Tento web obsahuje aplikace Google Adsense a Google analytics, které využívají data ze souborů cookie, více informací. Používání této stránky vyjadřujete souhlas s využitím těchto dat. Využívání dat ze souborů cokie lze zakázat v nastavení Vašeho prohlížeče.

31. Základní rovnice klikového mechanismu parního motoru

Autor: Jiří Škorpík twitter, skorpik@fme.vutbr.cz : aktualizováno 2013-11

Pro dimenzování hlavních částí pístového parního motoru a jeho klikového mechanismu je nezbytné stanovit síly působící na píst, kroutící moment na hřídeli apod. Při výpočtu těchto sil se vychází z p-V diagramu odpovídající maximálnímu výkonu motoru.

Rovnice polohy pístu

Poloha pístu je dána kinematickou vazbou s mechanismem zajišťující jeho polohu v čase. V případě, že tímto mechanismem bude klikový mechanismus bude poloha pístu v zhledem k pootočení hřídele následující:

Kinematická vazba pístu a klikového mechanismu.
1.558 Kinematická vazba pístu a klikového mechanismu.
L(φ) [m] poloha pístu v závislosti na pootočení hřídele; l [m] délka ojnice pístu; R [m] rameno kliky; φ [°] pootočení hřídele.

Z tohto schématu lze jednoduše pomocí trigonometrických funkcí odvodit tyto rovnice:

Rovnice polohy pístu spojeného s klikovým mechanismem.
2.559 Rovnice polohy pístu spojeného s klikovým mechanismem.
Poloha pístu se vyjadřuje k jeho horní úvrati respektive k bodu φ=0.
reklama

Rozklad sil působících na píst

Na píst respektive mechanismus zajišťující pohyb pístu působí síly od tlaku páry a setrvačné síly (další síly a gravitační jsou v této části výpočtu zanedbány):

Znázornění sil působící na klikový mechanismus jako funkce pootočení hřídele φ. 3.346 Znázornění sil působící na klikový mechanismus jako funkce pootočení hřídele φ.
pH(φ) [Pa] tlak páry na pístem; pD(φ) [Pa] tlak páry pod pístem; Fp(φ) [N] výsledná síla působící na píst; Fk(φ) [N] síla působící na vodítko pístní tyče; Fl(φ) [N] síla působící na ojnici; g [m·s-2] gravitační zrychlení.

Z uvedeného obrázku lze odvodit rovnice silové rovnováhy klikového mechanismu:

Rovnice pro výpočet sil působící na klikový mechanismus jako funkce pootočení hřídele φ.
4.347 Rovnice pro výpočet sil působící na klikový mechanismus jako funkce pootočení hřídele φ.
FH [N] výsledná síla působící na píst od tlaku páry v horní komoře; FD [N] výsledná síla působící na píst od tlaku páry v dolní komoře; Fs [N] setrvačná síla posuvných hmot, které jsou v propojeny mechanicky s pohybem pístu (smykadlo, pístní tyč, ojnice*); Fg [N] výslednice tíhových síly působicí na mechnismus (hmotnost pístu, pístní tyče, ojnice, hmotnost plynu...)**; D [m] průměr válce; pat [Pa] tlak atmosférický (skříň zalomené hřídele); d [m] průměr pístní tyče; k [m·s-2] zrychlení pístu*** (posuvných hmot); m [kg] hmotnost posuvných hmot spojených s pohybem pístem (včetně hmot, které jsou v propojeny mechanicky s pohybem pístu); ω [rad·s-1] úhlová rychlost otáčení hřídele****. Rovnice sil působící na píst jsou odvozena v Příloze 347.
*Poznámka
Ojnice nekoná posuvný pohyb, ale pohyb kombinovaný, proto se do setrvačných posuvných hmot zahrnuje pouze 1/3 hmotnosti ojnice.
**Poznámka
Tíhové síly mohou být vůči dalším silám zanedbatelné.
***Poznámka
Rovnice je odvozena s dostatečnou přesností v [1, s. 157]. Z rovnice je patrné, že maximální zrychlení dosahují posuvné hmoty při φ=0 respektive 180°. Naopak nulové zrychlení dosahuje přibližně při φ=90° respektive 270°.
****Poznámka
V této úrovni výpočtu se úhlová rychlost odhaduje (považuje se za konstantní a rovnu střední úhlové rychlosti během jedné otáčky) v souladu s odhadem otáček při výpočtu vnitřního výkonu motoru. Upřesní se během výpočtu výkonové rovnováhy mezi motorem a spotřebičem mechanické práce, která je uvedena níže.

Klikový mechanismus vytváří i sílu směřující kolmo na pohyb pístu Fk, která bývá obvykle zachytávaná vedením pístní tyče (křižák, smykadlo). Vedení pístní tyče tedy zabraňuje vyosení pístu z důvodu působení této sily. Vedení pístní tyče může být jednostranné i oboustranné (křižák). U jednostranného vedení mohou být otáčky motoru pouze jedním směrem a to takovým, aby výslednice sil působila vždy jedním směrem viz obrázek výslednice uvedený níže*. Toto vedení klouže po smykadle, které má určitou plochu a je intenzivně mazáno, aby nedocházelo k velkému tření, což vede k vysokým mechanickým ztrátám motoru a opotřebení. Výpočet síly Fk lze ze silového trojúhelníku ojnice na Obrázku 3:

Rovnice pro výpočet sil působící na vedení pístní tyče.
5.764 Rovnice pro výpočet sil působící na vedení pístní tyče.
Fk [N] síla působící kolmo na vedení pístní tyče (kladný směr je dolů tak jako na Obrázku 3); Fl [N] síla působící v ojnici; γ [°] úhel, který svírá ojnice se směrem pohybu pístu. Pro malé úhly γ cca do 20° je cos γ větší jak 0,9 a síla Fl je téměř totožná se sílou Fp. Odvození rovnic pro síly působící na vedení pístní tyče jsou uvedeny v Příloze 764.
*Poznámka
V některých případech (po započtení setrvačných sil a různých ztrát, které ovlivňují kroutící moment na hřídele) působí síla v jisté fázi otočení hřídele i v opačném směru. Tato síla bývá mnohem menší než síla působící kolmo na styčnou plochu smykadla. Proto každé vedení pístní tyče musí být opatřeno oboustranným vedením:
Základní způsoby vedení pístní tyče.
6.765 Základní způsoby vedení pístní tyče."
(a) ploché vodítko; (b) válcové vodítko. 1 smykadlo; 2 vodící lišty; 3 otvor pro čep pístní tyče. Technické řešení např. [1].

Při výpočtu se vychází z navrženého nebo naměřeného p-V diagramu motoru, tyto diagramy se z praktických důvodů uvádí v procentech objemu p-V[%] respektive v procentech okamžité polohy pístu p-L[%]. Pro takový případ je nutný přepočet na odpovídající pootočení hřídele, který lze snadno odvodit z Rovnice 2 pro polohu pístu v závislosti na pootočení hřídele a kosinové věty aplikované na mechanismus na Obrázku 3:

Přepočet okamžité polohy pístu vyjádřený v procentech na odpovídající hodnotu pootočení hřídele.
7.768 Přepočet okamžité polohy pístu vyjádřený v procentech na odpovídající hodnotu pootočení hřídele.
Odvození této rovnice je uvedeno v Příloze 768.

Odtud lze sestrojit graf závislosti jednotlivých sil na poloze pístu, ze kterého lze vycházet při pevnostních výpočtech motoru a zatěžování ložisek:

Průběh jednotlivých sil jako funkce pootočení hřídele.
8.766 Průběh jednotlivých sil jako funkce pootočení hřídele.
Jedná se o typický poměr jednotlivých sil pro otáčky 1500 min-1, při nižších otáčkách podstatně klesá setrvačná síla v porovnání se silou působící na píst Fp.
Vypočítejte síly Fp, Fs a Fk v důležitých okamžicích p-V diagramu. Jestliže máte k dispozici p-V diagram z Úlohy 1 [29.], rozměry mechanismů včetně válce a jejich hmotnosti a otáčky hřídele. Vliv gravitačního zrychlení zanedbejte.
Úloha 1.767

Stejný postup výpočtu a rovnice jsou platné pro výpočet pohonu rozvodu páry např. pohon šoupátka apod.:

Vypočítejte síly působící na šoupátko Fp, Fs a Fk v důležitých okamžicích p-V diagramu Úlohy 1. Jestliže máte k dispozici p-V diagram, rozměry mechanismů včetně šoupátka a jejich hmotnosti a otáčky hřídele. Vliv gravitačního zrychlení zanedbejte. Mechanismus šoupátka je popsán v článku 30. Vyšetření pohybu a rozměrů šoupátka.
Úloha 2.769
reklama

Kroutící moment

Kroutící moment (jeho průběh v závislosti na pootočení hřídele) přenášený na hřídeli motoru respektive na jeho konci vystupující z motoru je součtem momentů vznikající v klikovém mechanismu od několika sil. Těmito sílami je výslednice sil Fp působící na písty, které jsou propojené s hřídelí, setrvačné hmoty ostatních mechanismů, které jsou přes hřídel poháněny (pohon rozvodů páry, pohon regulace otáček a pod.) a ztráty třením [2, s. 321] připojených mechanismů (tření v ložiscích, uložení pístní tyče, pístní kroužky o válec a pod.).

Kroutící moment na výstupním hřídeli motoru.
9.773 Kroutící moment na výstupním hřídeli motoru.
Mk [N·m] kroutící moment na výstupním konci motoru; a [N·m] výsledný kroutící moment od jednotlivých pístů; b [N·m] výsledný krouticí moment od setrvačných sil dalších mechanismů propojených s hřídelí*; c [N·m] výsledný kroutící moment způsobený třením v mechanismech propojených s hřídelí. Momenty působíc ve směru otáčení hřídele jsou kladné, momenty v opačném směru jsou záporné.
*Poznámka
Zjednodušujícím předpokladem této kapitoly je, že otáčky motoru jsou konstantní a není proto nutné počítat s kroutícím momentem vznikající v důsledku setrvačných sil rotujících částí motoru viz níže.

Jednotlivé momenty lze získat z rozkladu sil v mechanismu zalomeného hřídele:

Výpočet kroutícího momentu od sil působící na píst.
10.774 Výpočet kroutícího momentu od sil působící na píst.
Stejným způsobem lze vypočítat kroutící moment od setrvačných hmot dalších mechanismů spojených s hřídelí jako je například pohon rozvodů páry parního motoru apod. Odvození této rovnice je uvedeno v Příloze 774.

Kroutící moment od sil vznikající při tření pohyblivých částí mechanismů se vypočítává podle typu ztrát. Hlavní třecí ztráty vznikají při přímočarém vratném pohybu (například pístní tyče o její ucpávky, tření vodítka o jeho vedení...) a v ložiscích jak hlavních ložisek hřídele tak v ložiscích ojnic:

Vznik ztrát v klikovém mechanismu a jejich vliv na mechanický výkon mechanismu.
11.775 Vznik ztrát v klikovém mechanismu a jejich vliv na mechanický výkon mechanismu.
Mz1 [N·m] ztrátový moment vznikající třením v hlavních ložiscích hřídele; Mz2 [N·m] ztrátový moment vznikající třením v ojničních ložiscích; Mz3 [N·m] ztrátový moment vznikající třením v ojničních čepech; Fz4 [N] třecí síla* vznikající při tření pístních kroužků o válec; Fz5 [N] třecí síla vznikající tření vedení pístní tyče; Fz6 [N] třecí síla vznikající při tření pístní tyče o ucpávky. Pm [W] mechanický výkon klikového mechanismu na konci hřídele; Pi [W] vnitřní výkon motoru; Pz [W] ztráta výkonu způsobená třecími ztrátami v klikovém mechanismu; ηm [-] mechanická účinnost klikového mechanismu.
*Poznámka
Třecí síla působí proti pohybu a na ztrátový kroutící moment se přepočítá stejným způsobem jako síla působící na píst uvedená v Rovnici 10.

Výpočet ztrátového momentu Mz se provádí ze stykových sil působící v ložisku a dalších kluzných plochách, olejové mezeře, vlastnosti oleje a kluzných ploch. Je zřejmé, že bude záviste i na pootočení hřídele, protože sledované síly se mění. Při základním návrhu klikového mechanismu respektive stanovení výsledného kroutícího momentu Mk lze postupovat i obráceně a ztrátový moment vypočítat z odhadu mechanické účinnosti klikového mechanismu. Z něj lze alespoň přibližně stanoví střední hodnota ztrátového momentu.

Odtud lze sestrojit graf závislosti jednotlivých momentů na poloze pístu respektive pootočení hřídele, ze kterého lze vycházet při dimenzování klikového mechanismu:

Průběh jednotlivých momentů jako funkce pootočení hřídele.
12.777 Průběh jednotlivých momentů jako funkce pootočení hřídele.
Jedná se o klikový mechanismus jednoválcového dvojčinného parního motoru s jedním šoupátkem. Zde je ztrátový moment pro zjednodušení uváděn jako konstanta.
Vypočítejte kroutící moment na hřídeli klikového mechanismu. Rozměry mechanismu, síly působící na píst a setrvačné síly jsou stejné jako u Úlohy 1 a Úlohy 2. Předpokládejte mechanickou účinnost klikového mechanismu 90%.
Úloha 3.776

Nerovnoměrnost chodu soustrojí

Mechanický výkon na hřídeli motoru je odváděn ke spotřebiči mechanického výkonu, kterým nejčastěji el. generátor, ale může jim být i čerpadlo nebo jiné mechanické zařízení. Zároveň musí platit energetická rovnováha mezi vyrobenou práci motoru a práci spotřebovanou spotřebičem. Práce vykonaná motorem za jednotku času je závislá na průběhu kroutícího momentu Mk během sledovaného časového úseku, mění se tedy v průběhu jedné otáčky motoru i předávaný výkon. Příkon většiny typů spotřebičů je funkcí otáček respektive úhlové rychlosti a při změně výkonu motoru se musí změnit i úhlová rychlost soustrojí. Úhlová rychlost soustrojí bude klesat nebo narůstat oproti rovnovážné úhlové rychlosti ω¯ * podle toho jaká bude okamžitá výkonová bilance mezi motorem a spotřebičem. Poměr velikosti rozdílu mezi maximální a a minimální úhlovou rychlostí ku rovnovážné úhlové rychlosti se nazývá nerovnoměrnost chodu [3, s. 35].

*Rovnovážná úhlová rychlost
Je to taková úhlová rychlost, při kterém střední kroutící moment motoru Mk,r vykoná během jedné otáčky motoru stejné množství práce jako při skutečné ale proměnné úhlové rychlosti vykoná kroutící moment Mk za jednu otáčku:
Jestliže výkon spotřebiče je funkcí úhlové rychlosti bude se během otáčky motoru měnit i úhlová rychlost hřídele soustrojí.
13.783 Jestliže výkon spotřebiče je funkcí úhlové rychlosti bude se během otáčky motoru měnit i úhlová rychlost hřídele soustrojí.
PSP [W] užitečný výkon spotřebiče; PS [W] výkon rotačních hmot (změna kinetické energie rotačních hmot za jednotku času); PZt [W] ztráty mimo motor (ztráty ve spojce, generátoru...); (aa) celkový příkon spotřebiče; ω¯ [rad·s-1] střední úhlová rychlost, při které během jedné otáčky je schopen spotřebič odebrat z motoru vyrobenou energii Em; n [s-1] otáčky motoru*; N [-] nerovnoměrnost chodu; φ [rad].
*Otáčky motoru
Předchozí kapitoly, Úloha 2 a Úloha 3 k řešení potřebují znalost otáček motoru n. Dobře odhadnuté otáčky by se od těch vypočítaných z úhlové rychlosti ω¯ odlišují jen nevýznamně. V opačném případě je nutné otáčky lépe odhadnout a celý návrh motoru až po tuto část provést znovu. Skutečné otáčky motoru budou mezi odhadem a výpočtem z úhlové rychlosti ω¯.

Velká změna úhlové rychlosti během otáčky může mít nepříznivý vliv na namáhání konstrukce soustrojí popřípadě práci spotřebiče například pro pohon čerpadel se doporučuje nerovnoměrnost chodu max kolem 1/20 pro pohon el. generátorů střídavého proudu až 1/300. Pro plynulost chodu je nutné zvětšit moment setrvačnosti hřídele soustrojí respektive instalovat na hřídel motoru setrvačník, který zvýší moment setrvačnosti hřídele soustrojí:

(1) přenáší kliku přes mrtvé polohy,                          
(2) zmenšování nerovnoměrnosti otáčení motoru při každé otáčce
(3) popřípadě překonávat náhle velké odpory poměrně slabým    
    motorem (lis apod.)                                       
(4) bezpečnost provozu při náhlém výpadku zatížení motoru.    
14.782 Základní funkce setrvačníku.

Velikost setrvačníku respektive jeho momentu setrvačnosti [2, s. 258] se vypočítá z požadované rovnoměrnosti chodu. Obvykle se postupuje iteračně, tak že se nejdříve odhadne moment setrvačnosti rotačních hmot a odtud vypočítá průběh úhlové rychlosti během jedné otáčky ze známého průběhu kroutícího momentu a konkrétní výkonové charakteristiky spotřebiče. Následně se vypočítá nerovnoměrnost chodu. Pokud nerovnoměrnost chodu není v požadovaném rozsahu výpočet se opakuje pro korigovaný moment setrvačnosti setrvačných hmot:

Příklad rovnic pro výpočet úhlové rychlosti pro případ lineární výkonové charakteristiky spotřebiče (asynchronní generátor).
15.784 Příklad rovnic pro výpočet úhlové rychlosti pro případ lineární výkonové charakteristiky spotřebiče (asynchronní generátor).
(a) charakteristika spotřebiče (asynchronní generátor); (b) střední úhlová rychlost; (c) průběh úhlové rychlosti během otáčky. J [kg·m2] moment setrvačnosti hřídele soustrojí (včetně setrvačníku). ES [J] celková kinetická energie rotačních hmot včetně hřídele motoru [2, s. str. 249]; Pj [W] jmenovitý výkon el. generátoru; ωj [rad·s-1] jmenovitá úhlová rychlost el. generátoru. Z rovnice pro výpočet ω(φ) je zřejmé, že bude-li kroutící Mk vetší než moment Ma bude úhlová rychlost narůstat a naopak. Zároveň Ma je rovnovážný moment, který při konstantní rovnovážné úhlové rychlosti ωa* vykoná stejnou práci jako motor. Při odvozování těchto rovnic byly použity různé zjednodušující předpoklady, které omezují jejich platnost pouze na nízké hodnoty rovnoměrnosti chodu N. Uvedené rovnice jsou tím přesnější čím menší je rovnoměrnost chodu.
*Poznámka
V případě lineární závislosti příkonu spotřebiče nebo pro malou rovnoměrnost chodu N je úhlová rychlost ωa stejná jako střední úhlová rychlost ω¯.
Vypočítejte potřebný moment setrvačnosti rotoru soustrojí jestliže znáte kroutící moment na výstupní hřídeli motoru i moment setrvačnosti hřídele soustrojí. Kroutící moment je stejný jako v Úloze 3. Motor pohání asynchronní el. generátor jehož jmenovitý výkon je 15 kW, jmenovité otáčky 1545 min-1 a nulového výkonu dosahuje při otáčkách 1500 min-1. Ztrátový výkon generátoru je -1500 W. Požadovaná rovnoměrnost chodu je 1/300.
Úloha 4.785
J [kg·m2] 0,86
Úloha 4: výsledek.

Odkazy

  1. KLÁG, Josef. Parní stroje a turbiny-Obsluha a provoz, 1952. 1. vydání. Praha: ROH-práce-vydavatelství knih.
  2. HORÁK, Zdeněk. KRUPKA, František, ŠINDELÁŘ, Václav. Technická fysika, 1961. 3. vydání. Praha: SNTL.
  3. KRUTINA, Jaroslav. Přehled technické mechaniky, 1954. Vydání 1. Praha: ROH - PRÁCE.

Bibliografická citace článku

ŠKORPÍK, Jiří. Základní rovnice klikového mechanismu parního motoru, Transformační technologie, 2011-08, [last updated 2013-11]. Brno: Jiří Škorpík, [on-line] pokračující zdroj, ISSN 1804-8293. Dostupné z http://www.transformacni-technologie.cz/31.html.

©Jiří Škorpík, LICENCE
reklama
www.transformacni-technologie.cz