42. TECHNICKÁ MATEMATIKA

matematických operacích (sčítání, odčítání, násobení, dělení) s přirozenými čísly byla objevena čísla další, nejprve jako mezivýsledky a později našla uplatnění i jako konečné výsledky.

Při odčítání předešlých typů čísel byla objevena čísla záporná (nejprve používaná pouze jako mezivýsledky) například 2-4=-2. A proto musela vzniknout pravidla, jak s takovými čísly počítat, například bylo zavedeno, že násobením dvou záporných čísel vyjde číslo kladné, to je jedno z pravidel aritmetiky. Kdyby tomu tak nebylo a pravidlo by znělo například tak, že násobením dvou záporných čísel vyjde číslo záporné, musela by být aritmetická pravidla zvlášť pro kladná a záporná čísla [23, s. 45] – prostě by počítaní také šlo, ale bylo by to složitější.

Na první pohled se zdá, že jakékoliv přirozené číslo lze dělit nekonečným počtem jiných přirozených čísel, a tak by bylo možné vyjádřit jakékoliv desetinné číslo, leč není tomu tak. Lze celkem jednoduše dokázat, že například číslo √2= 2,4142... nelze vyjádřit podílem dvou přirozených čísel (jednoduché důkazy, že toto číslo nelze vyjádřit jako zlomek přirozených čísel jsou uvedeny v knihách Jazyk matematiky a Matematické důkazy [21, s. 31] a [20, s. 113]). Čísla, která nelze takovým podílem vyjádřit se nazývají iracionální čísla.

Přímou souvislost s fyzickým světem mají i čísla racionální. Jedná se o čísla vzniklá podílem dvou přirozených čísel (například polovina jablka 1/2=0,5). Výsledkem operace dělení nemusí být, a často ani nebývá, celé číslo, ale číslo desetinné, přičemž před i za desetinou čárkou může být libovolný ale konečný počet čísel.

Představené typy čísel jsou souhrnně nazývána jako čísla reálná, a hranice mezi kladnými a zápornými čísly je nula – při počítání má význam jako nic [41, s. 92], prázdno apod. a není to reálné číslo (proto násobení nulou je nula a dělení nulou je nesmysl [35, s. 39]).Někdy se uvádí při dělení nulou jako výsledek nekonečno (znak ∞), ale to jen ve speciálních případech, protože obrácená operace dělení je násobení a při násobení nekonečna nulou je výsledek opět nula a ne původní dělenec, více v knize Kabinet matematických kuriozit profesora Stewarta [23, s. 93].

Reálná čísla a nulu lze znázornit i graficky pomocí osy (Obrázek 1065), kde jsou seřazena čísla vzestupně zleva do prava, přičemž vzdálenosti mezi nimi jsou stejné, podle toho jak rozměrově velkou osu chceme vytvořit.

osa reálných čísel – obsahuje i nulu. Nulou prochází osa čísel b, která má také vlastnosti osy reálných čísel a je kolmá k ose čísel b. Komplexní čísla se v takovém systému zakreslují tak, jak je znázorněno na Obrázku 1002.

Při práci v rovině se v odborné literatuře velmi často používá algebra komplexních čísel (kde osa x je osou parametrů b a osa y osou parametrů a komplexního čísla), která defacto popisuje operace v rovině – zdůrazňuji, že se využívá pouze algebra, takže ve skutečnosti se nejdná o práci s komplexními čísly, ale čísly reálnými. Komplexní číslo většinou není v technické praxi přijatelný výsledek a musí se umět správně interpretovat co by to mohlo znamenat pro postup výpočtu nebo popisovaný děj.

Mimo zmíněná čísla existují ještě čísla nazývaná kvaterniony a oktoniony [9], ale ty se v běžné technické praxi už nevyskytují.

Zaokrouhlování

Mezi základní problémy rychlých a přibližných výpočtů patří zaokrouhlování. V současné době díky počítačům není problém pracovat s čísly, které mají velký počet desetinných míst. Taková čísla jsou matematicky sice velmi přesná, ale v běžných technickych případech těžko využitelná, zvláště pro přibližné a rychlé výpočty je lepší taková čísla zaokrouhlovat (zkracovaní čísla). Tři základní matematická pravidla zaokrouhlování, která jistě znáte, se dají shrnout do těchto tří příkladů: 4,335≐4,34≐4,3, ale pokud se jedná o desetinné číslo končící číslicí 5 s následujícími nulami zaokrouhluje se obvykle na nejbližší sudé číslo: 4,38500≐4,38, 4,37500≐4,38 [8, s. 32]. Tzn. poslední dvojciferné číslo končící číslem 4 a menším se zaokrohluje směrem dolů, poslední dvojciferné číslo končící číslem 6 a vyšším se zaokrohluje směrem nahoru.

a papíru . Tzv. sčítání, odčítání pod sebou souvisí se zavedením pozičního systému zápisu arabských čísel [9], [10], který se do západní Evropy dostal pomocí spisů perského učence Muhamad ibn Músa al-Chwárizmí (780-850) [9], [10]. V takovém případě stačí napsat čísla pod sebe a jednotlivé řády k sobě přičítat, respektive odčítat. Připomenutí takového postupu je na Obrázku 921.

● Ruční násobení a dělení

Operace násobení a dělení jsou obtížnější, co se týká výpočtů z hlavy. Podobně jako pro sčítání a odčítání tak i pro násobení a dělení lze provádět metodou "počítáním pod sebe". Při násobení se násobená čísla napíši pod sebe podle řádů jako u sčítání a postupně se vzájemně násobí jednotlivé řády činitelů, tyto násobky se na konci sečtou. Při dělení se hledají násobky dělitele, který se postupně odečítá od dělence. Připomenutí takového postupu je na Obrázku 1064.

● Právitka pro sčítání a odčítání

Rychlé zaokrouhlené sčítání a odčítání lze provádět pomocí analogových pomůcek jako je posuvné pravítko pro sčítání a odčítání. Posuvné pravítko je složeno ze dvou identických posuvných lišt s číselnou osou, kde jednotlivé stupnice musí být od sebe stejně vzdálené (vlastně se jedná o dvě osy reálných čísel). Takové pravítko lze vytvořit například ze dvou stejných pravítek pro rýsování. Jestliže chceme znát hodnotu a+b, pak první pravítko posuneme tak, aby ryska odpovídající nule měla naproti rysku odpovídající hdonotě a, výsledek pak odpovída rysce na druhém pravítku, která ma naproti rysku prvního pravítka s hodnotou b. Vzhledem k omezení viditelnosti stupnice by pravítko o délce 20 centimetrů se stupnicí po 0,5 mm bylo schopno přičítat nebo odečítat čísla od 1 do 10 s přesností na 0,05 a pod.

Logaritmy jsou založeny na faktu, že každé kladné reálné číslo x lze vyjádřit umocňováním ve tvaru x=n^y (záporná reálná čísla lze vyjádřit umocňováním pomocí algebry komplexních čísel). Logaritmus čísla je tak definován jako log_n n^y=y·log_n n=y·1, kde n je základ umocňování, respektive logaritmu a log_n n=1.

Nejčastěji se používají tzv. dekadické logaritmy, což je logaritmus o základu 10, a proto se zkráceně označují pouze log. Přirozený logaritmus se označuje ln (dříve lg), ten je o základu e=2,71828... (tzv. Eulerovo číslo, které souvisí s nekonečnými řadami). V počtu pravděpodobnosti a informatice se také používá logaritmus o základu 2 tj. log₂, který už speciální označení nemá. Logaritmy o různých základech lze převádět mezi sebou pomocí vztahu log_n x=(ln x)/(ln n). Log 0 je v matematice neurčitý výraz a pokud to lze definuje se jako 0·log 0=0 [17, s. 16].

Z vlastností logaritmů [1, s. 14] lze součin čísel a a b převést na součet dvou logaritmů takto: a·b=c => log a+log b=log c=C. Chceme-li znát zjistit hodnotu c. Podobný převod lze provést při dělení čísel a a b: a·b^-1=c => log a-log b=log c=C. Pro výsledek c pak platí rovnost c=10^C. Alegebra logaritmů je shrnuta v [1, s. 14].

Pro výpočty pomocí logaritmů je nutné znát hodnoty logaritmů. Ty se dříve tabelizovaly a první tabulky dekadických logaritmů publikoval Briggs (viz Tabulka 880). V té době vyčíslení logaritmů představoval pracný ruční výpočet přirozeného logaritmu a převodu na dekadický logaritmus. Současné matematické softwary a kalkulačky tyto tabulky obsahují nebo si je počítají v reálné čase numerickým způsobem na požadovanou přesnost pomocí Taylorových řad [17, s. 182].

I když se tabulky logaritmů udávaly na pět i více desetinných míst, k výpočtům prostých součinů se nepoužívali, protože rychlejší bylo násobení pod sebou. Pro rychlé přibližné výpočty se používalo logaritmické pravítko vynalezené anglikánským duchovním a matematikem Williamem Oughtredem (1575-1660). Logaritmické pravítko funguje stejně jako posuvné pravítko pro sčítání a odčítaní s tím rozdílem, že obě stupnice odpovídají logaritmům čísel. Takže při násobení čísla 4,4 s číslem 6,3 stačí sečíst logaritmy těchto čísel na dvou zrcadlově otočených pravítkách s logaritmickou stupnicí (Obrázek 1073). Při dělení se logaritmy odčítají.

Nicméně logaritmické pravítko je také už archaická pomůcka, ale narýsované pravítko, které by násobilo stále stejnou hodnotu lze použít jako rychlý převodník, například pro rychlý převod fyzikálních jednotek, které jsou vzájemným násobkem nebo i pro výpočet obvodu či plochy kruhu jak ukazují následující Obrázky 1074, 1021 a dále Obrázky 1023, 1026, 1034, 1045, 1046 na s. 42_12.

tvořen přímkami, protože pro konstantní průměr kola je tato rovnice rovnicí přímky – křivka konstatních hodnot funkce se nazývá isoplétou, viz Obrázek 1077. Takový nomogram lze zkonstruovat pouze pravítkem. Nutné je stanovit rozsah jednotlivých proměnných podle toho, které kombinace hodnot d a n nás zajímají.

Osy soustavy souřadnic nemusí být u nomogramů navzájem kolmé, ale mohou svírat i jiný úhel než 90°. V systému skloněných os se poměrově zvětší či zmenší úhly mezi isoplétami a osami nomogramu. Například pokud by osa x svírala s osou y úhel 70°, pak by se úhel mezi izoplétami a osami zmenšil poměrem 70/90 apod.

Je očividné, že takový nomogram pro funkci dvou proměnných nemůže pokrýt všechny možnosti řešení v navrženém intervalu vstupních proměnných, to by musel obsahovat nekonečný počet izoplét, a nikoliv jen deset. Jestliže nomogram neobsahuje izoplétu splňující zadání, je nutné její průběh určit alespoň přibližně tak, jak naznačuje příklad výpočtu obvodové rychlosti pro n=6,3 s^-1 a d=5,6 m. Další problém přesnosti nomogramů tkví v jeho fyzické velikosti. Rozsah chyby (chyba, která vznikne na délce 1 mm osy nomogramu) lze jednoduše stanovit z měřítka nomogramu. Tato chyba nemusí být na celé ploše nomogramu stejná. Například v případě posledního nomogramu v oblasti kolem n=2, d=2 bude vzdálenost 1 mm na ose obvodových otáček kola představovat chybu o velikosti ~24 % a v oblasti n=9, d=10 chybě jen ~1 %.

Do jednoho nomogramu lze zakreslit i více rovnic, které mají stejné proměnné. Například do nomogramu pro obvodovou rychlost kola lze zakreslit i průběh pro kritické otáčky hřídele s tímto kolem, které se s průměrem kola budou měnit (kritické otáčky jsou funkcí průměru kola a tuhosti hřídele, která je v tomto případě stejná). V nomogramu lze také vyznačit různé oblasti, respektive kombonace, které jsou preferovány, nebo naopak nevhodné, či vyznačují něčím jiné vyznamné oblasti – například v Nomogramu 1196^38. pro výpočet Reynoldova čísla. Takto lze nomogramy personalizovat podle toho jakou oblastí se vlastník nomogramu zabývá.

Nomogramy se také dodávají k různým výrobkům jako pomůcka pro koncového uživatele o změnách parametrů stroje při různých nastavení. Například nomogramy u soustruhů, pro odečet otáček nebo posuvu při změně převodového poměru, nomogramy regulačních ventilů, ze kterých lze vyčíst změnu průtoku a tlakové ztráty při změně zdvihu vřetena ventilu apod.

Nomogram zvládne i více proměnných než jen dvě, takové nomogramy se nazývají sdružené. Jedná se vlastně o dva nomogramy, které mají jednu společnou stupnici, která slouží jako výstup prvního a vstup do druhého, viz například Nomogram 1198^38. pro výpočet výpočet průměru potrubí na základě hmotnostního průtoku, hustoty a střední rychlosti proudění.

Doposud popsané typy nomogramů se nazývají průsečíkové. Nevýhodou těchto nomogramů je obtížný odečet (hledání průsečíku tří různoběžných čar) i velká hustota čar, proto se koncovým uživatelům, kteří nejsou tak matematicky zdatní pokud to jde, dodávají graficky přehlednější spojnicové nomogramy.

Spojnicový nomogram pro dvě proměnné je složen ze tří stupnic, na kterých jsou v příslušných měřítkách vyneseny hodnoty jednotlivých proměnných, respeketive hodnoty počítané veličiny, viz nejjednodušší tvar spojnicového nomogramu Obrázek 1079 tvořeného třemi přímkami z nichž jedna je uprostřed. Konstruktér nomogramu musí navrhnout typ stupnic a jejich měřítka, jejich tvar a sklon i jejich vzájemné vzdálenosti tak, aby průsečíky na jednotlivých osách, které vzniknout nakreslením libovolné přímky, byly řešením příslušné rovnice.

nebyla uprostřed, ale například blíže k ose průměrů, pak by se musela měřítka těchto os různě změnčit (měřítko osy průměrů více než osy rychlostí) a naopak. Proto je výhodné mít osu z uprostřed os hlavních.

Spojnicové nomogramy lze také konstruovat pro více jak tři proměnné spojením několika nomogramů tzv. sdružený spojnicový nomogram. Dokonce lze kombinovat průsečíkové nomogramy s nomogramy spojnicovými [14, s. 136], [15, s. 215].

Konstrukce nomogramů často vyžadují většího duševního úsilí a zkušeností. Ten kdo nemá dostatek zkušeností může vycházet při konstrukci nomogramu z podobnosti s jiným nomogramem (napříkladem tvarem řešené rovnice), přičemž lze čerpat z katalogů nomogramů uvedených v [14], [15], [30].

Sestavení rovnic a jejich řešení

Rovnicí je i vzorec, protože jeho levá strana se rovná pravé, přesto při vyslovení slova rovnice je obvykle myšlen její širší význam tedy něco do čeho nestačí jen dosadit a získáme použitelný výsledek. Rovnici máme obvykle upravit či vyřešit.

● Sestavení rovnice

Rovnici nejčastěji získáme při řešení složitějších úloh kombinací dvou a více vzorců. Sestavování rovnic je ryze lidská schopnost. Při řešení úloh postupujeme systematicky po krocích, které jsou přehledné a srozumitelné, což se nejlépe ukáže na úloze:

Ze zadání úlohy je zřejmé, že výsledná rovnice bude obsahovat minimálně dva typy vzorců, a to vzorec pro výpočet ujeté vzdálenosti při rovnoměrně zrychleném/zpomaleném pohybu a vzorec pro výpočet ujeté vzdálenosti při konstantní rychlosti. Celkovou ujetou vzdálenost si označme jako x₁ (písmeno x se používá k označení veličin, které nejsou známy, respektive nejdou jednoduše ze zadání vyčíst), vzdálenost při rovnoměrném zrychlení x₂, vzdálenost ujetou konstantní rychlosti x₃ a vzdálenost ujetou při zpomalování x₄. Je evidentní, že celková vzdálenost x₁ bude součtem vzdáleností x₂, x₃, x₄ a x₅, viz Vzorce 931.

Při sestavování rovnic se často stává, že neznámá není samostatně na jedné straně rovnice například 2,54 + a = b·x²+(2x²+c)d, takže je potřeba ji tzv. separovat neboli osamostatnit. To se dělá vhodnými promyšlenými matematickými operacemi, při kterých musí být zachována rovnost pravé a levé strany rovnice. Například, přičítáním stejného čísla k pravé i levé straně rovnice, tak aby byla zachována její rovnost. To samé pravidlo platí i pro jiné matematické operace včetně umocňování, logaritmování atd. Postup separace neznámé x je na příkladu zobrazen na Obrázku 901.

Především při úpravách je dobré rovnici co nejvíce zjednodušit, taky abychom se v ní neztráceli a nemuseli neustále opisovat spoustu symbolů. Například během úprav Rovnice 16 lze x² označit zkráceně například symbolem y a v kroku 5 opět dosadit x², tomu se říká substituce. Také se může vyskytnout logaritmická rovnice a místo x² v předchozí rovnici může být například log 2x opět by šlo za tento výraz při úpravách dosadit symbol y a v pátém kroku dosadit zpět log 2x apod.

Mnoho rovnic, které řešíme už vyřešné byly, takže lze použít již vytvořené analytické řešení. Ale jak poznat, že rovnice, kterou řešeíme už má někde uvedené řešení? Poznáme to tak, že naši rovnici převedeme do normalizovaného neboli kanonického tvaru, viz Rovnice 915. Příklady kanonických tvarů výše uvedených rovnic jsou na Obrázku 1255.

takže byl-li člen na pravé straně nerovnice větší než pravý, tak po vynásobení tomu musí být naopak, takže i nerovnost musíme obrátit – viz Nerovnice 874.

● Numerická řešení rovnic a metoda Monte Carlo

K numerickému řešení rovnice se přistupuje například tehdy je-li úpráva rovnice příliš duševně náročná nebo nemožná a u větší soustavy rovnic, u kterých se z praktických důvodů na analytickou metodu řešení rezignuje.

Asi si dokážeme představit, že existují rozsáhlejší soustavy rovnic s více neznámými, než je soustava rovnic na Obrázku 1255 (například především při řešení schémat v elektrotechnice i schémat rozsáhlých potrubních tras technologických celků viz kapitola Kapitola o výpočtu rozsáhlých schémat technologických celků_25.). Takové soustavy řešíme numericky pomocí maticového počtu, viz následující podkapitola Gaussova eliminační metoda a maticový zápis soustavy lineárních rovnic, s. 42_23. V této kapitole se proto dále zaměříme na numerická řešení nelinárních rovnic.

Rovnice 824 je příkladem rovnice, u které nelze separovat neznámou, respektive nejsme schopni odvodit analytické řešení v přímém tavaru. To zjistíte tak, že to zkusíte a ono to nejde a samozřejmě existují i matematické důkazy, o tom kdy to jde a kdy ne, viz také předchozí kapitola. Věřte, že s přibývajícími zkušenostmi takovou záludnou rovnici rozeznáte i podvědomě. Takové rovnice se řeší numericky iteračním výpočtem.

Na počátku iteračního výpočtu obvykle odhadneme (na základě dostupných dat) interval na ose čísel, ve kterém by se mohl nalézat očekávaná hodnota hledané neznámé a postupně testujeme možná řešení – při iterčních postupech často nejsme schopni dosáhnout zcela přesného výsledku, ale výsledku s určitou přesností. Iterační metod je velké množství, ale téměř vždy jsou založeny na derivacích funkcí (viz [1, s. 603]), takže si řekněme něco jen o základní iterační metodě Monte Carlo založené na odhadu.

Nové rovnice z původní soustavy tvoříme odečítáním rovnic od sebe, pokud před touto operací odečítanou rovnici vynásobíme takovým číslem, aby výsledná rovnice obsahovala alespoň o neznámou méně na té správné pozici (eliminovaly jsme jednu neznámou), pak se nám postupně podaří dalšími takovými operacemi získat cílový tvar soustavy viz příklad na Obrázku 1200. Rovnice lze za účelem rychlejšího výpočtu prohazovat z jednoho řádku na jiný a to lze provádět i se sloupci, ale v takovém případě musíme myslet na to, že pořadí neznámé už nebude odpovídat číslu sloupce (proto dáváme přednost prohození řádků, pokud to jde). Samozřejmě při operacích nelze násobit nulou, proto při výběru dvojice rovnic, které budeme od sebe odečítat, musíme vybrat rovnice takové, abychom nemuseli násobit nulou.

Všimněte si, že cílový tvar obsahuje pouze nehomogenní rovnice (lineární rovnice, která má na pravé straně nenulové číslo b≠0), proto je tato eliminační metoda neúčinná, pokud původní soustava rovnic obsahuje pouze homogenní rovnice b=0 – násobením ani odčítáním od sebe se tyto nuly nezmění. Naštěstí stačí, aby alespoň jedna rovnice v původní soustavě byla nehomogenní, pak už stačí vytvořit novou soustavu tak, že ke každé homogenní rovnici přičteme/odečteme onu nehomogenní rovnici.

U velkých soustav rovnic se při neustálém opisování rovnic vynechává znaménko plus, rovná se i označení jednotlivých neznámých x a celá soustava se zapisuje pomocí tzv. maticového zápisu do matice, viz Obrázek 1202. Na Obrázku 1068 je konkrétní příklad matice a to matice soustavy lineárních Rovnic 1255, s. 42_21 i s výslednou maticí, která je jejím řešením.

Souhrn základních vztahů mezi goniometrickými funkcemi, například jak je sčítat, odčítat, násobit a dělit mezi sebou jsou uvedeny v [1, s. 72-78]. Obecné řešení rovnic obsahující goniometrické funkce existuje pouze pro funkce jednoho proměnného úhlu. V případě více proměnných úhlů se postupuje numericky vhodnou iterační metodou, to platí i pro případy funkce jedné proměnné, u kterých nelze separovat neznámý úhel.

Typická úloha v trigonometrii obvykle vychází ze znalosti úhlu x a jedné strany, přičemž úkolem je vypočítat velikost další strany. K tomu je ale nutné znát hodnotu příslušné goniometrické funkce při zadaném úhlu, ta se hledá v tabulkách goniometrických funkcí nebo se jednoduše vypočítá pomocí kalkulačky nebo jiného matematického stroje.

Přirozeně existují i obrácené úlohy a to výpočet úhlu x, jestliže je znám poměr dvou stran. K tomu se využívá vlastností cyklometrických funkcí. Existují tři základní cyklometrické funkce, které jsou inverzní ke goniometrickým funkcím, takže platí x=arcsin b/c (arkussinus), x=arccos a/c (arkuskosinus), x=arctg b/a (arkustangents). Problém je v tom, že jednoznačnou hodnotu cyklometrické funkce lze přiřadit na intervalu dlouhým maximálně 180°. Například arcsin na intervalu 90° až 270°, arccos na intervalu 0° až 180° a arctg na intervalu 90° až 180°. Ale na intervalu 0° až 180° má arcsin dvě řešení (arcsin 0,5 může znamenat buď 30° nebo 150°) atd. Kvůli těmto vlastnostem je při výpočtu už nutné znát orientaci trojúhelníku v navrženém soustavě souřadnic, respektive v jakém je kvadrantu.

● Stupně, nebo radiány?

V technické praxi se velmi často místo jednotky pro velikost úhlu stupeň [°] používá jednotky radián [rad] tzv. oblouková míra. Použití obou jednotek má své opodstatnění. Zatímco v případě stupňů používáme 360 dílnou stupnici tak u radiánů stupnici o velikosti 2π. To má výhodu především pro případy, kdy se s úhly dále pracuje navazujících výpočtech (i v jiných než v trigonometrických), protože součin úhlu v radiánech a délky přepony je délkou oblouku vytvořené přeponou (přepona se v takovém případě nazývá průvodič). Takže při pootočení průvodiče o celou otáčku bude délka oblouku rovna obvodu kruhu 2π·c, proto plný úhel v radiánech je roven právě 2π=360°. Podobně oblouk vytvořený pootočením průvodičem o čtvrt otáčky musí být velký jako čtvrt kruhu 2π·c/4, takže π/2=90° apod. (Obrázek 403) Převod stupňů na radiány je potom jednoduchý X/(2π)=x/360, kde velké X je úhel v rad (viz. také Převodník 1146, [33]).

jako velikost vektoru). Jestliže si dokážeme představit amplitudu funkce sinus jako vektor, který mění svou velikost tak, jak se otáčí kolem svého počátku, pak už nejsme daleko pochopit jak nakreslit průběh této funkce pouze pomocí pravítka a kružítka (Obrázek 1177).

Takový vektor má tu vlastnost, že se jeho velikost mění v závislosti na úhlu přesně podle funkce sinus. Takové vektory nejsou užitečné jen při popisu vlnění ale i při výpočtu pravděpodobnosti nějakého děje, který má průběh jako funkce sinus, v takovém případě se výsledný vektor nazývá amplituda pravděpodobnosti.

Konečná matematika

Konečná matematika se používá pro peirodicky se opakující děje, například pro měření času v rámci jednoho dne, jednoho roku apod. Důležitou roli hraje také u goniometrických funkcí a kvantové mechanice. Takže konečnou matematiku drtivá většina z nás používá každý den.

Princip tohoto druhu matematiky spočívá v tom, že je omezená maximální hodnotou čísla. Při měření času v rámci dne je to číslo 12 (nebo 24 při 24hodinovém formátu), v rámci hodiny 60 (minut) apod. V goniometrii je maximální úhel roven 2π nebo 360° atd. Konečná matematiky zpravidla obsahuje i nulu, která se kryje s maximální hodnotou, protože stupnice (osa) čísel konečné matematiky je uzavřená a nejčastěji se znázorňuje jako kruhová (Obrázek 1182).

Pro parciální derivace přírozeně platí stejná pravidla derivovaní jako pro funkce jedná proměnné, a parciální derivace má i stejnou interpretaci (jedná se o směrnici tečny k průběhu funkce ve směru osy proměnné podle, které se derivuje). To znamená, že uvedené dvě parciální derivace v určitém bodě soustavy souřadnic u-x-y představují dvě tečny k této ploše vytvořenou funkcí f.

Vlastnosti a postup při parciální derivaci lze dobře předvést na příkladu jednoho z nejznámějších vztahů v termodynamice^43., což je rovnice pro hmotnostního průtoku ideálního plynu tryskou^40. při podzvukových rychlostech, viz Úloha 214. Tato rovnice obsahuje dvě proměnné (Rovnice 1144) a to tlak před tryskou a za tryskou, proto výsledkem parciální derivace budou dvě rovnice. Jedna rovnice bude udávat jak se bude měnit průtok tryskou, když se bude měnit tlak před tryskou a druhá jak se bude měnit průtok, když se bude měnit tlak za tryskou. Výsledkem je prostorová plocha označovaná jako průtokový kužel trysky.

Parciální derivace v jiné soustavě souřadnic už může být trochu složitější, protože diferenciály musíme transformovat. Například pro válcovou soustavu souřadnic se parciální derivace provádí podle proměnných r, u a a a protože diferenciál v obvodovém směru lze vyjádřit jako součin délky průvodiče a diferenciálu úhlu ν tj. du=r·dν je ve jmenovateli derivace podle úhlu ν součin r·dν, viz Vzorec 679.

Vektory

Vektorové veličiny obsahují o jedné veličině více údajů než její absolutní velikost (skalární hodnota). Budeme-li se soustředit na techniku, tak vektorová veličina udává hodnoty vyšetřované veličiny v různých směrech. Například rychlost tělesa můžeme sledovat podél osy x, y a z, takže obsahuje tři hodnoty c_x, c_y, c_z, ale také ji lze vyjádřit jednou hodnotou a to ve směru pohybu (skalární hodnota). Vektorová veličina je kvalitativně jiná než skalární, dá se říct, že je nadřazená skalární, protože skalární hodnotu s vektorové vypočítáme, ale nikoliv naopak. Vektorové veličiny mohou mít jiné vlastnosti než její skálární protějšky.

Rovnice k popisu rychlosti ve vyšetřovaném objemu musí tedy obsahovat tři rovnice (pro každý směr jednu) a v případě, že se bude jednat o nestacionární proudění, budou rovnice funkcí i času [5, s. 294]. Navíc tvary rovnic budou ovlivněny i polohou a orientací soustavy souřadnic. Naštěstí zápis těchto rovnic a operace s nimi usnadňují pravidla vektorové algebry (například zápis vektoru, vektorový součet, součin apod), jejich soupis lze nalézt v [4], [1, s. 219], [8, s. 342]. Vektorovou algebru zavedl Němec Hermann Grassmann (1809-1877) povoláním učitel [10, s. 180], [21, s. 66]. Hlavní výhody vektorového zápisu/počtu názorně vyjadřují slova František Kejla [1, s. 219]: Jeho největší výhody záleží v tom, že jednak pomocí zvláštní symboliky umožňuje velmi jednoduchý zápis vztahů, které by se jinak vyjadřovaly těžkopádnými a nepřehlednými vzorci, jednak dává možnost vyjádřit různé zákony ve tvaru nezávislém na zvolené soustavě souřadnic.

Pomocí gradientu lze vyjádřit i zákon zachování energie^43. ve vyšetřovaném objemu proudící tekutiny. Podle prvního zákona termodynamika může tekutina obsahovat již zmíněnou potenicální energii, ale i kinetickou, tlakovou a vnitřní tepelnou energii. Současně ze zákona zachování musí platit, že klesá-li v nějakém směru gradient jednoho druhu energie, tak v tom samém bodě a směru musí gradient jiné energie růst apod. Jinými slovy součet gradientů těchto energií musí být roven nule. Pokud roven nule není, pak to jednoduše znamená, že tato tekutina sdílí energii se svým okolím a to buď ve formě práce nebo tepla. Toto tvrzení lze tedy zapsat Rovnici 746. Pomocí takové rovnice lze vyšetřit proudění po libvolné proudnici mezi vstupem a výstupem.

Kdyby neexistoval vektorová algebra, pak bychom museli poslední rovnici rozepsat do jednotlivých směrů, tzn. vytvořit energetickou bilanci pro každý směr, viz Rovnice 1233.

Totální diferenciál aneb přírůstek funkce, s. 42_33. Obecně se taková operace zapíše Rovnicí 677.

Pokud neexistuje pro vyšetřovanou veličinu spojitá potenciální funkce u=f(x, y, z), pak lze hodnoty gradientů řešit pomocí statistiky, podobnosti apod.

● Vlastnosti potenciálních vektorových polí

Jestliže vektorová veličina a^→ je gradientem potenciální funkce u (a^→=grad u, u nazýváme potenciálem), pak lze z výše uvedené definice gradientu odvodit tyto dvě její vlastnosti: 1. lze zjistit původní funkci u; 2. cirkulace vektoru a^→ musí být rovna nule.

1/2. Je-li vektor a^→(a_x, a_y, a_z) gradientem potenciální funkce u, pak musí podle Vzorce 677 platit: du=a_xdx+a_ydy+a_zdz a funkci u lze tedy získat integrací rovnice přírůstku du. Funkci u nazýváme potenciálem vektoru a^→.

Jedním z příkladů potenciálního vektorového pole je vektor rychlosti potenciálního proudění (potenciální proudění proto, že rychlost je považována za gradient nějaké potenciální funkce). Model potenciálního proudění se uplatňuje v hydrodynamice při popisu proudění ideálních tekutin^38., pro které má velmi dobré výsledky. Takže bude-li vektor rychlosti proudění c^→(c_x, c_y, c_z) gradientem funkce u, pak lze z funkce u sestrojit hladiny (u=konst., du=0) a kolmo k těmto hladinám lze sestrojit i proudnice takového proudění, jak názorně ukazuje Úloha 171, viz také příklady v [2, obr. 208], [5, s. 388].

Na základě předchozího tvrzení o vlastnostech potenciálního proudění lze jednoduše dokázat, že zrychlení proudu je dáno gradientem měrné kinetické energie – viz důkaz v Úloze 961.

Pro energetickou rovnici potenciálního proudění lze samozřejmě užít Rovnici 746, s. 42_36 s tím, že grad lze vypočítat pomocí Hamiltonova operátoru a místo gradientu kinetické energie psát vektor zrychlení a místo gradientu potenciální energie vektor gravitačního zrychlení, viz Rovnice 1044, ze které je patrné, že při vynechání vlivu vnějšího zrychlení může kapalina zrychlovat jen tehdy, pokud se mění tlak.

Proč musí být výsledek cirkulace v tomto případě roven nule? Připoměňme si, že součin vektoru a jednotkového vektoru je roven přírůstku funkce, viz Vzorec 677, s. 42_38. Integrujeme-li přírůstek potenciální funkce, podle křivky mezi body i a e, pak výsledek musí být totožný s rozdílem hodnot vyšetřované potenciální funkce, které má na hladinách, ve kterých leží body i a e, Obrázek 678. Bude-li mít tedy bod e stejné souřadnice jako bod i, pak musí být výsledek integrace roven nule.

Chceme-li zjistit o vektorové veličině a^→ zda je gradientem nějaké potenciální funkce, tak jedna z možností je provést jeho cirkulaci po uzavřené křivce a z výsledku rozhodnout zda se jedná či nejedná o gradient potenciální funkce. Jestliže by se ale cirkulace nerovnala nule, neznamená to hned, že jsme narazili na vektor, který není gradintem potenciální veličiny. Vzpomeň me definici gradientu, kde je podmínkou, aby potenciální funkce byla definována v celé vyšetřované oblasti. Takže stačí, aby uvnitř křivky, podle které provádíme cirkulaci vektoru obsahovala jediný bod (nebo oblast, například rybu v rybníce), kde nemá funkce řešení a cirkulace vektoru je různá od nuly [2, s. 220]. Pokud ale tvar křivky, po které integrujeme upravíme tak, aby tuto nedefinovanou oblast obcházela, tak cirkulace opět vyjde nula (viz příklad na Obrázku 1235(a)).

Divergence vektoru se používá pro bilance objemu tekutiny v okolí vyšetřovaného bodu. Například je-li a^→ vektor průtoku tekutiny stacionárního proudění je součet derivací průtoku v jednotlivých směrech roven nule div a^→=0. To znamená, že sníží-li se průtok v jednom nebo dvou směrech, musí se v dalším směru/směrech zvýšit, aby byl celkový průtok kolem vyšetřovaného bodu zachován [1, s. 228]. Proto lze divergenci vektoru použít pro zápis rovnice kontinuity. Divergenci lze ale také použít pro prostorový popis zákona zachování energetického toku apod.

Tenzorový počet

Při řešení některých úloh v mechanice kontinua již nevystačíme pouze s vektorem a jeho třemi složkami. V předchozích případech, když jsem probírali vektorovu analýzu, tak jsme sledovali změny jednotlivých složek vektoru pouze v jejich směrech (typicky definice divergence vektoru uvedena na předchozí straně), ale v tenzorovém počtu se sledují i změny ve zbývajícíh dvou směrech.

Tenzorový počet umožňuje sledovat přírůstky složek vektoru ve všech směrech, tedy du_xx, du_yx, du_zx, du_yx, du_yy, du_yz, du_zx, du_zy, du_zz (první index označuje proměnnou, podle které derivujeme, druhý index označuje směr přírůstku), můžeme takovou funkci derivovat nejen ve směru proměnné, ale i kolmo na ni – jednotlivé přírůstky můžeme nazvat složkami tenzoru, podobně jako jsou složky vektoru a zapsat je do matice, kterou nazvýváme vektorem. To znamená, že přírůstek v každém směru je ještě závislý na zbývajícíh dvou souřadnicích, jak je ukázáno na Obrázku 909. Tenzor v prostoru má devět složek (ale mimo třírozměrný prostor lze stanovit i větší tenzory [1], [5], [38]). Vektor je tedy speciálním případem tenzoru.

stanovit velmi snadno – podívejme se na Obrázek 1031, kde je zobrazen element tekutiny zjišťujeme zda se bude otáčet kolem bodu P, který se nachází v jeho pravém dolní rohu (uvažujeme pro jednoduchost rotaci kolem osy z). Obecně se úhlová rychlost rotace stanoví jako podíl obvodové rychlosti ku ramenu (vzdálenost od osy rotace zapsáno ve tvaru ω=u·r^-1, kde ω [rad·s^-1] je úhlová rychlost; u [m·s^-1] je obvodová rychlost – viz také Vzorec 1077, s. 42_14; r [m] je rameno). V případě vyšetřování rotace v nejbližším okolí bodu P, kde je rychlost tekutiny c^→(c_x, c_y, c_z), musí obvodová rychlost odpovídat přírůstku rychlosti na ramenu rovnu diferenciálu vzdálenosti od bodu P. Samozřejmě, že v případě vyšetřování rychlosti proudění tekutiny má vyšetřovaní její rotace smysl pro tak velké okolí bodu P, kdy se neprojeví termokinetický pohyb molekul nad pohybem proudění látky jako celku.

Vyšetřovaní rotace nejen kontinua, ale třeba i energetických polí je natolik používaná operace, že pro tento účel vznikl obecný vzorec zvaný rotace vektoru odvozený a uvedený pod označení Vzorec 421. Vektorové pole (v našem případě nejčastěji rychlosti) s nenulovou rotací se nazývá vírové vektorové pole [4, s. 202].

setrvačníku vytváří vírové pole (ano je skutečně tomu tak a jakýkoliv vybraný elementární objem setrvačníku rotuje úhlovou rychlostí odpovídající úhlové rychlosti setrvačníku), tak potenciální vír samozřejmě takové pole nevytváří (Obrázek 1086, s. 42_45) a rotor rychlosti v potenciálním víru je roven nule [2, s. 219].

Aby nějaký objem hmoty začal rotovat je k tomu potřeba dvojice sil. Dvojice sil, které uvádí v malém okolí bodu hmotu do rotace mohou vznikat u reálných tekutin například v důsledku vnitřního tření^38. způsobeného viskozitou^38.. V technické praxi je proudění vždy vírové, protože viskozita je, až na extrémní výjimky, v každé tekutině. Přesto má smysl, především v případech prostorově složitého proudění, tuto vlastnost v základním výpočtu ignorovat a počítat toto proudění jako potenciální, například pomocí Vzorců 1044, s. 42_39. Jednak tímto přístupem získáme výsledky vhodné pro podrobnější výpočet (například pomocí počítače), a jednak dost často má viskozita na finální výsledek relativně malý vliv.

Potenciální vír mohou vytvořit i jednotlivá tělesa pohybující se po kružnici na různých drahách (pokud rotace těchto těles neovlivňzje jejich pohyb po kružnici), takový vír se nazývá kvantový vír. Rozložení energie a tedy ani rychlosti v radiálnímu směru kvantového víru není spojité (plynulé), ale skokové – je kvantováno). Vychází se z toho, že moment hybnosti částice je o násobek celého čísla menší než stejně hmotné částice na vedlejší nižší dráze (Obrázek 1153).

Kvantový vír se tvoří například v rotujícím kapalném hélium [32] a po objevu skladby atomu^47. se myslelo, že elektrony kolem jádra vytváří v atomu také kvantový vír, to se ale později potvrdilo jen částečně.

17x17cm. Jestliže proložíme naměřená data v logaritmické soustavě přímkou, tak už není problém pomocí pravidel pro logaritmický počet získat funkci sledované veličiny.

Například v Tabulce 1256 jsou uvedeny naměřené hodnoty tlakové ztráty v potrubí nějakého vytápěcího systému v závislosti na průtoku vody tímto potrubím. Našim cílem je sestavit na základě těchto dat vzorec pro výpočet tlakové ztráty v závislosti na průtoku. V prvním kroku tedy zakreslíme jednotlivé body na logaritmický papír, což je provedeno na Obrázku 1257. Tímto jsme získali přímku, respektive konkrétní vzorec přímky, který už není problém převést na funkci Δp=f(V). Podrobnější postup viz Úloha 1081.

zvnějšku. Tak tomu bylo i v raných dobách stavby počítačů. Současné počítače obsahují i několik časově synchronizovaných řadičů. Konstrukce řadiče je uvedena například v knihách Matematické stroje, Vzor v kameni [17, s. 154], [45].

2/5. Operační paměť Dříve jen paměť – je schopna uchovávat čísla, tj. mezivýsledky, výsledky a i program, který je také napsán ve formě čísel. Do ni může zapisovat řadič, operační jednotka i vstupní zařízení. Od řadiče může dostat příkaz k odeslání čísla do výstupní jednotky.

3/5. Vstupem do zařízení se rozumí zařízení, kterým se dostávají čísla nebo i program do paměti (například klávesnice, měřící čidla apod).

4/5. Výstupem ze zařízení se rozumí zařízení, kterým se ukládají/zobrazují/zapisují konečné výsledky (například tiskárna, monitor, paměť apod). Vstupy a výstupy určené pro lidské smysly jsou tomu uzpůsobeny.

5/5. Operační jednotka je zařízení, jehož konstrukce zvládá početní operace jak základní aritmetické tak logické, proto se ji také říká aritmeticko-logická jednotka. Počet operací, které tato jednotka zvládne přímo je dána její konstrukcí. Obvykle umí přímo základní aritmetické operace. Například pokud má obvody pro násobení, tak násobí přímo (v programu je napsáno násob dvě čísla a operační jednotka ví jak to má udělat – má pro to číslo operace). Jestliže obvod pro násobení nemá musí program obsahovat i postup násobení obvody, které k dispozici má. Dnešní počítače mohou obsahovat i několik operačních jednotek. Konstrukce operační jednotky je posána např. v knize Matematické stroje [17, s. 148].

Množství operací, kterých je matematický stroj schopen záleží na jeho konstrukci. Seznam těchto možných operací se nazývá operační kód. Čím větší je operační kód stroje tím je rychlejší a jeho programování snažší na druhou stranu je složitější a dražší. Turing dokázal, že nejjednodušší počítač, který by dokázal splnit jakkoliv složitý výpočet – cokoliv lze spočítat to spočítat dokáže – by měl operační kód o velikosti 6. Takový stroj dnes nazýváme Turingovým strojem.

Turingův stroj by obsahoval řadič s programem, nekonečnou pásku pro zápis/čtení výsledků, čtecí, záznamové, posouvací a mazací zařízení. Na pásce by byl záznam ve dvojkové soustavě, která je minimalistická co se týká množství potřebných znaků [28, s. 169]. Operační kód by vypadal takto: (1) posun pásky o jedno políčko doleva; (2) posun pásky o jedno políčko do prava; (3) zaznamenat symbol 0; (4) zaznamenat symbol 1; (5) smazat zaznamenaný symbol; (6) zastavit se [17, s. 87]. Jedná se o jednoduchý stroj, ale jeho programování by bylo obtížné a úlohy by plnil velmi pomalu.

provádět i člověk "ručně", ale zejména u těch rozsáhlých numerických úloh bude mnohem pomalejší než počítač.

1/2. Software pracující s analytickými metodami pracuje přímo s funkčními závislostmi mezi jednotlivými proměnnými a vztahy mezi nimi. Požadovaným výsledkem je nový tvar funkční závislosti. Například analytické řešení rovnice a₁·x+a₂=a₃ je x=(a₃-a₂)/a₁.Celý proces probíhá v několika krocích, kdy výpočtář zadá tvar rovnice, definuje co je konstanta, co proměnná a jaký tvar výsledku je požadován (v tomto případě vyjádření proměnné x) a následuje krok softwaru, který vygeneruje řešení, viz Obrázek 1082. Počet nutných kroků se podle softwaru může lišit, velmi záleží na tom jakou vlastnost software přiřazuje jednotlivým znakům, které lze při zápisu rovnice použít. Představitelem tohoto typu softwaru je například Maple [18]. Tento typ softwaru obvykle dokáže zpracovat většinu algebraických úloh a například umí nalézt řešení i neurčitých integrálů apod. Jestliže je požadován číselný výsledek stačí zadat hodnoty konstant.

2/2. Software pro numerické výpočetní metody se obvykle omezuje pouze na číselné řešení zadané úlohy (bez algebraických úprav). K tomu využívá buď přímé metody výpočtu, nebo iterační metody výpočtu.

V případě přímé metody výpočtu musí být zadán výpočetní vzorec v použitelné podobě, například x=(a₃-a₂)/a₁. Vyčíslení může proběhnout zadáním konstant a_1..3. Mezi typické softwary podporující i přímé numerické výpočty patří tabulkové procesory, ve kterých se jednotlivé konstanty a vzorce zadávají do buněk s unikátní adresou, viz Obrázek 1083. Tabulkovým procesorem je například produkt Calc, který je součástí kancelářských balíků OpenOffice.org a LiberOffice [7] nebo Exel z Microsoft Office [6].