak výsledek musí být totožný s rozdílem hodnot vyšetřované potenciální funkce, které má na hladinách, ve kterých leží body i a e, Obrázek 678. Bude-li mít tedy bod e stejné souřadnice jako bod i, pak musí být výsledek integrace roven nule.

678 Aplikace potenciálního vektorového pole
Aplikace potenciálního vektorového pole
Aplikace na případ gradientu tlaku pÚlohy 1085, s. 42_38. Rozdíl tlaků mezi body i a e nezáleží na tom, po jaké dráze (křivka K) je provedena integrace přírůstku tlaku p. Rozdíl tlaků mezi body A a B je tedy správně roven rozdílů tlaků mezi hladinami tlaku, ve kterém tyto body leží. Gradient tlaku vytvořil potenciální vektorové pole.
Cirkulace vektoru jako identifikátor potenciálního vektorového pole

Chceme-li zjistit o vektorové veličině a zda je gradientem nějaké potenciální funkce, tak jedna z možností je provést jeho cirkulaci po uzavřené křivce a z výsledku rozhodnout zda se jedná či nejedná o gradient potenciální funkce. Jestliže by se ale cirkulace nerovnala nule, neznamená to hned, že jsme narazili na vektor, který není gradintem potenciální veličiny. Vzpomeň me definici gradientu, kde je podmínkou, aby potenciální funkce byla definována v celé vyšetřované oblasti. Takže stačí, aby uvnitř křivky, podle které provádíme cirkulaci vektoru obsahovala jediný bod (nebo oblast, například rybu v rybníce), kde nemá funkce řešení a cirkulace vektoru je různá od nuly [2, s. 220]. Pokud ale tvar křivky, po které integrujeme upravíme tak, aby tuto nedefinovanou oblast obcházela, tak cirkulace opět vyjde nula (viz příklad na Obrázku 1235(a)).

1235 Cirkulace rychlosti potenciálního proudění
Cirkulace rychlosti potenciálního proudění
(a) cirkulace rychlosti kolem obtékaného tělesa; (b) potenciální vír. a1 [m2·s-1] konstanta; cu [m·s-1] obvodová složka rychlosti; K, L křivky, po kterých je provedena cirkulace rychlosti. Všimněte si, že cirkulace rychlosti po křivce L v obou případech je různá od nuly, protože uvnitř je těleso (profil), respektive střed S, ve kterém není rychlost c definována. Více informací o potenciálním víru a odvození rovnice pro obvodovou rychlost je uvedeno v příloze Příloha 500, s. 42_62.
42_40
42. Technická matematika

[2, s. 220]. Pokud ale tvar křivky, po které integrujeme upravíme tak, aby tuto nedefinovanou oblast obcházela, tak cirkulace opět vyjde nula (viz příklad na Obrázku 1235(a)).

Nepotenciální vektorové pole

V technické praxi se můžeme setkat s případy, kdy nějaká veličina je potenciální, protože je funkcí pouze souřadnic, ale současně její vektor nevytváří potenciální vektorové pole. Znamená to, že tento vektor nemá potenciál. Typickým příkladem je laminární proudění, jehož rychlost je funkcí pouze souřadnic (kvadratická funkce), ale vektor rychlosti není gradientem potenciální funkce. Samozřejmě gradient rychlosti už potenciální vektorové pole vytváří, viz Úloha 1238. Takové proudění současně nazýváme nepotenciální.

Cirkulace vektoru jako identifikátor těles uvnitř vektorového pole

Na druhou stranu, víme-li zcela jistě, že vyšetřovaná vektorová veličina je gradeintem nějaké potenciální funkce a jeho cirkulace je přesto různá od nuly, pak to může znamenat, že uvnitř křivky, podle které cirkulace byla provedena je těleso. Hodnota cirkulace vektoru je pak údaj jeho nějaké charakteristické vlastnosti (například v aerodynamice se jedná o vztlak16.). V případě potenciálního víru je to údaj jak daleko se nachází integrační křivka od jeho středu, ve kterém nelze definovat potenciál rychlosti, viz Obrázek 1235(b).

Další nástroj k identifikace potenciálních veličin

Dalším nástrojem k odhalování potenciálních veličin skrytých za vektory je tzv. rotor vektoru, viz podkapitola Vírový pohyb tekutiny, s. 42_43. Ovšem v tomto případě už musíme něco vědět o tenzorech. O tenzorovém počtu a jeho vztahu k potenciálním polím pojednává kapitola Tenzorový počet, s. 42_42.

1238 Úloha
Určete gradient rychlosti laminárního proudění a stanovte rovnici pro přírůstek rychlosti. Proveďte cirkulaci rychlosti lam. proudění po uzavřené křivce a rozhodněte, jestli má rychlost potenciál. Řešte případ laminárního proudění v potrubí. Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 1085, s. 42_73.

Divergence vektoru

Definice

Jedná se o součet derivací jednotlivých složek vektoru a(ax, ay, az) výsledkem je tedy číslo neboli skalár [1, s. 228], viz Vzorec 420.

420
Divergence vektoru
(a) v pravoúhlé soustavě souřadnic; (b) ve válcové soustavě souřadnic. V případě divergence ve válcové soustavě souřadnic se vychází z Rovnice 679, s. 42_33 pro parciální derivace ve válcové soustavě souřadnic.
42. Technická matematika
Divergence vektoru v proudění

Divergence vektoru se používá pro bilance objemu tekutiny v okolí vyšetřovaného bodu. Například je-li a vektor průtoku tekutiny stacionárního proudění je součet derivací průtoku v jednotlivých směrech roven nule div a=0. To znamená, že sníží-li se průtok v jednom nebo dvou směrech, musí se v dalším směru/směrech zvýšit, aby byl celkový průtok kolem vyšetřovaného bodu zachován [1, s. 228]. Proto lze divergenci vektoru použít pro zápis rovnice kontinuity. Divergenci lze ale také použít pro prostorový popis zákona zachování energetického toku apod.

Tenzorový počet

Tenzorový počet jako rozšíření vektorového počtu

Při řešení některých úloh v mechanice kontinua již nevystačíme pouze s vektorem a jeho třemi složkami. V předchozích případech, když jsem probírali vektorovu analýzu, tak jsme sledovali změny jednotlivých složek vektoru pouze v jejich směrech (typicky definice divergence vektoru uvedena na předchozí straně), ale v tenzorovém počtu se sledují i změny ve zbývajícíh dvou směrech.

Složky tenzoru

Tenzorový počet umožňuje sledovat přírůstky složek vektoru ve všech směrech, tedy duxx, duyx, duzx, duyx, duyy, duyz, duzx, duzy, duzz (první index označuje proměnnou, podle které derivujeme, druhý index označuje směr přírůstku), můžeme takovou funkci derivovat nejen ve směru proměnné, ale i kolmo na ni – jednotlivé přírůstky můžeme nazvat složkami tenzoru, podobně jako jsou složky vektoru a zapsat je do matice, kterou nazvýváme vektorem. To znamená, že přírůstek v každém směru je ještě závislý na zbývajícíh dvou souřadnicích, jak je ukázáno na Obrázku 909. Tenzor v prostoru má devět složek (ale mimo třírozměrný prostor lze stanovit i větší tenzory [1], [5], [38]). Vektor je tedy speciálním případem tenzoru.

909 Příklad znázornění složek tenzoru
Příklad znázornění složek tenzoru
vlevo Je znám vektor rychlosti v okolí bodu P, který má tři složky cx, cy a cz a zajímá nás změna těchto složek v malé vzdálenosti od bodu P. V takovém případě se složka cx změní při posunutí ve směru osy x od dcxx, ve směru osy y od dcyx a ve směru osy z od dczx atd. pro ostatní složky. Pro zachování přehlednosti nejsou na obrázku zakresleny přírůstky složky rychlosti cz. vpravo Zápis tenzoru přírůstků rychlosti.
42_42
42. Technická matematika

Obrázku 909. Tenzor v prostoru má devět složek (ale mimo třírozměrný prostor lze stanovit i větší tenzory [1], [5], [38]). Vektor je tedy speciálním případem tenzoru.

Napětí

Tři složky někdy prostě nestačí

Pro popis všech možných složek nějakých prostorových veličin v mechanice kontinua nemusí stačit tři souřadnice. Například pro přesný popis napětí v tělesech a tekutinách záleží nejen na směru jejich působení, ale i na ploše, na které napětí vzniká. V tělesech rozeznáváme tzv. normálová napětí, která mohou mít směry x, y, z, také se nazývají tah a tlak (tah obvykle označujeme kladnými čísly, tlak zápornými). Mimo normálových napětí může v tělesech vznikat napětí tečné, mezi které patří smyk a krut. Smyk i krut mohou mít také po třech směrech, takže napětí je tenzor o devíti souřadnicích, viz Obrázek 787. Popisy dalších tenzorů používaných v technice, jako například tenzory momentu setrvačnosti nebo deformace, jsou uvedeny v [42, s. 24] nebo v [39, s. 184].

787 Tenzor napětí ve viskózní tekutině
Tenzor napětí ve viskózní tekutině
(a) při pohybu elementu tekutiny se třou jeho jednotlivé plochy o okolní tekutinu, na každé ploše je znázorněna výsledná třecí síla (šedá barva), ta může mít tři složky (černá barva) – výsledné smykové (tečné) napětí je podíl této síly a třecí plochy; (b) vyznačení jednotlivých směrů tečných napětí v pravoúhlé soustavě souřadnic x, y, z – druhý index označuje směr v němž napětí působí, první index označuje osu kolmou na rovinu, v níž napětí působí; (c) zápis tenzoru napětí. τ [Pa] – napětí. τxx, τyy, τzz jsou normálová napětí.

Vírový pohyb tekutiny

Změny ve více směrech mohou způsobit silovou nerovnováhu a rotaci

Jestliže jsou přírůstky veličin v paralelních směrech nenulové, pak to znamená, že kolem vyšetřovaného bodu může nastat silová nerovnováha, která kontinuum deformuje, protože vněm vzniká již výše zmíněné tečné napětí, nebo v případě tekutin, může dokonce rotovat kolem vyšetřovaného bodu – mluvíme o vírovém pohybu tekutiny.

Úhlová rychlost rotace tekutiny

Rotace tekutiny může nastat, jestliže přírůstky složek rychlosti mimo normálové směry jsou nenulové. Z jejich velikosti lze vypočítat i úhlovou rychlost otáčení tekutiny. Úhlovou rychlost otáčení elementu tekutiny kolem vyšetřovaného bodu P lze stanovit velmi snadno – podívejme se na Obrázek 1031, kde je zobrazen element tekutiny zjišťujeme zda se bude otáčet kolem bodu P, který se nachází v jeho pravém dolní rohu (uvažujeme pro jednoduchost rotaci kolem osy z). Obecně se úhlová rychlost rotace stanoví jako podíl obvodové rychlosti ku ramenu (vzdálenost od osy rotace zapsáno ve tvaru ω=u·r-1, kde ω [rad·s-1] je úhlová rychlost; u [m·s-1] je obvodová rychlost – viz také Vzorec 1077, s. 42_14; r [m] je rameno). V případě vyšetřování rotace v nejbližším okolí bodu P, kde je rychlost tekutiny c(cx, cy, cz), musí obvodová rychlost odpovídat přírůstku rychlosti na ramenu rovnu diferenciálu vzdálenosti od bodu P. Samozřejmě, že v případě vyšetřování rychlosti proudění tekutiny má vyšetřovaní její rotace smysl pro tak velké okolí bodu P, kdy se neprojeví termokinetický pohyb molekul nad pohybem proudění látky jako celku.

42. Technická matematika

stanovit velmi snadno – podívejme se na Obrázek 1031, kde je zobrazen element tekutiny zjišťujeme zda se bude otáčet kolem bodu P, který se nachází v jeho pravém dolní rohu (uvažujeme pro jednoduchost rotaci kolem osy z). Obecně se úhlová rychlost rotace stanoví jako podíl obvodové rychlosti ku ramenu (vzdálenost od osy rotace zapsáno ve tvaru ω=u·r-1, kde ω [rad·s-1] je úhlová rychlost; u [m·s-1] je obvodová rychlost – viz také Vzorec 1077, s. 42_14; r [m] je rameno). V případě vyšetřování rotace v nejbližším okolí bodu P, kde je rychlost tekutiny c(cx, cy, cz), musí obvodová rychlost odpovídat přírůstku rychlosti na ramenu rovnu diferenciálu vzdálenosti od bodu P. Samozřejmě, že v případě vyšetřování rychlosti proudění tekutiny má vyšetřovaní její rotace smysl pro tak velké okolí bodu P, kdy se neprojeví termokinetický pohyb molekul nad pohybem proudění látky jako celku.

1031 Rotace kolem osy rovnoběžné s osou z
Rotace kolem osy rovnoběžné s osou z
(a) úhlová rychlost rotace elementárního objemu podle přírůstku složky rychlosti cx ve směru osy y; (b) úhlová rychlost rotace elementárního objemu podle přírůstku složky rychlosti cy ve směru osy x; (c) přírůstky od jednotlivých složek rychlosti i velikost ramen se mohou měnit a tedy i úhlové rychlosti (v tomto případě působí dokonce proti sobě), proto výsledná úhlová rychlost se bere jako jejich průměr. Viz také postup v [2], [4], [40, s. 1-3]. Přírůstky dcxx, respektive dcyy a dczz nemohou být obvodovými rychlostmi, protože jejich směr prochází bodem P, nemají k tomuto bodu rameno.
Rotace vektoru
Vírové vektorové pole

Vyšetřovaní rotace nejen kontinua, ale třeba i energetických polí je natolik používaná operace, že pro tento účel vznikl obecný vzorec zvaný rotace vektoru odvozený a uvedený pod označení Vzorec 421. Vektorové pole (v našem případě nejčastěji rychlosti) s nenulovou rotací se nazývá vírové vektorové pole [4, s. 202].

421 Rotace vektoru
Rotace vektoru
(a) v pravoúhlé soustavě souřadnic; (b) ve válcové soustavě souřadnic. Ve vzorcích pro rotaci vektoru chybí (respektive se vynechává) před každou složkou konstanta 1/2 takže, jestliže je rotace vektoru na vyšetřované oblasti Ω nenulová rot a≠0 znamená to, že látka ve vyšetřovaném bodě, respektive v jeho okolí se otáčí kolem tohoto bodu jako celek, přičemž délka vektoru rot a je dvojnásobek úhlové rychlosti této rotace (2·ω) a vektor a je rychlost látky. Odvození rotoru rychlosti je v Příloze 421, s. 42_60.
42_44
42. Technická matematika
Nevírový pohyb tekutiny

Dosazením definice gradientu funkce do rovnice rotace vektoru lze velmi snadno odvodit, že rotace potenciálního vektorového pole je nulová (Rovnice 681). Znamená to, že při potenciálním proudění jednotlivé elemnetární objemy tekutiny nerotují, pouze konají posuvný pohyb, říkáme mu nevírový nebo též translační pohyb, naopak jiný druh proudění, kdy se elementární objemy při pohybu nátačí nebo přímo otáčí se nazývá vírový pohyb. Oba pohybu jsou názorně porovnány na Obrázku 920.

681 Rotace grad.
Rotace grad.
Důkaz platnosti této rovonosti je proveden v Příloze 681, s. 42_63.
920 Typy pohybu látky podle rotoru rychlosti
Typy pohybu látky podle rotoru rychlosti
(a) charakter nevírového proudění, respektive potenciálního proudění (částečky proudící látky konají pouze posuvný pohyb v celém vyšetřovaném objemu); (b) charakter vírového pohybu (částečky pohybující se látky se otáčí kolem vyšetřovaného bodu B a zároveň mohou konat i posuvný pohyb, tzn. tuto část pohybu lze popsat potenciální funkcí).
Vliv rotace na energetickou bilanci proudění

Definice nevírového proudění usnadňuje řešení především energetických a silových bilancí proudění. Rotace látky ve vyšetřovaném bodě totiž může spotřebovávat či produkovat energii, která ovlivňuje i posuvný pohyb, proto jsou-li tyto vlivy malé lze s dostatečnou přesností aplikovat rovnice nevírového proudění i na proudění, které očividně nevírové není, například případy rot a=konst., rot a≈0 v celém vyšetřovaném objemu.

Setrvačník versus potenciální vír 82737.

V technické praxi se lze velice často setkat s pohybem látky po kružnici nebo trajektoriím blízkým kružnicím. Typickým příkladem je osově symetrické proudění či rotace disku setrvačníku. Zatím co lze dokázat, že rychlostní pole hmoty setrvačníku vytváří vírové pole (ano je skutečně tomu tak a jakýkoliv vybraný elementární objem setrvačníku rotuje úhlovou rychlostí odpovídající úhlové rychlosti setrvačníku), tak potenciální vír samozřejmě takové pole nevytváří (Obrázek 1086) a rotor rychlosti v potenciálním víru je roven nule [2, s. 219].

1086
Vektorové pole rychlosti pohybu po kružnici
(a) charakteristika posuvného pohybu ideální tekutiny v potenciálním víru kolem středu S; (b) rotace hmoty setrvačníku (hmota v bezprostředním okolí jakéhokoliv bodu setrvačníku rotuje kolem osy rotace s úhlovou rychlostí ω), rot c≠0; (d) rovnice pro kruhový pohyb pevného disku setrvačníku je převzata z [3, s. 42] – tato rovnice je odlišná od rovnice pro potenciální vektorové pole rychlosti, takže vektorové pole rychlosti nemůže být nevírové, lze také dokázat, že uvedená rovnice pro rychlost není gradientem žádné funkce, proto i cirkulace rychlosti po uzavřené křivce K je různá od nuly.
42. Technická matematika

setrvačníku vytváří vírové pole (ano je skutečně tomu tak a jakýkoliv vybraný elementární objem setrvačníku rotuje úhlovou rychlostí odpovídající úhlové rychlosti setrvačníku), tak potenciální vír samozřejmě takové pole nevytváří (Obrázek 1086, s. 42_45) a rotor rychlosti v potenciálním víru je roven nule [2, s. 219].

Vnitřní tření

Aby nějaký objem hmoty začal rotovat je k tomu potřeba dvojice sil. Dvojice sil, které uvádí v malém okolí bodu hmotu do rotace mohou vznikat u reálných tekutin například v důsledku vnitřního tření38. způsobeného viskozitou38.. V technické praxi je proudění vždy vírové, protože viskozita je, až na extrémní výjimky, v každé tekutině. Přesto má smysl, především v případech prostorově složitého proudění, tuto vlastnost v základním výpočtu ignorovat a počítat toto proudění jako potenciální, například pomocí Vzorců 1044, s. 42_39. Jednak tímto přístupem získáme výsledky vhodné pro podrobnější výpočet (například pomocí počítače), a jednak dost často má viskozita na finální výsledek relativně malý vliv.

Kvantový vír
Moment hybnosti

Potenciální vír mohou vytvořit i jednotlivá tělesa pohybující se po kružnici na různých drahách (pokud rotace těchto těles neovlivňzje jejich pohyb po kružnici), takový vír se nazývá kvantový vír. Rozložení energie a tedy ani rychlosti v radiálnímu směru kvantového víru není spojité (plynulé), ale skokové – je kvantováno). Vychází se z toho, že moment hybnosti částice je o násobek celého čísla menší než stejně hmotné částice na vedlejší nižší dráze (Obrázek 1153).

1153
Kvantový vír
m [kg] hmotnost jedné částice; ΔH [m2·s-1] změna momentu hybnosti částic. V tomto případě obsahuje kvantový vír 4 částice.
Atom

Kvantový vír se tvoří například v rotujícím kapalném hélium [32] a po objevu skladby atomu47. se myslelo, že elektrony kolem jádra vytváří v atomu také kvantový vír, to se ale později potvrdilo jen částečně.

42_46
42. Technická matematika

Aproximace v logaritmické soustavě souřadnic

Logaritmický papír jako v hodná pomocka pro získaní parametrů exponenciálních rovnic na základě naměřených dat

Technická praxe samozřejmě zahrnuje i měření. Naměřená data u jednoho zařízení často slouží k predikci parametrů podobného zařízení, takže na základě naměřených dat je potřeba vytvořit nějaký vzorec (empirický vzorec) pomocí něhož by šlo výpočítat sledovanou veličinu i bez měření. Pro aproximaci naměřených dat vhodnou funkcí lze využít logaritmický papír, respektive logaritmického soustavy souřadnic, zvláště pokud očekávaný tvar vzorce je exponenciální. Na logaritmickém papíře jsou i exponenciální křivky přímkami, a proto aproximace bodů z naměřených dat není tak obtížné. Za tímto účelem je na Obrázku 1070 zobrazen logaritmický papír o velikosti 17x17cm. Jestliže proložíme naměřená data v logaritmické soustavě přímkou, tak už není problém pomocí pravidel pro logaritmický počet získat funkci sledované veličiny.

1070 Logaritmický papír – rozměr tří řádů
Logaritmický papír – rozměr tří řádů
42. Technická matematika

17x17cm. Jestliže proložíme naměřená data v logaritmické soustavě přímkou, tak už není problém pomocí pravidel pro logaritmický počet získat funkci sledované veličiny.

Příklad zpracování naměřených hodnot

Například v Tabulce 1256 jsou uvedeny naměřené hodnoty tlakové ztráty v potrubí nějakého vytápěcího systému v závislosti na průtoku vody tímto potrubím. Našim cílem je sestavit na základě těchto dat vzorec pro výpočet tlakové ztráty v závislosti na průtoku. V prvním kroku tedy zakreslíme jednotlivé body na logaritmický papír, což je provedeno na Obrázku 1257. Tímto jsme získali přímku, respektive konkrétní vzorec přímky, který už není problém převést na funkci Δp=f(V). Podrobnější postup viz Úloha 1081.

1256
ΔpZ 10 25,1 62 140 320 700 1400
V 19,64 29,64 50,07 74,61 113,9 161 233,7
ΔpZ [Pa] tlaková ztráta potrubíního systému, V [m3·s-1·105] objemový průtok potrubím.
1257 Hodnoty uvedené v Tabulce 1256 zakreslené na logaritmickém papíře a aproximované přímkou se směrnicí 2
Hodnoty uvedené v Tabulce 1256 zakreslené na logaritmickém papíře a aproximované přímkou se směrnicí 2
ΔpZ [Pa], V [m3·s-1].
1081 Úloha 1081
Nalezněte přibližnou hodnotu konstanty potrubního systému určeného pro vytápění. Potrubím proudí tepla voda. K dispozici jsou naměřené průtoky (V [m3·s-1]) systémem a příslušná tlaková ztráta (Δp [Pa]) uvedené v Tabulce 1256. Převzato a upraveno z [14, s. 17]. řešení Úlohy je uvedeno v Příloze 1081, s. 42_71.
42_48
42. Technická matematika

Matematické stroje neboli počítače

Program
Instrukce
Operační znak
Adresa

Matematické postupy se vyznačují svou univerzálností, proto není divu, že se postupně objevovaly úvahy do jaké míry lze sestavit stroje, které by samy počítaly – vynechme různé pomůcky a strojky pro základní aritmetické operace. Touto otázkou se zabýval i anglický matematik Alan Turing (1912-1954), který dokázal že řešení matematické úlohy lze provést strojem lze-li ji zapsat do tzv. programu [24, s. 305], [28, s. 171], [29, s. 371]. Program je postup výpočtu pro stroj, jeho elementární jednotkou je instrukce neboli pokyny pro stroj jakou operaci má provést zapsané v pořadí v jakém se budou provádět. Každá instrukce musí obsahovat jeden operační znak (každá samostatná operace, které je stroj schopen má svoje číslo, kterému se říká operační znak) a adresu jednotky počítače, která má operaci provést (kam ho uložit – do jaké části počítače) nebo naopak odkud vzít údaj pro zpracování.

Univerzální počítač

Jeho pět základních částí

Strojový celek schopný pracovat podle programu se nazývá univerzální samočinný počítač. Takový matematický stroj obsahuje minimálně pět samostatných mezi sebou komunikujících jednotek: 1. – řadič, 2. operační paměť, 3. vstup, 4. výstup, 5. operační jednotku, viz Obrázek 815.

815 Blokové schéma počítače
Blokové schéma počítače
Ř řadič; OP operační paměť;I vstup; E výstup; OJ operační jednotka; CPU centrální procesorová jednotka (Central Processing Unit). Jedná se o schéma počítače, které navrhl americký matematik John von Neumann (1903-1957). Tento typ počítače obsahuje pět jednotek, takže instrukce programu může mít pět různých adres. Existují i jiná bloková schémata počítače, ale velmi podobná.
Řadič

1/5. Řadič je jednotka, která je schopna přečíst program. Na základě instrukcí v programu rozesílá požadavky do dalších čtyř jednotek. Existují počítače, které nemají cestu z operační paměti do řadiče. U těchto počítačů je program uložen v řadiči a nelze ho měnit nebo má svůj vlastní vstup pro změnu programu zvnějšku. Tak tomu bylo i v raných dobách stavby počítačů. Současné počítače obsahují i několik časově synchronizovaných řadičů. Konstrukce řadiče je uvedena například v knihách Matematické stroje, Vzor v kameni [17, s. 154], [45].

42. Technická matematika

zvnějšku. Tak tomu bylo i v raných dobách stavby počítačů. Současné počítače obsahují i několik časově synchronizovaných řadičů. Konstrukce řadiče je uvedena například v knihách Matematické stroje, Vzor v kameni [17, s. 154], [45].

Operační paměť

2/5. Operační paměť Dříve jen paměť – je schopna uchovávat čísla, tj. mezivýsledky, výsledky a i program, který je také napsán ve formě čísel. Do ni může zapisovat řadič, operační jednotka i vstupní zařízení. Od řadiče může dostat příkaz k odeslání čísla do výstupní jednotky.

Vstup

3/5. Vstupem do zařízení se rozumí zařízení, kterým se dostávají čísla nebo i program do paměti (například klávesnice, měřící čidla apod).

Výstup

4/5. Výstupem ze zařízení se rozumí zařízení, kterým se ukládají/zobrazují/zapisují konečné výsledky (například tiskárna, monitor, paměť apod). Vstupy a výstupy určené pro lidské smysly jsou tomu uzpůsobeny.

Operační jednotka

5/5. Operační jednotka je zařízení, jehož konstrukce zvládá početní operace jak základní aritmetické tak logické, proto se ji také říká aritmeticko-logická jednotka. Počet operací, které tato jednotka zvládne přímo je dána její konstrukcí. Obvykle umí přímo základní aritmetické operace. Například pokud má obvody pro násobení, tak násobí přímo (v programu je napsáno násob dvě čísla a operační jednotka ví jak to má udělat – má pro to číslo operace). Jestliže obvod pro násobení nemá musí program obsahovat i postup násobení obvody, které k dispozici má. Dnešní počítače mohou obsahovat i několik operačních jednotek. Konstrukce operační jednotky je posána např. v knize Matematické stroje [17, s. 148].

Operační kód

Množství operací, kterých je matematický stroj schopen záleží na jeho konstrukci. Seznam těchto možných operací se nazývá operační kód. Čím větší je operační kód stroje tím je rychlejší a jeho programování snažší na druhou stranu je složitější a dražší. Turing dokázal, že nejjednodušší počítač, který by dokázal splnit jakkoliv složitý výpočet – cokoliv lze spočítat to spočítat dokáže – by měl operační kód o velikosti 6. Takový stroj dnes nazýváme Turingovým strojem.

Turingův stroj

Turingův stroj by obsahoval řadič s programem, nekonečnou pásku pro zápis/čtení výsledků, čtecí, záznamové, posouvací a mazací zařízení. Na pásce by byl záznam ve dvojkové soustavě, která je minimalistická co se týká množství potřebných znaků [28, s. 169]. Operační kód by vypadal takto: (1) posun pásky o jedno políčko doleva; (2) posun pásky o jedno políčko do prava; (3) zaznamenat symbol 0; (4) zaznamenat symbol 1; (5) smazat zaznamenaný symbol; (6) zastavit se [17, s. 87]. Jedná se o jednoduchý stroj, ale jeho programování by bylo obtížné a úlohy by plnil velmi pomalu.

42_50
42. Technická matematika

(3) zaznamenat symbol 0; (4) zaznamenat symbol 1; (5) smazat zaznamenaný symbol; (6) zastavit se [17, s. 87]. Jedná se o jednoduchý stroj, ale jeho programování by bylo obtížné a úlohy by plnil velmi pomalu.

Dva typy počítačů

Z pohledu fungování, lze počítače rozdělit ještě na: 1. analogové; 2. číslicové neboli digitální.

Analogové počítače

1/2. Analogové počítače pracují na principu velikosti signálů, kterým může být síla, napětí, tlak, posun apod. Například pro násobení by mohlo být používáno logaritmické pravítko, u kterého by se snímal posuv. Je očividné, že složitější analogový počítače by byl náchylný na chyby a poruchy [17], které by souvisely s přesností výroby a dnes se prakticky používají jen jako neprogramovatelné jednoduché stroje, například pro regulaci.

Číslicové počítače

2/2. Číslicové počítače pracují na principu nějaký signál/žádný signál (posun, napětí, tlak, síla) , respektive rozlišují pouze dva stavy a nikoliv sílu signálu. Počítání pouze se dvěma možnými stavy lze díky Booleovy algebře [17, s. 105]. Tuto algebru vytvořil anglický matematiky George Boole (1815-1864) při popisu se obvykle tyto stavy označují symboly či výrazy 0/1, ano/ne apod.

Programy matematických strojů

Programovací jazyk
Kompilační program
Software

Velikost a text programu počítače závisí na jeho operačním kódu případně i na výrobci. Během desítek let vývoje počítačů ale došlo k vývoji normovaných programovacích příkazů neboli vzniku programovacích jazyků, těch je více. Takový programovací jazyk je lépe srozumitelný lidem použitím mnohem širší sady symbolů než 0/1 (nejčastěji zkratky anglických slov). Program napsaný v tomto jazyce potom jiný, tzv. kompilační program, automaticky přepisuje do konečného programu pro počítač. Dříve se vkládal program přímo do řadiče dnes ho tam vkládá automaticky speciální program. Programové vybavení počítače se cizím ale frekventovaným slovem nazývá software.

Matematický software
Dva základní typy mat. softwaru

Hlavní přesnou výpočetní pomůckou technika je počítač případně kalkulačka. Z pohledu uživatele není podstatná samotná konstrukce a princip matematických strojů, ale jejich způsob komunikace s uživatelem, tj. forma zadání a forma výsledků, což zajišťuje v tomto případě matematický software. Matematický software lze rozdělit podle výpočetní metody, pro kterou je primárně určen, těmito metodami jsou: 1. analytické výpočetní metody; 2. numerické výpočetní metody. Obě metody může provádět i člověk "ručně", ale zejména u těch rozsáhlých numerických úloh bude mnohem pomalejší než počítač.

42. Technická matematika

provádět i člověk "ručně", ale zejména u těch rozsáhlých numerických úloh bude mnohem pomalejší než počítač.

Analytické metody

1/2. Software pracující s analytickými metodami pracuje přímo s funkčními závislostmi mezi jednotlivými proměnnými a vztahy mezi nimi. Požadovaným výsledkem je nový tvar funkční závislosti. Například analytické řešení rovnice a1·x+a2=a3 je x=(a3-a2)/a1.Celý proces probíhá v několika krocích, kdy výpočtář zadá tvar rovnice, definuje co je konstanta, co proměnná a jaký tvar výsledku je požadován (v tomto případě vyjádření proměnné x) a následuje krok softwaru, který vygeneruje řešení, viz Obrázek 1082. Počet nutných kroků se podle softwaru může lišit, velmi záleží na tom jakou vlastnost software přiřazuje jednotlivým znakům, které lze při zápisu rovnice použít. Představitelem tohoto typu softwaru je například Maple [18]. Tento typ softwaru obvykle dokáže zpracovat většinu algebraických úloh a například umí nalézt řešení i neurčitých integrálů apod. Jestliže je požadován číselný výsledek stačí zadat hodnoty konstant.

1082 Základní kroky při řešení rovnice analytickým softwarem
Základní kroky při řešení rovnice analytickým softwarem
Na obrázku je analytické řešení lineární rovnice o jedné neznámé, která je uvedena na Obrázku 963, s. 42_21. Zkratka var označuje proměnnou; zkratka con konstantu.
Numerické metody (přímé a nepřímé)

2/2. Software pro numerické výpočetní metody se obvykle omezuje pouze na číselné řešení zadané úlohy (bez algebraických úprav). K tomu využívá buď přímé metody výpočtu, nebo iterační metody výpočtu.

Přímé numerické výpočty
Tabulkový procesor

V případě přímé metody výpočtu musí být zadán výpočetní vzorec v použitelné podobě, například x=(a3-a2)/a1. Vyčíslení může proběhnout zadáním konstant a1..3. Mezi typické softwary podporující i přímé numerické výpočty patří tabulkové procesory, ve kterých se jednotlivé konstanty a vzorce zadávají do buněk s unikátní adresou, viz Obrázek 1083. Tabulkovým procesorem je například produkt Calc, který je součástí kancelářských balíků OpenOffice.org a LiberOffice [7] nebo Exel z Microsoft Office [6].

1083 Základní kroky při výpočtu vzorce numerickým softwarem užitím přímé metody
Základní kroky při výpočtu vzorce numerickým softwarem užitím přímé metody
vlevo obecný zápis; vpravo způsob zápisu v tabulkovém procesoru.
42_52
42. Technická matematika
Nepřímé (iterčaní) metody
Metoda konečných prvků

Mezi software určený pro iterační metody patří i softwary metody konečných prvků (MKP) používané v mechanice kontinua pro zjištění napětí v součásti, či tvaru proudového pole tekutiny a pod. (v těchto případech se výpočet ukončuje po splnění okrajových podmínek). Většina softwarů nedokáže jen podle tvaru rovnice určit iterační metodu (například porovnáním podobnosti s jinými úlohami uložených v knihovně softwaru). Tuto metodu musí vybrat výpočtář včetně logické podmínky ukončení výpočtu. Zadání iteračního výpočtu je náročnější než u předchozích metod, nicméně lze jej zadat (naprogramovat) i v tabulkovém procesoru či programovatelné kalkulačce.

Nepřímá metoda Monte Carlo

Software pracující na principu metody Monte Carlo obsahuje algoritmus, který náhodně testuje různá řešení. Následně matematický software různými postupy dosazuje různá čísla do rovnice jehož řešení hledá a vyhodnocuje zda se od řešení vzdaluje nebo přibližuje a tak neustále zužuje oblast, ve kterém je hledán výsledek. Na typu metody zužování oblasti, kde by mohl ležet výsledek podstatně závisí konvergence výpočtu, protože čím je větší oblast, ve které se hledá výsledek, tím je menší pravděpodobnost, že bude nalezen. V knize Matematické stroje [17] přirovnávají autoři metodu Monte Carlo k myšlenkovým pochodů člověka s tím, že lidská mysl má zatím neznáme metody pro zužování oblastí, ve které se nachází množina možných řešení. Je zřejmé, že metoda Monte Carlo je nejvíce náročná na rychlost hardwaru počítače. Pomocí této metody se řeší i diferenciální rovnice.

1084 Úloha
Sestavte jednotlivé kroky výpočtu dekadického logaritmu čísla 324 s přesností na čtyři desetinná místa, které násldně převeďte do vámi zvoleného programovacího jazyka. Využijte k tomu mocninou řadu pro stanovení přirozeného logaritmu, viz Vzorec 1236. Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 1084, s. 42_72, (řešení obsahuje zápis v programovacím jazyce, který používá kalkulačka HP 35s).
1236 Vzorec mocninné řady přirozeného logaritmu
Vzorec mocninné řady přirozeného logaritmu
Zdroj [1, s. 625].

Odkazy

[1] REKTORYS, Karel, CIPRA, Tomáš, DRÁBEK, Karel, FIEDLER, Miroslav, FUKA, Jaroslav, KEJLA, František, KEPR, Bořivoj, NEČAS, Jindřich, NOŽIČKA, František, PRÁGER, Milan, SEGETH, Karel, SEGETHOVÁ, Jitka, VILHELM, Václav, VITÁSEK, Emil, ZELENKA, Miroslav. Přehled užité matematiky I, II. 7. vydání. Praha: Prometheus, spol. s.r.o., 2003. ISBN 80-7196-179-5.   [2] MAŠTOVSKÝ, Otakar. Hydromechanika, 1964. 2. vydání. Praha: Statní nakladatelství technické literatury.   [3] MACHÁČEK, Martin. Encyklopedie fyziky, 1995. 1. vydání. Praha: Mladá fronta, ISBN 80-204-0237-3.
42. Technická matematika
[4] GARAJ, Jozef. Základy vektorového počtu, 1957. Vydanie prvé, Bratislava: Slovenské vydavateľstvo technickej literatúry, n.p.   [5] MACUR, Milan. Úvod do analytické mechaniky a mechaniky kontinua, 2010. Brno: Vutium, ISBN 978-80-214-3944-3.   [6] Microsoft Office, kancelářský balík. Výrobce: Redmond, Washington, USA. Web: https://products.office.com.   [7] OpenOffice, kancelářský balík. Výrobce: The Apache Software Foundation, adresa: Forest Hill, Maryland, USA. Web: https://www.openoffice.org.   [8] DOBROVOLNÝ, Bohumil, ŽĎÁREK, Josef. Přehled technické matematiky, 1954. Vydání 3. rozšířené. Praha: ROH – PRÁCE. 432 stran.   [9] MAREŠ, Milan. Příběhy matematiky, 2008. Příbram: Pistorius&Olšanská, s.r.o. ISBN 978-80-87053-16-4.   [10] STRUIK, Dirk. Dějiny matematiky, 1963. Praha: Orbis.   [11] TESAŘÍK, Bohumil. Objev logaritmů měl na vědu dopad srovnatelný s vynálezem počítače, Technický týdeník, č. 09, 2015. Praha: Business Media CZ, ISSN 0040-1064.   [12] VACEK, Adolf. Technické početní tabulky, 1953. Praha: ROH-PRÁCE-vydavatelství knih.   [13] KUNC, Antonín, JOZÍFEK, Vítěslav. Matematika pro dělníky a mistry, 1963. Praha: Statní nakladatelství technické literatury, stran 380.   [14] PLESKOT, Václav. Nomografie v technické praxi, 1947. Vydání první. Praha: SPASEI. Stran 207+11.   [15] ŠTĚPANSKÝ, Václav. Nomogramy, 1970. Vydání druhé. Praha: SNTL. 252 stran.   [16] EVESHAM, Harold. The History and Development of Nomography, 2010. Boston: Docent press, LLC. ISBN 1456479628   [17] GECSEI, Ján, KLÍR, Jiří, PELIKÁN, Pavel. Matematické stroje, 1964. 1. vydání. Praha: Orbis. 270 stran.   [18] Maple, Computer Algebra Systems. Výrobce: Maplesoft™, adresa: 615 Kumpf Drive Waterloo, ON Canada N2V 1K8, web: http://www.maplesoft.com/.   [19] MAROŠ, Bohumil, MAROŠOVÁ, Marie. Základy numerické matematiky, 1997. Brno: VUT v Brně. ISBN 80-214-0826-X.   [20] THIELE, Rüdiger. Matematické důkazy, 1985. Vydání první. Praha: Statní nakladatelství technické literatury, 164 stran, 60 obrázků.   [21] DEVLIN, Keith. Jazyk matematiky, 2003. První vydání v českém jazyce. Praha: Dokořán, s.r.o. ISBN 80-86569-09-08.   [22] LIVIO, Mario. Zlatý řez, 2008. První vydání v českém jazyce. Praha: Dokořán, s.r.o. ISBN 80-7363-064-8.   [23] STEWART, Ian. Kabinet matematických kuriozit profesora Stewarta, 2013. První vydání v českém jazyce. Praha: Dokořán, s.r.o. ISBN 978-80-7363-292-2.   [24] MAREŠ, Milan. Slova, která se hodí, aneb, Jak si povídat o matematice, kybernetice a informatice. Praha: Academia, 2006. ISBN 80-200-1445-4.   [25] MIODOWNIK, Mark. Neobyčejné materiály: podivuhodné příběhy látek, které vytvářejí náš svět. Přeložil Aleš DROBEK. Praha: Dokořán, 2016. Aliter (Dokořán). ISBN 978-80-7363-765-1.   [26] ŠINDELÁŘ, Václav, Ladislav SMRŽ a Zdeněk BEŤÁK. Nová soustava jednotek SI. 3. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1989.   [27] SCHMIDTMAYER, Josef. Maticový počet a jeho použití v technice, 1967. Vydání druhé. Praha: SNTL. 384 stran.   [28] GLEICK, James. Informace: Historie, Teorie, Záplava, 2013. 1. vydání. Praha: Argo, ISBN 978-80-7363-415-5.   [29] NAUMANN, Friedrich. Dějiny informatiky, 2009. 1. vydání. Praha: Academia, ISBN 978-80-200-1730-7.   [30] OPAVA, Zdeněk. Jak sestrojovat spojnicové nomogramy, 1972. Praha: Práce, nakladatelství technické literatury. Polytechnická knižnice (SNTL).   [31] KONÍČEK, Oldřich. Tichý, Zdeněk. VESELKA, Josef. Strojnická příručka, Matematika, dva díly. 1956. Vydání první. Praha: SNTL.   [32] ANDRONIKAŠVILI, Elefter Luarsabovič. Vzpomínky na kapalné hélium. Praha: Mladá fronta, 1983. Kolumbus.   [33] JAKOVLEV, K. P. BRONŠTEJN, I. N. BALJEZIN, S. A. SVĚŠNIKOV, G. N. ZINOVĚV, V. A. Fyzikálně technická příručka, 1963. Vydání první. Praha: SNTL. Překlad z ruského originálu.   [34] KINDL, Karel. Matematika: přehled učiva pro základní školy. Vydání 2. 1975. Praha: SNP.   [35] ROBINSON, Andrew. Jak se měří svět: příběhy z dějin měření. Praha: Euromedia Group – Knižní klub, 2008. Universum (Knižní klub). ISBN 9788024221878.   [36] STEWART, Ian. Truhlice matematických pokladů profesora Stewarta. Praha: Dokořán, 2013. Aliter (Argo: Dokořán). ISBN 9788073635275.   [37] BAIS, Sander. Rovnice: symboly poznání. Praha: Dokořán, 2009. ISBN 978-80-7363-228-1.   [38] BRDIČKA, Miroslav, Ladislav SAMEK a Bruno. SOPKO. Mechanika kontinua. Vyd. 2., opravené. Praha: Academia, 2000. ISBN 9788020007728.   [39] HORÁK, Zdeněk. KRUPKA, František. Fyzika. Příručka pro vysoké školy technického směru, 1976. 2. přepracované vydání. Praha: SNTL. 424 stran, dva svazky.   [40] HEMZAL, Karel. Aerodynamika větrání. Vyd. 2. Praha: Nakladatelství ČVUT, 2001. ISBN 978-80-01-03908-3.   [41] MAZUR, Joseph. Kde se vzaly symboly: stručná historie matematického zápisu od starověku k dnešku. Přeložil Marek ČTRNÁCT. Praha: Knižní klub, 2017. Universum (Knižní klub). ISBN 978-80-242-5820-1.   [42] BIRD, R. Byron, Warren E. STEWART a Edwin N. LIGHTFOOT. Přenosové jevy: sdílení hybnosti, energie a hmoty. Přeložil Štefan ŠALAMON, přeložil Vladimír MÍKA. Praha: Academia, 1968.   [43] GOWERS, Timothy. Matematika: průvodce pro každého. Přeložil Jiří MATOUŠEK. Praha: Dokořán, 2006. Průvodce pro každého. ISBN 80-7363-083-4.   [44] JUNGK, Robert. Jasnější než tisíc sluncí: osudy atomových vědců. 2. vyd. Praha: Mladá fronta, 1965. Máj (Mladá fronta).   [45] HILLIS, W. Daniel. Vzor v kameni: jednoduché myšlenky, které řídí počítače. Praha: Academia, 2003. Mistři vědy. ISBN 80-200-1067-X.
42_54
42. Technická matematika

Bibliografická citace článku

ŠKORPÍK, Jiří. Technická matematika, Transformační technologie, 2009-03, [last updated 2021-06-04]. Brno: Jiří Škorpík, [on-line] pokračující zdroj, ISSN 1804-8293. Dostupné z https://www.transformacni-technologie.cz/42.html.