..aneb k čemu matematiku použít lze, a k čemu nikolivPro inženýra je typické, že je schopen si pod rovnicemi něco konkrétního představit a to co si lze představit na to lze odpovědět přímo, bez složitého abstraktního počítání [Gowers, 2006]. Platí to i obráceně studium matematiky zvyšuje schopnost představovat si i velmi složité procesy. Proto v tomto textu o matematice je kladen důraz na na to, co si lze pod různými matematickými vzorci, rovnicemi a definicemi v běžné technické praxi představit.
|
|
ČíslaPouze skrz pochopení toho co jednotlivá čísla vyjadřují, lze správně interpretovat výsledky a pochopit vztah mezi geometrií a algebrou neboli analytickou geometrii, jejíž pochopení je pro technika naprosto klíčové.
|
– 1065: –  Množství vyznačených stupnic mezi dvěma přirozenými čísly označující dekadická racionální čísla 1/10, 1/100... (zde vyznačena pouze 1/10) je dána pouze rozlišením, tj. vzdáleností přirozených čísel. Iracionální a některá racionální čísla nelze na ose reálných čísel nikdy přesně zakreslit (mohou mít nekonečně mnoho desetinných míst), pouze lze jejich polohu zpřesňovat vyčíslením jejich velikosti na co nejvíce desetinných míst. Šipka na pravé straně označuje směr růstu kladných čísel.
|
– 1002: –  Bod P je komplexní číslo 2-i·1,4 znázorněné v Gaussově rovině.
|
|
LogaritmyPři vyslovení slova logaritmus se většině lidí se středoškolským vzděláním vybaví pojmy jako přirozený nebo dekadický logaritmus. Pricip a použití logaritmů je zde vysvětlen na pojmu dekadický logaritmus. Pomocí znalostí dekadických logaritmů lze sestrojit tzv. logaritmická pravítka pro rychlé násobení a dělení a tzv. nomogramy pro výpočet i složitějších vzorců. Existují i roviny v logaritmické soustavě souřadnic (tzv. logaritmický papír), ve kterých lze velmi snadno a názorně zpracovávat experimentálně naměřená data pro vyhledání empirických vzorců, nebo stanovení hodnot součinitelů vystupující v empirických rovnicích.
Logaritmy jsou založeny na faktu, že každé kladné reálné číslo x lze vyjádřit umocňováním ve tvaru x=ny (záporná reálná čísla lze vyjádřit umocňováním pomocí algebry komplexních čísel). Logaritmus čísla je tak definován jako logn ny=y·logn n=y·1, kde n je základ umocňování, respektive logaritmu a logn n=1. |
– 880: –
Logaritmy čísel 1 až 100 --------- --------- --------- --------- x log x x log x x log x x log x 1 0 26 1,4150 51 1,7076 76 1,8808 2 0,3010 27 1,4314 52 1,7160 77 1,8865 3 0,4771 28 1,4472 53 1,7243 78 1,8921 4 0,6021 29 1,4624 54 1,7324 79 1,8976 5 0,6990 30 1,4771 55 1,7404 80 1,9031 6 0,7782 31 1,4914 56 1,7482 81 1,9085 7 0,8451 32 1,5051 57 1,7559 82 1,9138 8 0,9031 33 1,5185 58 1,7634 83 1,9191 9 0,9542 34 1,5315 59 1,7709 84 1,9243 10 1 35 1,5441 60 1,7782 85 1,9294 11 1,0414 36 1,5563 61 1,7853 86 1,9345 12 1,0792 37 1,5682 62 1,7924 87 1,9395 13 1,1139 38 1,5798 63 1,7993 88 1,9445 14 1,1461 39 1,5911 64 1,8062 89 1,9494 15 1,1761 40 1,6021 65 1,8129 90 1,9542 16 1,2041 41 1,6128 66 1,8195 91 1,9590 17 1,2304 42 1,6232 67 1,8261 92 1,9638 18 1,2553 43 1,6335 68 1,8325 93 1,9685 19 1,2788 44 1,6435 69 1,8388 94 1,9731 20 1,3010 45 1,6532 70 1,8451 95 1,9777 21 1,3222 46 1,6628 71 1,8513 96 1,9823 22 1,3424 47 1,6721 72 1,8573 97 1,9868 23 1,3617 48 1,6812 73 1,8633 98 1,9912 24 1,3802 49 1,6902 74 1,8692 99 1,9956 25 1,3979 50 1,6990 75 1,8751 100 2 ------------------------------------------
|
|
– 117: –  – 1071: –  Horní osa je osa přirozených čísel od 1 do 10 o délce η=17 cm, takže jeden stupeň na stupnici je 1=1,7 mm, dolní osa je logaritmická stupnice od od 1 do 10 o délce ξ=17 cm. Jednotlivé vzdálenosti mezi stupni logaritmické stupnice v mm se vypočítají jako poměr konkrétní logaritmické hodnoty ku logaritmické hodnotě celé stupnice. Takže log x musí být ekvivalentní vzdálenosti ξ(log x – log min)/(log max – log min), v tomto případě log min =log 1=0, log max=log 10=1.
|
|
– 1073: –  Na obrázku je zobrazen případ přibližného součinu čísel 4346 a 6328, pomocí dvou pravítek se stupnicemi od 0 do 20 rozdělených po log 0,1. Přibližný součin je proveden tak, že činitelé se zaokrouhlí na 4400 a 6300, potom 4400·6300=4,4·6,3·106, respektive log 4,4+log 6,3=log 27,8+log 106. Podle pravítka je výsledek 27,8·106, oproti přesnému výsledku je rozdíl 498 512, což odpovídá chybě 1,8 %.
– Úloha 356: –
Určete výsledek výrazu 14 468,563 pomocí logaritmů. Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 356.
– 1074: –
Logaritmické pravítko pro výpočet obvodu kruhu
 Na pravítku je vyznačen příklad součinu čísla π a čísla 324 představující průměr kruhu, takže výsledkem bude obvod tohoto kruhu. Ten podle pravítka činí asi 1 010 (x=2), což představuje chybu od přesnějšího výsledku (1017,88) asi 0,77 %.
|
|
– 1021: –
Logaritmické pravítko pro výpočet plochy kruhu
 |
|
– 1023: –
Převodník palců na milimetry
 – 1026: –
Převodník liber na kilogramy
 – 1034: – Převodníky jednotek energie  – 1045: – Převodník výkonu Britského koně (horse-power) na watty  – 1046: – Převodníky jednotek tlaku  |
Pro konstrukci logaritmických stupnic pro konstrukci vlastních převodníků o velikosti 10x až 10x+1 s přesností 0,1·10x můžete použít logaritmy čísel 1 až 100 uvedené v Tabulce 880 nebo podrobněji ve starší literatuře jako třeba Fyzikálně technické příručce [Jakovlev et al., 1963].
Vyšší přesností výpočtu, pomocí zobrazeného logaritmického pravítka, lze provést rozkladem činitele. Například při výpočtu kruhu na Obrázku 1074 by šlo postupovat přesněji takto: číslo 324 lze rozložit na 324=3·102+2·102+4, takže předchozí příklad by se počítal: π·324=π(3·102+2·102+4), odtud řešení 1015,4 s chybou už jen 0,24 %. Tento postup (více o něm například v knize Matematika pro dělníky a mistry [Kunc and Jozífek, 1963]) je sice přesnější, ale už postrádá rychlost a jednoduchost.
Stupnice převodníků, ve kterých figurují násobky nemusí být nutně logaritmické, ale pokud rozdíly v převáděných jednotkách nejsou velké, lze použít lineární stupnice s tím, že budou mít rozdílné vzdálenosti mezi jedním stupněm. Například převodník mezi °C a stupni °F pro rozsah 0 až 100 °C a délce 17 cm bude mít na stupnici pro stupně Celsia vzdálenosti mezi stupni 1,7 mm, kdežto na stupnici stupňů Fahrenheita bude rozdíl jednoho stupně 5/9·1,7 = 0,9444 mm (stupeň Fahrenheita je 5/9 stupně Celsia), navíc bude tato stupnice vůči předchozí stupnici posunuta o 32 dílků, viz Obrázek 1067. Pro úplnost je na Obrázku 1066 převodník s čistě lineárními stupnicemi (obě pravítka mají stejné vzdálenosti mezi jednoltivými stupnicemi), které k jakékoliv hodnotě přičítá stále stejnou hodnotu. V tomto případě se jedná převodník °C na °K. – 1067: – Převodník jednotek teploty v rozsahu 0 až 100 °C na teplotu ve stupních Fahrenheita a obráceně  – 1066: – Převodník jednotek teploty v rozsahu 0 až 100 °C na absolutní teplotu v Kelvinech a obráceně  Na obrázku je vyznačen případ, kdy teploměr ukazuje 56 °C, pomocí narýsovaného pravítka velmi rychle vypočítáme, že tato teplota odpovídá 329,15 K.
|
– 1077: –  U [m·s-1]; d [m]; N [s-1]. Osa otáček je v intervalu 1 až 10 s-1, osa obvodové rychlosti kola 0 až 300 m·s-1. Do oblasti řešení, která je vymezená vodorovnou osu hodnot pro otáčky a svislou pro obvodovou rychlost kola se zakreslují průběhy změn obvodové rychlosti v závislosti na otáčkách pro jednotlivé průměry kola (čára, na které je jedna z proměnných konstantní – v tomto případě průměr kola se nazývá isopléta). První isopléta byla nakreslena ze souřadnic U=3,1415 při N=1 do bodu U=31,415 při N=10. Následující isopléty byly nakresleny stejným postupem. Obvodová rychlost kola se odečte z průsečíku zadaných hodnot otáček a průměru kola.
|
– 1078: –  Velikost tohoto nomogramu je 8,35x8,35 cm, takže chyba 1 mm v oblasti N=2, d=2 je asi 6,6 % a v oblasti N=9, d=10 je také 6,6 %, přičemž přesnost lze zvýšit zvětšením velikosti plochy nomogramu a zvýšením hustoty stupnic. V logaritmické soustavě souřadnic tedy lze dosáhnout stejné přesnosti, respektive nepřesnosti na celé ploše nomogramu. Více o rozboru přesnosti v logaritmické soustavě souřadnic v [Pleskot, 1947, s. 12].
|
|
– 1196: –  Nomogram pro odečet Reynoldsových čísel: V‾ [m·s-1] střední rychlost proudění; L [mm] charakteristický rozměr; ν [m2·s-1] kinematická viskozita; Re [1] Reynoldsovo číslo. a-rozsah kinematických viskozit vody mezi 0 °C a 100 °C; b-rozsah kinematických viskozit suchého vzduchu mezi 0 °C a 100 °C. ReC [1] rozsah kritických Reynoldsových čísel pro potrubí. Obrázek je převzat z článku Vnitřní tření tekutiny a vývoj mezní vrstvy [Škorpík, 2023a]
|
|
– 1079: –  V tomto případě musí být jedna z os přesně uprostřed dvou dalších, ale lze ji podle potřeby posouvat, pokud se změní měřítko jedné z hlavních os – osa z bude přesně uprostřed, jestliže hlavní osy budou ve stejných měřítkách. Tento tvar spojnicového nomogram je vhodný pro rovnice ve tvaru α+β=2 γ (odvození je v Příloze 1079), například a·x+b·y=c·z, kde a, b, c jsou konstanty; například x2+y2=z2, což je Pythagorova věta apod. Jestliže osy jsou logaritmické stupnice lze tento součtový spojnicový diagram také použít pro součin např. rovnici x·y=z, která bude mít v logaritmických souřadnicích tvar log x+log y=log z, což už je rovnice přímky.
|
– 1081: –  Určení exponenciální funkce popisující závislost tlakové ztráty na průtoku potrubím. Očekávaný tvar této funkce je Lp=CS·Qx. V první kroku byla zanesena naměřená dat do logaritmických souřadnic (modré křížky). V druhém kroku byly tyto body proloženy přímkou (b). Víme, že směrnice přímky v logaritmické soustavě souřadnic představuje hodnotu exponentu x, a jelikož je přímka (b) rovnoběžná s přímkou (a), která představuje exponenciální rovnici s exponentem 2, je očekávaná hodnota exponentu x 2. Hodnotu konstanty CS lze pak určit z jakéhokoliv bodu na přímce (b), pro který odečteme hodnoty pro Lp a Q a následně dosadíme do rovnice. Lp [Pa] tlaková ztráta, [m3·s-1] průtok; CS [kg·m-7] konstanta. Obrázek je převzat z článku Vznik tlakové ztráty při proudění tekutiny a její výpočet [Škorpík, 2023b]. |
Pro aproximaci naměřených dat přímkou v logaritmické soustavě souřadnic se využívá výpočetní technika, ale vedle výpočetní techniky lze použít i ruční přístup pomocí logaritmického papíru. Za tímto účelem je na Obrázku 1070 zobrazen logaritmický papír o velikosti 17x17cm a v rozsahu tří řádů. – 1070: –  |
Algebraické rovniceTypické řešení složitějších úloh spočívá v sestavení jedné nebo více rovnic, tzv. sestavy a v jejich vyřešení. Rovnici lze sestavit na základě zadaných parametrů úlohy nejčastěji kombinací dvou a více jednoduchých vzorců. Sestavování rovnic je ryze lidská schopnost, při které postupujeme systematicky po krocích, které jsou přehledné a srozumitelné, což se nejlépe ukáže na Úloze 931. V rámci této úlohy je představeno i možný postup řešení této úlohy, respektive soustavy rovnic. – Úloha 931: –
Vypočítejte jakou vzdálenost ujela tramvaj mezi dvěma zastávkami, když víte, že ze zastávky nejdříve zrychlovala stálým zrychlením 2 m·s-2 po dobu 7 s, pak 24 s jela ustálenou rychlostí a nakonec zpomalovala ustáleným zpomalením -2 m·s-2 do zastavení. Sestavení rovnic této úlohy a jejich řešení je popsáno v následujícím odstavcích označených §1 až §3.
~ – 931-§1: –
– 1258: –  x5 [m·s-1] rychlost tramvaje na konci zrychlování – je označena písmenem x, protože je to také neznámá.
|
|
– 931-§2: –
– 931-§3: –
|
|
– 901: –  V tomto případě stačilo 6 kroků a výpočet veličiny x už nebude problém. Do uvedených šesti kroků jsem zahrnul i zjednodušování rovnice, například kroky 2 a 3 zkušení výpočtáři slučují apod.
– 915: –  vlevo kanonické tvary lineárních rovnic (bez exponentů); vpravo kanonické tvary polynomů druhé, třetího až n-tého stupně (pro n≥1) – neboli kvadratická, kubická rovnice atd. a21 znamená, že se jedná o konstantu z druhého řádku před první neznámou. |
– 963: –  vlevo obecné řešení lineární rovnice o jedné neznámé; vpravo obecné řešení soustavy dvou lineárních rovnic. Obě řešení jsou pro kanonický tvar. Obecné řešení soustavy dvou lineárních rovnic je odvozeno v Příloze 963.
– 812: – Obecné řešení kvadratické rovnice  D tzv. diskriminant. Pokud bude diskriminant menší než nula D<0, pak má kvadratická rovnice komplexní kořeny (výsledkem je komplexní číslo). |
– 824: –  Parametry Re, C jsou konstantami. λ veličina, kterou máme vypočítat. V tomto případě se jedná o tzv. Colebrookovu rovnici pro výpočet součinitele tření v potrubí, více v článku Vznik tlakové ztráty při proudění tekutiny a její výpočet [Škorpík, 2023].
– Úloha 1260: –
Řešte Rovnici 824 metodou Monte Carlo, pro parametry Re=4·105, C=6,6667·10-3. Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 1260.
|
– 1201: –  Tato soustava má stejné řešení jako původní soustava Rovnic 915 (hodnoty parametrů b mohou být samozřejmě jiné než v původní soustavě).
|
|
– 1200: –  Soustavu (b) získáme tak, že poslední rovnici vynásobíme podílem a11·a-121, tedy zlomkem 1/3, abychom získali stejnou hodnotu parametru před neznámou x1 jako v předchozí rovnici. Následně druhou rovnici nahradíme rovnicí, která vyjde odečtením druhé rovnice od první. Soustavu (c) získáme tak, že první rovnici vynásobíme podílem a22·a-112, tedy zlomkem 2/(3·2), abychom získaly stejnou hodnotu parametru před neznámou x2 jako v následující rovnici. Následně první rovnici nahradíme rovnicí, která vyjde odečtením první rovnice od druhé. Výslednou soustavu (d) získáme tak, že první rovnici vynásobíme převrácenou hodnotou parametru a11, tedy číslem -3 a druhou rovnici vynásobíme převrácenou hodnotou parametru a22, tedy zlomkem 3/2.
– 1202: – Příklady maticového zápisu soustavy lineárních rovnic  |
|
– 1068: –  Všimněte si, že během řešení matice byly přehozeny sloupce neznámých x2, x4, protože toto přehození vedlo k rychlejšímu výpočtu (méně potřebných operací). Celý postup je uveden v Příloze 1068.
GEM je vhodná pro matematické stroje, jako jsou programovatelné kalkulačky nebo počítače, protože operace potřebné k dosažení výsledku jsou předvídatelné a lze tedy lehce sestavit postup řešení zapsatelný v programovacím jazyce. Stupně, nebo radiány?V technické praxi se velmi často místo jednotky pro velikost úhlu stupeň [°] používá jednotky radián [rad], tzv. oblouková míra. Použití obou jednotek má své opodstatnění. Zatímco v případě stupňů používáme 360 dílnou stupnici tak u radiánů stupnici o velikosti 2π. To má výhodu především pro případy, kdy se s úhly dále pracuje navazujících výpočtech (i v jiných než v trigonometrických), protože součin úhlu v radiánech a délky přepony c je délkou oblouku vytvořené přeponou (přepona se v takovém případě nazývá průvodič), viz Obrázek 403. Takže při pootočení průvodiče o celou otáčku bude délka oblouku rovna obvodu kruhu 2π·c, proto plný úhel v radiánech je roven právě 2π=360°. Podobně oblouk vytvořený pootočením průvodičem o čtvrt otáčky musí být velký jako čtvrt kruhu 2π·c/4, takže π/2=90° apod. Převod stupňů na radiány je potom jednoduchý X/(2π)=x/360, kde velké X je úhel v rad a x ve stupních, viz. také Převodník 1146. – 403: –  Úhel v radiánech násobený délkou průvodiče c je roven velikosti oblouku kružnice o poloměru c. |
|
– 1146: – Převodník stupňů na radiány 
Diferenciální početDiferenciální počet se v elementární podobě používá k nalezení vzorců pro přesné stanovení délek, ploch i objemů těles, jejichž tvar lze popsat analytickou funkcí. Šířeji je základem gradientů i tenzorů. Diferenciální počet spočívá t tom, že při počítání vycházíme z toho, že jakékoli vyšetřovaný objekt jsme schopni virtuálně rozdělit na elementy (dále diferenciály) dostatečně malé/velké a ztěchto diferenciálů určit vlastnosti objektů. Například rovnici tečny, k jakémukoliv bodu na na křivce-k popsatelnou funkcí f(x, y) (obrázek XXa ) lze určit s podílu diferenciálu dx/dy, což se oznčuje jako derivace–vyšetřování podílů diferenciálů. Naopak výsledkem součtu diferenciálu ve vyšetřovaném objemu se označuje jako integrace, viz určení plochy kruhu na Obrázku XXb. Obvkle se setkáváme s diferenciály délky dx, plochy (součin dvou diferenciálů délky a šířky dx·dy) a diferenciálu objemu (součin diferenciálu délky, šířky a výšky dx·dy·dz). Nicméně lze aplikovat diferenciál i na ostatní fyzikální veličiny jako je diferenciál energie dE apod. sem obrázek.. a křivka s derivací, a plocha kruhu ttři podkapitoly, diferenciál, Diferenční počet Je to předchůdece diferenciálního počtu uvedeného výše.
– 921: – 
Předpokládám, že čtenáři se už setkali s diferenciálním počtem, pokud ne, doporučuji knihu Co je a k čemu je vyšší matematika [Rektorys, 2001]. Na středoškolské úrovni se většinou student dozví, mimo pravidel pro derivování a integrování, jak pomocí diferenciálního a integrálního počtu určí délky křivek, velikost ploch a objemy různých objektů. Většinou také něco o určení tzv. extrémů funkce. To jsou věci, o kterých zde psát nebudu (viz obsah knihy výše), navíc drtivá většina řešení jako délky frekventovaných křivek, ploch a objemů objektů v technice je široce dostupná na internetu i v tabulkách. V této kapitole se chci tedy zaměřit na popis složitějších parciálních derivací funkcí více proměnných, které jsou klíčové při určování přírůstku funkce neboli totálního diferenciálu. Pomocí přírůstku funkce lze sestavovat a řešit složité diferenciální rovnice popisující nějaký vyšetřovaný děj.
|
Parciální derivaceV technice a fyzice se často vyskytují veličiny, které jsou funkcí více nezávislých proměnných a právě takových funkcí se týká parciální neboli částečná derivace. Například pro u=f(x, y) je veličina u funkcí dvou veličin a to x a y. Takový typ rovnice je možné derivovat podle proměnné x i y, přičemž, když se derivuje podle jedné proměnné, tak druhá je považována za konstantu [Rektorys et al., 2003, s. 395], jinými slovy jsme z funkce f(x, y) vytvořili nejprve dvě funkce uy=f(x, y=konst.), uxf(x=konst., y). Výsledkem parciální derivace takové funkce je soustava dvou rovnic, viz Rovnice 269). Obecně platí, jestliže funkce obsahuje j počet nezávisle proměnných, potom výsledkem parciální derivace takové funkce bude soustava s j rovnicemi. – 269: – Dvojí zápis parciální derivace funkce více proměnných  (a) označení parciální derivace pomocí písmene d (dolní index označuje, která proměnná je při derivaci konstantní) jako značky pro diferenciál [Dobrovolný and Žďárek, 1954, s. 189]; (b) pro přehlednost se upouští od indexů a pro označení parciální derivace se používá místo písmene d znak ∂ (partial).
Pro parciální derivace přirozeně platí stejná pravidla derivovaní jako pro funkce jedné proměnné, a parciální derivace má i stejnou interpretaci (jedná se o směrnici tečny k průběhu funkce ve směru osy proměnné podle, které se derivuje). To znamená, že uvedené dvě parciální derivace v určitém bodě soustavy souřadnic u-x-y představují dvě tečny k této ploše vytvořenou původní funkcí f(x, y) dvou proměnných.
Vlastnosti a postup při parciální derivaci lze dobře předvést na příkladu jednoho z nejznámějších vztahů v termodynamice, což je rovnice pro hmotnostního tok ideálního plynu tryskou při podzvukových rychlostech, viz Úloha 214. Tato rovnice obsahuje dvě proměnné a to tlak před tryskou a za tryskou, proto výsledkem parciální derivace budou dvě rovnice. Jedna rovnice bude udávat jak se bude měnit průtok tryskou, když se bude měnit tlak před tryskou a druhá jak se bude měnit průtok, když se bude měnit tlak za tryskou. Výsledkem je prostorová plocha označovaná jako průtokový kužel trysky. – Úloha 214: –
Proveďte parciální derivaci rovnice pro hmotnostní tok ideálního plynu tryskou podzvukovou rychlostí. Rovnice je uvedena například v článku Proudění plynů a par tryskami [Škorpík, 2023c]. Předpokládejte konstantní celkovou teplotu plynu před tryskou. Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 214.
|
 m [kg·s-1] hmotnostní tok plynu tryskou; pe [Pa] tlak na výtoku z trysky (exit); pis [Pa] celkový tlak na vstupu do trysky (input); a, b, c, d, e konstanty; mmax [kg·s-1] maximální tok plynu tryskou, při kterém přestává reagovat na další snižování protitlaku pe.
Parciální derivace v jiné soustavě souřadnic už může být trochu složitější, protože diferenciály musíme transformovat. Například pro válcovou soustavu souřadnic se parciální derivace provádí podle proměnných r (poloha na průvodiči), u (délka oblouku od jeho počátku) a a (poloha na ose od jejího počátku) a protože diferenciál v obvodovém směru lze vyjádřit jako součin délky průvodiče a diferenciálu úhlu θ tj. du=r·dθ je ve jmenovateli derivace podle úhlu θ součin r·dθ, viz Vzorec 679.  42: Příklad parciální derivace funkce tří proměnných ve valcové soustavě souřadnic Vzorce ukazují parciální derivace veličiny k, kterou lze vypočítat pomocí funkce k=f(r, u, a) ve válcové soustavě souřadnic.
Klasická úloha v technice je určení infinitezimální změny sledované veličiny, která je funkcí více proměnných, když dojde ke změnám těchto proměnných. Tuto změnu označujeme jako totální diferenciál neboli přírůstek funkce, což je součet změn (diferenciálů) od jednotlivých proměnných. Například kdybychom chtěli vědět o jakou diferenci se změní průtok tryskou z Úlohy 214 (tedy chceme znát totální diferenciál dm), jestliže se změní oba tlaky před i za tryskou o diferenciály dpis, respektive o dpe, pak bychom museli nejprve stanovit diferenciál hmotnostního toku od změny tlaku pis a tlaku pe, tedy diferenciál dmpe (značí přírůstek m, jestliže je pe), respektive dmpis. Totální diferenciál dm je pak součtem těchto změn. Právě tento výsledný diferenciál se nazývá totálním diferenciálem nebo také přírůstek funkce dvou a více proměnných.
Obecně lze říci, že totální diferenciál veličiny u, která je dána funkcí f(x, y) dvou proměnných x, y (u=f(x, y)) bude du. Totální diferenciál du představuje přírůstek funkce ve vyšetřovaném bodě (ve kterém jsou známy parciální derivace) třírozměrné soustavě souřadnic u-x-y, jestliže se změní velikost proměnných o diferenciály dx, dy, což je graficky znázorněno na Obrázku 263. Rovnici pro totální diferenciál lze dále upravit na tvar du=duy/dx·dx+dux/dy·dy=∂u/∂x·dx+∂u/∂y·dy. Takový součet platí i pro funkce s více jak dvěma proměnnými [Rektorys et al., 2003, s. 396], viz obecná Rovnice 377 pro totální diferenciál. |
 43: Grafické znázornění totálního diferenciálu V tomto případě se jedná o funkci u=f(x, y) jejíž přírůstek ve směru x je klesající duy<0 a ve směru y rostoucí dux>0. Totální diferenciál neboli přírůstek funkce v okolí vyšetřovaného bodu P je tedy součtem přírůstků v jednotlivých směrech (parciálních přírůstků) du=duy+dux. 44: Obecný vzorec pro výpočet totálního diferenciálu Totální diferenciál funkce j-proměnných, kde j je počet proměnných a n označuje proměnnou.
A nyní k praktickým příkladům užití totálního diferenciálu. V Úlohách 205 a 387 naleznete příklady odvození rovnic pro totální diferenciál hmotnostního toku, ale zde využití totálního diferenciálu ještě nekončí. Pravidla pro totální diferenciál lze totiž využít při sestavování diferenciálních rovnic a v mechanice kontinua se aplikuje na tzv. elementární krychli, viz Obrázek 401. Teorie elementární krychle se využívá k popisu rovnováhy a změn vyšetřovaných veličin, například sil, energie, tlaku, teploty atd. Na Obrázku 401 je takto stanoven přírůstek nějaké obecné fyzikální veličiny u, který stačí nahradit symbolem pro vyšetřovanou veličinu, například tlakem, teplotou, silou atd.  401: Elementární krychle v mechanice kontinua Přírůstek veličiny u v jednotlivých směrech vepsaný do elementární krychle.– Úloha 205: –
Určete totální diferenciál průtoku plynu tryskou. Využijte poznatků z Úlohy 214. Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 205.
 První krok při řešení Úlohy 5 |
|
– Úloha 387: –
Určete totální diferenciál rovnice kontinuity proudění tekutiny v kanále. Rovnice má tvar A·ρ·V=m, kde A [m2] je průtočný průřez kanálu, ρ [kg·m-3] je hustota, V [m·s-1] rychlost tekutiny, m [kg·s-1] je hmotnostní průtok, který je konstantní po celé vyšetřované délce kanálu. Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 387.
 První krok při řešení Úlohy 387 GradientyV mechanice kontinua je gradient velmi frekventová veličina, udává totiž trend změn nějaké vyšetřované veličiny v okolí daného bodu uvnitř nějaké oblasti, která nás zajímá. Přesněji se jedná o vektor, který směřuje z daného bodu, jeho směr totožný se směrem, ve kterém se vyšetřovaná veličina zvyšuje oproti hodnotám v tomto bodě. Jeho velikost pak určuje přírůstky v tomto směru. Jednoltivé druhy gradientů vytváří vektorová pole, takže s gradienty v rovnicích lze pracovat pomocí pravidel vektorové analýzy pro vektorová pole a predikovat trendy jednotlivých veličin při různých modelových změnách uvnitř vyšetřovaného kontinua. Přičemž některé druhy gradientů vytváří tzv. potenciální vektorová pole s unikátními vlastnostmi, které nám například umožňuje modelovat i velmi složité děje uvnitř kontinua, jako je proudění.
Gradient je vektor v klasickém prostoru a udává změny a jejich směr vyšetřované veličiny ve vyšetřovaném objemu, který označíme jako oblast. Takže například souřadnice gradientu teploty vody v určitém bodu v jezeře by se pro směr-x stanovil jako podíl změny teploty v tomto směru Δtx a vzdálenosti Δx ve směru-x, na kterém se tato změna projeví, což se zapíše takto: Δtx/Δx, kde t [°C] je teploty. Pro směry-y a z podobně. Výsledkem jsou tedy tři souřadnice tohoto gradientu, respektive vektoru a→, které se zapíší tak jako je to na Obrázku 1264 vlevo. V tomto případě nám vektor říká o kolik stupňů Celsia se zvýší teplota vody při pohybu daným směrem o vzdálenost 1 m. Aby bylo zřejmé, že tento vektor je gradientem nějaké vyšetřované veličiny, tak se označuje zkratkou grad t, tak jak je uvedeno na Obrázku 52 vpravo. Samozřejmě mimo gradientu teploty můžeme použít další druhy gradientů jako tlaku, energie apod. Mimo gradienty fyzikálních veličin se používají i jiné druhy gradientu v obroech jako je informatika, statistika apod.  1264: Příklad zápisu gradientu teploty v objemu jezera t [°C] teplota vody; a→ vektor.
Prostor, ve kterém stanovujeme gradienty vyšetřované veličiny označujeme jako oblast Ω. Celou oblast Ω můžeme označit jako skalární pole, pokud budeme mluvit o hodnotách teploty v jednotlivých bodech této oblasti, nebo vektorové pole, pokud budeme hovořit o gradientech teploty. Plochy v oblasti Ω, na kterých je vyšetřovaná skalární veličina konstantní se označují jako hladiny skalárního pole.
Směr gradientu lze v některých případech určit triviálním způsobem. Například směr gradientu potenciální energie vody ve sklenici bude proti směru gravitačního zrychlení (ve směru kolmém na hladinu bude ode dna potenciální energie vody růst), protože potenciální energie je definována vzorcem e=-g·y, viz Obrázek 918. Hladiny skalárního pole budou kolmé na tento směr (jsou rovnoběžné z hladinou vody v této sklenici). Vektory ve vektorovém poli tvořené gradienty budou směřovat ke dnu sklenice. |
 47: Gradient potenciální energie vody ve sklenici e [J·kg-1] potenciální energie 1 kg vody; grad e [J·kg-1·m-1] gradient potenciální energie (směr růstu potenciální energie ve vyšetřovaném bodě a jeho velikost v závislosti na souřadnici) v bodě-P; g→ [m·s-2] gravitační zrychlení g→(0;-9,81;0). Vyšetřovaná oblast Ω je celý objem vody v nádobě. |
Jestliže v celém vyšetřovaném objemu Ω je vyšetřovaná veličina u dopočitatelná podle nějaké potenicální funkce u=f(x, y, z) a tato funkce je v celé oblasti spojitá (tzn.v každém bodě oblasti Ω má veličina u danou hodnotu – skalár, číslo), pak lze gradient této veličiny spočítat pomocí Rovnice 354. Přesněji přírůstky sledované veličiny v jednotlivých směrech jsou rovny parciální derivacím v těchto směrech. Přičemž funkci u nazýváme potenciální, protože je funkcí pouze polohy, proto také vektorové pole, které je vytvořeno z gradientů potenciálních funkcí označujeme jako potenciální vektorové pole.  354: Gradient potenicální funkce u=f(x, y, z)
Vraťme se nyní ke gradientu potenciální energie ve sklenici vody z Obrázku 918. V tomto případě jsme schopni sestavit funkci pro výpočet potenciální energie v celém objemu vody a to vzorcem: e=-g·y pro g→(0;-9,81;0), takže dosazením této funkce do Rovnice 354 získáme gradient potenciální energie ve sklenici vody ve tvaru: grad e=a→(0;9,81;0).
Jestliže je oblast Ω vyplněná vektorovým polem, které je gradientem nějaké veličiny, kterou nelze popsat potenciální funkcí, pak o tom poli říkáme, že je nepotenciální. Typické nepotenciální vektorové pole je vektorové pole rychlostí tekutiny s vnitřním třením, viz článek Vnitřní tření tekutiny a vývoj mezní vrstvy [Škorpík, 2023a]. Pokud neexistuje pro vyšetřovanou veličinu spojitá potenciální funkce u=f(x, y, z), pak lze hodnoty gradientů řešit pomocí statistiky, podobnosti (včetně počítačového modelu), měřením apod.
Existují i potenicální rovnice, které jsou časově proměnné, tj. jsou funkcí i času, například u=f(x, y, z, t), takové rovnice označujeme jako nestacionární. V tomto případě můžeme určit gradienty pomocí Vzorce 354, ale pouze pro konkrétní čas, tj. vypočítané gradienty budou platné v určitém okamžiku. Vektorové pole takových gradientů lze označit jako Nestacionární vektorové pole. Například budeme-li se zabývat prouděním vody v jaderném reaktoru, pak proudění při startování, respektive odstavování tohoto reaktoru bude nestacionární (postupně se v čase měnící), stejně tak nestacionární proudění nastává při regulaci. Nicméně tento reaktor je navržen pro nějaký optimální, respektive návrhový výkon, při kterém je průtok i výkon konstantní, takže při návrhu takového reaktoru lze vycházet z potenicálních rovnic pro konkrétní stav, který je uvažován jako časově nezávislý–samozřejmě v další fázi výpočtu musí být brán zřetel na jednotlivé vlivy změn na zařízení.
Jestliže víme co gradient fyzikálně představuje, pak není problém ho zakomponovat do vytvářených vektorových rovnic. Nejpoužívanější variace rovnic v mechanice kontinua obsahují gradeinty je založena na zákonu zachování energie. Na Obrázku 746 příklad rovnice zachování energie tekutiny ve vyšetřovaném objemu Ω. Podle prvního zákona termodynamika může tekutina obsahovat již zmíněnou potenciální energii e, ale i kinetickou V2/2, tlakovou p/ρ a vnitřní tepelnou energii u, které se mohou mezi sebou transformovat. Jestliže na vstupu (označení i) do tohoto vyšetřovaného objemu je všude energetický obsah tekutiny stejný, pak musí v objemu Ω platit, že klesá-li v nějakém směru gradient jednoho druhu energie, tak v tom samém bodě a směru musí gradient jiné energie růst apod. Jinými slovy součet gradientů těchto energií musí být roven nule. Pokud roven nule není, pak to jednoduše znamená, že tato tekutina sdílí energii se svým okolím, což je možné, buď ve formě práce w, nebo tepla q. Toto tvrzení lze tedy zapsat Rovnici 746. Pomocí takové rovnice lze následně vyšetřit proudění po libovolné proudnici mezi vstupem a výstupem, respektive určit jak se mění tlaky, určit vykonanou práci atd., viz také Úloha 1087. Tato rovnice je naprosto klíčová rovnice pro studium mechaniky kontinua a v různých obměnách ji obsahují téměř všechny energetické rovnice známe v hydromechanice i Navier-Stokesova rovnice.  746: Energetická rovnice proudění Ω-vyšetřovaný objem. e [J·kg-1] měrná potenciální (energie 1 kg tekutiny); p [Pa] tlak; q [J·kg-1] měrné teplo sdílené s okolím (může se jednat o teplo přiváděné/odváděné do/z pracovní tekutiny přes hranici vyšetřovaného objemu nebo i o teplo vzniklé/spotřebované chemickou reakcí uvnitř vyšetřovaného objemu); u [J·kg-1] měrná vnitřní tepelná energie; V [m·s-1] rychlost tekutiny ve vyšetřovaném boděVi [m·s-1] rychlosti proudění na vstupech do vyšetřovaného objemu; Ve [m·s-1] rychlosti proudění na výstupech z vyšetřovaného objemu; w [J·kg-1] měrná vnitřní práce tekutiny; ρ [kg·m-3] hustota tekutiny.
I v rovnicích obsahující gradienty musí mít jednotlivé gradienty stejný fyzikální rozměr. Například už víme, že gradient potenciální energie (grad e) odpovídá zrychlení (viz předchozí podkapitola), takže gradienty měrných energií mají stejný fyzikální rozměr odpovídající zrychlení a gradient kinetické energie v Rovnici 746 je současně zrychlení tekutiny, viz důkaz v Úloze 1087.
Jestliže si pod gradientem jsme schopni představit konkrétní děj, pak jsme schopni již z tvaru rovnice usoudit různé kontexty. Například aplikací poslední Rovnice 746 na proudění kapaliny vodorovným potrubím (grad e=0) konstantního průřezu (grad (V2/2)), ve kterém tekutina nekoná práci (grad w=0) ani nesdílí teplo s okolím (grad q=0), zjistíme, že klesá-li tlak v důsledku vnitřního tření (tlaková ztráta), tak musí růst hodnota vnitřní tepelné energie kapaliny apod. U proudění stlačitleného plynu to je již složitější, viz Úloha 1087.
Pro potřeby vektorové analýzy, respektive práce s gradeintem v rámci širšího výpočtu, se gradient potenciální veličiny zapisuje ve formě parciální diferenciální Rovnice 417 (parametry i→, j→, k→ označují, že se současně jedná o souřadnice vektoru). Pro, tímto způsobem zapsaným gradientem, platí pravidla vektorové algebry, například [Rektorys et al. 2003, s. 219], [Garaj, 1957], viz řešení Úlohy 1087.  417: Běžný zápis gradientu potenciální veličiny ∇ operátor nabla – vpravo ve válcové soustavě souřadnic. V případě parciálních derivacích ve válcové soustavě souřadnic se vychází z Rovnice 679 pro parciální derivace ve válcové soustavě souřadnic.– Úloha 1087: –
Určete zrychlení plynu v chladícím kanálu (potrubí) jaderného reaktoru chlazeného plynem. Uvažujte stacionární proudění a vysokou tepelnou vodivost pracovního plynu. Stanovte také gradient tlaku v tomto chladícím kanálu a divergenci rychlosti. Chladící kanálky jsou ve svislém směru. Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 1087.
 l [m] délka potrubí; Vi ,e [m·s-1] rychlost na vstupu a výstupu z potrubí; Q [W] celkový tepelný výkon předávaný do plynu na úseku potrubí o délce l; q [J·kg-1·m-1] získané teplo 1 kg plynu, které získá na délce l; x [m] vzdálenost vyšetřovaného bodu od začátku potrubí. |
Potenciální ektorové pole má některé unikatní vlastnosti, které otvírají přístup k výpočtu některých jeho zásadních hodnot. V případě gradientu potenciální veličiny jsou tedy jeho jednotlivé souřadnice parciálními derivacemi této funkce. Při porovnání s Rovnicí 377 pro přírůstek funkce je evidentní, že pro stanovení přírůstku funkce pro u stačí znát gradienty této veličiny a ty vynásobit diferenciály vzdáleností v jednotlivých směrech (pro složku ve směru x diferenciálem dx atd.). Obecně se taková operace zapíše Rovnicí 677 – více v Úloze 1085.  51: Určení přírůstku potenciální veličiny pomocí jejího gradientu Diferenciál ds→ se nazývá jednotkovým vektorem směru. |
Známe-li přírůstek funkce vyšetřované potenciální veličiny u, pak není problém v oblasti Ω vypočítat změnu této veličiny mezi jakýmikoliv dvěma body-i a e prostou integrací, podle Rovnice 355. Protože u je definována potenciální funkcí, pak hodnoty ui, ue jsou zároveň hodnotami na daných hladinách, viz Úloha 1085.  52: Změna skalární veličiny mezi dvěma hladinami – Úloha 1085: –
Určete gradient tlaku kapaliny v nádobě, zakreslete hladinu tlaku procházející bodem Pi[xi, yi, zi] a sestavte rovnici pro přírůstek tlaku v této nádobě. Zakreslete v libovolném místě oblasti Ω nový bod Pe a stanovte rozdíl tlaků mezi hladinami procházející tímto bodem a bodem Pi. Uvažujte, že na kapalinu působí pouze tíhové zrychlení (homogenní tíhové pole), viz přiložený obrázek. Postup řešení úlohy je uveden v Příloze 1085.
 g→ [m·s-2] gravitační zrychlení g→(0;-9,81;0); p [Pa] tlak; pat [Pa] tlak nad hladinou nádoby (atmosférický tlak); H [m] výška hladiny vody v nádobě; x, y, z [m] souřadnice; ρ [kg·m-3] hustota vody.
Cirkulace vektoru je ve vektorové analýze myšlena integrace součinu vektoru a jednotkového vektoru směru po uzavřené křivce-K, viz Rovnice 390. Jestliže je vektor a→ současně vektorem v potenciálním vektorovém poli, respektive gradientem potenciální veličiny, pak to znamená, že tato cirkulace musí být rovna nule, protože počáteční hladina integrace je stejná jako konečná, viz Integrál 355. – 390: –  Cirkulace vektoru: Γ cirkulace vektoru.
Jestliže by se cirkulace nerovnala nule, neznamená to hned, že jsme narazili na nepotenciální vektorové pole. Vzpomeňme na definici gradientu potenciální funkce, kde je podmínkou, aby potenciální funkce byla definována v celé vyšetřované oblasti Ω. Takže stačí, aby uvnitř křivky-K, podle které provádíme cirkulaci vektoru, existoval jediný bod (nebo oblast, například ryba v jezeře), kde nemá potenciální funkce řešení a cirkulace vektoru vyjderůzná od nuly. Pokud ale tvar křivky, po které integrujeme upravíme tak, aby tuto nedefinovanou oblast obcházela, tak cirkulace opět vyjde nula. Na druhou stranu, víme-li zcela jistě, že provádíme cirkulaci vektoru v potenciálním vektorovém poli a je přesto různá od nuly, pak to může znamenat, že uvnitř křivky, podle které cirkulace byla provedena je těleso, případně nějaká singularita (bod, ve kterém nelze definovat potenciální funkci). Hodnota cirkulace vektoru je pak údaj jeho nějaké charakteristické vlastnosti. Napřklad v aerodynamice se tak určuje vztlak křídla, které je obklopeno vektory rychlostí potenciálního proudění apod.
Pomocí definice gradientu jsme schopni vytvořit potenciální vektorové pole pomocí nějaké potenciální funkce a to platí i obráceně. Jestliže vektor a→ je gradientem nějaké potenciální funkce u (a→=∇ u), pak lze zjistit původní funkci popisující veličinu u podle Vzorce 677. Respektive lze psát du=axdx+aydy+azdz a integrací získat funkci pro u, kterou nazýváme potenciálem vektoru a→. Například víme, že vektor gravitačního zrychlení Země vytváří také potenciální vektorové pole a existuje tedy i potenciál gravitačního zrychlení apod. Pomocí potenciálu vektoru rychlosti se zejména před zavedením počítačových simulací, například využívalo ke konstrukci proudnic potenciálního proudění neboli ideálního proudění bez vnitřního tření.
Gradient jako vektor má svou intenzitu, což je součin velikosti gradientu a jednotkové plochy. Tato intezita může být konstantní nebo zesilovat či naopak oslabovat směr od vyšetřovaného bodu. Například sledujeme-li gradient tlakové energie ve vyšetřovaném objemu (viz Rovnice 746), tak zvyšování intenzity tohoto gradientu znamená, že rosto hustota tlakové energie a naopak. Intenzitu vektoru zjistíme pomocí tzv. divergence vektoru. Obecná definice divergence je na Obrázku 420. V případě potenciálního vektorového pole se jedná se o součet derivací jednotlivých složek gradientu, takže výsledkem je číslo neboli skalár.  420: Obecná definice divergence vektoru a jeho vlastnosti v potenciálním vektorovém poli (a) obecná definice divergence vektoru a→; (b) další možný zápis divergence vektoru a→ v případě, že vektor je gradientem potenciální veličiny u. Δ-Laplaceův operátor (∇2=Δ).
Například divergence rychlosti plynu V v kanálu v Úloze 1087 bude kladná, protože plyn expanduje (zahřívá se), pokud by kanálem proudila voda, která s teplotou nemění svou hustotu, pak by divergence rychlosti byla nulová. Současně roste i divergence vnitřní teplené energie, ale klesá divergence hustoty, protože při expanzi plyn řídne apod. V těchto případech tedy velikost divergence koresponduje s velikostí gradientů, ale tomu tak vždy být nemusí. Základní přínos divergence oproti gradientu je ten, že rozlišuje, jestli změny hustoty vyšetřované veličiny způsobují změny objemu nebo nějaký zdroj či propad. Stejného gradinetu rychlosti bychom dosáhli i v trysce (zužující se kanál), ale toot zvýšení je způsobeno zmenšením průtočeného průřezu, proto divergence bude rovna nule. Kdežto zvýšení rychlosti v trubce v Úloze 1087 je způsobeno přivedeným teplem (zdroj).
Divergence hmotnosntího toku rovna nule je častý matematický zápis zákona zachováná hmotnosti.
Bez zajímavostí není ani fakt, že v případě divergence gradientu veličiny u=f(x, y, z), který je roven nule (∇2·u=0) se funkce-f nazývá harmonická funkce (lineární, goniometrické apod.). |
Tenzory
Metrický vektor má tři složky, které také nazýváme hlavní směry. Pomocí divergence lze sledovat změny těchto složek v hlavních směrech–pomocí parciálních derivací ve směru x, y, z. Sledovat změny jednotlivých složek vektoru v v dalších dvou směrech lze pomocí tenzorů, proto tenzor obsahuje až 9 čísel a nikoliv jen tři. Tenzor jaký je zde popsaný se nazývá metrický tenzor, ale existují i tenzory, které popisují veličiny, které mají více než tři rozměry [Rektorys et al., 2003], [Macur, 2010]). Metrické tenzory, dále jen tenzory mají spostu aplikací z nichž asi ve fyzice nejpodstatnější je definice vírového a nevírové vektorového pole. |
Tenzorový počet umožňuje sledovat přírůstky složek vektoru ve všech směrech, tedy duxx, duyx, duzx, duyx, duyy, duyz, duzx, duzy, duzz (první index označuje proměnnou, podle které derivujeme, druhý index označuje složku vektoru u→), můžeme takovou funkci derivovat nejen ve směru proměnné, ale i kolmo na ni – jednotlivé přírůstky můžeme nazvat složkami tenzoru, podobně jako jsou složky vektoru a zapsat je do matice, kterou nazýváme tenzorem. To znamená, že přírůstek v každém směru je ještě závislý na zbývajících dvou souřadnicích, jak je ukázáno na Obrázku 909.  56: Příklad znázornění složek tenzoru vlevo-Je znám vektor rychlosti v okolí bodu P, který má tři složky Vx, Vy a Vz a zajímá nás změna těchto složek v malé vzdálenosti od bodu P. V takovém případě se složka Vx změní při posunutí ve směru osy x od dVxx, ve směru osy y od dVyx a ve směru osy z od dVzx apod. pro ostatní složky. Pro zachování přehlednosti nejsou na obrázku zakresleny přírůstky složky rychlosti Vz. vpravo-Zápis tenzoru přírůstků rychlosti.
Tenzory se používají například pro kompletní popis napětí a deformace tělesa, viz článek Meze použití materiálů [Škorpík, 2025]. Nicméně, jak už bylo v předchozím odstavci uvedeno tenzory nepředstavují jen formu zápisu, ale také reálné souvislosti o změnách vyšetřované veličiny, jak ukazuje například veličina rotace vektoru, jejíž podstata a odvození je v následující podkapitole.
Jestliže jsou přírůstky veličin v paralelních směrech nenulové, pak to znamená, že kolem vyšetřovaného bodu může nastat silová nerovnováha, která kontinuum deformuje, nebo v případě tekutin může dokonce rotovat kolem vyšetřovaného bodu – pak bychom hovořili o vírovém vektorovém poli, respektive v mechanice kontinua o vírovém pohybu neboli turbulenci. |
Rotace tekutiny může nastat, jestliže přírůstky složek rychlosti mimo normálové směry jsou nenulové. Z jejich velikosti lze vypočítat i úhlovou rychlost otáčení tekutiny. Úhlovou rychlost otáčení elementu tekutiny kolem vyšetřovaného bodu P lze stanovit velmi snadno – podívejme se na Obrázek 1031, kde je zobrazen element tekutiny zjišťujeme zda se bude otáčet kolem bodu P, který se nachází v jeho pravém dolní rohu (uvažujeme pro jednoduchost rotaci jen kolem osy-z). Obecně se úhlová rychlost rotace stanoví jako podíl obvodové rychlosti ku ramenu (vzdálenost od osy rotace zapsáno ve tvaru ω=U·r-1, kde ω [rad·s-1] je úhlová rychlost; U [m·s-1] je obvodová rychlost – viz také Vzorec 1077; r [m] je rameno). V případě vyšetřování rotace v nejbližším okolí bodu P, kde je rychlost tekutiny V→(Vx, Vy, Vz), musí obvodová rychlost odpovídat přírůstku rychlosti na ramenu rovnu diferenciálu vzdálenosti od bodu P. Samozřejmě, že v případě vyšetřování rychlosti proudění tekutiny má vyšetřovaní její rotace smysl pro tak velké okolí bodu P, kdy se neprojeví termokinetický pohyb molekul nad pohybem proudění látky jako celku.  57: Rotace elementu kolem osy rovnoběžné s osou-z (a) úhlová rychlost rotace elementárního objemu podle přírůstku složky rychlosti Vx ve směru osy y; (b) úhlová rychlost rotace elementárního objemu podle přírůstku složky rychlosti Vy ve směru osy x; (c) přírůstky od jednotlivých složek rychlosti i velikost ramen se mohou měnit a tedy i úhlové rychlosti (v tomto případě působí dokonce proti sobě), proto výsledná úhlová rychlost se bere jako jejich průměr. Viz také postup v [Maštovský, 1964], [Garaj, 1957], [Hemzal, 2001, s. 1-3]. Přírůstky dVxx, respektive dVyy a dVzz nemohou být obvodovými rychlostmi, protože jejich směr prochází bodem P, nemají k tomuto bodu rameno.
Vyšetřovaní rotace nejen kontinua, ale třeba i energetických polí je natolik používaná operace, že pro tento účel vznikl obecný vzorec zvaný rotace vektoru odvozený a uvedený pod označení Vzorec 421. Vektorové pole (v našem případě nejčastěji rychlosti) s nenulovou rotací se nazývá vírové vektorové pole [Garaj, 1957, s. 202]. |
 421: Definiční vzorec rotace vektoru (a) rotace vektoru v pravoúhlé soustavě souřadnic; (b) rotace vektoru ve válcové soustavě souřadnic. Ve vzorcích pro rotaci vektoru chybí (respektive se vynechává) před každou složkou konstanta 1/2 takže, jestliže je rotace vektoru na vyšetřované oblasti Ω nenulová rot a→≠0→ znamená to, že látka ve vyšetřovaném bodě, respektive v jeho okolí se otáčí kolem tohoto bodu jako celek, přičemž délka vektoru rot a→ je dvojnásobek úhlové rychlosti této rotace (2·ω) a vektor a→ je rychlost látky. Odvození rotoru rychlosti je v Příloze 421.
Dosazením definice gradientu potenicální funkce (Rovnice 417) do rovnice rotace vektoru lze velmi snadno odvodit, že rotace potenciálního vektorového pole je nulová.
Jestliže je rotor rychlosti potenciálního proudění (rychlost je gradientem nějaké funkce), pak to znamená, že při potenciálním proudění jednotlivé elementární objemy tekutiny nerotují, pouze konají posuvný pohyb, říkáme mu nevírový nebo též translační pohyb, naopak jiný druh proudění, kdy se elementární objemy při pohybu natáčí nebo přímo otáčí se nazývá vírový pohyb. Oba pohybu jsou názorně porovnány na Obrázku 920.  920: Druhy pohybu látky podle rotoru rychlosti (a) charakter nevírového proudění (částečky proudící látky konají pouze posuvný pohyb v celém vyšetřovaném objemu); (b) charakter vírového pohybu – částečky pohybující se látky se otáčí kolem vyšetřovaného bodu B a zároveň mohou konat i posuvný pohyb.
Definice nevírového proudění usnadňuje řešení především energetických a silových bilancí proudění. Rotace látky ve vyšetřovaném bodě totiž může spotřebovávat či produkovat energii, která ovlivňuje i posuvný pohyb, proto jsou-li tyto vlivy malé lze s dostatečnou přesností aplikovat rovnice nevírového proudění i na proudění, které očividně nevírové není, například případy rot a→=konst., rot a→≈0 v celém vyšetřovaném objemu.
V technické praxi se lze velice často setkat s pohybem látky po kružnici nebo trajektoriím blízkým kružnicím. Typickým příkladem je osově symetrické proudění či rotace disku setrvačníku. Zatím co lze dokázat, že rychlostní pole hmoty setrvačníku vytváří vírové pole (ano je skutečně tomu tak a jakýkoliv vybraný elementární objem setrvačníku rotuje úhlovou rychlostí odpovídající úhlové rychlosti setrvačníku), tak potenciální vír samozřejmě takové pole nevytváří (Obrázek 1086) a rotor rychlosti v potenciálním víru je roven nule [Maštovský, 1964, s. 219]. |
 61: Vektorové pole rychlosti pohybu po kružnici pro různé druhy pohybu (a) charakteristika pohybu tekutiny v potenciálním víru kolem středu S; (b) rotace hmoty setrvačníku (hmota v bezprostředním okolí jakéhokoliv bodu setrvačníku rotuje kolem osy rotace s úhlovou rychlostí ω), rot V→≠0; (c) rovnice pro kruhový pohyb pevného disku setrvačníku je převzata z [Macháček, 1995, s. 42] – tato rovnice je odlišná od rovnice pro potenciální vektorové pole rychlosti, takže vektorové pole rychlosti nemůže být nevírové, lze také dokázat, že uvedená rovnice pro rychlost není gradientem žádné funkce, proto i cirkulace rychlosti po uzavřené křivce K je různá od nuly. |
OdkazyŠKORPÍK, 2023a, Vnitřní tření tekutiny a vývoj mezní vrstvy
, Transformační technologie, Brno, [online], ISSN 1804-8293, transformacni-technologie.cz/vnitrni-treni-tekutiny-a-vyvoj-mezni-vrstvy.html.
ŠKORPÍK, 2023b, Vznik tlakové ztráty při proudění tekutiny a její výpočet, Transformační technologie, Brno, [online], ISSN 1804-8293, transformacni-technologie.cz/vznik-tlakove-ztraty-pri-proudeni-tekutiny-a-jeji-vypocet.html.
ŠKORPÍK, 2023c, Proudění plynů a par tryskami, Transformační technologie, Brno, [online], ISSN 1804-8293. transformacni-technologie.cz/proudeni-plynu-a-par-tryskami.html.
ŠKORPÍK, 2025, Meze použití materiálů, Transformační technologie, Brno, transformacni-technologie.cz/meze-pouziti-materialu.html.
DEVLIN, Keith, 2003, Jazyk matematiky, Dokořán, s.r.o., Praha, ISBN 80-86569-09-08.
DOBROVOLNÝ, Bohumil, ŽĎÁREK, Josef, 1954, Přehled technické matematiky, ROH – PRÁCE, Praha.
EVESHAM, Harold, 2010, The History and Development of Nomography, Docent press LLC, Boston, ISBN 1456479628
GARAJ, Jozef, 1957, Základy vektorového počtu, Slovenské vydavateľstvo technickej literatúry, n.p., Bratislava.
GECSEI, Ján, KLÍR, Jiří, PELIKÁN, Pavel, 1964, Matematické stroje, Orbis, Praha.
GLEICK, James, 2013, Informace: Historie, Teorie, Záplava, Argo, Praha, ISBN 978-80-7363-415-5.
GOWERS, Timothy, 2006, Matematika: průvodce pro každého, Dokořán, Praha, ISBN 80-7363-083-4.
HEMZAL, Karel, 2001, Aerodynamika větrání, Nakladatelství ČVUT, Praha, ISBN 978-80-01-03908-3.
HILLIS, W. Daniel, 2003, Vzor v kameni: jednoduché myšlenky, které řídí počítače, Academia, Praha, ISBN 80-200-1067-X.
JAKOVLEV, K., P., BRONŠTEJN, I., N., BALJEZIN, S., A., SVĚŠNIKOV, G., N., ZINOVĚV, V. A., 1963, Fyzikálně technická příručka, Praha, SNTL.
JUNGK, Robert, 1965, Jasnější než tisíc sluncí: osudy atomových vědců, Praha, Mladá fronta.
KUNC, Antonín, JOZÍFEK, Vítěslav, 1963, Matematika pro dělníky a mistry, Statní nakladatelství technické literatury, Praha.
MACUR, Milan, 2010, Úvod do analytické mechaniky a mechaniky kontinua, Vutium, Brno, ISBN 978-80-214-3944-3.
MACHÁČEK, Martin, 1995, Encyklopedie fyziky, Mladá fronta, Praha, ISBN 80-204-0237-3.
MAREŠ, Milan, 2006, Slova, která se hodí, aneb, Jak si povídat o matematice, kybernetice a informatice, Academia, Praha, ISBN 80-200-1445-4.
MAREŠ, Milan, 2008, Příběhy matematiky, Pistorius&Olšanská, s.r.o., Příbram, ISBN 978-80-87053-16-4.
MAŠTOVSKÝ, Otakar, 1964, Hydromechanika, Statní nakladatelství technické literatury, Praha.
MAZUR, Joseph, 2017, Kde se vzaly symboly: stručná historie matematického zápisu od starověku k dnešku, Knižní klub, Universum, Praha, ISBN 978-80-242-5820-1.
MIODOWNIK, Mark, 2016, Neobyčejné materiály: podivuhodné příběhy látek, které vytvářejí náš svět, Praha, Dokořán, ISBN 978-80-7363-765-1.
NAUMANN, Friedrich, 2009, Dějiny informatiky, Academia, Praha, ISBN 978-80-200-1730-7.
OPAVA, Zdeněk, 1972, Jak sestrojovat spojnicové nomogramy, Praha, SNTL.
PLESKOT, Václav, 1947, Nomografie v technické praxi, Praha, SPASEI.
REKTORYS, Karel, 2001, Co je a k čemu je vyšší matematika, Praha, Česká matice technická (Academia), ISBN 80-200-0883-7.
REKTORYS, Karel, CIPRA, Tomáš, DRÁBEK, Karel, FIEDLER, Miroslav, FUKA, Jaroslav, KEJLA, František, KEPR, Bořivoj, NEČAS, Jindřich, NOŽIČKA, František, PRÁGER, Milan, SEGETH, Karel, SEGETHOVÁ, Jitka, VILHELM, Václav, VITÁSEK, Emil, ZELENKA, Miroslav, 2003, Přehled užité matematiky I, II, Prometheus, spol. s.r.o., Praha, ISBN 80-7196-179-5.
|
|
ROBINSON, Andrew, 2008, Jak se měří svět: příběhy z dějin měření, Euromedia Group – Knižní klub, Universum, Praha, ISBN 9788024221878.
SCHMIDTMAYER, Josef, 1967, Maticový počet a jeho použití v technice, SNTL, Praha.
STEWART, Ian, 2013, Kabinet matematických kuriozit profesora Stewarta, Dokořán, s.r.o., Praha, ISBN 978-80-7363-292-2.
STRUIK, Dirk, 1963, Dějiny matematiky, Praha, Orbis.
ŠINDELÁŘ, Václav, SMRŽ, Ladislav, 1989, Nová soustava jednotek SI, Státní pegagogické nakladatelství, Praha.
ŠTĚPANSKÝ, Václav, 1970, Nomogramy, Praha, SNTL.
TESAŘÍK, Bohumil, 2015, Objev logaritmů měl na vědu dopad srovnatelný s vynálezem počítače, Technický týdeník, 09/2015, Business Media CZ, Praha, ISSN 0040-1064.
THIELE, Rüdiger, 1985, Matematické důkazy, Statní nakladatelství technické literatury, Praha.
|
