Tento web obsahuje aplikace Google Adsense a Google analytics, které využívají data ze souborů cookie, více informací. Používání této stránky vyjadřujete souhlas s využitím těchto dat. Využívání dat ze souborů cokie lze zakázat v nastavení Vašeho prohlížeče.

16. Základy aerodynamiky profilů lopatek a lopatkových mříží

Autor: Jiří Škorpík twitter, skorpik@fme.vutbr.cz

Aerodynamika vyšetřuje silové účinky proudění na obtékaná tělesa nebo kanál, ve kterém se nachází. V oboru lopatkových strojů se zákonitosti aerodynamiky uplatňují především v lopatkových částech. Na základě této kapitoly se určuje nejvýhodnější tvar lopatkových mříží (lopatek...), velikost lopatek, rozteč lopatkové mříže (počet lopatek), úhel nastavení lopatek v mříži, povrchová úprava a další. Především u velkých turbín i nepatrná zlepšení ve tvaru lopatky, mříže či jiných částí stroje mohou mít ve výsledku vysoké přínosy [14] pro účinnost stroje.

Aerodynamiku lopatek lze rozdělit na aerodynamiku osamoceného profilu a aerodynamiku lopatkové mříže. Obě oblasti lze zkoumat při nízkých rychlostech bez významného vlivu stlačitelnosti proudění nebo naopak při vysokých rychlostech1 při kterých se již projevuje vliv stlačitelnosti.

1Poznámka
Při nízkých rychlostech se chová i stlačitelné prostředí podobně jako nestlačitelné, ale s rostoucí rychlostí se šíří tlakové poruchy (zvuk) čím dál tím pomaleji a chování takového prostředí se začíná od nestlačitelného prostředí odlišovat. Obvykle i stlačitelné prostředí považujeme za nestlačitelné do rychlosti cca 0,3 Ma, kde Ma [-] označuje Machovo číslo [17, s. 27]. Navíc při nadzvukových rychlostech proudění může docházet k jevům, ke kterým při nižších rychlostech nedochází (viz článek 39. Efekty při proudění vysokými rychlostmi) souvisejících se skokovými změnami stavových veličin tekutiny. Tyto případy nastávají při vysokých rychlost plynů a par.

Průběh tlaku a rychlosti podél profilu lopatky

Průběh tlaku po délce profilu lopatky se při proudění mění. Strana profilu s vyšším tlakem se nazývá přetlaková strana lopatky, a strana s nižším tlakem sací strana lopatky. Důsledkem rozdílného tlaku na přetlakové a sací straně je síla působící na lopatku od proudu tekutiny. Průběhy tlaku se zjišťují měřením, ale pro nestlačitelné proudění lze alespoň trend tlakových změn určit pomocí Bernoulliho rovnice. Z alespoň přibližného trendu změn tlaku lze odhadovat vývoj mezní vrstvy u profilu a s tím spojené efekty (profilové ztráty, odtržení mezní vrstvy apod.):

Změna tlaku podél osamoceném profilu. 1.321 Změna tlaku podél osamoceném profilu.
(a) průběh tlakového součinitele Ct nad profilem; (b) průběh tlakového součinitele pod profilem. Ct [-] tlakový součinitel profilu [19, s. 27]; w [m·s-1] nátoková rychlost; p [Pa] statický tlak; ρ [kg·m-3] hustota tekutiny. Index i označuje libovolné místo v proudovém vlákně mezi vstupem a výstupem mříže. Platí pro proudové vlákno v dostatečné vzdálenosti od mezní vrstvy nebo vlákna těsně u okraje profilu pro ideální tekutinu. Tlakový součinitel profilu Ct popisuje jak se mění statický tlak na úkor dynamického. Tato veličina je bezrozměrová, dána tvarem vyšetřovaného profilu a jeho nastavení vůči směru nátokové rychlosti, při změně těchto parametrů, se mění i průběh této veličiny. Odvození rovnice je v Příloze 321.

Tlakový součinitel profilu může dosahovat maximální hodnoty 1, protože pimax=p1+0,5·ρ·w21, což je pouze v nátokové hraně lopatky, kde dochází k zastavení proudu ve směru k normále plochy profilu.

Z průběhu tlakového součinitele profilu vyplývá, že na horní straně profilu je tlak nižší (sací strana) než na spodní části profilu (přetlaková strana)2. Tím, že tlak nad profilem je menší než pod profilem vzniká síla, která je tím větší čím větší je rozdíl tlaků.

Skutečná změnu tlaku po profilu se měří pomocí otvorů v profilu. Konkrétní hodnoty tlakového součinitele z měření jsou uvedeny např. v [3, s. 142].

2Poznámka
K rozdílu tlaku dochází při obtékání nesouměrného tělesa nebo i souměrného (například desky, či symetrického profilu) pokud je vloženo do proudu šikmo [18, s. 45] respektive úhel náběhu je různý od nuly.
reklama

Aerodynamika osamoceného profilu

Tření tekutiny při obtékání profilu vytváří sílu (odporovou sílu Fx), která má stejný směr jako nátoková rychlost. Složka síly kolmá na střední aerodynamickou rychlost se nazývá vztlak a označuje se Fz. Takto vzniklé složky síly se počítají pomocí součinitelů získaných z měření a Newtonových vztahů pro odpor tělesa odvozených z definice tlakového součinitele Ct a potvrzených experimenty.

Síly působící na osamocený elementární profil.
2.325 Síly působící na osamocený elementární profil.
(a) síly působící na osamocený profil; (b) grafická podoba závislosti Cz(Cx) tzv. polára profilu3. dFx [N] odporová síla4; dFz [N] vztlaková síla; ε [°] klouzavý úhel5; Cx [-] součinitel odporu; Cz [-] součinitel vztlaku; c [m] délka tětivy; i [°] úhel náběhu; p střední čára profilu; dr [m] elementární šířka profilu. Použité kótování úhlu náběhu i a délky tětivy c odpovídá konvencím pro osamocený profil [6, s. 90] a systému kótování používaného v kapitole 15. Geometrické a aerodynamické veličiny lopatkových mříží. Odvození rovnice pro vztlak a odporovou sílu je v Příloze 325.
3Polára profilu
Polára profilu Cz(Cx, i) ze získává z měření na profilu. Změna součinitele odporu se dosahuje změnou úhlu náběhu i – změnu úhlu náběhu se u osamocených profilů dosáhne nakloněním profilu nebo zakřivením profilu. Takto získaná závislost se často převádí do podoby poláry profilu [7, s. 198]. Oba součinitele se mohou měnit podle Reynoldsova čísla respektive podle typu proudění kolem profilu (laminární či turbulentní). Proto se diagram Cz(Cx) zhotovuje pro několik vybraných Reynoldosvých čísel, podle pracovních podmínek profilu. U profilů se zároveň měří i další aerodynamické charakteristiky (např. profilový moment [6, s. 278], [10, s. 4], který je důležitý pro návrh polohy těžiště letounu a pro pevnostní výpočet délky křídla/lopatky na krut).
4Součinitel odporu a odporová síla
Je součet odporu od tření pracovní tekutiny o plochu profilu a tlakového/tvarového odporu profilu více v kapitole 17. Ztráta vířením za odtokovou hranou. Tlakový odpor tělesa vzniká z rozdílu tlaku tekutiny na krajích profilů ve směru rychlosti w (tato tlaková diference je způsobena poklesem celkového tlaku způsobené třením tekutiny o profil). Při měření lze tyto dva odpory od sebe obtížně odlišit a uvádí se jen odpor profilu. Při transonických rychlostech navíc vzniká v okolí profilu i λ-rázové vlny, které zvýší součinitel odporu profilu i několikanásobně (u nevhodných profilů i mnohem více viz grafická závislost součinitele odporu základního profilu NACA 0012-34 na Machově číslu, která je uvedena v [10, s. 284]). Součinitele odporu různých typů projektilů jsou uvedeny např. v [6, s. 390], [11, s. 76]. Proto název odporová síla je správnější.
5Klouzavý úhel
Název plyne z klouzavého letu letounu (ustálený bezmotorový let), kdy síla F je proti směru gravitačního zrychlení a ε označuje sklon vztlakové síly vůči gravitačnímu zrychlení [7, s. 199], [13, s. 274].
6Odpor profilu a deviační úhel
Při proudění bez tření bude mít pracovní tekutina stejnou celkovou energii na obou stranách lopatky. Vektor rychlosti po smíchaní takových to dvou proudů na odtokové hraně bude mít směr střední čáry profilu lopatky a deviační úhel bude roven nule. Při proudění se třením je ztráta celkové energie proudění jiná na sací a přetlakové straně. Přetlaková strana lopatky je kratší a proudění podél ní je pomalejší než je tomu na sací straně lopatky, takže ztráta celkového tlaku (energie) v blízkosti přetlakové strany je menší než na sací. Po smíchání těchto dvou proudů je zřejmé, že směr proudění se bude více blížit směru na přetlakové straně lopatky.

Aerodynamika lopatkové mříže

Pro osamocené profily je typické, že tlak a rychlost před i za profilem jsou ideálně stejné, naproti tomu u lopatkových mříží tomu většinou není7 a navíc tyto profily vytváří zakřivené lopatkové kanály. V zakřivených kanálech se totiž vytváří příčný tlakový gradient kolmý na směr proudění jehož velikost lze určit z Eulerovy n-rovnice:

Vznik příčného tlakového gradientu v zakřiveném kanále. 3.1030 Vznik příčného tlakového gradientu v zakřiveném kanále.
w [m·s-1] relativní rychlost případně absolutní rychlost c [m·s-1] u statorových mříží; n normála proudnice; ρ' [m] poloměr křivosti proudové plochy ve vyšetřovaném bodě proudové plochy; ρ [kg·m-3] hustota; ψ proudnice. Index 1 značí stav tekutiny před profilem, index 2 značí stav tekutiny za profilem.
7Poznámka
To znamená, že součinitel tlaku Ct na odtokové hraně konfuzorové lopatkové mříže bude záporný a u difuzorové bude větší jak 0 [4].

Z n-Eulerovy rovnice je tedy zřejmé, že i když je tlak v celém průtočném průřezu lopatkového kanálu na vstupu stejný, tak na výstupu už musí být na sací straně lopatky menší než přetlakové – to způsobuje odstředivá síla. Výsledný rozdíl tlaků je funkcí nejen poloměru křivosti, rychlosti a hustotě pracovní tekutiny, ale také na rozteči lopatkové mříže, protože tento rozdíl je výsledkem integrace n-rovnice. U osamoceného profilu tomu tak není a na odtokové hraně lopatky je v ideálním případě tlak stejný na sací i přetlakové straně.

8Poznámka
Vznik příčného tlakového gradientu se využívá například i u vířivých strojů jako je vířívé čerpadlo nebo vírová trubice.

Z uvedených příčin se součinitelé vztlaku a odporu profilu v lopatkové mříží vztahuje ke střední aerodynamické rychlosti v lopatkové mříži, což je v souladu se závěry provedené kapitole 12. Síla na lopatku a cirkulace rychlosti. Konstrukce skutečného silového trojúhelníku působící na profil v lopatkové mříži vychází z definice profilové ztráty. Profilová ztráta mříže představuje rozdíl entalpií, o který se musí zvýšit entalapický spád v mříži, aby rychlost na výstupu z mříže (rychlostní trojúhelník) byla stejná jako v případě proudění beze ztrát:

Profilová ztráta v lopatkové mříži zobrazená v i-s diagramu.
4.722 Profilová ztráta v lopatkové mříži zobrazená v i-s diagramu.
(a) situace v konfuzorové mříži; (b) situace v difuzorové mříži. i [J·kg-1] měrná entalpie; s [J·kg-1·K-1] měrná entropie; pc [Pa] celkový tlak v daném místě mříže; zp [J·kg-1] profilové ztráty.

To znamená, že pro dosažení stejných výstupních rychlostí z mříže jako při proudění beze ztrát (izoentropické) je nutné zvýšit rozdíl tlaků o hodnotu Δpz=p2iz-p2, pro případ difuzorových mříží naopak snižít rozdíl tlaků o hodnotu Δpz (jako by profilové ztráty způsobovaly pouze pokles tlaku, ale ne rychlosti). Třecí síla ve směru poklesu tlaku způsobí u konfuzorových lopatkových mříží zvětšení síly působící na lopatky v axiálním směru naopak třecí síla proti směru nárůstu tlaku u difuzorových mříží způsobí zmenšení síly působící na lopatky v axiálním směru. Pokud bude rychlostní trojúhelník případu proudění se ztrátami stejný jako beze ztrát znamená to, že i obvodové síly budou v obou případech stejné:

Skutečné síly působící na lopatku v lopatkové mříži.
5.877 Skutečné síly působící na lopatku v lopatkové mříži.
Silové poměry v lopatkové mříži jsou nakresleny pro elementární délku lopatkové mříže. (a) situace v konfuzorové mříži (turbínová); (b) situace v difuzorové mříži (pracovních strojů). β [°] úhel relativní rychlosti; dFu [N] obvodová síla působící na element lopatky. ε‾ [-] klouzací poměr9; wst [m·s-1] střední aerodynamická rychlost v lopatkové mříži; βst [°] úhel střední aerodynamické rychlosti; cz, cx [-] součinitel vztlaku a odporu profilu v lopatkové mříži – zde jsou označeny malými písmeny, aby se označení nepletlo se stejnými součiniteli osamoceného profilu; Δpz [Pa] tlaková ztráta v lopatkové mříži; σ [-] hustota lopatkové mříže. Odvozeno z rovnice Prvního zákona termodynamiky pro otevřený systém za podmínky ai=0, g·Δh=0, ρ=konst. Odvození rovnic je v Příloze 877.
9Klouzací poměr
Zjednodušení tg ε‾≐ε‾ pro kruhový oblouk o poloměru dFz a délce dFx lze použít pouze pokud je oprávněný předpoklad dFz>>dFx. Klouzací poměr je, v případě lopatkové mříže, označen ε‾, protože je jiný než u osamoceného profilu, kde je součinitel vztlaku a odporu vztažen k nátokové rychlosti a nikoliv ke střední aerodynamické rychlosti.

Vztah mezi experimentální aerodynamikou osamoceného profilu a experimentální aerodynamikou lopatkové mříže

Rozložení tlaků po délce profilu měřeného na osamoceném profilu se více či méně liší od průběhu tlaků kolem profilu v lopatkové mříži. Nicméně tento rozdíl nemusí být u lopatkových mříží s malým prohnutím10, malým rozdílem tlaků před a za mříží velký a tak lze na nemalý počet případů (například lopatkové mříže ...) aplikovat přímo poznatky z aerodynamiky osamoceného profilu. Například lopatkové mříže větrných turbín, vrtulí, ventilátorů apod se běžně sestavují z profilů uvedených v katalozích osamocených profilů, ve kterých jsou uvedeny i jejich naměřené aerodynamické veličiny.

10Poznámka
Při obtékaní osamoceného profilu dochází k zakřivení proudu. Toto zakřivení je způsobeno tzv. Coanda jevem, kdy při obtékání zakřivených povrchů proud tekutiny toto zakřivení kopíruje, protože přilne k povrchu. Jev se nazývá podle rumunského inženýra Henri Coandă (1886-1972), který se zabýval zkoumáním obtékání povrchů a těles.

Součinitele odporu a vztlaku osamoceného profilu jsou měřeny k nátokové rychlosti, která je stejná jako odtoková, zatímco nátoková rychlost mříže je jiná než odtoková (w1=w2)11. Tento rozpor je řešen tak, že v případě mříže se odporová i vztlaková síla počítá z velikosti střední aerodynamické rychlosti v lopatkové mříži.

11Poznámka
Pro velmi malé zakřivení profilu je nátoková rychlost přibližně stejně veliká jako střední aerodynamická (jak plyne z Obrázku 5), v takovém případě lze silový trojúhelník a i vztahy pro výpočet tlakové a profilové ztráty zjednodušit dosazením rovnosti wst≈w1, βst≈β1, tak odpadá nutnost znát velikost odtokové rychlosti w2.

U profilů s větším prohnutím se vychází z vlastností základních profilů. Tzn. vytvořit prohnutý profil lopatky transformací základního profilu jak je uvedeno v kapitole 15. Tvar profilu lopatky. Ze součinitele odporu původního základního profilu lopatky Cx lze vypočítat i přibližnou odporovou sílu dFx a následně i celý silový trojúhelník lopatkové mříže pomocí konstrukce na Obrázku 5.

U velmi prohnutých profilů a při velkých rozdílech tlaků před a za mříží už nelze očekávat rozložení tlaků a sil podél profilu jako u osamoceného profilu a je nutné zohlednit kanálový charakter lopatkové mříže:

Stanovování aerodynamických veličin lopatkových mříží

Přirozeně nejpřesnější metodou stanovení aerodynamických charakteristik profilů v lopatkové mříži je stanovení jejich vlastností experimentálně v aerodynamických tunelech lopatkových mříží. Měření se provádí na rovinné lopatkové mříži. Lopatková mříž je tvořena několika stejně velkými lopatkami vloženými do průtokového kanálu šikmo tak, aby proud pracovní tekutiny odpovídal směru relativní rychlosti ve skutečné lopatkové mříži. Protože v lopatkové mříži dochází k ohybu proudu podobně jako v koleně, tak i průtokový kanál je v místě lopatkové mříže zahnut tak, aby výstupní proud z lopatkové mříže byl v ose průtokového kanálu:

Aerodynamický tunel pro měření lopatkových mříží.
6.1096 Aerodynamický tunel pro měření lopatkových mříží.
Kanál je tvořen několika pohyblivými stěnami, kterými se především ovlivňuje rychlostní pole na okrajích mříže a umožňuje naklápění vstupních a výstupních kanálů pro změnu úhlu náběhu. Měří se nejen stav pracovního plynu v několika místech před a za mříží (tlak, teplota, průtok, rychlost..), ale sleduje se i vizuálně rozložení rychlosti nebo hustoty viz obrázky níže. Testovaná rovinná lopatková mříž obsahuje minimálně 57 profilů, aby měření mělo dostatečnou přenositelnost [12, s. 6-22]. Konstrukce aerodynamického tunelu kompresorových lopatkových mříží jsou uvedeny např. v [12, s. 11-7] a pro turbínové lopatkové mříže [12, s. 6-22]. Všimněte si, že průtočná plocha aerodynamického kanálu před a za mříží musí odpovídat typu lopatkové mříže. Turbínová lopatková mříž má na výstupu menší průřez než na vstupu, u kompresorové je to obráceně jak ukazuje tento obrázek.

Z naměřeného rozdílu celkových tlaků Δpz na lopatkové mříži v aerodynamickém tunelu lze stanovit její aerodynamické veličiny jako součinitel odporu a vztlaku a profilová ztráta obráceným postupem jako v případě Rovnice 5:

Aerodynamické veličiny lopatkové mříže vypočítané z tlakové ztráty mříže naměřené v aerodynamickém tunelu.
7.633 Aerodynamické veličiny lopatkové mříže vypočítané z tlakové ztráty mříže naměřené v aerodynamickém tunelu.
cz,iz [-] součinitel vztlaku pro případ proudění beze ztrát. Odvození rovnic je v Příloze 633.

Naměřená a vypočítané aerodynamické charakteristiky lopatkové mříže pro různá Reynoldsova čísla a úhly náběhu se uvádějí do tabulek a vyjadřuje graficky podobně jako při měření osamocených profilů:

Aeordynamická charakteristika lopatky v lopatkové mříži. 8.429 Aeordynamická charakteristika lopatky v lopatkové mříži.
Δβ [°] úhel zakřivení proudu; iopt [°] optimální úhle náběhu, kdy lopatková mříž dosahuje maximální hodnoty vztlaku vzhledem hodnotě odporu lopatkové mříže; ζp [-] ztrátový součinitel způsobující jednou lopatkou v lopatkové mříži [3, s. 175]; 2·ζp,min [-] přibližně při této velikosti ztrátového součinitele dochází k odtržení mězní vrstvy od profilu12, oblast b označuje oblast odtržení na sací straně lopatky, oblast c označuje oblast odtrhávání na přetlakové straně lopatky, oblast a je oblast bez odtrhávání mezní vrstvy od profilu; ij [°] jmenovitý úhel náběhu – jedná se o takový úhel, kterému odpovídá zakřivení proudu přibližně 0,8·Δβmax – při kterém má lopatková mříž dostatečné rezervy pro změně provozních parametrů anichž by docházelo k odtrhávání proudu od profilu [3, s. 177].
12Poznámka
Profilovou ztráta v lopatkové mříži není obvykle způsobena pouze třením tekutiny o profil, ale například i odtržením mezní vrstvy od profilu, víření za odtokovou hranou lopatky... Podrobnosti o těchto ztrátách jsou uvedeny v kapitole 17. Rozdělení profilových ztrát a 17. Ztráta nesprávným úhlem náběhu.

Aerodynamické charakteristiky lopatkových mříží lze stanovit i různými výpočtovými metodami [13, s. 241], [13, s. 250], [16] případně metodami MKP. Dále byly vytvořeny metody predikce změn aerodynamických veličin lopatkové mříže, která je naměřená, jestliže se změní jen některé její geometrické veličiny např. metoda Howelova, Carterova, Liebleinova...[3], [15]. Tyto metody mají užitek především při snaze snížit potřebné množství měření.

V rovinné lopatkové mříži lze dobře měřit jednotlivé součinitele c, ovšem v reálném lopatkovém stroji aerodynamické vlastnosti mříže ovlivňuje i rotace stroje. Vliv rotace lopatkového kanálu se měří ve speciálních zkušebních zařízení, ve kterých je umístěn rotor obvykle s jedním stupněm lopatkového stroje. Konstrukce takového zkušebního zařízení13 je uvedena např. v [12, s. 6-23].

13Aerodynamický tunel pro kompletní (rotující) stupeň lopatkového stroje
Na těchto zařízení, lze testovat i mechanické vlastnosti lopatek vystavené odstředivým silám, popřípadě jsou vybaveny budiči dalších sil (záměrné vyvolání kmitání, které simuluje buzení od proudu pracovní tekutiny). Zařízení pro testování mechanických vlastností lopatek (v měřítku 1:1) je i v experimentálním pracovišti společnosti Škoda power v Plzni. Při těchto testech se sledují elastické deformace lopatek (především tzv. rozkrucování zkroucených lopatek) a cyklová únava lopatek.

Aerodynamika diagonálních a radiálních lopatkových mříží

V aerodynamickém tunelu rovinných lopatkových mříží lze testovat i profily lopatek určené pro diagonální nebo radiální lopatkové mříže. Geometrie lopatek nerovinných mříží se musí transformovat bod po bodu na rovinné mříže:

Příklad transformace tvaru kruhové lopatkové mříže na rovinnou. 9.811 Příklad transformace tvaru kruhové lopatkové mříže na rovinnou.
r [m] poloměr lopatkové mříže. Tlakové a rychlostní pole naměřené na rovinné lopatkové mříži se musí zpět transformovat do kruhových souřadnic postupem odvozeným v [19. s. 84]. Podobným způsobem lze transformovat i diagonální lopatkovou mříž [19. s. 84].

Hustota lopatkové mříže

Lopatkové mříže jsou buď statorové nebo rotorové. U statorové lopatkové mříže jsou při výběru hlavními parametry jemnovitý úhel naběhu ij a požadované zakřivení proudu Δβ. Z těchto paramterů se vybírá lopatková mříž s požadovanou aerodynamickou charakteristikou. U rotorové mřížích jsou také nejdůležitejší parametry jmenovitý úhel náběhu a zakřivení proudu, ovšem zakřivení proudu velmi ovlivňuje to jaké budou otáčky a obvodová práce stupně. Vzorec pro hustotu rotorové lopatkové mříže vychází z rovnosti vzorců experimentální aerodynamiky Rovnice 5Eulerovy rovnice pro sílu působící na lopatku v lopatkové mříži:

Vzorec pro výpočet lopatkové mříže. 10.809 Vzorec pro výpočet hustoty lopatkové mříže.
lE [J·kg-1] obvodová práce. Odvození vzorce je v Příloze 809.

Součiteli vztlaku ve vzorci musí odpovídat i požadované prohnutí proudu v aerodynamické charakteristice uvažovaného typu lopatkové mříže. Prohnutí proudu je funkcí především rychlostního součinitele jak je patrné z nomogramu Aerodynamické zatížení lopatek rotoru axiálních turbín [22, 19.320] a Aerodynamické zatížení lopatek rotoru pracovních strojů [22, 19.431]. Poslední vzorec lze použít i při navrhování nových lopatkových mříží na základě podobnosti s jinou mříží pracujících při podobných parametrech nebo při návrhu nové lopatkové mříže na základě aerodynamiky osamocených profilů. Pomocí tohoto vzorce lze také predikovat charakteristiku stupně lopatkové stroje v blízkosti pracovního bodu při změně otáček.

Nevýhodou předchozího vztahu je nutná znalost aerodynamických parametrů lopatkové mříže. Tuto nevýhodu nemá metoda stanovení hustoty lopatkové mříže podle Zweifelova kritéria, na druhou stranu je méně přesná. Zweifelovo kritérium vychází z experimentální zkušenosti velikosti vztlaku ve směru obvodové rychlosti cz,u, která je v rozsahu 0,75...0,85 u moderních profilů až 1 [12, s. 6-17]. Vyšší hodnoty jsou pro mříže s menším profilovými ztrátami, ale z vyšší pravděpodobnosti odtržení proudu od profilu. V tomto případě je netypicky součinitel vztlaku vztažen k dynamickém tlaku na výstupu z mříže a ploše lopatek odpovídající šířce lopatkovém mříže:

Zweifelovo kritérium. 11.793 Zweifelovo kritérium.
cz,u [-] součinitel vztlaku v obvodovém směru; b [m] šířka lopatkové mříže. Odvození vzorce je v Příloze 793.

V [20] je uvedena metoda stanovení hustoty lopatkové mříže, která vychází z kanálové teorie. Tato metoda předpokládá, že existuje optimální poměr mezi délkou a šířkou kanálu. V případě lopatkové mříže je za délku kanálu považována délka tětivy c a za šířku střední šířka lopatkového kanálu Ast, potom je optimální poměr c/Ast kolem 2,5 u turbín je o něco měnší [20, s. 408]. Tato metoda se hodí pouze pro velmi málo zakřivené profily. Orientační hodnoty hustoty mříže σ pro různé typy lopatkových strojů jsou uvedeny [4, s. 64] a speciálně pro parní turbíny [21].

Osamocený profil ve stlačitelném proudění

Většinu aerodynamických problémů lze řešit pomocí poznatků z aerodynamiky nestlačitelného prostředí. Konstantní hodnota hustoty pracovní látky zjednodušuje mnoho výpočtových vztahů pro síly působící na lopatku, popis proudění kolem lopatky, popis vzniku profilových ztrát apod. V případě, že při proudění kolem lopatky dochází k výraznější změně hustoty (oproti podmínkám při kterých byly aerodynamické veličiny profilu měřeny) už některé ze vzorců a pravidel odvozených pro nestlačitelné proudění lze použít s dostatečnou přesností pouze, jestliže aerodynamické veličiny přepočítáme pro jiné parametry proudění podle Glauert-Prandtlova pravidla.

Porovnáním diferenciální rovnice pro stlačitelné proudění v rovině [6, s. 49] (linearizovaný tvar) a rovnice pro nestlačitelné proudění v rovině [6, s. 50] (tzv. Laplaceova rovnice) lze vydedukovat, že tlakové pole kolem tělesa obtékaného stlačitelným prouděním se změní (zvýší) oproti případu obtékaní nestlačitelným proudění v poměru závislým pouze na Machově číslu. To znamená, že tlakový součinitel profilu Ct respektive součinitel vztlaku cz se budou měnit v poměru:

Vliv stlačitelnosti proudění na tlakové pole kolem profilu.
12.906 Vliv stlačitelnosti proudění na tlakové pole kolem profilu.
(a) vliv na tlakový součinitel; (b) Glauert-Prandtlovo pravidlo pro součinitel vztlaku; (c) vliv na součinitel odporu14. Ma [-] Machovo číslo (před profilem); index n označuje nestlačitelné proudění, index s stlačitelné proudění. Rovnice je platná pro laminární profily15 a pro rychlosti proudění do kritického Machova čísla, uvedené rovnice dobře odpovídají experimentálním měření [10, s. 256]. Odvození je uvedeno například v [6, s. 49].
14Poznámka
Třecí složka součinitele odporu profilu se s rychlostí proudění snižuje (roste Re), odpor připadající na tvarovou složku se v souladu s Glauert-Prandtlovým pravidlem zvyšuje. Obě tyto změny se přibližně, podle [6, s. 52], vyrovnají a stlačitelnost proudění nemá proto na součinitel odporu významný vliv. Tyto úvahy jsou potvrzeny i měřením na vybraných profilech např. [6, s. 233], [10, 283 až 287], ze kterých je patrno, že přibližně do kritického Machova čísla je součinitel odporu bez výrazných změn.
15Laminární profil
Laminární profily jsou obtékány nižší než kritickou rychlostí, při které nedochází k turbulizaci proudění a profil je obtékán pouze laminárním prouděním.

Glauert-Prandtlovo pravidla plyne, že pro zachování stejného součinitele vztlaku i při stlačitelném obtékání je nutné geometrii původního profilu (měřený při obtékání nestlačitelným prouděním Δpz souřadnici kolmou na rychlost) změnit v uvedeném poměru. Uvedené rovnice, podle [6, s. 53], jsou platné pro potenciál rychlosti [13, s. 206] náběžné rychlosti a tudíž se ve stejném poměru přibližně změní i náběžný úhel a prohnutí profilu. Souřadnice profilu rovnoběžné s rychlostí zůstávají stejné viz [6, s. 57]:

Praktická aplikace Glauert-Prandtlova pravidla. 13.907 Praktická aplikace Glauert-Prandtlova pravidla.
(a) profil obtékaný nestlačitelným prouděním; (b) profil obtékaný stlačitelným prouděním. yn, s [m] lokání tloušťka profilu obtékaného nestlačitelným respektive stlačitelným prouděním. Profil (b) bude mít, podle Glauert-Prandtlova pravidla, stejné aerodynamické charakteristiky jako profil (a)16.
16Poznámka
Způsobem použití i odvozením lze Glauert-Prandtlovo pravidlo považovat za bezrozměrný podobnostní součinitel podobně jako Reynoldsovo číslo.

Z výše uvedeného je evidentní, že pro pro vyšší rychlosti obtékání postačují tenké málo zakřivené profily. Vliv stlačitelnosti proudění na geometrii profilu je patrný na lopatkách vrtulí a větrných turbín. Například podle principu aerodynamického návrhu lopatky větrné turbíny je po celé výšce lopatek sice aplikován stejný profil, ale v důsledku vysokých rychlostí blíže k obvodu lopatek se profily ztenčují vzhledem k délce tětivy. Stejně se mění i úhel náběhu a prohnutí.

Je tedy očividné, že součinitelé c (tj. odporu a vztlaku) profilu jsou funkcí nejen úhlu náběhu i, ale i Machova čísla cz, x(i; Ma). Tento vliv začíná být významný až při vyšších podzvukových rychlostech kolem Ma≐0,3, nejvyšší je kolem zvukových rychlostí a při vysokých nadzvukových rychlostech vliv Machova čísla opět klesá. S rostoucím Machovým číslem se pohybuje působiště vztlaku více k náběžné hraně profilu, při rychlosti blízké rychlosti zvuku se opět poloha vztlaku přibližuje zpět do původní polohy [6, s. 46, 240].

Změny součinitele vztlaku u kosočtvercového profilu. 14.893 Změny součinitele vztlaku u kosočtvercového profilu.
Kosočtvercový profil je uveden na následujícím obrázku. Graf závislosti u skutečného profilu vhodného pro nadzvukové rychlosti je uveden např. v [6, s. 346].

Z uvedené závislosti plyne pro vodorovný let, že úhel náběhu se zvyšující se rychlostí postupně musí snižovat (pokud hmotnost letounu zůstává konstantní) a při velmi vysokých podzvukových rychlostech může být dokonce i záporný [1, s. 69]. Z toho důvodu je zvyšování rychlosti letounu směřující k dosažení nadzvukové rychlosti spojeno se stoupáním (pokud letoun není vybaven proměnnou geometrií křídla nebo nevyužívá jiný manévr jako např. letoun SR-71 Blackbird [2, s. 84]). V nadzvukové oblasti je situace přesně obrácená a úhel náběhu se zvyšující se rychlostí vodorovného letu opět zvyšuje.

Aerodynamika lopatkových mříží ve stlačitelném proudění

Profily pro vysoké rychlosti letu jsou charakteristické svou štíhlostí a symetrií. Aby se u symetrického profilu vytvořil vztlak musí být úhel náběhu vždy nenulový. Například letoun SR-71 Blackbird nemá proměnnou geometrii křídel a křídla jsou vodorovně s osou trupu, proto při vodorovném letu má vždy mírně zvednutou příď cca o  při nadzvukovém letu.

Typy profilů vhodné pro vysoké rychlosti ve stlačitelném prostředí. 15.894 Typy profilů vhodné pro vysoké rychlosti ve stlačitelném prostředí.
(a) transonický profil; (b) supersonický (čočkový tvar); (c) supersonický (kosočtvercový tvar); (d) supersonický (lichoběžníkový tvar); (e) hypersonický.

Transonický profil se používá u kompresorových lopatkových mříží s vysokou podzvukovou rychlosti pracovního plynu před mříží, protože je méně citlivý na odtržení mezní vrstvy od profilu v důsledku vzniku λ-rázové vlny. Profily s ostrými hranami jako lichoběžníkový se používají u supersonických lopatkových mříží kompresorů, protože u těchto profilů nevzniká λ-rázová vlna. Z těchto důvodů, při vysokých podzvukových a nadzvukových rychlostech, je součinitel odporu těchto typů profilu menší než by tomu bylo u hladce zakřivených tlustostěnných profilů.

Přenositelnost aerodynamických vlastností osamoceného profilu v oblasti vysokých podzvukových a nadzvukových rychlostí na profil v lopatkové mříži není už v přímé podobě možná. To je dáno především stavem pracovního plynu před mříží a za mříží, které mohou být velmi rozdílné oproti obtékání plynu podél osamoceného profilu. Například při expanzi plynu v turbínové mříži do nadzvukových rychlostí na výstupu z mříže vstupuje plyn s malou podzvukovou rychlostí.

Analytické řešení stlačitelného proudění v lopatkové mříži je možné řešit v uzavřeném tvaru pouze pro případ jednorozměrového stlačitelného proudění – to je ekvivalentní analytickému návrhu trysek nebo difuzorů. Navíc takové proudění je doprovázeno různými efekty související se stlačitelným prouděním v kanálech. Přesný analytický výpočet je často obtížný a není natolik přesný, aby na jeho základě bylo možné lopatkovou mříž inovovat a zvyšovat její účinnost. V takových případech je nutné výpočet doplňovat měřením proudění v aerodynamických tunelech:

Transonické proudění v lopatkové mříži.
16.634 Transonické proudění v lopatkové mříži.
Vlevo interferogram – proužky představují izochory; vpravo obraz proudového pole u stejného případu pořízený zákalovou (šlírovou) metodou. Proudění v lopatkové mříži tvořené profilem SE 1050-geometrie odpovídá lopatkové mříži posledního stupně parní turbíny 500 MW, 320 mm od paty lopatky. Na obrázcích je situace pro Ma1=0,4; M2iz=0,9, úhel náběhu i=0°. Mříž navržena pro jmenovité parametry Ma1=0,41; Ma2iz=1,200. Pořízeno v [8] Machovým–Zehnderovým interferometrem.
Supersonické proudění v mříži.
17.636 Supersonické proudění v mříži.
vlevo případ proudění plynu turbínovou mříží, kdy již před mříží je nadzvuková rychlost17 vpravo interferogram stejného případu - na tomto zobrazení je jasně patrný supersonický odklon proudu na výstupu z mříže. Na interferogramu je pouze výstupní část mezilopatkového kanálu. RV rázové vlny; EV expanzní vlny. Na obrázku situace pro Ma1=1,19; Ma2iz=2,003, úhel náběhu i=-1,5°. Pořízeno Machovým-Zehnderovým interferometrem [8].
17Poznámka
V tomto případě vznikají rázové vlny ještě před mříží, na výstupu z mříže se vytváří soustava šikmých rázových vln, které mají vliv na směr a velikost výstupní rychlosti (odklání ji), což je typický problém vznikající na výstupu z lopatkové mříže při nadzvukovém proudění. Na odtokové hraně lopatky (před rázovou vlnou) se zároveň iniciuje vznik expanzních vln.

V současné době lze i velmi složité proudění stlačitelné látky modelovat numericky pomocí výkonného výpočetního hardwaru a příslušného softwaru :

Příklady numerického modelování stlačitelného proudění v lopatkové mříži.
18.635 Příklady numerického modelování stlačitelného proudění v lopatkové mříži.
(a) pracovní plyn vodní pára Ma1=0,42, Ma2=0,7 (model vytvořen na Energetickém ústavu FSI VUT v Brně [9]); (b) turbínová lopatková mříž, pracovní plyn vzduch [5].

Shrnutí vlivu stlačitelnosti proudění

Projevy stlačitelnosti proudění s rostoucím Machovým číslem jsou významné a mohou zcela změnit vlastnosti lopatkové mříže tepelných strojů navržené za předpokladu zanedbatelných vlivů stlačitelnosti proudění. Z těchto důvodů je nutné provést při výpočtu lopatkové mříže kontrolu na velikost Machových číslech alespoň v místech, kde lze očekávat nejvyšší rychlosti proudění. Přičemž přibližně u rychlostí nad Ma>0,3 je nutné korigovat tvar profilů podle Glauert-Prandtlova pravidla viz Rovnice 12. V případě kritických Machových čísel je nutné počítat s možným vznikem efektů spojených s vysokými rychlostmi. Při Machových číslech větších jak 1 či velmi blízké jedné je nutné vlastnosti lopatkového kanálu ověřit v aerodynamickém tunelu či, při návrhu takové mříže, použít alespoň 1D výpočet proudění Lavalovou tryskou (tzv. kanálová teorie lopatkové mříže). Machova čísla jsou vztažena k rychlostem vzhledem k obtékanému profilu, proto u rotorových lopatkových kanálů jsou rozhodující relativní rychlosti respektive Machova čísla vztažena k relativním rychlostem.

Kritické Machovo číslo roste s klesající tloušťkou profilu, proto se pro vysoké rychlosti obtékání používají tenké profily s vysokým poměrem délky od náběžné hrany k maximálnímu prohnutí profilu ku délce tětivy.

Odkazy

  1. STEVER, Guyford, HAGGERTY James. Flight, 1966. První vydání. Time Inc
  2. CRICKMORE, Paul. SR-71 Blackbird, 2004. České vydání první. Praha: Jan Vašut s.r.o., ISBN 80-7236-325-5.
  3. KOUSAL, Milan. Spalovací turbíny, 1980. 2. vydání, přepracované. Praha: Nakladatelství technické literatury, n. p.
  4. KADRNOŽKA, Jaroslav. Lopatkové stroje, 2003. 1. vydání, upravené. Brno: Akademické nakladatelství CERM, s.r.o., ISBN 80-7204-297-1.
  5. TAJČ, Ladislav, BEDNÁŘ, Lukáš , POLANSKÝ, Jiři, Šťastný, Miroslav. Radial Control Stage with Partial Steam Admission, Proceedings of the 8th International Symposium on Experimental and Computational Aerothermodynamics of Internal Flows, Červenec 2007. Lyon.
  6. HOŠEK, Josef. Aerodynamika vysokých rychlostí, 1949. 1. vydání. Praha: Naše vojsko.
  7. FLEISCHNER, Petr. Hydromechanika, 1990. 4. vydání. Brno: Vysoké učení technické v Brně, ISBN 80-214-0226-1.
  8. Aerodynamická laboratoř v Novém Kníně, Ústav termomechaniky AVČR, v.v.i. [2010]. Dostupné z http://lvr.it.cas.cz.
  9. Energetický ústav, Fakulta strojního inženýrství, Vysokého učení technické v Brně, Odbor energetického inženýrství, [2010]. Dostupné z http://oei.fme.vutbr.cz.
  10. ABBOTT, Ira, DOENHOFF, Albert. Theory of wing sections, including a summary of airfoil data, 1959. Druhé upravené vydání. New York: Dover publications, inc., ISBN-10:0-486-60586-8.
  11. KNEUBUEHL, Beat. Balistika střely, přesnost střelby, účinek, 2004. První české vydání. Praha: Naše vojsko, ISBN 80-206-0749-8.
  12. JAPIKSE, David. Introduction to turbomachinery, 1997. 2. vydání. Oxford: Oxford University Press, ISBN 0-933283-10-5.
  13. MAŠTOVSKÝ, Otakar. Hydromechanika, 1964. 2. vydání. Praha: Statní nakladatelství technické literatury.
  14. DVOŘÁK, Rudolf. Cena a význam základního výzkumu v energetickém strojírenství, All for power 2010, č. 2. Praha: AF POWER agency a.s., ISSN 1802-8535.
  15. KADRNOŽKA, Jaroslav. Tepelné turbíny a turbokompresory, 2004. 1. vydání. Brno: Akademické nakladatelství CERM, s.r.o., ISBN 80-7204-346-3.
  16. POKORNÝ, Milan. Navier-Stokesovy rovnice, 2011. Vydání ze 4. října 2011. Publikace [on-line] na adrese: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~pokorny/NS.pdf, [2012-04].
  17. KADRNOŽKA, Jaroslav. Teorie lopatkových strojů, 1991. 3. přeprac. vyd. Brno: Vysoké učení technické. ISBN 80-214-0275-X.
  18. MAREK, Josef. Fysikální základy letectví, 1947. Druhé vydání, doplněné. Praha: nakladatelství Práce.
  19. NOŽIČKA, Jiří. Analogové metody v proudění, 1967. Vydání 1. Praha: Academia. 202 stran.
  20. PFLEIDERER, Carl, PETERMANN, Hartwig. Strömungsmaschinen, 2005. Berlín: Springer Verlag Berlin, Heidelberg New York, ISBN 3-540-22173-5.
  21. FIEDLER, Jan. Parní turbíny-Návrh a výpočet, 2004. Vydání první. Brno: Akademické nakladatelství CERM, s.r.o., ISBN 80-214-2777-9.
  22. ŠKORPÍK, Jiří. Nomogramy, 2017. 1. vydání. Brno: vlastním nákladem Jiří Škorpík. Dostupné z http://www.transformacni-technologie.cz/nomogramy.pdf.

Bibliografická citace článku

ŠKORPÍK, Jiří. Základy aerodynamiky profilů lopatek a lopatkových mříží, Transformační technologie, 2009-10, [last updated 2016-11-05]. Brno: Jiří Škorpík, [on-line] pokračující zdroj, ISSN 1804-8293. Dostupné z http://www.transformacni-technologie.cz/16.html.

©Jiří Škorpík, LICENCE
reklama
www.transformacni-technologie.cz