TECHNICKÁ MATEMATIKA

Čísla

Pouze skrz pochopení toho co jednotlivá čísla vyjadřují, lze správně interpretovat výsledky a pochopit vztah mezi geometrií a algebrou neboli analytickou geometrii.

Až při počítání s přirozenými čísly jsme objevily čísla nová

Základním stavebním kamenem čísel jsou přirozená čísla jako 1, 2, 3, 4..., které mají přímou souvislost s fyzickým světem při označovaní množství (tři jablka, sedm dnů...). Až používáním matematických operacích (sčítání, odčítání, násobení, dělení) s přirozenými čísly byla objevena čísla další, nejprve jako mezivýsledky a později našla uplatnění i jako konečné výsledky.

Objev záporných čísel

Při odčítání předešlých typů čísel byla objevena čísla záporná (nejprve používaná pouze jako mezivýsledky) například 2-4=-2. A proto musela vzniknout pravidla, jak s takovými čísly počítat, například bylo zavedeno, že násobením dvou záporných čísel vyjde číslo kladné, to je jedno z pravidel aritmetiky. Kdyby tomu tak nebylo a pravidlo by znělo například tak, že násobením dvou záporných čísel vyjde číslo záporné, musela by být aritmetická pravidla zvlášť pro kladná a záporná čísla [Stewart, 2013, s. 45] – prostě by počítaní také šlo, ale bylo by to složitější.

Objev racionálních čísel

Přímou souvislost s fyzickým světem mají i čísla racionální. Jedná se o čísla vzniklá podílem dvou přirozených čísel (například polovina jablka 1/2=0,5). Výsledkem operace dělení nemusí být, ale číslo desetinné, přičemž před i za desetinou čárkou může být libovolný ale konečný počet čísel.

Objev iracionální čísla

Na první pohled se zdá, že jakékoliv přirozené číslo lze dělit nekonečným počtem jiných přirozených čísel, a tak by bylo možné vyjádřit jakékoliv desetinné číslo, leč není tomu tak. Lze celkem jednoduše dokázat, že například číslo √2= 2,4142... nelze vyjádřit podílem dvou přirozených čísel (jednoduché důkazy, že toto číslo nelze vyjádřit jako zlomek přirozených čísel jsou uvedeny v knihách Jazyk matematiky a Matematické důkazy [Devlin, 2003, s. 31] a [Thiele, 1985, s. 113]). Čísla, která nelze takovým podílem vyjádřit se nazývají iracionální čísla.

Rozdělení na reálná čísla a nulu

Představené typy čísel (přirozená, záporná, iracionální, racionální) jsou souhrnně nazývána jako čísla reálná, a hranice mezi kladnými a zápornými čísly je nula – při počítání má význam jako nic [Mazur, 2017, s. 92], prázdno apod. a není to reálné číslo (proto násobení nulou je nula a dělení nulou je nesmysl [Robinson, 2008, s. 39]). Někdy se uvádí při dělení nulou jako výsledek nekonečno (znak ∞), ale to jen ve speciálních případech, protože obrácená operace dělení je násobení a při násobení nekonečna nulou je výsledek opět nula a ne původní dělenec, více v knize Kabinet matematických kuriozit profesora Stewarta [Stewart, 2013, s. 93].

Gaussova rovina komplexních čísel

Gaussova rovina je tvořena dvěma vzájemně kolmými osami, proto ji také nazýváme rovinou komplexních čísel. Na vodorovnou osu vynášíme hodnoty-a a má vlastnosti osy reálných čísel (obsahuje nulu). Nulou prochází osa čísel-b, která má také vlastnosti osy reálných čísel. Komplexní čísla se v takovém systému zakreslují tak, jak je znázorněno na Obrázku 1022.

1002:

Bod P je komplexní číslo 2-i·1,4 znázorněné v Gaussově rovině.

Využití Gaussovy roviny pro obecné výpočty v rovině

Při práci v rovině se v odborné literatuře velmi často používá algebra komplexních čísel (kde osa x je osou parametrů b a osa y osou parametrů a komplexního čísla), která defacto popisuje operace v rovině – zdůrazňuji, že se využívá pouze algebra, takže ve skutečnosti se nejedná o práci s komplexními čísly, ale čísly reálnými. Komplexní číslo většinou není v technické praxi přijatelný výsledek a musí se umět správně interpretovat, co by to mohlo znamenat pro postup výpočtu nebo popisovaný děj.

Objev kvaternionů a oktonionů

Mimo zmíněná čísla existují ještě čísla nazývaná kvaterniony a oktoniony [Mareš, 2008], ale ty se v běžné technické praxi už nevyskytují.

Logaritmy

Při vyslovení slova logaritmus se většině lidí se středoškolským vzděláním vybaví pojmy jako přirozený nebo dekadický logaritmus. Pricip a použití logaritmů je zde vysvětlen na pojmu dekadický logaritmus. Pomocí znalostí dekadických logaritmů lze sestrojit tzv. logaritmická pravítka pro rychlé násobení a dělení a tzv. nomogramy pro výpočet i složitějších vzorců. Existují i roviny v logaritmické soustavě souřadnic, ve kterých lze velmi snadno a názorně zpracovávat experimentálně naměřená data pro vyhledání empirických vzorců, nebo stanovení hodnot součinitelů vystupující v empirických rovnicích.

Násobení a dělení pomocí dekadického logaritmu

Z vlastností logaritmů lze součin čísel a a b převést na součet dvou logaritmů takto: a·b=c => log a+log b=log c=C. Chceme-li zjistit hodnotu c. Pro výsledek c pak platí rovnost c=10^C. Podobný převod lze provést při dělení čísel a a b: a·b^-1=c => log a-log b=log c=C. Příklad: Pro 4·8 musí platit log 4·8 = log 4 + log 8. Z tabulky log 4 = 0,6021; log 8 = 0,9031, odtud log 4·8 = 1,5052. Číslo 1,5052 je velice blízké číslu logaritmu čísla 32, takže můžeme tvrdit, že součin 4·8 bude velmi blízký číslu 32. Samozřejmě čím přesnější čísla v tabulce, tím lze očekávat přesnější výsledek. Alegebra logaritmů je shrnuta v [Rektorys et al., 2003, s. 14].

Hodnoty logaritmů čísel

Pro výpočty pomocí logaritmů je nutné znát hodnoty logaritmů. Ty se dříve tabelizovaly a první tabulky dekadických logaritmů publikoval Briggs (viz Tabulka 880). V té době vyčíslení logaritmů představoval pracný ruční výpočet přirozeného logaritmu a převodu na dekadický logaritmus. Současné matematické softwary a kalkulačky tyto tabulky obsahují nebo si je počítají v reálné čase numerickým způsobem na požadovanou přesnost pomocí Taylorových řad [Gecsei et al., 1964, s. 182].

Logaritmická stupnice

Co co logaritmy proslavilo nejvíce je ovšem stupnice logaritmických čísel. Všimněte si, že pokud hodnoty dekadických logaritmů vyneseme na osu (viz Obrázek 117) jsou hodnoty logaritmů jednotlivých řádů stejně vzdálené. To je dáno tím, že podíl mezi sousedními řády jsou stejné 10/1=100/10=1000/100... a tedy i rozdíl (vzdálenost) logaritmů sousedních řádů je stejný.

117:

Logaritmická vs. lineární stupnice

Paradoxně logaritmická stupnice je lidskému vjemu přirozenější než stupnice lineární, kde jsou jednotlivé stupnice všech čísel od sebe stejně vzdálené, viz Obrázek 1065. To je dáno tím, že větší čísla představují vyšší hodnoty něčeho. Například v případě osy na níž by byli ceny výrobků vnimáme jinak podle druhu zboží. Stojí-li výrobek 10 000 Kč a zdraží o 3 000 Kč, tak zdražení vnímáme jinak, než výrobek stojící 100 000 Kč zdraží o 3 000 Kč. Při růstu hodnot totiž přemýšlíme spíše v podílech. To platí i pro vnímání časové osy, hodinu, která uplynula před chvíli na své časové ose vnímáme jako delší, než která proběhla před deseti lety.

Logaritmické převodníky

Nicméně logaritmické pravítko je také už archaická pomůcka, ale narýsované pravítko, které by násobilo stále stejnou hodnotu lze použít jako rychlý převodník, například pro rychlý převod fyzikálních jednotek, které jsou vzájemným násobkem nebo i pro výpočet obvodu či plochy kruhu jak ukazují následující Obrázky 1074, 1021 a dále Obrázky 1023, 1026, 1034, 1045, 1046.

1074:

Logaritmické pravítko pro výpočet obvodu kruhu

1023:

Převodník palců na milimetry

1026:

Převodník liber na kilogramy

1034:

Převodníky jednotek energie

1045:

Převodník výkonu Britského koně (horse-power) na watty

1046:

Převodníky jednotek tlaku

Konstrukce logaritmického převodníku

Pro konstrukci logaritmických stupnic pro konstrukci vlastních převodníků o velikosti 10^x až 10^x+1 s přesností 0,1·10^x můžete použít logaritmy čísel 1 až 100 uvedené v Tabulce 880 nebo podrobněji ve starší literatuře jako třeba Fyzikálně technické příručce [Jakovlev et al., 1963].

Přesnost převodníků

Vyšší přesností výpočtu, pomocí zobrazeného logaritmického pravítka, lze provést rozkladem činitele. Například při výpočtu kruhu na Obrázku 1074 by šlo postupovat přesněji takto: číslo 324 lze rozložit na 324=3·10²+2·10²+4, takže předchozí příklad by se počítal: π·324=π(3·10²+2·10²+4), odtud řešení 1015,4 s chybou už jen 0,24 %. Tento postup (více o něm například v knize Matematika pro dělníky a mistry [Kunc and Jozífek, 1963]) je sice přesnější, ale už postrádá rychlost a jednoduchost.

Nelogaritmické převodníky

Stupnice převodníků, ve kterých figurují násobky nemusí být nutně logaritmické, ale pokud rozdíly v převáděných jednotkách nejsou velké, lze použít lineární stupnice s tím, že budou mít rozdílné vzdálenosti mezi jedním stupněm. Například převodník mezi °C a stupni °F pro rozsah 0 až 100 °C a délce 17 cm bude mít na stupnici pro stupně Celsia vzdálenosti mezi stupni 1,7 mm, kdežto na stupnici stupňů Fahrenheita bude rozdíl jednoho stupně 5/9·1,7 = 0,9444 mm (stupeň Fahrenheita je 5/9 stupně Celsia), navíc bude tato stupnice vůči předchozí stupnici posunuta o 32 dílků, viz Obrázek 1067. Pro úplnost je na Obrázku 1066 převodník s čistě lineárními stupnicemi (obě pravítka mají stejné vzdálenosti mezi jednoltivými stupnicemi), které k jakékoliv hodnotě přičítá stále stejnou hodnotu. V tomto případě se jedná převodník °C na °K.

1077:

U [m·s^-1]; d [m]; N [s^-1]. Osa otáček je v intervalu 1 až 10 s^-1, osa obvodové rychlosti kola 0 až 300 m·s^-1. Do oblasti řešení, která je vymezená vodorovnou osu hodnot pro otáčky a svislou pro obvodovou rychlost kola se zakreslují průběhy změn obvodové rychlosti v závislosti na otáčkách pro jednotlivé průměry kola (čára, na které je jedna z proměnných konstantní – v tomto případě průměr kola se nazývá isopléta). První isopléta byla nakreslena ze souřadnic U=3,1415 při N=1 do bodu U=31,415 při N=10. Následující isopléty byly nakresleny stejným postupem. Obvodová rychlost kola se odečte z průsečíku zadaných hodnot otáček a průměru kola.

Systém souřadnic nomogramů

Osy soustavy souřadnic nemusí být u nomogramů navzájem kolmé, ale mohou svírat i jiný úhel než 90°. V systému skloněných os se poměrově zvětší či zmenší úhly mezi isoplétami a osami nomogramu. Například pokud by osa x svírala s osou y úhel 70°, pak by se úhel mezi isoplétami a osami zmenšil poměrem 70/90 apod.

Problém přesnosti nomogramů s lineárními stupnicemi

Je očividné, že takový nomogram pro funkci dvou proměnných nemůže pokrýt všechny možnosti řešení v navrženém intervalu vstupních proměnných, to by musel obsahovat nekonečný počet isoplét, a nikoliv jen deset. Jestliže nomogram neobsahuje isoplétu splňující zadání, je nutné její průběh určit alespoň přibližně tak, jak naznačuje příklad výpočtu obvodové rychlosti pro N=6,3 s^-1 a d=5,6 m. Další problém přesnosti nomogramů tkví v jeho fyzické velikosti. Rozsah chyby (chyba, která vznikne na délce 1 mm osy nomogramu) lze jednoduše stanovit z měřítka nomogramu. Tato chyba nemusí být na celé ploše nomogramu stejná. Například v případě posledního nomogramu v oblasti kolem N=2, d=2 bude vzdálenost 1 mm na ose obvodových otáček kola představovat chybu o velikosti ~24 % a v oblasti N=9, d=10 chybě jen ~1 %.

1196:

Nomogram pro odečet Reynoldsových čísel: V‾ [m·s^-1] střední rychlost proudění; L [mm] charakteristický rozměr; ν [m²·s^-1] kinematická viskozita; Re [1] Reynoldsovo číslo. a-rozsah kinematických viskozit vody mezi 0 °C a 100 °C; b-rozsah kinematických viskozit suchého vzduchu mezi 0 °C a 100 °C. Re_C [1] rozsah kritických Reynoldsových čísel pro potrubí. Obrázek je převzat z článku Vnitřní tření tekutiny a vývoj mezní vrstvy [Škorpík, 2023a]

Uživatelské nomogramy

Nomogramy se také dodávají k různým výrobkům jako pomůcka pro koncového uživatele o změnách parametrů stroje při různých nastavení. Například nomogramy u soustruhů, pro odečet otáček nebo posuvu při změně převodového poměru, nomogramy regulačních ventilů, ze kterých lze vyčíst změnu průtoku a tlakové ztráty při změně zdvihu vřetena ventilu apod.

Sdružené nomogramy

Nomogram zvládne i více proměnných než jen dvě, takové nomogramy se nazývají sdružené. Jedná se vlastně o dva nomogramy, které mají jednu společnou stupnici, která slouží jako výstup prvního a vstup do druhého.

Průsečíkové nomogramy

Doposud popsané typy nomogramů se nazývají průsečíkové. Nevýhodou těchto nomogramů je obtížný odečet (hledání průsečíku tří různoběžných čar) i velká hustota čar, proto se koncovým uživatelům, kteří nejsou tak matematicky zdatní pokud to jde, dodávají graficky přehlednější spojnicové nomogramy.

Spojnicové nomogramy

Spojnicový nomogram pro dvě proměnné je složen ze tří stupnic, na kterých jsou v příslušných měřítkách vyneseny hodnoty jednotlivých proměnných, respektive hodnoty počítané veličiny, viz nejjednodušší tvar spojnicového nomogramu Obrázek 1079 tvořeného třemi přímkami z nichž jedna je uprostřed. Konstruktér nomogramu musí navrhnout typ stupnic a jejich měřítka, jejich tvar a sklon i jejich vzájemné vzdálenosti tak, aby průsečíky na jednotlivých osách, které vzniknout nakreslením libovolné přímky, byly řešením příslušné rovnice.

Kombinované nomogramy

Spojnicové nomogramy lze také konstruovat pro více jak tři proměnné spojením několika nomogramů tzv. sdružený spojnicový nomogram. Dokonce lze kombinovat průsečíkové nomogramy s nomogramy spojnicovými [Pleskot, 1947, s. 136], [Štěpanský, 1970, s. 215].

Podobnosti nomogramů

Konstrukce nomogramů často vyžadují většího duševního úsilí a zkušeností. Ten kdo nemá dostatek zkušeností může vycházet při konstrukci nomogramu z podobnosti s jiným nomogramem (například tvarem řešené rovnice), přičemž lze čerpat z katalogů nomogramů uvedených v [Pleskot, 1947], [Štěpanský, 1970], [Opava, 1972].

  ~  

Hledání empirických vzorců z naměřených dat pomocí logaritmické soustavy souřadnic

Při konstrukci nomogramů v logaritmické soustavě souřadnic využíváme ten fakt, že exponenciální funkce jsou přímkami. Tato vlastnost logaritmické soustavy souřadnic se využívá při zpracování dat, které byly získány při vyšetřování nějakého děje u něhož se předpokládá, že ho lze popsat nějakou exponenciální funkcí. Příklad takového využití je na Obrázku 1081. Jedná se o úlohu, ve které je cílem určit tzv. charakteristiku potrubního systému, kterým protéká voda. Měřena je tlaková ztráta potrubí, označovaná jako L_p, v závislosti na objemovém průtoku Q tímto potrubím, přičemž cílem je sestavit rovnici, která by tyto změny tlakové ztráty při změně průtoku predikovala, tedy rovnici L_p=f(Q).

1081:

Určení exponenciální funkce popisující závislost tlakové ztráty na průtoku potrubím. Očekávaný tvar této funkce je L_p=C_S·Q^x. V první kroku byla zanesena naměřená dat do logaritmických souřadnic (modré křížky). V druhém kroku byly tyto body proloženy přímkou (b). Víme, že směrnice přímky v logaritmické soustavě souřadnic představuje hodnotu exponentu x, a jelikož je přímka (b) rovnoběžná s přímkou (a), která představuje exponenciální rovnici s exponentem 2, je očekávaná hodnota exponentu x 2. Hodnotu konstanty C_S lze pak určit z jakéhokoliv bodu na přímce (b), pro který odečteme hodnoty pro L_p a Q a následně dosadíme do rovnice. L_p [Pa] tlaková ztráta, [m³·s^-1] průtok; C_S [kg·m^-7] konstanta. Obrázek je převzat z článku Vznik tlakové ztráty při proudění tekutiny a její výpočet [Škorpík, 2023b].

Ze zadání úlohy je zřejmé, že výsledná rovnice bude obsahovat minimálně dva typy vzorců, a to vzorec pro výpočet ujeté vzdálenosti při rovnoměrně zrychleném/zpomaleném pohybu a vzorec pro výpočet ujeté vzdálenosti při konstantní rychlosti. Vzorec pro výpočet ujeté vzdálenosti při rovnoměrně zrychleném/zpomaleném pohybu má tvar l=1/2(a·t²) a vzorec pro rychlost na konci rovnoměrného zrychlení z nuly má tvar V=a·t [Macháček, 1995, s. 39], kde l [m] je ujetá vzdálenost; t [s] je čas; V [m·s^-1] rychlost v čase t a a [m·s^-2] je zrychlení (záporné číslo je zpomalení). Celkovou ujetou vzdálenost si označme jako x₁ (písmeno x se používá k označení veličin, které nejsou známy, respektive nejdou jednoduše ze zadání vyčíst), vzdálenost při rovnoměrném zrychlení x₂, vzdálenost ujetou konstantní rychlosti x₃ a vzdálenost ujetou při zpomalování x₄. Je evidentní, že celková vzdálenost x₁ bude součtem vzdáleností x₂, x₃, x₄ a x₅, viz soustava rovnic 1258.

1258:

x₅ [m·s^-1] rychlost tramvaje na konci zrychlování – je označena písmenem x, protože je to také neznámá.

Soustava rovnic a podmínka jejich řešitelnosti

Výsledná skupina rovnic se nazývá soustavou pěti rovnic o pěti neznámých. Konstanty v rovnicích označujeme jako parametry rovnice. Sestavená soustava rovnice má řešení pouze tehdy rovná-li se počet neznámých počtu dostupných rovnic a současně jsou všechny rovnice na sobě nezávislé, tj. žádnou z rovnic nelze odvodit ze zbývajících. Ale naopak velmi často můžeme mít k dispozici více rovnic než neznámých, pak vybereme pro řešení počet rovnic odpovídající počtu neznámých.

Nyní jsou v podstatě dvě možnosti jak dosáhnout požadovaného výsledku neboli řešení těchto pěti rovnic. Myšlenkově nejméně náročné je postupně vypočítat jednotlivé neznáme dosazením hodnot za zrychlení a čas (vyčíslení neznámých x₄, x₃ a dosazením do první rovnice pro x₁ její výpočet), jak je již naznačeno při zápisu rovnic – takovýto postup se nazývá numerické metoda či řešení.

Substituce

Především při úpravách je dobré rovnici co nejvíce zjednodušit, taky abychom se v ní neztráceli a nemuseli neustále opisovat spoustu symbolů. Například během úprav Rovnice 901 lze x² označit zkráceně například symbolem y a v kroku 5 opět dosadit x², tomu se říká substituce. Také se může vyskytnout logaritmická rovnice a místo x² v předchozí rovnici může být například log 2x opět by šlo za tento výraz při úpravách dosadit symbol y a v pátém kroku dosadit zpět log 2x apod.

  ~  

Co jsou, a k čemu jsou kanonické tvary rovnic

Pro mnoho typů rovnic, které řešíme už vyřešené byly a je známo jejich obecné řešení, které lze velmi rychle transformovat pro naše potřeby. Takové obecné řešení vyšetřované soustavy rovnic nalezneme pouze ve dvou krocích. Nejprve převedeme vyšetřované rovnice na tzv. kanonický tvar, což je jakýsi normalizovaný zápis rovnice. Následně pro výsledné kanonické tvary odečteme obecné řešení z dostupného souhrnu matematických vzorců. Kanonické tvary lineárních a exponenciálních rovnic s celými exponenty jsou uvedeny na Obrázku 915. Samozřejmě parametry a, b mohou být a také v praxi často bývají rovny nule, takže rovnice x³+C=0, kde C je konstanta, je stále kubická rovnice a její kanonický tvar je 1·x³+0·x²+0·x¹+C=0,.

915:

vlevo kanonické tvary lineárních rovnic (bez exponentů); vpravo kanonické tvary polynomů druhé, třetího až n-tého stupně (pro n≥1) – neboli kvadratická, kubická rovnice atd. a₂₁ znamená, že se jedná o konstantu z druhého řádku před první neznámou.

Reálné příklady kanonických tvarů rovnic

Odtud lze snadno stanovit kanonický tvar soustavy rovnic 1258 a kvadratické Rovnice 901, které jsou uvedeny na Obrázku 1255. V současnosti lze převádět rovnice do kanonických tvarů pomocí matematických softwárů i široce dostupných jazykových modelů.

1255:

vlevo kanonický tvar soustavy Rovnic 1258. vpravo kanonický tvar kvadratické Rovnice 901.

Iterační výpočet

Rovnic 824 je zvláštní v tom, že nelze získat algebraickými úpravami její obecné řešení a jediná možnost nalezení řešení je iterační postup. Na počátku iteračního výpočtu obvykle odhadneme (na základě dostupných dat) interval na ose čísel, ve kterém by se mohl nalézat očekávaná hodnota hledané neznámé a postupně testujeme možná řešení – při iteračních postupech často nejsme schopni dosáhnout zcela přesného výsledku, ale výsledku s určitou přesností. Iterační metod je velké množství, ale téměř vždy jsou založeny na derivacích funkcí (viz [Rektorys et al., 2003, s. 603]), takže si řekněme něco jen o základní iterační metodě Monte Carlo založené na odhadu.

824:

Parametry Re, C jsou konstantami. λ veličina, kterou máme vypočítat. V tomto případě se jedná o tzv. Colebrookovu rovnici pro výpočet součinitele tření v potrubí, více v článku Vznik tlakové ztráty při proudění tekutiny a její výpočet [Škorpík, 2023].

Metoda Monte Carlo

Při metodě Monte Carlo náhodně testujeme různá řešení. Obecně se za řešení považuje množina čísel, interval na ose čísel nebo konkrétní číslo, o kterém se předpokládá, že leží blízko řešení. Konkrétně v případě Rovnice 824 by mohl probíhat tak, že bychom nejprve převedli výraz na pravé straně na levou (rovnice se pak bude rovnat nule), při následném testování výsledků pro různá řešení (námi vybraný interval čísel, o kterém si myslíme, že by mohl obsahovat řešení) pro λ bychom sledovali, jestli se levá strana blíží nule (pak zužujeme interval správným směrem – zvyšujeme přesnost výsledku) a nebo vzdalujeme od nuly (pak interval možných řešení rozšiřujeme), viz Úloha 1260. Je zřejmé, že metoda Monte Carlo je nejvíce náročná na počet výpočtových kroků, ale s nástupem počítačů se jedná o velmi používanou metodu a využívá se dost často pro hledání řešení i mnohem méně náročných rovnic např. 3·x+1=7, protože rychlost stolních počítačů je vysoká a šetří tak duševní úsilí výpočtáře a navíc metodu výpočtu obsahují i kancelářské tabulkové procesory.

1200:

Soustavu (b) získáme tak, že poslední rovnici vynásobíme podílem a₁₁·a^-1₂₁, tedy zlomkem 1/3, abychom získali stejnou hodnotu parametru před neznámou x₁ jako v předchozí rovnici. Následně druhou rovnici nahradíme rovnicí, která vyjde odečtením druhé rovnice od první. Soustavu (c) získáme tak, že první rovnici vynásobíme podílem a₂₂·a^-1₁₂, tedy zlomkem 2/(3·2), abychom získaly stejnou hodnotu parametru před neznámou x₂ jako v následující rovnici. Následně první rovnici nahradíme rovnicí, která vyjde odečtením první rovnice od druhé. Výslednou soustavu (d) získáme tak, že první rovnici vynásobíme převrácenou hodnotou parametru a₁₁, tedy číslem -3 a druhou rovnici vynásobíme převrácenou hodnotou parametru a₂₂, tedy zlomkem 3/2.

Podmínky řešení soustavy lineárních rovnic

Všimněte si, že cílový tvar obsahuje pouze nehomogenní rovnice (lineární rovnice, která má na pravé straně nenulové číslo b≠0), proto je tato eliminační metoda neúčinná, pokud původní soustava rovnic obsahuje pouze homogenní rovnice b=0 – násobením ani odčítáním od sebe se tyto nuly nezmění. Naštěstí stačí, aby alespoň jedna rovnice v původní soustavě byla nehomogenní, pak už stačí vytvořit novou soustavu tak, že ke každé homogenní rovnici přičteme/odečteme onu nehomogenní rovnici.

Maticový zápis soustavy lineárních rovnic

U velkých soustav rovnic se při neustálém opisování rovnic vynechává znaménko plus, rovná se i označení jednotlivých neznámých x a celá soustava se zapisuje pomocí tzv. maticového zápisu do matice, viz Obrázek 1202. Na Obrázku 1068 je konkrétní příklad matice a to matice soustavy lineárních Rovnic 1255 i s výslednou maticí, která je jejím řešením. U vstupní matice soustavy Rovnic 1068 si také všimněte kolik nul obsahuje. To je typický charakter matic z praxe (na rozdíl od příkladů z matematiky, kde je většina parametrů nenulová), a proto jejich výpočet lze velmi urychlit vhodným přeskládáním pořadí matic a pořadí neznámých.

1202:

Příklady maticového zápisu soustavy lineárních rovnic

1146:

Převodník stupňů na radiány

Příklady použití dekadických stupňů

Pro výpočet oblouku pomocí zadaného úhlu ve stupních je sice nutné tyto úhly převést na radiány, ale jednotky stupně mají výhodu ve velmi jemné stupnici a důležité úhly jako pravý úhel 90°, ostrý úhel 45°, přímý úhel 180° a další frekventované úhly 30° a 60° jsou celá čísla. Proto se s dekadickou stupnicí úhlů pracuje mnohem snáz při konkrétních geometrických představách a používají se pro kótování úhlů ve výrobní dokumentaci strojírenských dílů, v plánech domů apod. Radiány ale mají výhodu při širších výpočtech, kdy trigonometrický výpočet je součástí rozsáhlejšího výpočtu a úhly jsou vstupem i do jiných výpočtů (velikosti oblouku, úhlové rychlosti apod.).

Diferenciální počet

Diferenciální počet (někdy též vyšší matematika) je souhrn pravidel pro počítání s nejmenším možným dílem osy reálných čísel zvaných diferenciál. Diferenciály se označují písmenem d a označením osy, například na ose-x bychom použil značku dx. Jedná se v matematice o nejmenší možné rozlišení, takže pomocí diferenciálů lze v matematice dosáhnout největších přesností výpočtů (podobně jako při použití pravítka s mimlimetrovými dílky, můžeme měřit a počítat pouze s mimlimetrovými přesnostmi). Naproti tomu vše větší nazýváme diferencemi–rozdíl mezi dvěma čísly se označuje pomocí symbolu Δ (například Δx) – matematické operace s diferencemi se označují jako diferenční počet a k jeho aplikace platí algebraická pravidla, proto jeho aplikace v technické praxi není nijak složitá (viz Úloha 1144 využívající diferenční počet v článku Meze použití materiálů). Diferenciální počet vychází z předpokladu, že jakékoli vyšetřovaný objekt jsme schopni virtuálně rozdělit na diferenciály a z těchto diferenciálů určit vlastnosti objektů. Například rovnici tečny, k jakémukoliv bodu na křivce-k popsatelnou funkcí f(x, y) (Obrázek 1047/3) lze určit s podílu diferenciálu dx/dy, což se označuje jako derivace–vyšetřování podílů diferenciálů. Naopak výsledkem součtu diferenciálů ve vyšetřovaném objemu se označuje jako integrace, viz určení plochy kruhu na Obrázku 1291. Šířeji je diferenciální počet základem gradientů i tenzorů.

φ [°] úhel pootočení disku; x [mm] vzdálenost pístu od horní úvrati; d=68 mm; r=22 mm; N=60 min^-1.

Použití diferenčního počtu k vyřešení Úlohy 1047

V případě postupu-a vycházíme z definice rychlosti jako podíl vzdálenosti uražené za sledovaný časový interval. Uražená vzdálenost odpovídá diferenci vzdálenosti Δx za diferenci času Δt, jejich podíl je hledaná průměrná rychlost na tomto úseku (Vzorec 1047/2(a)). V tomto případě bychom postupovali tak, žebychom sestavili tabulku pro vybraná pootočení hřídele-φ a ktomu dopočítali konkrétní polohy polohy pístu-x (viz Tabulka 1047/2c), podle rovnice, kterou lze odvodit z kinematiky pohybu pístu (viz Vzorce 1047/2b). Z této tabulky lze jednoduše stanovit diference uražené délky pístu Δx pro jednotlivé diference pootočení hřídele Δφ. To za jakou dobu Δt urazí hřídel diferenci Δφ lze vypočítat z jednoduchého vztahu pro úhlovou dráhu otáčejícího se hřídele otáčkami N (viz Vzorce 1047/2b). Odtud lze už provést výpočty rychlostí pístu V.

1047/2:

Hodnoty v Tabulce (c): φ [°]; x [mm]; V [mm·s^-1]. Pro stejné diference pootočení hřídele je stejná i diference času, protože otáčky hřídele jsou časově neměnné. Pro Δφ=10°. Vzorce jsou odvozeny v Příloze1047.

Použití diferenciálního počtu k vyřešení Úlohy 1047

Pomocí diferečního počtu lze tedy získát pouze střední rychlost pístu na vyšetřovaném intervalu Δx, přičemž přesnějšího výsledku dosáhneme zmenšováním hodnot intervalů za cenu navyšujícího se množství výpočtů. Přesného výsledku dosáhneme tehdy budou-li intervaly zmenšeny pod jakékoliv rozlišení, tedy poměr Δx/Δx přechází do diferenciálního počtu na poměr dx/dy nazývaný derivací. Derivace vychází z funkce polohy pístu na čase f₁(t) a předpokladu, že existuje funkce f₂(t) pro výpočet hodnot derivací pro jakýkoliv okamžik/polohu pístu – rychlost je totiž směrnice tečny pro vyšetřovaný bod, tedy derivace dx/dy, viz Obrázek 1047/3. Průběh této funkce (čte se jako derivace funkce f₁) lze načrtnout z grafického záznamu funkce f₁(t) a směrnic tečen pro jednotlivé body, které odpovídají derivaci dx/dy pro konkrétní bod, viz Obrázek 1047/3 (modrá barva).

  ~  

Derivace

V předchozí podkapitole byla derivace prezentována jako tečna k vykreslenému průběh derivované funkce [Rektorys et al., 2003, s. 372], ale má i jiné interpretace, nicméně vycházející z této představy. Derivace je vlastně vektor, respektive gradient, který říka jak rychle roste jedna veličina v ose proměnné. Toho se využívá k hledání extrémů dané funkce, kdy za extrém považujeme maximum nebo minimum derivované funkce – v těchto extrémech musí být směrnice tečny a tedy i derivace rovna nule. Dobře známým extrémem studentům v dynamice tekutin je maximální možný hmotnostní tok tryskou pomocí funkce hmotnostního toku tryskou.

Derivace funkce více proměnných

Derivace funkce více proměnných se nazývá parciální derivace a je popsána v samostatné kapitole Parciální derivace (s. ??).

Označování derivací

Možná označování derivací je uvedeno na Obrázku 1047/3. Jestliže je proměnnou čas (derivace podle času) pak se ještě používá označení derivace tečkou nad počítatou veličinou, například dx/dt=ẋ. Jedná se o označení zavedené Isaacem Newtonem (1642–1727), který diferenciální počet zavedl spolu Gottfriedem Leibnizem (1646–1716), když prováděl derivace časově závyslých funkcí.

Poznámky k hledání derivace vyšetřované funkce

Pro nalezení derivace vyšetřované funkce musíme znát pravidla derivování a mít k dispozici alespoň tabulku derivací základních funkcí jak je popsáno v odstavic pod Obrázkem 1047/3. Matamatické důkazy a pravidla derivování naleznete hezky popsané v knize Co je a k čemu je vyšší matematika [Rektorys, 2001], například přesný důkaz, že derivace je směrnice tečny, určení derivace v bodě pomocí limitních hodnot sečen [s. 16], jak vznikla derivace složené funkce [s. 28], užití derivace pro analýzu funkce [s. 30] (zda je funkce klesájící/stoupající apod), úlohy na anlýzu funkce [s. 40].

Diferenciální rovnice

Níže se setkáme i s diferenciálními rovnicemi, ve kterých vystupují derivace neznámých funkcí. V takovém případě se původní funkce hledá pomocí různých okrajových, počátečních podmínek a hlavně z fyzikální podstaty děje, který má popisovat. Například u harmonických funkcí, respektive periodických víme, že je lze složit z konečného počtu sinusovek apod. Následně výslednou funkci testujeme, zda odpovídá s požadovanou přesností hledané funkci. Podobně by bylo možno i nálézt i derivaci na Obrázku 1047/3. Řešené úlohy s diferenciálními rovnicemi jsou v dalších kapitolách tohoto článku speciálně diferenciální rovnice pro kmitavý pohyb jsou řešeny v článku Kmitání. Pěkný úvod do sestavování a řešení diferenciálních rovnic je také v knize Co je a k čemu je vyšší matematika [Rektorys, 2001, s. 95]

Základní princip integrování

Integrace je převod integrálu s definovaným integrandem (vše, co je mezi znakem pro integrál a diferenciálem – někdy je to jen číslo 1 nebo jiná konstanta, nebo i součin více funkcí) na tzv. primitivní funkci. Primitivní funkce vyjadřuje postupný nárůst hodnoty integrálu od počátku integrace k jeho vymezeným hranicícm, tzv. meze integrálu. Rovnice 1291(a) je matematickým zápisem procesu integrace integrálu diferenciálu dx, jehož meze integrace jsou od x₁ do x₂. Jestliže se integrál skládá z více dílčích integrálů, tak se integrují postupně od společného intengrandu (Rovnice 1292(c)), tj. řešení prvního integrálu je integrandem integrálu nasledujícího. Rovnice 1292(b) a 1292(c) jsou zápisem integrace integrálů z Úlohy 1291.

1292:

(a) funkce f(x) je intengrand, funkce g(x) primitivní funkce; (b) funkce f(r)=π2r je integrand, funkce g(r) je výsledná primitivní funkce; (c) funkce f(φ)=r je intengrad prvního integrálu, funkce g(φ) je primitivní funkce prvního integrálu.

Hledání primitivní funkce a rozdíl mezi určitým a neurčitým integrálem

Lze celkem elegantně dokázat, například v knize Co je a k čemu je vyšší matematika [Rektorys, 2001, s. 57], že integrand je derivací primitivní funkce. Takže známe-li tabulku derivací častých funkcí, pak můžeme ve většině případů docela snadno integrovat. Pro přehlednost se uvádí i rozsáhlé tabulky základních integrálů (například [Rektorys et al., 2003, s. 454]), které jsou převodem tabulek derivací. To znamená, že předpokladem k řešení integrování je, že primitivní funkce vyšetřovaného integrálu existuje. Pro příklad jsou v Tabulce 1293 uvedené výsledky integrací získané z Tabulky 1064 pro derivace funkce. Derivací primitivní funkce bychom měli získat zpět tvar integrandu a derivace konstanty je nula, takže řešením neurčitého integrálu (bez vyznačených mezí) je primitivní funkce plus libovolná konstanta – ta v případě určitého integrálu (integrál, který ma zadané meze) se při výpočtu rozdílu vyruší, takže při integraci určitého integrálu se neuvádí.

1293:

n celé kladné číslo; a konstanta; C integrační konstanta

269:

Dvojí zápis parciální derivace funkce více proměnných

(a) označení parciální derivace pomocí písmene d (dolní index označuje, která proměnná je při derivaci konstantní) jako značky pro diferenciál [Dobrovolný and Žďárek, 1954, s. 189]; (b) pro přehlednost se upouští od indexů a pro označení parciální derivace se používá místo písmene d znak ∂ (partial).

Použití parciálních derivací

Taková soustava rovnic se využívá například při hledání gradientu skalárního pole nebo přírůstku funkce známé jako totální diferenciál – oba tyto matematické pojmy mají své vlastní kapitoly uvedené v další části článku.

Pravidla derivování pro parciální derivace

Pro parciální derivace přirozeně platí stejná pravidla derivovaní jako pro funkce jedné proměnné, a parciální derivace má i stejnou interpretaci (jedná se o směrnici tečny k průběhu funkce ve směru osy proměnné podle, které se derivuje). To znamená, že uvedené dvě parciální derivace v určitém bodě soustavy souřadnic u-x-y představují dvě tečny k této ploše vytvořenou původní funkcí f(x, y) dvou proměnných.

  ~  

Přírůstek funkce neboli Totální diferenciál

Klasická úloha v technice je určení infinitezimální změny sledované veličiny, která je funkcí více proměnných, když dojde ke změnám těchto proměnných. Tuto změnu označujeme jako totální diferenciál neboli přírůstek funkce, což je součet změn (diferenciálů) od jednotlivých proměnných.

Obecná rovnice totálního doferenciálu

Obecně lze říci, že totální diferenciál veličiny u, která je dána funkcí f(x, y) dvou proměnných x, y (u=f(x, y)) bude du. Totální diferenciál du představuje přírůstek funkce ve vyšetřovaném bodě (ve kterém jsou známy parciální derivace) třírozměrné soustavě souřadnic u-x-y, jestliže se změní velikost proměnných o diferenciály dx, dy, což je graficky znázorněno na Obrázku 263. Rovnici pro totální diferenciál lze dále upravit na tvar du=du_y/dx·dx+du_x/dy·dy=∂u/∂x·dx+∂u/∂y·dy. Takový součet platí i pro funkce s více jak dvěma proměnnými [Rektorys et al., 2003, s. 396], viz obecná Rovnice 377 pro totální diferenciál.

263:

Grafické znázornění totálního diferenciálu

V tomto případě se jedná o funkci u=f(x, y) jejíž přírůstek ve směru x je klesající du_y<0 a ve směru y rostoucí du_x>0. Totální diferenciál neboli přírůstek funkce v okolí vyšetřovaného bodu P je tedy součtem přírůstků v jednotlivých směrech (parciálních přírůstků) du=du_y+du_x.

Aplikace totálního diferenciálu v mechanice kontinua

A nyní k praktickým příkladům užití totálního diferenciálu. V Úlohách 205 a 387 naleznete příklady odvození rovnic pro totální diferenciál hmotnostního toku, ale zde využití totálního diferenciálu ještě nekončí. Pravidla pro totální diferenciál lze totiž využít při sestavování diferenciálních rovnic a v mechanice kontinua se aplikuje na tzv. elementární krychli, viz Obrázek 401. Teorie elementární krychle se využívá k popisu rovnováhy a změn vyšetřovaných veličin, například sil, energie, tlaku, teploty, viz odvození Navier-Stokesovy rovnice, Eulerovy rovnice hydrodynamiky apod. Na Obrázku 401 je takto stanoven přírůstek nějaké obecné fyzikální veličiny u, který stačí nahradit symbolem pro vyšetřovanou veličinu, například tlakem, teplotou, silou atd.

401:

Elementární krychle v mechanice kontinua

Přírůstek veličiny u v jednotlivých směrech vepsaný do elementární krychle.

První krok při řešení Úlohy 5

První krok při řešení Úlohy 387

Parciální derivace ve Válcové soustavě souřadnic

Parciální derivace v jiné soustavě souřadnic už může být trochu složitější, protože diferenciály musíme transformovat. Například pro válcovou soustavu souřadnic se parciální derivace provádí podle proměnných r (poloha na průvodiči), u (délka oblouku od jeho počátku) a a (poloha na ose od jejího počátku) a protože diferenciál v obvodovém směru lze vyjádřit jako součin délky průvodiče a diferenciálu úhlu θ tj. du=r·dθ je ve jmenovateli derivace podle úhlu θ součin r·dθ, viz Vzorec 679.

Hladina skalárního pole

Plochy v oblasti Ω, na kterých je vyšetřovaná skalární veličina konstantní se označují jako hladiny skalárního pole.

Určení směru gradientu

Směr gradientu lze v některých případech určit triviálním způsobem. Například směr gradientu potenciální energie vody ve sklenici bude proti směru gravitačního zrychlení (ve směru kolmém na hladinu bude ode dna potenciální energie vody růst), protože potenciální energie je definována vzorcem e=-g·y, viz Obrázek 918. Hladiny skalárního pole budou kolmé na tento směr (jsou rovnoběžné z hladinou vody v této sklenici). Vektory ve vektorovém poli tvořené gradienty budou směřovat ke dnu sklenice.

918:

Gradient potenciální energie vody ve sklenici

e [J·kg^-1] potenciální energie 1 kg vody; grad e [J·kg^-1·m^-1] gradient potenciální energie (směr růstu potenciální energie ve vyšetřovaném bodě a jeho velikost v závislosti na souřadnici) v bodě-P; g^→ [m·s^-2] gravitační zrychlení g^→(0;-9,81;0). Vyšetřovaná oblast Ω je celý objem vody v nádobě.

Gradienty potenciálních veličin a Potenciální vektorové pole

Jestliže v celém vyšetřovaném objemu Ω je vyšetřovaná veličina u dopočitatelná podle nějaké potenicální funkce u=f(x, y, z) a tato funkce je v celé oblasti spojitá (tzn.v každém bodě oblasti Ω má veličina u danou hodnotu – skalár, číslo), pak lze gradient této veličiny spočítat pomocí Rovnice 354. Přesněji přírůstky sledované veličiny v jednotlivých směrech jsou rovny parciální derivacím v těchto směrech. Přičemž funkci u nazýváme potenciální, protože je funkcí pouze polohy, proto také vektorové pole, které je vytvořeno z gradientů potenciálních funkcí označujeme jako potenciální vektorové pole.

354:

Gradient potenicální funkce u=f(x, y, z)

Příklad výpočtu gradientu potenciální energie vody

Vraťme se nyní ke gradientu potenciální energie ve sklenici vody z Obrázku 918. V tomto případě jsme schopni sestavit funkci pro výpočet potenciální energie v celém objemu vody a to vzorcem: e=-g·y pro g^→(0;-9,81;0), takže dosazením této funkce do Rovnice 354 získáme gradient potenciální energie ve sklenici vody ve tvaru: grad e=a^→(0;9,81;0).

Proudění s vnitřním tření jako příklad nepotenciálního vektorové pole

Jestliže je oblast Ω vyplněná vektorovým polem, které je gradientem nějaké veličiny, kterou nelze popsat potenciální funkcí, pak o tom to poli říkáme, že je nepotenciální. Typické nepotenciální vektorové pole je vektorové pole rychlostí tekutiny s vnitřním třením, viz článek Vnitřní tření tekutiny a vývoj mezní vrstvy.

Zachování fyzikálního rozměru

I v rovnicích obsahující gradienty musí mít jednotlivé gradienty stejný fyzikální rozměr. Například už víme, že gradient potenciální energie odpovídá zrychlení (předchozí podkapitola), takže gradienty měrných energií mají stejný fyzikální rozměr odpovídající zrychlení a gradient kinetické energie v Rovnici 746 je současně zrychlení tekutiny, viz důkaz v Úloze 1087.

Odečítání kontextů z rovnic s gradienty

Jestliže jsme si pod gradientem schopni představit konkrétní děj, pak jsme schopni již z tvaru rovnice usoudit různé kontexty. Například aplikací poslední Rovnice 746 na proudění kapaliny vodorovným potrubím (grad e=0) konstantního průřezu (grad (V²/2)=0), ve kterém tekutina nekoná práci (grad w=0) ani nesdílí teplo s okolím (grad q=0), zjistíme, že klesá-li tlak v důsledku vnitřního tření (tlaková ztráta), tak musí růst hodnota vnitřní tepelné energie kapaliny apod. U proudění stlačitelného plynu to je již složitější, viz Úloha 1087.

Zápis gradientu potenciální veličiny pomocí operátoru ∇

Pro potřeby vektorové analýzy, respektive práce s gradientem v rámci širšího výpočtu, se gradient potenciální veličiny zapisuje ve formě parciální diferenciální Rovnice 417 (parametry i^→, j^→, k^→ označují, že se současně jedná o souřadnice vektoru). Pro, tímto způsobem zapsaným gradientem, platí pravidla vektorové algebry, například [Rektorys et al. 2003, s. 219], [Garaj, 1957], viz řešení Úlohy 1087.

417:

Běžný zápis gradientu potenciální veličiny

∇ operátor nabla – vpravo ve válcové soustavě souřadnic. V případě parciálních derivacích ve válcové soustavě souřadnic se vychází z Rovnice 679 pro parciální derivace ve válcové soustavě souřadnic.

g^→ [m·s^-2] gravitační zrychlení g^→(0;-9,81;0); p [Pa] tlak; p_at [Pa] tlak nad hladinou nádoby (atmosférický tlak); H [m] výška hladiny vody v nádobě; x, y, z [m] souřadnice; ρ [kg·m^-3] hustota vody.

Cirkulace vektoru v potenciálním vektorovém poli má unikatní vlastnosti

Cirkulace vektoru je ve vektorové analýze myšlena integrace součinu vektoru a jednotkového vektoru směru po uzavřené křivce-K, viz Rovnice 390. Jestliže je vektor a^→ současně vektorem v potenciálním vektorovém poli, respektive gradientem potenciální veličiny, pak to znamená, že tato cirkulace musí být rovna nule, protože počáteční hladina integrace je stejná jako konečná, viz Integrál 355.

390:

Cirkulace vektoru: Γ cirkulace vektoru.

Objekty a singularity uvnitř potenciálních vektorových polí

Vzpomeňme na definici gradientu potenciální funkce (potenciální funkce musí být definována v celé vyšetřované oblasti Ω). Takže stačí, aby uvnitř křivky-K, podle které provádíme cirkulaci vektoru, existoval jediný bod (nebo oblast, například ryba v jezeře), kde nemá potenciální funkce řešení a cirkulace vektoru vyjde různá od nuly. Pokud ale tvar křivky, po které integrujeme upravíme tak, aby tuto nedefinovanou oblast obcházela, tak cirkulace opět vyjde nula. Na druhou stranu, víme-li zcela jistě, že provádíme cirkulaci vektoru v potenciálním vektorovém poli a je přesto různá od nuly, pak to může znamenat, že uvnitř křivky, podle které cirkulace byla provedena je těleso, případně nějaká singularita. Hodnota cirkulace vektoru je pak údaj jeho nějaké charakteristické vlastnosti. Napřklad v aerodynamice se tak určuje vztlak křídla, které je obklopeno vektory rychlostí potenciálního proudění apod.

Hledání potenciální veličiny (potenciál vektoru) v potenciálním vektorovém poli

Pomocí definice gradientu jsme schopni vytvořit potenciální vektorové pole pomocí nějaké potenciální funkce a to platí i obráceně. Jestliže vektor a^→ je gradientem nějaké potenciální funkce u (a^→=∇ u), pak lze zjistit původní funkci popisující veličinu u podle Vzorce 677. Respektive lze psát du=a_xdx+a_ydy+a_zdz a integrací získat funkci pro u, kterou nazýváme potenciálem vektoru a^→. Například víme, že vektor gravitačního zrychlení Země vytváří také potenciální vektorové pole a existuje tedy i potenciál gravitačního zrychlení apod. Pomocí potenciálu vektoru rychlosti se před zavedením počítačových simulací hledaly trajektorie proudnic tekutiny, viz článek Vnitřní tření tekutiny a vývoj mezní vrstvy.

Tenzory

Metrický vektor má tři složky, které také nazýváme hlavní směry. Pomocí divergence lze sledovat změny těchto složek v hlavních směrech–pomocí parciálních derivací ve směru x, y, z. Sledovat změny jednotlivých složek vektoru v v dalších dvou směrech lze pomocí tenzorů, proto tenzor obsahuje až 9 čísel a nikoliv jen tři. Tenzor jaký je zde popsaný se nazývá metrický tenzor, ale existují i tenzory, které popisují veličiny, které mají více než tři rozměry [Rektorys et al., 2003], [Macur, 2010]). Metrické tenzory, dále jen tenzory mají spostu aplikací z nichž asi ve fyzice nejpodstatnější je definice vírového a nevírové vektorového pole.

  ~  

Metrický tenzor

Tenzorový počet umožňuje sledovat přírůstky složek vektoru ve všech směrech, tedy du_xx, du_yx, du_zx, du_yx, du_yy, du_yz, du_zx, du_zy, du_zz (první index označuje proměnnou, podle které derivujeme, druhý index označuje složku vektoru u^→), můžeme takovou funkci derivovat nejen ve směru proměnné, ale i kolmo na ni – jednotlivé přírůstky můžeme nazvat složkami tenzoru, podobně jako jsou složky vektoru a zapsat je do matice, kterou nazýváme tenzorem. To znamená, že přírůstek v každém směru je ještě závislý na zbývajících dvou souřadnicích, jak je ukázáno na Obrázku 909.

909:

Příklad znázornění složek tenzoru

vlevo-Je znám vektor rychlosti v okolí bodu P, který má tři složky V_x, V_y a V_z a zajímá nás změna těchto složek v malé vzdálenosti od bodu P. V takovém případě se složka V_x změní při posunutí ve směru osy x od dV_xx, ve směru osy y od dV_yx a ve směru osy z od dV_zx apod. pro ostatní složky. Pro zachování přehlednosti nejsou na obrázku zakresleny přírůstky složky rychlosti V_z. vpravo-Zápis tenzoru přírůstků rychlosti.

Tenzor napětí

Tenzory se používají například pro kompletní popis napětí a deformace tělesa, viz článek Meze použití materiálů [Škorpík, 2025]. Nicméně, jak už bylo v předchozím odstavci uvedeno tenzory nepředstavují jen formu zápisu, ale také reálné souvislosti o změnách vyšetřované veličiny, jak ukazuje například veličina rotace vektoru, jejíž podstata a odvození je v následující podkapitole.

Definice rotace vektoru

Vyšetřovaní rotace nejen kontinua, ale třeba i energetických polí je natolik používaná operace, že pro tento účel vznikl obecný vzorec zvaný rotace vektoru odvozený a uvedený pod označení Vzorec 421. Vektorové pole (v našem případě nejčastěji rychlosti) s nenulovou rotací se nazývá vírové vektorové pole [Garaj, 1957, s. 202].

421:

(a) rotace vektoru v pravoúhlé soustavě souřadnic; (b) rotace vektoru ve válcové soustavě souřadnic. Ve vzorcích pro rotaci vektoru chybí (respektive se vynechává) před každou složkou konstanta 1/2 takže, jestliže je rotace vektoru na vyšetřované oblasti Ω nenulová rot a^→≠0^→ znamená to, že látka ve vyšetřovaném bodě, respektive v jeho okolí se otáčí kolem tohoto bodu jako celek, přičemž délka vektoru rot a^→ je dvojnásobek úhlové rychlosti této rotace (2·ω) a vektor a^→ je rychlost látky. Odvození rotoru rychlosti je v Příloze 421.

V Potenciálním vektorovém poli je Rotor vždy roven nule

Dosazením definice gradientu potenicální funkce (Rovnice 417) do rovnice rotace vektoru lze velmi snadno odvodit, že rotace potenciálního vektorového pole je nulová.

Druhy pohybu látky podle rotoru rychlosti

Jestliže je rotor rychlosti potenciálního proudění (rychlost je gradientem nějaké funkce), pak to znamená, že při potenciálním proudění jednotlivé elementární objemy tekutiny nerotují, pouze konají posuvný pohyb, říkáme mu nevírový nebo též translační pohyb, naopak jiný druh proudění, kdy se elementární objemy při pohybu natáčí nebo přímo otáčí se nazývá vírový pohyb. Oba pohybu jsou názorně porovnány na Obrázku 920.

920:

(a) charakter nevírového proudění (částečky proudící látky konají pouze posuvný pohyb v celém vyšetřovaném objemu); (b) charakter vírového pohybu – částečky pohybující se látky se otáčí kolem vyšetřovaného bodu B a zároveň mohou konat i posuvný pohyb.